Este documento presenta dos ejemplos resueltos de ecuaciones simultáneas de segundo grado. En el primer ejemplo, se usan las ecuaciones para determinar el precio de lápices y gomas vendidos en una papelería. En el segundo ejemplo, se usan ecuaciones para determinar la cantidad de monedas de diferentes valores repartidas entre sobrinos. Ambos ejemplos siguen un método de seis pasos para resolver ecuaciones simultáneas.

1. Ecuaciones simultaneas de 2°
GALVAN CRUZ ALONSO
3°C
Matemáticas
Luis Miguel Villarreal Matías
Secundaria Técnica 118
2011-2012
Fecha de entrega: 22 de Noviembre

2. INDICE
Ejemplos con pasos__________________1-7
Conclusión__________________________8
Fuente______________________________

3. En la papelería de Chucho un señor le compró 3 gomas y 2 lápices, por
ellos pagó 9.50 pesos. Si la suma de lo que cuesta una goma y un
lápiz es 4 pesos. ¿Cuánto vale cada goma y cada lápiz?
Chucho, para resolver este problema, piensa así:
Necesito encontrar dos números que sumados me den 4 pesos, que es
lo que cuestan una goma y un lápiz.
a+b =4 ----- (1)
a = precio de cada goma
b = precio de cada lápiz
Como en esta ecuación se tienen dos incógnitas, "a" y "b", no puede
ser resuelta con una sola ecuación, por lo que se necesita otra
diferente que también incluya las dos incógnitas.
Chucho dice que si sabe que vendió 3 gomas (a) y 2 lápices (b) y que
por ellas le pagaron 9.50 pesos, puede plantear otra ecuación que
incluya las gomas y los lápices diferente a la anterior, esta sería:
3a+2b =9.50 ----- (2)
Estas dos ecuaciones son diferentes, pero ambas se refieren a las
mismas incógnitas, por lo que se llaman ecuaciones simultáneas.
Es la suma del costo de una goma
a+b =4 ----- (1)
y un lápiz.
Es lo que cobró Chucho por la
3a+2b =9.5 -- (2)
venta de tres gomas y dos lápices.
Chucho dice que para conocer el valor de las dos incógnitas es
necesario seguir los siguientes pasos.
Paso 1
Se selecciona la ecuación de menor tamaño o con menos complicación
para despejar a una de las dos incógnitas. De ella se despeja la
incógnita que sea más fácil de dejar sola.

4. En este caso, la ecuación más sencilla y sin complicaciones para
despejar es la (1).
a+b =4 ----- (1)
Paso 2
De la ecuación seleccionada, se despeja una de las dos incógnitas.
a+b =4
Para dejar sola a la "a", se resta "b" en los dos términos:
a + b - b = 4 - b
Como +b - b = 0, la ecuación queda así:
a = 4 - b
Paso 3
Ahora, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación simultánea.
Se debe sustituir a = 4 - b en:
3a + 2b = 9.50 ------------ (2)
Esto implica que en donde se encuentre "a" en la segunda ecuación se
debe poner "3 - b".
3 (4 - b) + 2b = 9.50
Paso 4
Se realizan las operaciones necesarias para simplificar al máximo las
ecuaciones.
3 (4 - b) + 2b = 9.50
12 - 3b + 2b = 9.50
12 - b = 9.50

5. Paso 5
La ecuación que resultó es una ecuación con una sola incógnita (b), por
lo que se puede obtener el valor de esa incógnita al despejarla.
12 - b = 9.50
Para despejar "b", se resta en
ambos términos doce:
12 - 12 - b = 9.50 - 12
Al realizar las operaciones se
tiene:
0 - b = - 2.50
Para obtener el valor positivo de "b", se pueden multiplicar ambos
términos por - 1 y la ecuación no se altera.
- b = - 2.50
Multiplicado por - 1 se tiene:
(- b) (- 1) = (- 2.50) (- 1)
b = 2.50
Con lo anterior se ha logrado conocer el valor de "b", o sea, lo que
cuesta un lápiz.
Paso 6
Al conocer el valor de una de las dos incógnitas se podrá sustituir su
valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales y con ello obtener
una ecuación con una sola incógnita, observe:
Si b = 2.5, sustituya el valor de "b" en la ecuación (a + b = 4) y se
tiene lo siguiente:
a + (b) = 4
a + (2.5) = 4-------------- (nueva ecuación)

6. Para despejar a la incógnita "a", se resta 2.5 en los dos términos:
a + 2.5 - 2.5 = 4 - 2.5
Se realizan las operaciones y queda que a = 1.50
Con lo que se sabe que las gomas valen un peso con cincuenta
centavos.
Con lo anterior Chucho sabe que cada lápiz vale dos cincuenta y cada
goma uno cincuenta.
Para comprobar que esto es verdad, sustituye los valores obtenidos
(a = 1.50, b = 2.50) en las dos ecuaciones planteadas.
Ecuaciones originales:
a + b = 4 ---------- (1)
3a + 2b = 9.50 ------- (2)
Sustituyendo a = 1 y b = 2 en la
ecuación (1) se tiene que:
a + b = 4
(1.50) + (2.50)=4
4 = 4
Sustituyendo a = 1.5 y b = 2.5 en
la ecuación (2) se tiene que:
3a + 2b = 9.50
3(1.50)+2(2.50)=9.50
4.50 + 5 = 9.50
9.50 = 9.50
Como la igualdad se cumple en las dos ecuaciones, los resultados
obtenidos están bien calculados.
Con la solución de este tipo de ecuaciones, Chucho conoció el valor de
dos incógnitas (el costo de un lápiz y el de una goma) por medio de dos
ecuaciones.
Si Chucho no hubiera conocido cómo se resuelven las ecuaciones
simultáneas, habría tardado más tiempo en resolver su problema,

7. porque habría tenido que descubrir los números por tanteos, o sea,
adivinando qué números sumados dan 4 y luego esos mismos números
deben ser uno multiplicado por 3 y otro por 2. Los productos
obtenidos se deben sumar y dar 9.50.
Esto es más complicado que utilizar las ecuaciones simultáneas, como
lo hizo Chucho.
Ejemplo2
La tía María repartió entre sus tres sobrinos 9 monedas que
sumadas daban 60 pesos. Ella recuerda que estas monedas eran
de 5 pesos y de 10 pesos, pero no sabe cuántas tenía de 5 pesos
y cuántas de 10 pesos. ¿Podría usted ayudar a la tía María a
saber cuántas tenía de cada una?
Para resolver este problema, la tía María plantea una ecuación
como sigue:
9 monedas, de las que "x" son de 10 pesos y "y" de 5 pesos, esto
se puede plantear así:
x + y = 9 monedas
Es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se requiere otra
ecuación diferente que también relacione a las dos incógnitas.
Por ello plantea lo siguiente:
"x" monedas de 10 pesos y "y" monedas de 5 pesos si se suman
dan 60 pesos, por lo que se puede plantear la siguiente
ecuación:

8. Ahora la tía María ya tiene dos ecuaciones con dos incógnitas,
por lo que podrá resolverlas de la siguiente manera:
x + y = 9 ---------------- (1)
10x + 5y = 60 ---------- (2)
Paso 1
Despeja de una de las dos ecuaciones a una de las incógnitas (se
recomienda que sea la más sencilla).
x + y = 9
Para dejar sola la "x", se resta "y" a los dos términos:
x + y - y = 9 - y
x = 9 - y
Paso 2
Sustituye el valor de la "x" por (9 - y) en la ecuación (2).
10x + 5y = 60 --------- (2)
10 (9 - y) + 5y = 60
Se resuelven todas las operaciones para simplificar la ecuación.
90 - 10y + 5y = 60
90 - 5y = 60
Paso 3
Se despeja a la "y" y se obtiene su valor.
Se resta 90 en los dos

9. términos:
90 - 90 - 5y = 60 - 90
- 5y = - 30
Se dividen los dos términos
entre -5 para despejar la "y".
y=
y = 6
Por lo que la tía María ahora sabe que tenía 6 monedas "y", o
sea, de 5 pesos.
Paso 4
Sustituye el valor de "y" (el que obtuvo) en cualquiera de las
dos ecuaciones originales. Por ejemplo:
x + y = 9
x + 6 = 9
Despeja la incógnita que falta conocer. Para ello resta 6 en los
dos términos:
x + 6 - 6 = 9 - 6
x = 3
Con lo anterior, la tía María ya sabe que contaba con 3 monedas
"x", o sea, de 10 pesos.
Para comprobar que sus ecuaciones y cuentas fueron correctas,
sustituye los valores obtenidos (x = 3, y = 6) en las ecuaciones
originales.

10. x + y = 9 ----------- (1)
10x + 5y = 60 ------ (2)
Sustituyendo en la ecuación (1):
x + y = 9
3 + 6 = 9
9 = 9
Sustituyendo en la ecuación
(2):
10x + 5y = 60
10 (3) + 5 (6)= 60
30 + 30 = 60
60 = 60
Como se cumple la igualdad en ambas ecuaciones, los valores son
correctos.

11. CONCLUCION
Las ecuaciones simultáneas de 2°
no son complicadas si se les tiene
practica constante y si se sigue
paso a paso como en los dichos
ejemplos.
Podemos ver que aplican en
diferentes situaciones y que se
tornan en diferente forma. Hay
que ser pacientes y avilés igual
que en otras situaciones de este
tipo y saber cómo manejarlas.

12. FUENTE
http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_
de_segundo_grado
http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/conte
nido/libro/nycu6/nycu6t1.ht
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=201
01016124738AAA2w72