Problemas que se modelan con Función Cuadrática, Representación simbólica, gráfica y tabular de los modelos. Inversa de una función cuadrática

1. Modelos Cuadráticos
PRECÁLCULO
MAESTRIA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.

2. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Objetivo:
Resolver problemas que requieren ser modelados con
funciones cuadráticas, a partir de la interpretación de los
parámetros que aparecen en sus distintas formas de
representación, para establecer las características importantes
que deben ser tomadas en cuenta en el momento de hacer el
análisis de una función cuadrática
Del problema => el análisis de la función cuadrática

3. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Algebra a reforzar:
• Productos notables
• Factorización de trinomios cuadrados
• Completar un trinomio cuadrado perfecto
• Aplicar la fórmula general

4. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Modelos cuadráticos:
En la siguiente tabla se presenta la información de la altura h que alcanza una pelota
que es lanzada hacia arriba desde lo alto de un edificio.
• ¿Cuál es la altura del edificio?
• ¿Altura máxima que alcanza el objeto
• ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al nivel del suelo?
t h
0 25
2 85
3 100
4 105
6 85
7 60
8 25

5. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Modelos cuadráticos: De los datos a la ecuación 𝒇 𝒙 =
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
t h ∆𝒕 ∆𝒉 ∆𝒉
∆𝒕
∆𝒕 𝒑𝒓𝒐𝒎 ∆
∆𝒉
∆𝒕
∆
∆𝒉
∆𝒕
∆𝒕 𝒑𝒓𝒐𝒎
0 25
2 85
3 100 -10
4 105 -10
6 85 -10
7 60 -10
8 25 -10
𝒄 = 𝟐𝟓 𝒂 =
−𝟏𝟎
𝟐

6. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Formas de representar algebraicamente:
Forma desarrollada: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Forma Estándar: 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 − 𝒉 𝟐
+ 𝒌
Forma Factorizada: 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 − 𝒙 𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐
COMPLETANDO TCP
FACTORIZANDO

7. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Formas de representar algebraicamente:
𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 3 𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 1 2 − 8
𝟎, −𝟔
−𝟏, −𝟖
𝑓 𝑥 = 2 𝑥 − −3 𝑥 − 1 , 𝟎, 𝟎
𝑓 𝑥 = 2 𝑥 − (−1) 2 + (−8)
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 6
𝑓 0 = −6
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒌
𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 − 𝒙 𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐

8. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Modelos Cuadráticos:
Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades
sabe que se ocuparán todas si la renta es de $800 al mes. Una investigación
del mercado sugiere que, en promedio, quedará una unidad vacía por cada
incremento de $10 en la renta. ¿Cuánto debe cobrar el gerente por renta para
maximizar el ingreso?

9. Precio de Renta Departamentos
Rentados
Ingreso por
Rentas
Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Obteniendo la representación simbólica del Modelo:
100 departamentos
Renta: $800 al mes.
Una unidad vacía por cada incremento de $10 en la renta.
¿Cuánto debe cobrar para maximizar el ingreso?

10. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Otras representaciones simbólicas para el modelo:
𝐼 𝑥 = 800 + 10𝑥 100 − 𝑥
𝐼 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘
𝐼 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

11. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Representación gráfica para el modelo:
𝐼 𝑥 = 800 + 10𝑥 100 − 𝑥
𝐼 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘
𝐼 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

12. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Enfoque del álgebra basada en funciones:
𝑓 𝑥 = −3 𝑥 + 1 2 + 4 y g 𝑥 = −3𝑥2 − 6𝑥 + 1
Verifica si las siguientes funciones son equivalentes
𝑓 𝑥 = 8 𝑥 −
3
2
𝑥 +
5
4
y g 𝑥 = 8𝑥2 − 2𝑥 − 15
𝑓 𝑥 = 12 𝑥 −
2
3
2
− 48 y g 𝑥 =
4
3
3𝑥 − 8 3𝑥 + 4
𝑓 𝑥 = −𝑥2
+ 17 y g 𝑥 = − 𝑥 − 17 𝑥 + 17
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 13 y g 𝑥 = 2𝑥 − 13 2𝑥 + 13

13. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Enfoque del álgebra basada en funciones:
Encuentra en dónde las siguientes funciones son iguales y represéntalas
gráficamente
𝑓 𝑥 = −3𝑥2
+ 21𝑥 − 18 y g 𝑥 = 3𝑥 + 6
𝑓 𝑥 = −
1
4
𝑥 + 4 𝑥 − 3 y g 𝑥 = −2
𝑓 𝑥 =
2
3
𝑥 − 6 2 − 5 y g 𝑥 = −𝑥2 + 16𝑥 − 52

14. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Enfoque del álgebra basada en funciones:
Encuentra la región en la que 𝑓 𝑥 > 𝑔 𝑥 y represente gráficamente.
𝑓 𝑥 = 4𝑥2 + 16𝑥 + 13 y g 𝑥 = −4𝑥 − 3
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 12 y g 𝑥 = 8
𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 2 2 + 9 y g 𝑥 = −16
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 y g 𝑥 = − 𝑥 + 2 2 + 13

15. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Inversa de una función cuadrática:
Obtén un intervalo del dominio en el que la función 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 12𝑥 + 9
sea invertible y calcula su inversa gráfica y analíticamente.
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 2 2 − 3Forma estándar: 𝑉(−2, −3)
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 3 𝑥 + 1Forma factorizada: 𝐶𝑥: −3,0 , −1,0
Forma desarrollada: 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
+ 12𝑥 + 9 𝑓 0 = 9

16. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
𝑉(−2, −3)
𝐶𝑥: −3,0 , −1,0
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 12𝑥 + 9
𝑓 0 = 9
Para que sea invertible se puede tomar:
𝑥 ≤ −2 𝑥 ≥ −2O bien:

17. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Si se toma 𝑥 ≤ −2 La gráfica de su inversa:
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 2 2
− 3
La representación simbólica de su inversa:
𝑓−1 𝑥 = −2 −
𝑥 + 3
3

18. Mtra. Ana Rosa Faraco Pérez.
Si se toma 𝑥 ≥ −2 La gráfica de su inversa:
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 2 2
− 3
La representación simbólica de su inversa:
𝑓−1 𝑥 = −2 +
𝑥 + 3
3