buen libro de la ¡ransformada

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición: Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t ≥ 0; a la expresión
ஶ
ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ = න ݁ ି௦௧ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ܨ = ݐ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
଴
Se le llama Transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe.
Notación: ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ significa que el operador ℒ se le aplica a la función f(t) para generar una nueva
función, llamada F(s).
Ejemplos :
Hallar : ܽሻ ℒሼܿሽ donde c es un real. ‫0 > ݏ ܽݎܽ݌‬
௖
௦
Solución:
ܾሻ ℒሼ‫ݐ‬ሽ.
ଵ
௦మ
Solución:
ܿሻ ℒሼ‫ ݐ‬ଶ ሽ.
ଶ
௦య
Solución:
dividida entre la variable s; la transformada de t es మ , la transformada de ‫ ݐ‬ଶ es య . Entonces
ଵ ଶ
Observamos, después de estos ejemplos, que la transformada de una constante es la constante
௦ ௦
podemos deducir, por la definición, que:
݊!
ℒሼ‫ ݐ‬௡ ሽ = ‫… ,3,2,1 = ݊ ܽݎܽ݌‬ ݀‫.1 = !0 ݁݀݊݋‬
‫ ݏ‬௡ାଵ
Ejemplos:
Hallar: ܽሻ ℒሼ݁ ௔௧ ሽ. ‫ܽ > ݏ ܽݎܽ݌‬
ଵ
௦ି௔
Solución:
bሻ ℒሼcos ‫ݐݓ‬ሽ. ‫ܽ > ݏ ܽݎܽ݌‬
௦
௦మ ା ௪ మ
Solución:
0, 0 ≤ ‫1 < ݐ‬
cሻ ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ ‫݂ ݅ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ቄ . ݁
ଷ ି௦
3, ‫1 ≥ ݐ‬ ௦
Solución:
dሻ ℒሼsenh ܽ‫ݐ‬ሽ ܲ‫݂݅ܿ݅݊݅݁݀ ݎ݋‬ó݊ senh ܽ‫= ݐ‬ ‫|ܽ| > ݏ ܽݎܽ݌‬
௘ ೌ೟ ି௘ షೌ೟ ௔
ଶ ௦మ ି௔ మ
Solución:

2. En este ejemplo, hemos aplicado una importante propiedad de la transformada: su linealidad.
TEOREMA: La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f(t) y g(t) cuya
transformada de Laplace exista y para cualesquiera constantes a y b, tenemos:
ℒሼ݂ܽሺ‫ݐ‬ሻ + ܾ݃ሺ‫ݐ‬ሻሽ = ܽℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ + ܾℒሼ݃ሺ‫ݐ‬ሻሽ.
Ejemplo:
Hallar : ℒሼ݁ ିଷ௧ + ‫ ݐ‬ଷ − 2ሽ.
ି௦ర ି଺௦య ା଺௦ାଵ଼
௦ర ሺ௦ାଷሻ
Solución:
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
seccionalmente continua en t ≥ 0, entonces ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ existe para s > α.
Teorema: Existencia de la transformada. Sea f(t) de orden exponencial α en t ≥ 0. Sea f(t)
Ejemplo:
Hallar : a) ℒሼ‫ݐݓ ݊݁ݏ‬ሽ.
௪
௦మ ା௪ మ
Solución:
b) ℒሼܿ‫ݐݓ ݏ݋‬ሽ.
௦
௦మ ା௪ మ
Solución:
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS
Encuentre la transformada de Laplace en las siguientes funciones:
ܽሻ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫. ଺ ݐ‬
଻ଶ଴
௦ళ
Solución:
ܾሻ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ݁ ఱ .
೟
ହ
ହ௦ିଵ
Solución:
cሻ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 4݁ ିଷ௧
ସ
௦ାଷ
Solución:
dሻ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 6 − ‫ ݐ‬ଶ
଺௦మ ିଶ
௦య
Solución:

3. eሻ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ ݐ‬ସ − 3‫ ݐ‬ଶ + 9
ଶସି଺௦మ ାଽ௦ర
௦ఱ
Solución:
TRASFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS
−1, 0 < ‫2 < ݐ‬
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ൝ 0, 2 ≤ ‫4 < ݐ‬ ሺ݁ ିଶ௦ + ݁ ିସ௦ − 1ሻ
ଵ
1, ‫4 ≥ ݐ‬
௦
Solución::
1, 0 < ‫3 < ݐ‬
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ቄ ሺ1 + 2݁ ିଷ௦ ሻ + ௦మ ݁ ିଷ௦
ଵ ଵ
‫3 ≥ ݐ ,ݐ‬ ௦
Solución:c
3‫1 < ݐ < 0 ,ݐ‬
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ቄ Solución: 3 ቀ− ௦ ݁ ି௦ − ௦మ ݁ ି௦ + ௦మ ሻ
ଵ ଵ ଵ
0, ‫1 ≥ ݐ‬
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Definición: La función escalón unitario ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ está dada por:
0, ‫0<ݐ‬
‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ∶= ቄ
1, 0<‫ݐ‬

4. Al recorrer el argumento de ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ podemos mover el salto a otra posición: es decir,
0, ‫0< ܽ−ݐ‬ 0, ‫ܽ<ݐ‬
‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ = ቄ = ቄ
1, 0<‫ܽ−ݐ‬ 1, ܽ<‫ݐ‬
tiene su salto en t = a. Al multiplicar por una constante M, la altura del salto también se puede
modificar
0, ‫ܽ<ݐ‬
‫ݑܯ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ = ቄ
‫,ܯ‬ ܽ<‫ݐ‬
Cualquier función continua por partes se puede expresar en términos de funciones escalón
unitario.
Ejemplo: Escribir la función.
3, ‫2<ݐ‬
1, 2<‫5<ݐ‬
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ൞ ‫,ݐ‬ 5<‫8<ݐ‬
‫ ݐ‬ଶ /10, 8<‫ݐ‬
en términos de funciones escalón unitario.

5. ‫ݐ‬ଶ
݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 3 − 2‫ݑ‬ሺ‫2 − ݐ‬ሻ + ሺ‫1 − ݐ‬ሻ‫ݑ‬ሺ‫5 − ݐ‬ሻ + ቆ − ‫ݐ‬ቇ ‫ݑ‬ሺ‫8 − ݐ‬ሻ
10
La transformada de Laplace de ‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ con a ≥ 0 es:
݁ ି௔௦
ℒሼ‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻሽ =
‫ݏ‬
Ejercicios:
En los siguientes problemas, bosqueje la gráfica de la función dada y determine su transformada
de Laplace.
a) ሺ‫1 − ݐ‬ሻଶ ‫ݑ‬ሺ‫1 − ݐ‬ሻ Solución: 2
௘ షೞ
௦య
b) ‫ ݐ‬ଶ ‫ݑ‬ሺ‫2 − ݐ‬ሻ Solución: ݁ ିଶ௦ ቀ ቁ
ସ௦మ ାସ௦ାଶ
௦య
En los siguientes problemas, exprese la función dada, mediante funciones escalón unitario y
calcule su transformada de Laplace.
0, 0<‫1<ݐ‬
2, 1<‫2<ݐ‬
ܽሻ ݃ሺ‫ݐ‬ሻ = ൞
ଶ௘ షೞ ି௘ షమೞ ାଶ௘ షయೞ
1, 2<‫3<ݐ‬ ௦
3, 3<‫ݐ‬
Solución:

6. b)
ሺ௘ షೞ ି௘ షమೞ ሻሺ௦ାଵሻ
௦మ
Solución:
PROPIEDADES DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE
Linealidad de la transformada
Teorema 1. Sean f, f1, f2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s>α y sea c una
constante. Entonces, para s>α,
ℒሼfଵ + fଶ ሽ = ℒሼfଵ ሽ + ℒሼfଶ ሽ
ℒሼcfሽ = ܿℒሼfሽ
Translación en s
Teorema 2. Si la transformada de Laplace ℒሼfሽሺ‫ݏ‬ሻ = ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ existe para s>α, entonces
ℒሼeୟ୲ fሺtሻሽሺ‫ݏ‬ሻ = ‫ܨ‬ሺ‫ܽ − ݏ‬ሻ
para s>α+a.
Translación en t
Teorema 3. Suponga que ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ℒሼfሽሺ‫ݏ‬ሻ existe para s > α ≥ 0. Si a es una constante positiva,
entonces
ℒሼ݂ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻሽሺ‫ݏ‬ሻ = ݁ ି௔௦ ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ

7. función expresada como ݃ሺ‫ݐ‬ሻ‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ en vez de ݂ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ. Para calcular
En la práctica es más común encontrarse con el problema de calcular la transformada de una
ℒሼ݃ሺ‫ݐ‬ሻ‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻሽ, basta identificar ݃ሺ‫ݐ‬ሻ con ݂ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻ de modo que ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ݃ሺ‫ܽ + ݐ‬ሻ. Así entonces
tenemos ℒሼ݃ሺ‫ݐ‬ሻ‫ݑ‬ሺ‫ܽ − ݐ‬ሻሽሺ‫ݏ‬ሻ = ݁ ି௔௦ ℒሼ݃ሺ‫ܽ + ݐ‬ሻሽሺ‫ݏ‬ሻ.
TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR tn, Y DIVIDIDAS ENTRE t
Teorema. Sea ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ℒሼfሽሺ‫ݏ‬ሻ y suponga que ݂ሺ‫ݐ‬ሻ es continua por partes en ሾ0,∞ሻ y de orden
exponencial α. Entonces para s > α,
ℒሼ‫ ݐ‬௡ ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽሺ‫ݏ‬ሻ = ሺ−1ሻ௡ ሺ‫ݏ‬ሻ.
ௗ೙ி
ௗ௦೙
Ejemplo: Determinar
ܽሻ ℒሼ‫ݐܾ ݊݁ݏ ݐ‬ሽ
ଶ௕௦
Solución: ሺ௦మ ା௕మ ሻమ
ܾሻ ℒሼ‫ݐܾ ݏ݋ܿ ݐ‬ሽ
௦మ ି௕మ
Solución: ሺ௦మ ା௕మ ሻమ
ܿሻ ℒሼ‫ ݐ‬ଶ ܿ‫ݐܾ ݏ݋‬ሽ
ଶ௦య ି଺௦௕మ
ሺ௦మ ା௕మ ሻయ
Solución:
TRANSFORMADA DE DERIVADAS
Teorema. Sea ݂ሺ‫ݐ‬ሻ continua en ሾ0,∞ሻ y ݂´ሺ‫ݐ‬ሻ continua por partes en ሾ0,∞ሻ, ambas de orden
exponencial α. Entonces, para s > α,
ℒሼ݂´ሽሺ‫ݏ‬ሻ = ‫ݏ‬ℒሼ݂ሽሺ‫ݏ‬ሻ − ݂ሺ0ሻ.
Ejemplo:
a) Use el teorema anterior y el hecho de que ℒሼ‫ݐܾ ݊݁ݏ‬ሽሺ‫ݏ‬ሻ = ௦మ ା௕మ , para determinar ℒሼܿ‫ݐܾ ݏ݋‬ሽ.
௕

8. Teorema. Sea ݂ሺ‫ݐ‬ሻ, ݂´ሺ‫ݐ‬ሻ,…, ݂ ሺ௡ିଵሻ ሺ‫ݐ‬ሻ continuas en ሾ0,∞ሻ y sea ݂ ሺ௡ሻ ሺ‫ݐ‬ሻ continua por partes en
ሾ0,∞ሻ, con todas estas funciones de orden exponencial α. Entonces, para s > α,
ℒ൛݂ ሺ௡ሻ ൟሺ‫ݏ‬ሻ = ‫ ݏ‬௡ ℒሼ݂ሽሺ‫ݏ‬ሻ − ‫ ݏ‬௡ିଵ ݂ሺ0ሻ − ‫ ݏ‬௡ିଶ ݂´ሺ0ሻ−. . . −݂ ሺ௡ିଵሻ ሺ0ሻ.
TRANSFORMADA INVERSA
Definición: Si ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ = ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ, entonces ℒ ିଵ ሼ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻሽ = ݂ሺ‫ݐ‬ሻ se llama transformada inversa de ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ.
Ejemplo: Hallar ݂ሺ‫ݐ‬ሻ
ܽሻ ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ௦మ Solución: ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 3‫ݐ‬
ଷ
ܾሻ ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ௦ାଷ Solución: ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = 7݁ ିଷ௧
଻
ܿሻ ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ௦ర Solución: ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ଺ ‫ ݐ‬ଷ
ଵ ଵ
ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS
1.- FACTORES REPETIDOS
Si ܳሺ‫ݏ‬ሻ se puede factorizar como un producto de factores lineales distintos,
ܳሺ‫ݏ‬ሻ = ሺ‫ݎ − ݏ‬ଵ ሻሺ‫ݎ − ݏ‬ଶ ሻ … ሺ‫ݎ − ݏ‬௡ ሻ,
Donde los ‫ݎ‬௜ son números reales distintos entre sí, entonces el desarrollo en fracciones parciales
tiene la forma
ܲሺ‫ݏ‬ሻ ‫ܣ‬ଵ ‫ܣ‬ଶ ‫ܣ‬௡
= + + ⋯+ ,
ܳሺ‫ݏ‬ሻ ‫ݎ − ݏ‬ଵ ‫ݎ − ݏ‬ଶ ‫ݎ − ݏ‬௡
Donde las ‫ܣ‬௜ son números reales.
Ejemplo: Determinar ℒ ିଵ ሼ‫ܨ‬ሽ, donde ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ሺ௦ାଵሻሺ௦ାଶሻሺ௦ିଷሻ.
଻௦ିଵ
Solución: 2݁ ି௧ − 3݁ ିଶ௧ + ݁ ଷ௧ .

9. 2.- FACTORES LINEALES REPETIDOS
Sea ‫ ݎ − ݏ‬un factor de ܳሺ‫ݏ‬ሻ y supongamos que ሺ‫ݎ − ݏ‬ሻ௠ es la máxima potencia de ‫ ݎ − ݏ‬que
divide a ܳሺ‫ݏ‬ሻ. Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales de ொሺ௦ሻ correspondiente al
௉ሺ௦ሻ
término ሺ‫ݎ − ݏ‬ሻ௠ es
‫ܣ‬ଵ ‫ܣ‬ଶ ‫ܣ‬௠
+ + ⋯+ ,
‫ ݎ − ݏ‬ሺ‫ݎ − ݏ‬ሻଶ ሺ‫ݎ − ݏ‬ሻ௠
Donde los ‫ܣ‬௜ son números reales.
Ejemplo: Determinar ℒ ିଵ ቄሺ௦ିଵሻమ ሺ௦ାଷሻቅ.
௦మ ାଽ௦ାଶ
Solución: 2݁ ௧ + 3‫ ݁ݐ‬௧ − ݁ ିଷ௧ .
3.- FACTORES CUADRÁTICAS
Sea ሺ‫ߙ − ݏ‬ሻଶ + ߚ ଶ un factor cuadrático de ܳሺ‫ݏ‬ሻ que no se pueda reducir a factores lineales con
coeficientes reales. Supongamos que ݉ es la máxima potencia de ሺ‫ߙ − ݏ‬ሻଶ + ߚ ଶ que divide a
ܳሺ‫ݏ‬ሻ. Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales correspondiente a ሺ‫ߙ − ݏ‬ሻଶ + ߚ ଶ es
‫ܥ‬ଵ ‫ܦ + ݏ‬ଵ ‫ܥ‬ଶ ‫ܦ + ݏ‬ଶ ‫ܥ‬௠ ‫ܦ + ݏ‬௠
+ +⋯+
ሺ‫ߙ − ݏ‬ሻ ଶ + ߚଶ ሾሺ‫ߙ − ݏ‬ሻ ଶ + ߚ ଶ ]ଶ ሾሺ‫ߙ − ݏ‬ሻଶ + ߚ ଶ ]௠
TRANSFORMADA DE INTEGRALES
Teorema. Sea ݂ሺ‫ݐ‬ሻ una función seccionalmente continua en ‫ 0 ≥ ݐ‬y de orden exponencial α, y si
ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ = ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ, entonces:
ℒ ቄ‫݂ ׬‬ሺ߬ሻ݀߬ቅ = ௦ ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ = ௦ ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ.
௧ ଵ ଵ
଴
BREVE TABLA DE TRANSFORMACIONES DE LAPLACE

10. ݂ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ܨ‬ሺ‫ݏ‬ሻ = ℒሼ݂ሽሺ‫ݏ‬ሻ
1 1
, ‫0>ݏ‬
‫ݏ‬
݁ ௔௧ 1
, ‫ܽ>ݏ‬
‫ܽ−ݏ‬
‫ݐ‬௡, ݊ = 1,2, … ݊!
, ‫0>ݏ‬
‫ ݏ‬௡ାଵ
‫ݐܾ ݊݁ݏ‬ ܾ
, ‫0>ݏ‬
‫ݏ‬ ଶ +ܾ ଶ
ܿ‫ݐܾ ݏ݋‬ ‫ݏ‬
, ‫0>ݏ‬
‫ݏ‬ ଶ +ܾ ଶ
݁ ௔௧ ‫ ݐ‬௡ , ݊ = 1,2, … ݊!
, ‫ܽ>ݏ‬
ሺ‫ܽ − ݏ‬ሻ௡ାଵ
݁ ௔௧ ‫ݐܾ ݊݁ݏ‬ ܾ
, ‫ܽ>ݏ‬
ሺ‫ܽ − ݏ‬ሻଶ +ܾଶ
݁ ௔௧ ܿ‫ݐܾ ݏ݋‬ ‫ܽ−ݏ‬
, ‫ܽ>ݏ‬
ሺ‫ܽ − ݏ‬ሻଶ +ܾଶ