Examen 1 analisis numerico rezagado

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
FACULTAD DE INGENIERÍA
I EVALUACION DE ANALISIS NUMERICO (20 PUNTOS)
Apellidos y Nombres:_Elim Macarena Gonzalez Cédula de Identidad:_21256188
1- Halla los errores absolutos y los errores relativos de cada una de las cantidades
presentadas respectos a sus cantidades aproximadas.
Para la realización de este ejercicio puedes completar la tabla que aparece abajo.
Valor exacto Valor aproximado Error absoluto Error relativo
1 1,1 Ea = [1 − 1.1] Ea =
[−0.1] Ea = 0.1
Er = 0.1/ 1 ; Er = 0.1
2 2,1 Ea = [2 − 2.1] Ea =
[−0.1] Ea = 0.1
Er = 0.1 /2 ; Er =
0.05
3 3,2 Ea = [3 − 3.2] Ea =
[−0.2] Ea = 0.2
Er = 0.2 /3 ; Er =
0.066
4 4,1 Ea = [4 − 4.1] Ea =
[−0.1] Ea = 0.1
Er = 0.1 /4 ; Er =
0.025
5 5,2 Ea = [5 − 5.2] Ea =
[−0.2] Ea = 0.2
Er = 0.2 /5 ; Er =
0.04
6 6,3 Ea = [6 − 6.3] Ea =
[−0.3] Ea = 0.3
Er = 0.3 /6 ; Er =
0.05
7 7,2 a = [7 − 7.2] Ea =
[−0.2] Ea = 0.2
Er = 0.2 /7 ; Er =
0.028
8 8,1 Ea = [8 − 8.1] Ea =
[−0.1] Ea = 0.1
Er = 0.1 /8 ; Er =
0.012
9 9,2 Ea = [9 − 9.2] Ea =
[−02] Ea = 0.2
Er = 0.2 /9 ; Er =
0.022
10 10,3 Ea = [10 − 10.3] Ea =
[−0.3] Ea = 0.3
Er = 0.3 /10 ; Er =
0.03

2. Valor: 6 puntos
2. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de
comenzando con y hasta que .
Despejaremos X de la función para obtener la función g(x)
f(x) = sin(𝑥) + x – 1
Igualamos a cero la función tal que.
0 = sin(𝑥) + x – 1
Despejando X tenemos que.
x= 1 - sin(𝑥)
g(x) = 1 - sin(𝑥)
Luego determinamos si g(x) cumple con la condición [𝑔´(𝑥) < 1]; para determinar si el
método
converge a la raíz.
Calculamos g´(x)
g´(x) = 0 - cos(𝑥)
g´(x) = - cos(𝑥)
i x ὶ g (x ὶ) [𝐸𝑎] = [ (x ὶ + 1 −
x ὶ /x ὶ + 1 )x 100%]
0 0.52 0.5031 3.3550 %
1 0.5031 0.5178 2.8423 %
2 0.5178 0.5049 2.5430 %
3 0.5049 0.5161 2.1695 %
4 0.5161 0.5064 1.9293 %
5 0.5064 0.5149 1.6547 %
6 0.5149 0.5075 1.4647 %

3. 7 0.5075 0.5139 1.2613 %
8 0.5139 0.5083 1.1126 %
9 0.5083 0.5132 0.9610 %
X9 = 0.5132 con un error de aproximación de 0.9610%
3. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de ,
comenzando con y hasta que .
La derivada de la función es f´(x) = - sin(𝑥) -1 = - [sin(𝑥)+ 1]
Sustituimos f´(x) en la ecuación newton rapson tal que.
x ὶ + 1 = x ὶ - (𝑓(𝑥) / 𝑓´(𝑥)) ; f´(x) ≠ 0
Sustituyendo valores tenemos que.
x ὶ + 1 = x ὶ - (( cos(𝑥)− 𝑥) / (−[sin(𝑥)+ 1] ))
x ὶ + 1 = x ὶ + (( cos(𝑥)− 𝑥) / ([sin(𝑥)+ 1] ))
Ahora comenzaremos a iterar desde 𝑥0= 1
𝑥1 = 1 + (( cos(𝑥)− 𝑥) / ([sin(𝑥)+ 1] ))
𝑥1 = 1 +( ( 0.5403 −1) / (0.8414 +1))
𝑥1 = 1 +( − 0.4597 / 1.8414 )
𝑥1 = 1 – 0.2496
𝑥1 = 0.7503
Ahora calcularemos el error aproximado
[𝐸𝑎] = [( x ὶ + 1 − x ὶ / x ὶ + 1) x 100%]

4. [𝐸𝑎] = [ (0.7503 – 1 / 0.7503) x 100%]
[𝐸𝑎] = [ (−0.2496 / 0.7503 ) x 100%]
[𝐸𝑎] = [− 0.3326 x 100%]
[𝐸𝑎] = 33.2686 % < 1%
Como no se cumple la condición que [𝐸𝑎] < 1 % ; debemos continuar iterando, hasta
conseguir un x ὶ de aproximación que la cumpla.
i x i 𝑥1 = 1 + ( cos(𝑥)− 𝑥 / [sin(𝑥)+ 1] ) [𝐸𝑎] = [( x ὶ + 1 − x ὶ /x ὶ + 1 ) x
100%]
0 1 0.7503 33.2686 %
1 0.7503 0.7391 1.5222 %
2 0.7391 0.7390 0.0037 %
𝑥2 = 0.7390 con un error aproximado a 0.0037 %
Valor: 7 puntos/cada una (2 y 3)