isometria

1. ISOMETRIA
Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva
las distancias entre los puntos. Es decir, las isometrías son los morfismos de la
categoría de espacios métricos. Dado un espacio Euclides de dos o tres dimensiones,
dos figuras u objetos se dice que existe isometría cuando son congruentes entre sí, o
viceversa. Es el caso de las rotaciones, las traslaciones, las reflexiones y las
composiciones.Formalmente si E1 y E2 son dos espacios métricos una isometría φ
viene definida por lo siguiente:
φ : E 1 → E 2 ∀ ( x , y ) ∈ E 1 × E 1 : d 1 ( x , y ) = d 2 ( φ ( x ) , φ ( y ) )
{displaystyle varphi :E_{1}to E_{2}qquad forall (x,y)in E_{1}times E_{1}:
d_{1}(x,y)=d_{2}(varphi (x),varphi (y))} {displaystyle varphi :E_{1}to E_{2}qquad
forall (x,y)in E_{1}times E_{1}: d_{1}(x,y)=d_{2}(varphi (x),varphi (y))}
”
Siendo d1(·,·) y d2(·,·) las respectivas funciones de distancia en los dos espacios
métricos E1 y E2.
◾Una rotación en el espacio euclídeo es una isometría del espacio euclídeo
tridimensional.
◾Una traslación en el espacio elucídelo es una isometría, también lo es la composición
de un número arbitrario de traslaciones y rotaciones. El conjunto de todas las
rotaciones y traslaciones de un espacio euclídeo n-dimensional forman un grupo de
isometría de dimensión n + (n (n − 1 ) / 2 ) {displaystyle n+(n(n-1)/2)} {displaystyle
n+(n(n-1)/2)}.
◾El operador de evolución temporal U t : S → R 3 {displaystyle U_{t}:Sto mathbb
{R} ^{3}} {displaystyle U_{t}:Sto mathbb {R} ^{3}}, que describe el movimiento de un
sólido rígido S es un grupo un paramétrico de isometrías del espacio euclídeo
tridimensional.