1. Escuela de Turismo y Gastronomía Derivadas

2. RECORDANDO…

3. Funciones continuas La función 𝑓 es continua en 𝑥=𝑐 si se satisfacen todas las siguientes condiciones: 𝑓(𝑐) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim𝑥->𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim𝑥->𝑐𝑓𝑥=𝑓(𝑐)

5. Toda función racional es continua en todos los valores de x, excepto en aquellos cuyo denominador es cero (0).

7. Pasos para resolver un límite al infinito Divida la expresión entre la mayor potencia de x Use las propiedades de los límites para completar la evalución.

8. Ejercicios Encuentre cada uno de los siguientes límites: lim𝑥->+∞2𝑥−1𝑥+2 lim𝑥->−∞𝑥2+31−𝑥 lim𝑥->+∞𝑥2−42𝑥2−7

9. LA DERIVADA

10. Notación Si 𝑓 es una función definida por 𝑦=𝑓(𝑥), entonces la derivada de 𝑓(𝑥) para cualquier valor de x, denotada por 𝑓’(𝑥), es: 𝑓′𝑥=limh->0𝑓𝑥+h−𝑓(𝑥)h Si este límite existe 𝑓’(𝑥) existe, decimos que 𝑓 es diferenciable

11. Notas… La derivada es una función. La palabra derivada significa: función derivada La derivada mide la tasa de cambio promedio de y, pero dado que el concepto implica un cambio muy pequeño (infinitesimal), la derivada tiene la naturaleza de una tasa instantánea de cambio

12. Pasos para encontrar la derivada de una función Suponga que h representa el cambio en 𝑥 -> (𝑥+∆𝑥) Calcule ∆𝑦 Calcule la tasa de cambio promedio Encuentre el límite de la tasa de cambio promedio

13. Cambios marginales

14. Ingreso marginal Corresponde a la tasa de cambio promedio de la función de ingreso total del producto. 𝐼𝑥=𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜∗𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐼𝑚𝑔= ∆𝐼∆𝑥

15. Costo marginal Corresponde a la tasa de cambio promedio de la función de costo total del producto. 𝑐𝑥=𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜+𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐶𝑚𝑔= ∆𝑐∆𝑥

16. Ejercicios 𝑓𝑥=4𝑥2 Encontrar 𝑓’(𝑥) Encontrar la tasa de cambio instantánea para 𝑥=−1 𝑓𝑥=2𝑥2−𝑥 Encontrar 𝑓’(𝑥) Encontrar la tasa de cambio instantánea para 𝑥=2

17. Ejercicios 𝑓𝑥=2𝑥2−3𝑥−5 Encontrar 𝑓’(𝑥) Encontrar la tasa de cambio instantánea para 𝑥=0 𝑓𝑥=𝑥 Encontrar 𝑓’(𝑥) Encontrar la tasa de cambio instantánea para 𝑥=4

18. Aplicados La función de ingreso de un producto corresponde a: 𝐼𝑥=300𝑥−𝑥2 Encuentre la función de ingreso marginal Cuál es el ingreso marginal si se venden 50 unidades? Cuál es el ingreso marginal si se venden 150 unidades? Cuál es ingreso marginal si se venden 200 unidades? Qué sucede con el ingreso marginal cuando se venden más de 150 unidades?

19. El costo total , en dólares, de fabricar 𝑥 unidades es 𝑐𝑥=3𝑥2+𝑞+500 Encontrar la función de costo marginal La empresa produce actualmente 40 unidades y planea producir 41, cuál será el costo de producirlas?

20. Una empresa puede vender sus productos a $60 (miles de pesos), incurriendo en unos costos representados en la función 𝑐𝑥=200+10𝑥+0,1𝑥2 Encuentre el ingreso marginal Encuentre el costo marginal Encuentre el beneficio marginal Cuál será el beneficio de la empresa si vende 10 unidades?

21. REGLAS DE DERIVACIÓN

22. Regla de la potencia Si 𝑓(𝑥) =𝑥𝑛 , donde 𝑛 es un número real, entonces: 𝑓′(𝑥)=𝑛𝑥𝑛−1 Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥)=𝑥6 𝑓′(𝑥)=6𝑥5

23. Regla de la función constante Si 𝑓(𝑥) =𝑐 , donde 𝑐 es una constante, entonces: 𝑓′(𝑥)=0 Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥)=4 𝑓′(𝑥)=0

24. Regla del coeficiente Si 𝑓(𝑥) =𝑐∗𝑢(𝑥) , donde c es una constante y 𝑢(𝑥) es una función diferenciable de 𝑥, entonces: 𝑓′𝑥=𝑐∗𝑢′(𝑥) Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥)=5𝑥6 𝑓′(𝑥)=30𝑥5

25. Regla de la suma Si 𝑓(𝑥) =𝑢𝑥+𝑣(𝑥) , donde 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥)son dos funciones diferenciables de 𝑥, entonces: 𝑓′𝑥=𝑣′𝑥+𝑢′(𝑥) Ejemplo: Sea 𝑓𝑥=𝑥2+3𝑥 𝑓′𝑥=2𝑥 +3

26. Regla de la diferencia Si 𝑓(𝑥) =𝑢𝑥−𝑣(𝑥) , donde 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥)son dos funciones diferenciables de 𝑥, entonces: 𝑓′𝑥=𝑣′𝑥−𝑢′(𝑥) Ejemplo: Sea 𝑓𝑥=2𝑥3−5𝑥 𝑓′𝑥=6𝑥2 −5

27. Regla del producto Si 𝑓(𝑥) =𝑢𝑥∗𝑣(𝑥) , donde 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥)son dos funciones diferenciables de 𝑥, entonces: 𝑓′𝑥=𝑢𝑥∗𝑣′𝑥+𝑢′𝑥∗𝑣(𝑥) Ejemplo: Sea 𝑓𝑥=(2𝑥3−5𝑥)∗6𝑥2  𝑓′𝑥=(2𝑥3−5𝑥)∗12𝑥+(6𝑥2 −5)* 6𝑥2  24𝑥4−60𝑥2+36𝑥4−30𝑥2 60𝑥4−90𝑥2

28. Regla del cociente Si 𝑓(𝑥) =𝑢𝑥/𝑣(𝑥) , donde 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) son dos funciones diferenciables de 𝑥 y 𝑣𝑥≠0, entonces: 𝑓′𝑥=𝑣𝑥∗𝑢′𝑥−𝑢 𝑥∗𝑣′(𝑥) 𝑣(𝑥)2 Ejemplo: Sea 𝑓𝑥=1𝑥 𝑓′𝑥= 1∗1−𝑥∗(0)(𝑥)2=1𝑥2

30. 𝑥𝑥2−1

32. 6𝑥2−4𝑥 52𝑥−4

33. (12𝑥−24)𝑥2−4𝑥 5

34. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

35. SEGUNDA DERIVADA Puesto que la derivada de una función es, por si misma, una función, podemos calcular una derivada de la derivada. La derivada de una primera derivada recibe el nombre de segunda derivada. Notación: 𝑦′′=𝑑2𝑦𝑑𝑥2=𝑓′′(𝑥)

36. Ejemplo: Sea 𝑓𝑥=3𝑥3−4𝑥2+5 𝑓′𝑥=9𝑥2−8𝑥 𝑓′′𝑥=18𝑥 −8

37. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR También es posible encontrar derivadas de tercer, cuarto, quinto orden y superior, las cuales continúan de manera indefinida. Notación: 𝑦′′′=𝑑3𝑦𝑑𝑥3=𝑓′′′(𝑥) ….