Interes compuesto

FACULTAD DE CIENCIAS
EMPRESARIALES
CENTRO DE APOYO ARENILLAS

TEMA:

DOCENTE:
Ing. Civil. Rafael Salcedo
AUTORES:
María Fernanda Terreros
Mónica Marly Córdova Rogel
John Juvenal Aguirre Soto
CURSO:
3ro. Administración

Catedratico Ing. Rafael Salcedo Muñoz

Facultad de Ciencias Empresariales
Centro de Apoyo Arenillas

ARENILLAS – EL ORO – ECUADOR

Dedicatoria
Dedicamos el presente trabajo a Dios por
darnos la vida, fuerza y salud cada de cada
día, y a nuestros padres quienes son los
pilares de nuestra vida que nos impulsan
con su cariño y apoyo en nuestra educación
para alcanzar nuestras metas y hacer de
nosotros personas mejores.

Catedratico. ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ 2


Agradecimiento
Queremos dejar constancia de nuestro
imperecedero agradecimiento a nuestro
maestro y amigo Sr. Ing. Civil. Rafael
Salcedo Muños, quien acertadamente nos ha
impartido sus conocimientos con el interés
de forjarnos hacia una formación
profesional provechosa y hacer de nosotros
entes útiles para el desarrollo de nuestra
sociedad.



Introducción
El conocimiento y manejo del interés compuesto es necesario
en las operaciones financieras a largo plazo, en operaciones
de inversiones de capital, en los cálculos del monto del interés
y del tiempo. Este tipo de interés se va capitalizando de
acuerdo con el tiempo, medido en periodos de capitalización o
de conversión. Igualmente, el concepto y aplicación del valor
actual es básico en el interés compuesto para manejar en
documentos e inversiones financieras en el largo plazo.



Objetivo General
Conocer el concepto de interés compuesto y sus
aplicaciones en la liquidación de documentos
financieros, endeudamiento e inversiones a cualquier
plazo.

Objetivos Específicos
 Conocer y manejar los conceptos periodo de
capitalización y tasa de interés por periodo de
capitalización.
 Conocer y manejar la fórmula del monto en interés
compuesto.
 Conocer y aplicar el concepto de valor actual a largo
plazo.
 Conocer y aplicar en inversiones las tasas de interés
nominal y efectivo, anticipado y vencido.
 Resolver problemas de interés compuesto aplicando
ecuaciones de valor.



“Es el interés de un capital al que se van acumulando los
réditos para que produzcan otros”, “Cuando se calcula
interés compuesto, el capital aumenta por la adición de
los intereses vencidos al final de cada uno de los
periodos a que se refiere la tasa. Siempre que no se
pague efectivamente el interés al final de un periodo,
sino que se adicione al capital, se dice que los intereses
se capitalizan”.

El interés compuesto se caracteriza porque el interés
generado, en una unidad de tiempo, se suma al capital y
este valor nuevamente gana intereses y se acumula al
nuevo capital y así sucesivamente, tantas veces como
periodos de capitalización se hayan establecido.



El interés compuesto se diferencia del interés simple en
que éste calcula los intereses por una sola vez, mientras
que en aquél el interés se va acumulando al capital
periódicamente; es decir; los intereses se capitalizan.
Generalmente, el interés simple se utiliza a corto plazo,
hasta un año, y el interés compuesto a largo plazo, más
de un año.

EJEMPLO 5.1.

Calcular el monto, el interés simple y el interés
compuesto de un capital de $4.000.000 a una tasa de
interés de 10% durante 5 periodos.

Cálculo a interés simple:

1= Cit; 1= 4.000.000(0,10)(5) = $ 2.000.000
M = C (1 + it) = 4.000.000 [1 + 0,10(5)] = $ 6.000.000



Cálculo a interés compuesto:
(Para el primer periodo)
M = 4.000.000 [1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000

(Para el segundo periodo)
M = 4.400.000 [1 + 0,10(1)] = $ 4.840.000

(Para el tercer periodo)
M = 4.840.000 [1 + 0,10(1)] = $ 5.324.000

(Para el cuarto periodo)
M = 5.324.000 [1 + 0,10(1)] = $ 5.856.400

(Para el quinto periodo)
M = 5.856.400 [1 + O, 10(1)] = $ 6.442.040

Se puede notar la diferencia, en el mismo tiempo y con la
misma tasa de interés, del monto total que producen:

Monto con interés simple: $ 6.000000
Monto con interés compuesto: $ 6.442.040



En el siguiente cuadro (y en los gráficos adjuntos) se
demuestra el comportamiento del interés simple y el
interés compuesto, y sus respectivos montos:

Monto Monto
Periodo Interés Interés Diferencia
Simple Compuesto
1 $ 4.400.000 $ 4.400.000
2 4.800.000 4.840.000 $40.000
3 5.200.000 5.324.000 124.000
4 5.600.000 5.856.400 256.400
5 6.000.000 6.442.040 442.040

Como se observa, la diferencia entre el monto a interés
simple y el monto a interés compuesto radica en que
este último se va acrecentando en función del tiempo,
debido a la acumulación de los intereses al capital por
periodo de capitalización.

El interés compuesto crece en función del nuevo capital
por periodo, mientras que el interés simple es constante
durante todos los periodos.



COMPARACIÓN
Interés Simple – Interés Compuesto

COMPARACIÓN MONTO
Interés Simple – Interés Compuesto



En el cálculo del interés compuesto se debe tomar en
cuenta previamente el cálculo de las variables i y n,
correspondientes a la tasa de interés por periodo de
capitalización (i) y el número de periodos de
capitalización (n).

Periodo de capitalización (n)
Se denomina periodo de capitalización, el espacio de
tiempo en el que el interés se adiciona o acumula al
capital. Este periodo puede ser anual, semestral,
trimestral, mensual, etc.; se identifica con la letra n.

Tasa de interés (i)
La tasa de interés por periodo de capitalización significa
la tasa diaria, mensual, bimestral, trimestral semestral,
anual, etc.; dependiendo de si la capitalización es cada
día, mes, bimestre, trimestre, semestre, año, se identifica
con la letra i.



EJEMPLO 5.2

Calcular el número de periodos de capitalización y la
tasa de interés por periodo de capitalización de un
capital colocado a interés compuesto durante 7 años, con
una tasa de interés de 15% anual capitalizable
semestralmente.

Es decir; que se capitaliza 14 veces o que existen 14
semestres en 7 años.



EJEMPLO: 5.3

Calcular el número de periodos de capitalización (n) y la
tasa de interés por periodo de capitalización (i) de un
capital colocado a interés compuesto durante 9 años, con
una tasa de interés de 24%, capitalizable
semestralmente.

t = 9 años; tasa nominal anual i = 24%
n=9(12)/16=1

EJEMPLO 5.4

Calcular el número de periodos de capitalización (n) y la
tasa de interés por periodo de capitalización (i); de un
capital colocado a interés compuesto durante 5 años, a
una tasa de interés de 15% anual, capitalizable
trimestralmente.

t = 5 años.
i = 15%



n = 5(12)13 = 20; se divide entre el número de
meses del periodo.

m = 360/90 = 4; se capitaliza 4 veces en el año.

"El monto de un capital a interés compuesto, o monto
compuesto, es el valor del capital final o capital
acumulado después de sucesivas adiciones de los
intereses”.

“A la diferencia entre el monto compuesto y el capital
original se le conoce como interés compuesto”.

Para deducir la fórmula del monto de interés compuesto,
se parte de un ejemplo en el que se conoce el capital, la
tasa de interés y el número de periodos de
capitalización.



EJEMPLO 5.5

Calcular el monto a interés compuesto de un capital de
$100.000 a cuatro años de plazo, a una tasa de interés de
12% anual.

Para resolver el problema se elabora un cuadro en el que
se expresan los periodos, los intereses y el monto.

Capital al
Monto al
Periodo inicio del Interés
final
periodo
1 100.000 12.000 112.000
2 112.000 13.440 125.440
3 125.440 15.052,80 140.492,80
4 140.492,80 16.859,14 157.351,94

Fórmula de cálculo: I = Cit

Primer año
I = 100.000(0,12) 1 = $ 12.000
M = 100.000 + 12.000 = $ 112.000



Segundo año
I = 112.000(0,12) 1 = $ 13.440,00
M= 112.000+ 13.440 = $ 125.440

Tercer año
I = 125.440(0,12) 1 = $ 15.052,80
M = 125.440 + 15.052,80 = $ 140.492,80

Cuarto año
I = 140.492,80(0,12) 1 = $ 16.859,14
M= 140.492,80 + 16.859,14 = $ 157.351,94

En este ejemplo, C es el capital; i la tasa de interés por
periodo de capitalización; y n, el número de periodos de
capitalización. Así, se tiene el cuadro siguiente:
Periodo

Capital
inicio Interés Monto
periodo
1 C C C = C(1 + i)
2 C(1 + i) C(1 + i)i C(1 + i) + C(1 + i)i = C(1 + i)2
3 C(1 + i)2 C(1 + i)2i C(1 + i)2 + C(1 + i)2i = C(1 + i)3
4
Podemos continuar hasta la enésima potencia:
n C(1 + i)n-1 C(1 + i)n-1i C(1 + i)n-1 + C(1 + i)n-1i = C(1 + i)n



Entonces, para cualquier periodo de capitalización y tasa
de interés por periodo, se obtiene la fórmula del monto
en interés compuesto:

(5.1)
Entonces,
I=M–C (5.2)

El factor (1 + i)n puede hallarse mediante calculadoras
electrónicas, variando i y n; o buscarse en tablas
matemáticas en función de las referidas variables.
La fórmula del monto también puede expresarse
tomando en cuenta los periodos de capitalizaciones
menores de un año: semestral, trimestral, bimestral,
mensual, diaria o continúa.

M = C(1 + j/m)m . t (5.3)
M = Monto
C = Capital inicial
j = tasa de interés nominal capitalizable varias
veces.



m = número de capitalizaciones en el año.
t = número de años.

Si la capitalización es anual (tasa efectiva), la fórmula del
monto en un año es:

M = C(1 + i)n

Si la capitalización es semestral,
M = C(1 + j/2)2

Si la capitalización es trimestral,
M = C(1 + j/4)4

Si la capitalización es bimestral,
M = C(1 + j/6)6

Si la capitalización es mensual,
M = C( 1 + j/l 2)12

Si la capitalización es quincenal,
M = C( 1 + j/24)24



Si la capitalización es diaria,
M = C( 1 + j/360)360 o, M = C( 1 + J/365)365

Si la capitalización es continua o instantánea, el valor del
capital se capitaliza continuamente.

e = 2,718281
j = tasa nominal
C = capital inicial
M = monto
t = número de años

EJEMPLO 5.6.

Calcular el monto de un capital de $ 200.000 a interés
compuesto durante 5 años, si la tasa de interés es 12%
anual capitalizable en la siguiente forma:

Tasa de 12% efectiva
M = 200.000(1 + 0,12)5 = $ 352.468,34



Tasa de 12% anual capitalizable semestralmente
M = 200.000(1 + 0,12/2)10 = $ 358.169,54

Tasa de 12% anual capitalizable trimestralmente
M = 200.000(1 + 0,12/4)20 = $ 361.222,25

Tasa de 12% anual capitalizable bimestralmente
M = 200.000(1 + 0,12/6)30 = $ 362.272,32

Tasa de 12% anual capitalizable mensualmente
M = 200.000(1 + 0.12/12)60 = $ 363.339,34

Tasa de 12% anual capitalizable diariamente
M = 200.000(1 + 0,12/360)1.800 = $ 364.387,33

Tasa de 12% anual con capitalización continúa
M = 200.000(2,718281)(0.21)(5) = $ 364.423,76

Como se puede notar; cuando el periodo de
capitalización aumenta se incrementan el monto y el
interés compuesto.



EJEMPLO 5.7.

Una empresa obtiene un préstamo de $ 3.000.000 a 6
años de plazo, con una tasa de interés de 15% anual
capitalizable semestralmente. Calcular el monto que
debe pagar a la fecha de vencimiento y el interés.

Se calculan i y n:

n= 6 (12)/6 = 12 periodos

C = 3.000.000

M = 3.000.000 (1 + 0,075)12 = 3.000.000 (1,075)12

M = 3.000.000 (2,381780) = $ 7.145.338,80

Interés compue.sto que debe pagar:
I=M–C
I = 7.145.338,80 – 3.000.000 = $ 4.145.388,80



Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de
capitalización, se presenta el caso de los periodos de
capitalización fraccionarios.

EJEMPLO 5.8

El tiempo de pago de una deuda es 4 años y 9 meses y la
tasa de interés, 14% capitalizable semestralmente.

Se tiene que:

es decir; 9 semestres y una fracción de semestre.

Para el cálculo del monto compuesto con periodos de
capitalización fraccionario pueden aplicarse dos
métodos:



a) El matemático, que toma el valor exacto de n en la
fórmula del monto compuesto.

b) El comercial (ver página siguiente).

EJEMPLO 5.9

Calcular el monto de una deuda de $ 4.000.000 a interés
compuesto durante 6 años y 3 meses de plazo, con una
tasa de interés de 14% anual capitalizable
semestralmente.

M = 4.000.000 (1 + 0,07)12.5 = 4.000.000(2,329685)
M = $ 9.318.740,40

El comercial, que aplica la parte entera de n en la
fórmula del monto compuesto (interés compuesto), y la



parte fraccionaria en la fórmula del monto de interés
simple.

En otras palabras, el método comercial aplica interés
compuesto a la parte entera e interés simple a la parte
fraccionaria.
En el ejemplo anterior; con el método comercial se tiene:

M = 4.000.000 (2,25219159)(1,035) = $ 9.324.073,18

También se puede solucionar así el mismo problema:

Como puede apreciarse, el método comercial da un
resultado mayor que el método matemático.

EJEMPLO 5.10

Calcular por los dos métodos, el matemático y el
comercial, el monto compuesto de $ 2.000.000 a 7 años y



8 meses de plazo, a 18% anual capitalizable
trimestralmente.

Método matemático

Se calcula el valor de n e i:

Se aplica la fórmula del monto:
M = 2.000.000 (1+0,045)30.666667 == $ 7.713.702,80

Método comercial



En este procedimiento es necesario resaltar que en la
parte del cálculo con interés simple debe relacionarse la
tasa de interés por periodo, con los meses o días que
tiene el correspondiente periodo.

M = 2.000.000 (3,745318) (1,03) = $ 7.715.355,36

También se puede expresar así:

M=2.000.000 (3,745318) (1.03) = $ 7.715.355,36

Diferencia entre los resultados obtenidos por dos
métodos:

7.715.355,36 – 7.713.702,80 = $ 1.652,56

Esto se debe a la diferente aplicación del interés en el
tiempo fraccionario (dentro de los dos últimos meses se
acumula el interés).



La Tasa nominal. Tasa nominal es aquella que puede ser
capitalizable varias veces en un año, y se denomina (j).

Tasa efectiva de interés. La tasa efectiva es la que
realmente actúa sobre el capital una vez en el año, y se
denomina (i).

“Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes
periodos de conversión (capitalización) son equivalentes
si producen el mismo interés compuesto al final de un
año”.

“Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando
producen la misma cantidad de dinero al final del año”.

EJEMPLO 5.11

Un capital de $ 1, a 18% anual capitalizable
mensualmente, será:



M = $ 1,1956182

A una tasa de interés efectiva de 19,56182%

M = 1 (1 + 0,195618) = 1 (1,195618)
M = $ 1,195618

En este ejemplo se puede apreciar que la tasa nominal,
18% anual capitalizable mensualmente, es equivalente a
la tasa efectiva de 19,56182%, puesto que las dos
producen el mismo resultado.

El monto de $ 1, a la tasa i en un año, es:

1 (1 + i) = 1 + i = M

El monto de $ 1, a la tasa j con m capitalizaciones en el
año, es:
M = (1 + j/m)m



Considerando que los dos montos son iguales, se puede
plantear la identidad.

(1 + i) = (1 + j/m)m (5.4)

que es la ecuación de equivalencia, con tasas de interés
vencidas.

Tasas equivalentes son aquellas tasas que, con diferentes
periodos de capitalización, producen el mismo interés
compuesto.

EJEMPLO 5.12

¿A qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal
de 18% anual capitalizable trimestralmente?

(1 + i) = (1 + j/m)m

En este caso:

i =?, j = 18%, m=4
(1 + i) = (1 + O, 18/4)4;



(1 + i) = (1 + 0,045)4
(1 + i) = (1,045)4;
(1 + i)= 1,1925186
i = 1,1925186 - 1 == 0,1925186
i = 19,25186%

También se puede plantear el problema inverso: ¿a qué
tasa nominal capitalizable trimestralmente es
equivalente una tasa efectiva de 19,25186%7.
Para la solución de este problema utilizamos la ecuación
de equivalencia:

(1 + i)= (1 + j/m)m

Y remplazamos:

(1 + 0,1925186) = (1 + j/4)4
(1,1925186) = (1 + j/4)4

Para encontrar la respuesta se pueden emplear dos
métodos: exponentes o radicales, y logaritmos.



Por exponentes o radicales

Elevamos ambos miembros a la misma potencia y la
igualdad no se altera.

4(0,045) = j

j = 0,18 j = 18%

Por logaritmos

Log (1,192518) = log (1 + j/4)4



0,076465 = 4 log (1 + j/4)

0,019116 = log (1 + j/4)

Antilog (0,019116) = 1 + j/4

1,045 = 1 + j/4

1,045 - 1 = j/4

0.045 = j/4

4(0,045) =j

j= 0,18 j= 18%

Se obtiene la misma respuesta: j= 18%

EJEMPLO 5.13

¿A qué tasa nominal capitalizable semestralmente es
equivalente la tasa efectiva de 16%7
(1 + i) = (1 + j/m)m



Por exponentes o radicales
1 + 0,16 = (1 +j/2)2

en razón de que la capitalización es semestral
1,16= (1 + j/2)2
(1,16)1/2 = ((1 +j2]2)1/2

(Se elevan ambos miembros a la potencia 1/2)
1,077033 = 1 + j/2
1,077033 - 1 = j/2
0,077033 = j/2
2(0,077033) = j
0,154066 =j
j= 15,4066%

Por logaritmos
log (1,16) = log (1 + j/2)2
0,064457 = 2 log (1 + j/2)

0,032228 = log (1 + j/2)
antilog (0,032228) = 1 + j/2



1,077033 = 1 +j/2
1,077033 - 1 = j/2
(0,077033) 2 =j
0,154065 =j
J = 15,4066%

Como se puede notar, al comparar la misma tasa de
interés, la tasa efectiva es mayor cuando se capitaliza
más de una vez en el año.
16% > 15,40659%

También puede plantearse el problema inverso: ¿a qué
tasa efectiva es equivalente la tasa nominal de
15,40659% capitalizable semestralmente?
(1 + i) = (1 + j/m)m

1+i = (1,077033)2
1+i = 1,16
i = 1,16 - 1
i = 0,16
i = 16%



Cuando se requiere invertir determinado capital en el
mercado financiero, es frecuente encontrar tasas de
interés con diferentes tipos de capitalización, por lo que
necesitamos analizar en forma matemática cuál es la
mejor alternativa, utilizando la ecuación de equivalencia
(fórmula 5.4).

EJEMPLO 5.14

Una persona desea invertir $ 6.000.000 durante dos
años y tiene las siguientes opciones:

a) Una tasa de interés de 44,5% efectiva; b) Una tasa de
interés de 41% anual capitalizable semestralmente; e)
Una tasa de interés de 39,5% anual capitalizable
trimestralmente; d) Una tasa de interés de 38% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál opción le produce
mayor interés?



Este problema se puede solucionar de dos formas:
analíticamente, utilizando la ecuación de equivalencia, o
prácticamente, utilizando la fórmula del monto con
interés compuesto.

Analíticamente

Se compara la tasa efectiva de 44,5% con las demás:
Con tasa de interés de 41 % anual capitalizable
semestralmente

I = 1,452025 - 1
i= 0,452025
i= 45,2025%

Con la tasa de interés de 39,5% anual capitalizable
trimestralmente:

i= 1,457456 - 1



i= 0,457456
i = 45,745633%

Con tasa de interés de 38% anual capitalizable
mensualmente.

i= 1,453693 - 1
i = 45,369328%

La mejor oferta es la tercera, i= 39,5% anual
capitalizable trimestralmente, que da una tasa efectiva
de 45,745633%.

Prácticamente

Se calcula con los datos de capital, tiempo y tasa de
interés:
Con tasa efectiva de 44,5%
M = 6.000.000 (1 + 0,445)2 = $ 12.528.150

Con tasa de 41 % anual capitalizable semestralmente
M = 6.000.000 (1 + 0,41/2)4= $ 12.650.259,60



Con tasa de 39,5% anual capitalizable trimestralmente

M = 6.000.000 (1 + 0,395/4)8 = $ 12.745.073,81

Con tasa de 38% anual capitalizable mensualmente

M = 6.000.000(1 + 0,38/12)24 = $ 12.679.344,96

La mejor oferta es la tercera, con un monto de
$12,745.073,81. La respuesta hallada por la forma
analítica siempre debe coincidir con la encontrada por la
forma práctica, como se vio en el ejemplo.

La tasa de interés anticipada es aquella que permite
pagar o cobrar los intereses por adelantado; para la
aplicación se utiliza la siguiente fórmula (para
demostrarla se recurre a la ecuación de equivalencia
(fórmula 5.4) y el descuento bancario):

1 + i = (1 + j/m)m



Conociendo que j es una tasa de interés anticipada, se
puede establecer que:

Entonces,

Llevando este criterio a la ecuación de equivalencia, se
tiene:

Simplificando,

1 + i= (1 - d/m)-m



EJEMPLO 5.15

¿A qué tasa de interés efectiva anticipada es equivalente
una tasa anticipada de 48% anual capitalizable
cuatrimestralmente?

m = 360/120 = 3
1 + i = (1 - 0,4813)-3
(formula 5.5)
i= 1,68718281 - 1
i= 0,687183
i= 68,7183%

También se puede plantear el problema inverso.

EJEMPLO 5.16

¿A qué tasa de interés anticipada anual, capitalizable
cuatrimestralmente, es equivalente una tasa efectiva
anticipada de 68,7183%?
1 +0,687183 = (1- j/3)-3
(1,687183)-1/3 = {( 1 – j/3)-3}-l/3
0,84 = 1 –j/3



1 -0,84 = j/3
(O,16)3 =j
0,48 =j
j = 48%

La diferencia entre la tasa de interés vencida y
anticipada se puede apreciar en el siguiente cuadro.

Interés Efectivo Equivalente
Interés Número de meses anticipados Numero de meses vencidos
anual 12 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
42% 72,41 60,23 58,69 57,22 55,85 54,56 53,35 51,11 50,07 49,09 48,15 47,26 46,41
45% 81,82 66,49 64,6 63,83 61,19 59,64 58,19 55,55 54,33 53,18 52,09 51,05 50,06
48% 92,31 73,13 70,84 68,72 66,75 64,62 63,21 60,1 58,69 57,35 56,09 54,89 53,76

La tasa efectiva o nominal puede calcularse partiendo de
la fórmula del monto a interés compuesto:
M = C (1 + i)n ; M = C(1 + j/m)m.t

Para despejar i, se presentan tres alternativas:


Utilizando logaritmos.

log(M/C) = log( 1 + i)n
log(M/C) = n log( 1 + i)

Para el cálculo de i se emplea el antilogaritmo. Utilizando
exponentes o radicales.

(M/C)1/n = [(1+i)1/n]

Se elevan ambos miembros a la potencia 1/ n
(M/C)1/n = 1 + i

Y se simplifica el exponente en el segundo miembro
(M/C)1/n - 1 = i.
Existe también un tercer método, la interpolación de
tablas, que se realiza en forma similar a la interpolación
logarítmica, pero con la facilidad de las calculadoras
electrónicas; este método casi no se utiliza por la falta de
tablas para determinados tipos de interés.


M/C = (1 + i)n

Se busca en las tablas, para un determinado periodo, la
cantidad que se aproxima al cociente M/C. Si no se
encuentra exactamente, se procede a interpolar.

EJEMPLO 5.17

¿A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 300.000
en un monto de $ 450.000, en 6 años?

M = C (1+i)n
M/C = (1+i)n

1,5 = (1+i)6

Por logaritmos
Log 1,5 = log(1+i)6
Log 1,5 = 6 log(1+i)



0,029348 = log(1 + i)

Antilog 0,029348 =1+i

1,069913 =1+i

0,069913 =i

i = 6,99132%

Por exponentes

1,5 = (1+i)6

(1,5)1/6 = (1 + i)6/6

(1,5)0.16666 =1+i

1,069913 =1+i

i = 6,99132%

Por interpolación de tablas

1,5 = (1 + i)6

Se busca en tablas de (1 + i)n cuando n = 6



Se plantea una regla de tres simple, comparando la
diferencia tabular de 0,041588 con la diferencia entre la
cantidad dada y la menor en la tabla, que corresponde a
0,040857.

0,005---------- 0,041588
x --------------- 0,040857
x= 0,004912

Se suma este resultado al menor

Y se obtiene:
i = 0,069912
i = 6,9912%, aproximadamente.
EJEMPLO 5.18



¿A qué tasa anual, capitalizable trimestralmente, se
convertirá un capital de $ 400.000 en 3/4 veces más en 5
años? ¿A qué tasa de interés efectiva es equivalente?

Solución:
M=C+I
C = $400.000
M = 400.000 + 3/4 (400.000) = $ 700.000
t = 5; m = 4; m . t = 20
M/C = (1 + j/m)m.t

(1,75)1/20 = (1+j/4)20/20
(1,75)1/120 = 1+j/4
1,028376 = 1+j/4
(0,028376) 4 = j
0,113504 =j
J = 11,3504% anual, capitalizable trimestralmente

EJEMPLO 5. 19



¿A qué tasa efectiva es equivalente la tasa de 11,35037%
anual, capitalizable trimestralmente?

1 + i = ( 1 + 0,028376)4
1 + I = (1 + 0,28376)4
1 + I = 1,118427
i = 0,118427
i = 11.8427% efectiva.

Para calcular el tiempo, se debe hallar primero n; por lo
cual se aplica la fórmula del monto:

M = C(1+i)n
M = C(1 + j/m)m.t



Para hallar n existen dos alternativas: por logaritmos,
utilizando calculadoras electrónicas o tablas
logarítmicas.

No se requiere hallar el antilogaritmo, pues a n no le
afecta la palabra logaritmo. Por interpolación de tablas,
con la limitante de que a veces no hay tablas para todo
tipo de interés.

EJEMPLO 5.20

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, un
capital de $1.000.000 se convertirá en $1.500.000 a una
tasa de interés de 18% efectiva?



M = 1.500.000

C = 1.000.000

i = 18%

1,5 = (1,18)n

log 1,5 = n log(1, 18)

2,449726 = n (años)

Para calcular el tiempo en años, meses y días se plantea
una regla de tres (con el año comercial).



1 año --------------- 360 días
0,449726 --------- X días

X = (0,449726)(360)/1
X = 161,90 días = 5 meses y 12 días
tiempo = 2 años, 5 meses y 12 días.

EJEMPLO 5.21

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, se
duplicará un capital de $800.000, a una tasa de interés
de 16% capitalizable semestralmente?

M = 800.000 (2) = $1.600.000

C = $ 800.000

M/C = (1 + j/m)m.t

2 = (1,08)2.t


log2 = (2t) log(1,08)

9,006468 = 2t (semestres)

4,503234 = t (años)
1 año ------------- 360 días
0,503234 ------- X

X = 181,164 días
tiempo = 4 años, 6 meses y 1 día
(aproximadamente).



EJEMPLO 5.22

¿En qué tiempo un capital de $2.500.000 se convertirá
en $ 5.625.000 a una tasa de interés de 24% anual
capitalizable mensualmente?

M = $ 5.625.000

C = $ 2.500.000

j = 0,24

M/C = (1 + j/m)m.t

2,25 = (1+ 0.02)12.t

Por logaritmos

Log 2,25 = 12 t log(1,02)



40,950977 = 12 t (meses)

3.412501 = t (años)
1 ---------------------- 360 días
0,412501 ---------- X

X= 148,5 días

Tiempo = 3 años, 4 meses y 28,5 días
Utilizando tablas de (1+i)n, se busca el valor
correspondiente a 2,25.

Para i = 2%

cuando n = 41, valor en tablas,

restamos del menor



diferencia:

Se aplica la regla de tres:

1 periodo ----------- 0,044160
X ----------- 0,041960
X= 0,950170

Luego se suma a n = 40

12 n = (40 + 0,950170) = 40,950170 (meses)

1 360

0,412514 X

X = 148,51 días

Tiempo 3 años, 4 meses y 28,5 días.



El valor actual a interés compuesto es el valor de un
documento, bien o deuda, antes de la fecha de su
vencimiento, considerando determinada tasa de interés.

Por ejemplo, las preguntas ¿cuánto vale hoy una deuda
de $1.000.000 que vencerá en 5 años? y ¿en cuánto se
puede vender un documento de $5.000.000 que vence en
4 años? y otras similares se pueden responder mediante
el cálculo del valor actual.

“La expresión valor actual significa el valor de un pago
futuro en una fecha determinada antes del vencimiento”.
“Valor actual, valor en el momento presente de los
beneficios o de los costos del futuro, actualizados al costo
de oportunidad o de sustitución del capital”

Para el efecto se considera la fórmula del monto a
interés compuesto:



M = C( 1 + i)n. de donde se despeja C.

C = M (1 + i)-n fórmula del valor actual a interés
compuesto (5,6)

También se conoce que M = C (1+j) m.t Entonces:

C = M(1 + j/m)-m.t fórmula del valor actual a interés
compuesto (5.7)

Para capitalizaciones continuas:
C = Me-j.t
(e = 2.718281)

Gráficamente se puede ubicar el valor actual:



El valor actual puede calcularse en cualquier fecha
comprendida entre la fecha de suscripción y la fecha de
vencimiento; dependiendo de las condiciones en que se
establezca el cálculo. Puede haber dos casos generales:
cuando el documento no gana interés y el valor nominal
coincide con el monto, o cuando el documento gana
interés y se requiere calcular el monto.

EJEMPLO 5.23

Calcular el valor actual de un pagaré cuyo valor al
vencimiento, al final de 4 años, es $ 3.500.000,
considerando una tasa de interés de 12% anual
capitalizable semestralmente. (Éste es un ejemplo típico
del primer caso).

M = $ 3.500.000; j = 0,12; t= 4; m = 2
C = M (1 + j/m)-m.t
C = 3.500.000 (1 + 0,12/2)-2(4)
C = 3.500.000(1,06)-8
C = 3.500.000(O.627412)
C = $ 2.195.943,30


Entonces, el valor actual es 2.195.943,30.

EJEMPLO 5.24

Calcular el valor actual de un documento cuyo valor
nominal es $500.000 a 6 años plazo con 12% de interés
anual capitalizable semestralmente desde su
suscripción, si se vende dos años antes de la fecha de
vencimiento, considerando una tasa de 14% anual
capitalizable semestralmente. (Éste es un ejemplo típico
del segundo caso). Se elabora un gráfico de tiempos y
valores.



Se calcula el monto a los 6 años:

M = 500.000 (1 + 0,6)12
M = 500.000(2 ,012196)
M = $ 1.006.098,236

Se calcula el valor actual 2 años antes del vencimiento.

C = 1.006.098,30 (1,07)-4
C = 1.006.098,30 (0,762895) C = $ 767.547,53

Valor actual = $ 767.547,53



En el caso 2 pueden darse, a su vez, tres situaciones
diferentes respecto a la compra-venta de un documento:
cuando se negocia a fa par, es decir; la tasa de
negociación es la misma que la nominal y el precio se
mantiene sin variaciones; cuando se negocia con premio,
es decir; la tasa de negociación es menor que la nominal
y el precio sube; cuando se negocia con castigo; es decir;
la tasa de negociación es mayor que la nominal y el
precio baja.

EJEMPLO 5.25

Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia
un documento de $ 3,000.000con vencimiento en 5 años,
con una tasa de interés de 21% anual capitalizable
semestralmente, desde la suscripción. Calcular su valor
actual o precio en las siguientes alternativa a) con una
tasa de 18% anual capitalizable trimestralmente; b) con



una tasa de 21% anual capitalizable semestralmente; e)
con una tasa de 24% efectiva.

Se traza el gráfico de tiempos y valores:

Se calcula el monto

M = 3.000.000 (1 + 0,105)10 = $ 8.142.242,54

Se halla el valor actual o precio de negociación:

a) Respecto a la primera alternativa, i = 18% anual
capitalizando trimestralmente,
C = 8.142.242,54(1 + 0,45)-12
C = $4.801.186,205. Esta es una negociación con
premio.

b) En relación con la segunda alternativa, i = 21 % anual
capitalizando semestralmente,



C = 8. 142.242,554 (1 + O, I 05)-6

C= $ 4.472.706,152. Esta es una negociación a la par;
pues la tasa de negociación es igual a la nominal;
además, se puede comprobar calculando el monto
desde la fecha de suscripción hasta la de negociación

M = 3.000.000(1 + 0,105)4 = $ 4.472.706,152.

c) Respecto de la tercera alternativa, i = 24% efectiva.
C = 8.142.242,54 (1 + 0.24)-3

C = $ 4.270.502,49. Esta es una negociación con
castigo; es el precio más bajo de los tres.

Valor actual, al igual que el monto a interés compuesto,
también puede calcularse con periodos de de
capitalización no enteros, es decir; fraccionarios.



Para el cálculo existen dos alternativas: en forma
matemática o exacta, utilizando únicamente interés
compuesto:

C=M (1+i)-n

En forma práctica o comercial, utilizando interés
compuesto para la parte entera e interés simple para la
parte fraccionaria:

C = M(1 + i)-n (1 + it)-I

EJEMPLO 5.26

El valor de un documento al final de 7 años será
$3.400.000. Calcular su valor actual, luego de
transcurridos 3 años y 4 meses de la fecha de
suscripción, considerando una tasa de interés de 14%
capitalizable semestralmente.



M = $ 3.400.000
j/2 = 0,14/2 = 0,07

Por la forma matemática:
C = M (1 + j)-n

o también:

Se convierte el tiempo en meses y se divide entre el
número de meses que tiene el periodo de capitalización.

C = 3.400.000 (1 + 0,07)-(7)2/6
C = 3.400.000 (1,07)–7.33333



C= 3.400.000 (0.608862)
C= $ 2.070.131.25 (valor actual por la forma
matemática)

Por la forma práctica o comercial:
C = M (1 + i)-n (1 + it)-1

Entonces

En interés simple si se toma la tasa anual dividimos el
número de meses entre 12.



Si tomamos la tasa semestral dividimos el tiempo entre 6

C = 3.400.000 (0.622750) (1.023333)-1

C = 3.400.000 (0.622750) (0.977199)

C = $2.069.072.33

Al comparar los dos resultados se observa que por el
método práctico el valor actual es menor; es decir; el
documento tendría un valor menor que por el método
matemático.

EJEMPLO 5.27

Luego de 3 años y 3 meses de la fecha de suscripción se
negocia un documento suscrito el día de hoy por
$2.800.000 a 6 años y 9 meses con una tasa de interés de



12% capitalizable semestralmente. Calcular el valor
actual a dicha fecha considerando una tasa de interés de
14% efectiva.

Se calcula el monto al final de los 6 años y 9 meses:

M = 2.800.000 (1 + 0,12/2)13.5
M = 2.800.000 (2,195984)
M1 = $ 6.148.755,335

Se calcula el monto por el método práctico o comercial:

M = 2.800.000 (1.06)13 [1 + (0,12)(3/12)]
M2 = 2.800.000 (2, 132928)(1,03)
M2 = $ 6.151.365,10



Con estos resultados se calcula el valor actual a los 3
años y 3 meses, si la tasa de interés es 11,25% efectiva.

El tiempo que falta para el vencimiento del documento
es:

M1= $ 6.148.755,335
M2 = $ 6. 151.365,1O

Se calcula el valor actual por el método matemático:
C1 = 6.148.755,335 (1÷0,1125)-3,5
C1 = 6. 148.755,335 (0,688573)
C1= $ 4.233.866,90

Ahora, por el método práctico o comercial:



C2 = 6.151.365.20 (1 + 0,1125)-3 [1+ (0,1125)(6/12)]
C2 = 6.151.365,20 (1,1125)-3 (1,05625)-1
C2 = 6.151.365,20 (0.726273) (0.946746)
C2 = $ 4.229.654,46

Del análisis de los dos resultados:

C1 = $ 4.233.866,34 (matemático)
C2= $ 4.229.654,46 (comercial)

Se puede concluir que el valor actual hallado mediante el
método práctico es menor que el valor actual hallado
mediante el método matemático.

El descuento compuesto, al igual que el descuento
simple, es la diferencia entre el monto y el valor actual
de un documento, deuda, etc.



El descuento compuesto puede calcularse de dos
maneras: el descuento compuesto matemático, que es el
más utilizado; su fórmula se basa en el descuento simple:

Dc= M - C
Dc = M - M (1 + i)-n
Dc = M [1-(1 + i)-n] (5.8)
Dc = M [1-v]
v= (1 + i)-n

O el descuento compuesto bancario, que se calcula sobre
el monto de la deuda; es decir; el monto menos el valor
efectivo a interés compuesto. El valor efectivo a interés
compuesto se expresa como Cbc Se toma como base de
deducción de la fórmula el valor efectivo a interés simple.

Cb = M (1 - dt)

Para interés compuesto, se tiene:
Cbc= M (1-d)n



Luego
Dbc = M - M [(I - d)n]
Dbc = M [1 - ( i - d)n) (5.9)

EJEMPLO 5.28

Calcular el descuento compuesto de un documento cuyo
monto será $ 9.000.000, luego de 10 años, si se descontó
3 años antes de su vencimiento a una tasa de interés de
15% efectiva.

Dc = M - C

Descuento compuesto matemático:
Dc = M - M( 1 + i)-n
M =9.000.000; i= 15%; n=3; Dc = M [1-(1+i)-n]
Dc = 9.000.000 - 9.000.000 (1 + 0,15)-3
Dc = 9.000.000 [1 - (1,15)-3]
Dc= 9.000.000 (1 - 0,657516)
Dc = 9.000.000 (0,342484)
Dc = $ 3.082.353.91



Descuento compuesto bancario:

M = 9.000.000; d= 15%; n= 3; Dbc = M [1 - (1 – d)n]
Dbc = 9.000.000 [1 - (1 - 0,15)3]
Dbc = 9.000.000 [1 - 0.614125]
Dbc = 3.472.875

Como se puede notar: el descuento bancario compuesto
es mayor, con una diferencia por esto casi no se utiliza.

Al igual que en interés simple, en interés compuesto
también se utilizan las ecuaciones de valor cuando se
requiere remplazar un conjunto de obligaciones por otro
conjunto de diferentes valores o capitales disponibles en
diferentes tiempos, tomando en consideración una fecha
común, llamada también fecha focal.

Relacionando los valores y fechas con la fecha foca/, se
obtiene la ecuación de valor, que permite igualar el



conjunto de obligaciones iniciales con el conjunto de
nuevas obligaciones. La siguiente gráfica nos ayuda a
explicar el procedimiento:

Sean M1, M2 y M3 las obligaciones que vencen en los
periodos dos, cuatro y siete, respectivamente, y se quiere
remplazarlas por un solo valor al final del quinto
periodo, con una tasa de interés (i) y una capitalización
por periodo.

Sea X el valor que remplaza las tres obligaciones; y el
final del quinto periodo la fecha focal. Al relacionar ésta
con las obligaciones, se puede plantear la ecuación de
valor; así:

X = M1 (1+i)3+M2 (1+i)1 +m3 (1+i)-2



El primer valor (M1) acumulará interés durante 3
periodos; el segundo valor (M2) acumulará interés
durante 1 periodo y el tercer valor (M3) deberá
calcularse como valor actual por -2 periodos.

EJEMPLO 5.29

Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $900.000
a 12 meses de plazo; $1.300.000 a 18 meses de plazo y
$1.800.000 a 24 meses de plazo; si ésta desea remplazar
sus deudas con un solo pago el día de hoy, ¿cuál será el
valor de ese pago, considerando una tasa de interés de
15% capitalizable semestralmente?

Para resolver el problema se toma como fecha focal el
día de hoy, por ser la fecha En que pagará las deudas, y



se asigna la letra X al valor de remplazo. Todos los
valores por calcular serán valores actuales:

X = 900.000 (1.075)-2 + 1.300.000 (1 ,075)-3 + 1.800.000
(1,075)-4

X = 900.000 (0,865333) + 1.300.000 (0,804961) +
1.800.000 (0,748801)

X = 778.799,70 + 1.046.449,30 + 1.347.841,80
X = $ 3.173.090,80

Si en el mismo problema la empresa consigue que sus
acreedores le acepten consolidar sus tres deudas para
cancelar/as al final de 24 meses, ¿cuál será el valor de
este pago?



Se toman 24 meses como fecha focal por ser la fecha de
pago; los dos primeros valores serán montos por cuanto
ganarán intereses por 2 y 1 periodos, y el último no se
altera:

X = 900.000 (1 +0,075)2+ 1.300.000 (1 +0,075)1+ 1.800.000

X = 900.000 (1,155625) + 1.300.000 (1,075) + 1.800.000

X = 1.040.062,50 + 1.397.500 + 1.800.000

X = $ 4.237.562,50

Como puede observarse, el resultado es mayor que el del
primer problema puesto que se realiza el pago al final;
en consecuencia, tiene que pagar más intereses.



En cualquier empresa o negocio, es frecuente tener que
seleccionar; la mejor oferta, en condiciones similares,
tanto para comprar como para vender uno o más bienes
o servicios. En este punto se estudiará cómo las
ecuaciones de valor ayudan a seleccionar la oferta más
alta para el vendedor o la más baja para el comprador, a
largo plazo, tomando como fecha focal el tiempo cero.

EJEMPLO 5.3

Una persona desea vender una propiedad y recibe tres
ofertas $4.000.000 de contado $2.300.000 de contado
$1.000.000 a un año y $1.500.000 a 2 años de plazo
$1.000.000 de contacto, una letra de $2.000.000 a 18
meses y otra letra de $2.5000.000 a 36 meses plazo.
¿Cuál de las tres ofertas le conviene aceptar,
considerando que el rendimiento del dinero es 24%
anual capitalizable trimestralmente?



Primera oferta: $4.000.000 hoy.

Segunda oferta:

Se relacionan los pagos de $1.000.000 y $1.500.000 con
su respectivo valor actual, en el tiempo cero:

X = 2.300.000 + 792.093,66 + 941.118,56

X = $ 4.033.212,22 (segunda oferta)

Tercera oferta:



Se relacionan los dos pagos futuros con la fecha focal de
hoy.

X = 1.000 + 2.000(1 + 0,06)-6 + 2.500(1 + 0.06)-12

X= 1.000+ 1'409.921,08+ 1'242.431,41

X= $ 3'652.344,49 (tercera oferta)

La más conveniente para el vendedor es la segunda
oferta; y, para el comprador la tercera.

Cuando se quiere remplazar las obligaciones por dos
pagos iguales se debe escoger la fecha de pago de
cualquiera de los dos pagos como fecha focal.

EJEMPLO 5.31

Una empresa tiene las siguientes deudas: $ 1.000.000 a
15 meses de plazo; $1.500.000 a 21 meses de plazo;



$2.000.000 a 27 meses de plazo, con una tasa de interés
de 12% efectiva desde la suscripción; $ 3.000.000 a 33
meses de plazo; la empresa desea remplazar todas sus
deudas por 2 pagos iguales a 24 y 36 meses, a una tasa
de interés de 36% anual capitalizable trimestralmente.
Calcular el valor de dichos pagos. Se plantea el problema
gráficamente, tomando como fecha focal 24 meses:



Se calcula el monto de la tercera opción:
M = 2.000.000 (1 + 0,12)2.25
M = 2.580.896,25

Se plantea la ecuación de valor:

+ 2.580.896;25 (1, 12)-1 =±3.000.000 (1,12)-3

X + X (1,09)-4 = 1.295.029 + 1.680.000 +
2.304.371,65 + 2.135.340,74

X + X (0,708425) = 7.414.741,39
(1,708425) X = 7.414.741,39

X = 7,414.741,39 X = $4.340.103,54

Por tanto, se deben efectuar dos pagos iguales de
$4.340.103,54



EJEMPLO 5.32

Una empresa tiene las siguientes deudas: $2.500.000 a
21 meses de plazo; $3.000.000 a 27 meses de plazo;
$3.500.000 a 42 meses de plazo; $4.000.000 a 63 meses
plazo, con una tasa de interés de 9% efectiva; $5.000.000
a 75 meses de plazo; la empresa desea remplazar sus
deudas por dos pagos iguales a los 24 y 60 meses.
Calcular el valor de dichos pagos, considerando una tasa
de interés de 36% anual, capitalizable semestralmente.

Primero se calcula el monto de la cuarta deuda:

M = 4.000.000 11,09)5.25 = $ 6.288.529,54

Se toman 60 meses como fecha focal:



X (1,18)6+ X = 2.500.000(1,18)6.5 + 3.000.000(1,18)5.5
+ 3.500.000(1,18)3+ 6.288.529,54(1,18)-0.5+
5.000.000(1,18)-2.5

X(2,699554) + X = 7.331. 166,047 + 7.455.423, 1
+ 5.750.612 + 5.789.060,68 + 3.305.711,785
3,699554 (X) = 29.631.973,61

X= $ 8.009.606,7 (dos pagos iguales)

Ahora se toman 24 meses como fecha focal



X + X(1, 18)-6 = 2.500.000(1,18)0.5 + 3.000.000(1,18)-05
+ 3.500.000(1,18)-3 + 6.288.529,54 (1,18)-6.5 + 5.000.000
(1, 18)-8.5

X + 0,370431(X) = 2.7 I 5.695, 123 + 2.76 1.723,854
+ 2.130.208,054 + 2.144.450,65 + 1.224.539,904
1,370431 (X) = 10976.617,585

X= $ 8.009.606,7 (dos pagos iguales)

Por tanto, deben hacerse dos pagos iguales de
$8.009.606,7

Estos procedimientos permiten concluir que, tomando
cualquiera de las dos fechas focales el resultado es igual.



El tiempo equivalente es el tiempo de vencimiento
promedio de dos o más deudas, valores u obligaciones.

"La fecha en la cual un conjunto de obligaciones, con
vencimiento en fechas diferentes, puede liquidarse
mediante un pago único igual a la suma de las distintas
deudas, se conoce como fecha de vencimiento promedio
de las deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha
Fecha se conoce como tiempo equivalente"

La regla más frecuente y común para el cálculo del
tiempo equivalente o tiempo de vencimiento promedio
de dos o más deudas está regida por la siguiente
fórmula:

Es decir; es igual a la suma de los diferentes montos
multiplicados por sus tiempos de vencimiento, divididas



por la suma de los respectivos montos, por cuanto lo que
se calcula es un tiempo de vencimiento promedio. A
continuación se presenta un ejemplo cuando se tiene una
tasa efectiva.

EJEMPLO 5.33

Encontrar el tiempo equivalente, o tiempo de
vencimiento promedio, de las siguientes obligaciones: $
1.000.000 a 1 año de plazo; $ 2.000.000 a 2 años y 6
meses de plazo; $ 3.000.000 a 2 años y 9 meses de plazo.

TE. == 2,375 años
1 año ---------------- 360 Días
0,0375 años ------ X
X= 135 días
T.E.= 2 años, 4 meses y 15 días



En el ejemplo siguiente la tasa de interés es anual
capitalizable semestralmente.

EJEMPLO 5.34

Una empresa tiene las siguientes deudas: $ 1.000.000 a 3
años de plazo, con una tasa de 18% capitalizable
semestralmente; $ 2.000.000 a 4 años y 6 meses con una
tasa de 12% efectiva; $ 3.000.000 a 6 años y 7 meses con
una tasa de 15% capitalizable trimestralmente, desde su
suscripción; la empresa desea remplazar sus deudas por
un solo pago, con un tiempo equivalente para los tres
vencimientos. Calcular la fecha de pago y el valor del
pago único, considerando una tasa de interés de 280/0
anual capitalizable semestralmente.

M=2.000.000(1+0,12)4,5= $3.330.512,73



Cálculo de tiempos con referencia a la fecha focal:

11,16 - 6 = 5,16
1 1,1 6 - 9 = 2,16
11, 1 6 - 13,16 = -2



Entonces, se puede plantear la ecuación de valor:

X = 1.677.100,11 (1+0,14)5.16+3.330.512,73(1+0,14)2.16+
7. 909.360,36(1,14)-2

X = 3.297.524,42 + 4.420.033,66 + 6.085.995,97

X = $13.803.554,05



Ejercicios De Aplicación
1. Calcular el número de periodos de capitalización y la
tasa de interés, por periodo de capitalización, de un
capital colocado a una tasa de 24% anual
capitalizable semestralmente durante 6 años y 9
meses.

m = 360/180 = 2

i = 0,24/2 = 0, 12

2. Calcular el montó, a interés compuesto, de un capital
de $ 5.000.000 colocado a una tasa de interés de 18%
anual capitalizable trimestralmente durante 5 años y
6 meses.

m= 360/90 = 4

i = 0,18/4 = 0,045



M = C( 1 + i)n (Fórmula 5.1)

M = 5.000.000(1 + 0,045)22 = $ 13.168.260,04

3. En el problema anterior, calcular el interés compuesto.

I = M - e (fórmula 5.2)

I = 13.168.260,04 - 5.000.000 = $ 8.168.260,04

4. Al nacer su hijo una madre abre una cuenta de ahorros
con un capital de $ 900.000. ¿Cuánto tendrá en la
cuenta cuando su hijo cumpla 18 años, si se considera
una tasa de interés de 15% anual capitalizable
trimestralmente?

i = 0,15/4 = 0,0375

n = (18) (12)13 = 72

M= 900.000(1 + 0,0375)72 = $ 12.746.357,56



5. ¿A qué tasa efectiva es equivalente una tasa de 36%
anual capitalizable trimestralmente?

m = 360/90 = 4
1 + i = (1 + 0,36/4)4 (Formula 5.4)
1 + i = 1,411582
i = 0,411582
i = 41, 1582% efectiva

6. ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente es
equivalente una tasa efectiva de 41,1582%?

1 + 0,411582 = (1 + j/4)4

Elevamos ambos miembros de la ecuación a la
potencia 1/4

(1,411582)1/4 = 1 + j/4
1,09 = 1 + j14
(0,09)4 =i
0,36 =j
j = 36% anual capitalizable trimestralmente.



7. Un inversionista tiene un capital de $ 50.000.000 Y
desea invertirlo a 15 meses de plazo; al consultar en el
mercado financiero le ofrecen las siguientes opciones:
una tasa efectiva de 42%; una tasa de 39% anual
capitalizable semestralmente; una tasa de 38% anual
capitalizable trimestralmente; una tasa de 36% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál de las cuatro
opciones le produce mayor interés? Demostrar
analítica y prácticamente.

Analíticamente:
Primera opción:
i=42% i=0,42

Segunda opción:
1 + i= (1 + 0,39/2)2 Fórmula 5.4)
1 + i = 1,428025
i= 42,8025%

Tercera opción:
1 + i + (1 + 0,38/4)4



1 + i= 1,437661
i= 43,7661%

Cuarta opción:
1 + i= (1 + 0,36/12)12
1 + i= 1,425761
i =42,5761%

En este caso, le conviene analíticamente la tercera
opción i = 43,7661 %

Prácticamente:

Primera opción:
Tasa efectiva de 42%
M = 50.000.000 (1 + 0,42)1.25
M == $ 77.505.127,46
I = 77.505.127,46 - 50.000.000 = $ 27.505.127,46

Segunda opción:
Tasa de 39% anual capitalizable semestralmente:



M = 50.000.000 (1 + 0,39/2) 2.5
M = $ 78.053.030,11
I = 78.053.030,11 - 50.000.00n = $ 28.053.030,11

Tercera opción
Tasa de 38% anual capitalizable trimestralmente:
M = 50.000.000(1 + 0,38/4)5
M= $ 78.711.937,05
I = 78.711.937,05 - 50.000.000 == $
28.711.937,05

Cuarta opción:
Tasa de 36% anual capitalizable mensualmente:
M = 50.000.000 (1 + 0,36/12)15
M = $ 77.898.370,83
i = 77.898.370,83 - 50.000.000 = $ 27.898.370,83

En este caso, le conviene la tercera opción
M = $78.711.937,05;
1=$ 28.711.937,05



8. Un documento de $ 10.000.000, suscrito el día de hoy
a 5 años y 6 meses plazo, es negociado luego de
transcurridos 2 años y 3 meses de la fecha de
suscripción, con una tasa de interés de 18% anual
capitalizable trimestralmente, calcular Su valor
actual a la fecha de negociación.

Se expresa gráficamente el problema:

C = 10.000.000(1 + O, 18/4)-13
C = 5.642.716,41

Respuesta
C = 5.642.716,41, es decir; éste es el valor actual o precio
del documento a esa fecha.



9. Un documento de $ 4.000.000, suscrito el día de hoya
6 años y 9 meses de plazo, con una tasa de interés de
15% anual capitalizable semestralmente desde su
suscripción, es negociado luego de transcurridos dos
años y 6 meses de la fecha de suscripción con las
siguientes alternativas: una tasa de interés de 18%
efectiva; una tasa de 15% anual, capitalizable
semestralmente; una tasa de 12% anual capitalizable
trimestralmente. Calcular el valor actual o precio a la
fecha de negociación para cada alternativa e indicar
si es con premio, a la par o con castigo.

Se expresa el problema gráficamente:

Negociación con una tasa de 18% efectiva:

M = 4.000.000 (1 + 0,1512)13.5
M=$ 10.618.771,09



C= 10.618.771,09 (1 +0,18)-4.25

C = $ 5.255.036,39 (negociación con castigo)

Negociación con una tasa de 15% anual capitalizable
semestralmente:

C= 10.618.771,09 (1 + O, 15/2)-8.5

C = $ 5.742.517,31 (negociación a la par)

Comprobemos:
M = 4.000.000(1 = 0,1512)5= $ 5.742.517,31

Negociación con una tasa de 12% anual capitalizable
trimestralmente:



C = 10.618.771 ,09 (1 + 0,12/4) -17

C = $ 6.424.531,14 (negociación con premio)

10. Una empresa tiene las siguientes deudas u
obligaciones: $ 3,0)0.000 a 2 años de plazo; $
5.000.000 a 4 años de plazo; $ 7.000.000 a 8 años de
plazo; $ 9.000.000 a 10 años de plazo. La empresa
acuerda con sus acreedores remplazar sus deudas
por un solo pago a los 5 años, con una tasa de interés
de 14% anual capitalizable semestralmente; calcular
el valor del pago único.

Se expresa el problema gráficamente



X= 3.000.000(1 + 0.14/2)6 + 5.000.000(1 + 0(07)2
+ 7.000.000(1 + 0,07)-6 + 9.000.000(1 + 0,07)-10
X= 19.466.230,25

Respuesta
Una solo pago de $ 19.466.230,25



Índice
PORTADA

DEDICATORIA

AGRADECIMIENTO

INTRODUCCIÓN

OBJETIVO GENERAL

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

INTERÉS COMPUESTO…………………………………………. 6

Comparación Interés Simple e Interés Compuesto…… 8

Variables del Interés Compuesto…………………………….. 12

Fórmula del Monto a Interés Compuesto…………………. 15

Monto compuesto con Periodos de Capitalización
Fraccionarios………………………………………………………… 23

Tazas Equivalentes………………………………………………… 28

Formula de Equivalencia Tasa Nominal – Tasa Efectiva 29

Alternativas de Inversión. Comparando Tasas de Interés 36

Tasa de Interés Anticipada……………………………………… 39

Calculo de la Tasa de Interés…………………………………… 42



Calculo del Tiempo en Interés Compuesto………………. 48

El valor Actual a Interés Compuesto, o Calculo del

Capital………………………………………………………………….. 56

Precio de un Documento………………………………………… 61

Valor Actual con Tiempo Fraccionario…………………….. 63

Descuento Compuesto……………………………………………. 70

Ecuaciones de Valor en Interés Compuesto……………… 73

Comparación de Ofertas…………………………………………. 78

Reemplazo de las obligaciones por dos Pagos Iguales.. 80

Tiempo Equivalente……………………………………………….. 86

ANEXOS………………………………………………………………… 91

EJERCICIOS DE APLICACIÓN…………………………………. 92

ÍNDICE………………………………………………………………….. 103


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