Matematica-Maya 2.pdf

Escuela Superior de Educación Integral Rural
ESEDIR Mayab’ Saqarib’al
Profesorado y licenciatura en Educación Bilingüe Intercultural
con énfasis en Cultura Maya.
Edición de: ESEDIR-PRODESSA
No. de edición: Primera.
ISBN: 978-9929-571-13-6
Palabras clave: Sistema vigesimal, adición, sustracción, multiplicación, división,
cuadriculado, posición, valor posicional, agrupar, llevar, transformar, desagrupar,
prestar.
Catalogación de la fuente:
A este libro le llamamos: Matemática Maya 2
Este libro fue elaborado por: Daniel Caciá
Colaboración de: Roselia Reyes Caballeros
Se publicó en: Chi Chi Iximulew - Guatemala, Julio de 2010
Instituciones miembros del consorcio educativo:
Eduardo de León Barrios – Director Ejecutivo FRMT
Federico Roncal Martínez y Edgar García Tax – Codirectores PRODESSA.
Oscar Hugo López Rivas – Director EFPEM – USAC
Equipo de elaboración:
Pakal B’alam: Mediador Pedagógico
Pakal B’alam: Traducción de textos al idioma maya
Rony Girón: Ilustrador
Gustavo Xoyón: Diagramador
Equipo de revisión:
Mario Salazar – Cordinador del Proyecto
Wielman Cifuentes – Cordinador Area de Educacion FRMT
Juan Manuel Monterroso – Director ESEDIR
Este texto fue elaborado por PRODESSA en el marco del proyecto “Institucionalización de la Educación
Bilingüe Intercultural en la universidad pública de Guatemala, Universidad de San Carlos de Guatemala,
USAC”, apoyado financieramente por: EUSKO JAURLARITZA, GOBIERNO VASCO y MUGEN
GAINETIK.

Tabla de contenidos
Introducción temática.....................................................................................................................................................................................................................................................................5
Ubicación Temática.............................................................................................................................................................................................................................................................................6
1. Introducción.............................................................................................................................................31
2. La sustracción o resta.........................................................................................................................32
2.1 Sustracción sin desagrupar, sin transformar o prestar (Caso 1)..........................................................32
2.2 Sustracción o resta desagrupando en la misma posición (caso 2)...............................................37
2.3 Sustracción transformando, desagrupando o prestando de una posición a otra (Caso 3)...................39
.........................................................................................................29
La sustracción o resta en el sistema de numeración maya
Unidad
1. Introducción............................................................................................................................................11
2. La adición o suma.................................................................................................................................11
2.1 Adición o suma sin agrupar, sin llevar o transformar (Caso 1).............................................................12
2.2 Adición sin agrupar, sin llevar o sin transformar (Caso 2)....................................................................18
2.3 Adición o suma agrupando, llevando o transformando (Caso 3)...........................................................21
La adición o suma en el sistema de numeración maya ..............................................................................................9
Unidad
1. Introducción.............................................................................................................................................49
2. La multiplicación..................................................................................................................................50
2.1 La multiplicación sin agrupar, sin llevar o transformar (Caso 1).......................................................51
2.2 La multiplicación sin agrupar, sin llevar o transformar (Caso 2)..............................................53
2.3 La multiplicación agrupando, llevando o transformando (Caso 3)..................................................59
2.4 La multiplicación agrupando, llevando o transformando (Caso 4)........................................................64
.........................................................................................................................................47
Multiplicación en el sistema de numeración maya
Unidad
..........................................................................................................................................................................71
1. Introducción.............................................................................................................................................73
2. La división............................................................................................................................................73
2.1 División sin residuo (Caso 1)................................................................................................................73
2.2 División sin residuo (Caso 2)...........................................................................................................75
2.3 División sin residuo (Caso 2)..............................................................................................................78
Algunas palabras finales........................................................................................................................86
Bibliografía..........................................................................................................................................87
División en el sistema de numeración maya
Unidad

5
Introducción temática
En el curso “Matemática Maya 1” se abordó la misma como una ciencia
que se constituyó y sigue constituyendo un aporte científico para la
humanidad. Uno de los temas trabajados fue el sistema de numeración
vigesimal.
Luego de experimentar el curso indicado, una de las dudas podría ser ¿En
un sistema de numeración tan avanzado podría encontrarse algoritmos
o procedimientos para realizar operaciones aritméticas?
La respuesta es un rotundo ¡Sí! Los mayas, además de conceptualizar
operaciones como la suma, la resta, la multiplicación y la división;
aplicaron procedimientos concretos en esas operaciones. Conocerlos
y practicarlos será la razón de ser de este texto.
En el caso de la suma y la resta se trabajarán los procedimientos que ya
han sido practicados y aceptados por conocedores de la cultura maya.
En el caso de la multiplicación y división, se presenta una propuesta a
partir de procedimientos investigados por estudiosos de la matemática
maya, en particular el Dr. Leonel Morales.
Le invitamos a “subirse al camión de las operaciones aritméticas”. Le
adelantamos que disfrutará aprendiendo la simplicidad y exactitud
de los métodos creados hace muchos años por genios o genias de la
matemática. ¿Qué dice? ¿Se sube?

6
El texto que tiene en sus manos, trata de ayudar a responder preguntas como ¿Qué
es un sistema de numeración? ¿El sistema de numeración maya es posicional o no
posicional? ¿Cómo se construye el sistema de numeración vigesimal o maya? ¿Cómo
se realizan las operaciones en este sistema de numeración? ¿Hasta qué punto se ha
valorado la matemática maya como medio para desarrollar el pensamiento lógico?
¿Qué tipo de matemática es utilizada por las y los mayas actuales?
Seguramente tendrá respuestas correctas para algunas o para todas las interrogantes.
Aún con ello, le invitamos a leer y realizar las actividades del presente módulo con
el objetivo de aprender o afianzar los contenidos que se desarrollan. Previamente es
necesario realizar algunas consideraciones importantes.
Respecto a la matemática maya se ha hablado y escrito bastante. En grado mayor o
menor, se le da tratamiento como:
1) Interpretación filosófica y religiosa de la matemática en la cultura maya.
2) Medio para desarrollar el pensamiento lógico a través de la comprensión del
sistema de numeración vigesimal o maya y de las operaciones aritméticas que en
el mismo se realizan.
3) Consideración de la matemática maya como un bien provisto por la cultura maya
y como legado de la humanidad.
4) Fuente de investigación para conocer el uso de la matemática en la población
maya actual.
Actualmente hay bastante bibliografía relacionada con lo indicado en el numeral “1”.
De esa cuenta, en este módulo se trabajará más en los otros incisos, algunos a nivel de
inducción o motivación para su investigación. ¿Cuál es la razón para esa decisión? …
Las respuestas pueden encontrarse o deducirse en lo que se expone a continuación.
La cultura maya ha generado bienes culturales de alto valor científico. Uno de esos
bienes es el tratamiento que se le ha dado a contenidos matemáticos. Tanto en el
pasado como el presente, la mujer y el hombre maya tienen una manera diferente de
conceptualizar o representar las cantidades, las operaciones, los cálculos, las medidas,
la geometría y otros componentes de la matemática. Veamos algunos ejemplos:
1) En el sistema maya o vigesimal utilizado antes de la invasión española, la
representación de veintidós unidades se hace a partir de agrupaciones de veinte.
Observe:
Un grupo de veinte
Dos unidades
20
1
Ubicación temática

7
Entonces, veintidós unidades se interpretan y se representan como un grupo de
veinte y dos unidades, justo como se dice en kaqchikel: juk’al ka’i’.
2) El procedimiento para realizar una suma en el sistema vigesimal o maya se basa en
la misma agrupación de veinte. Si se suma un grupo de veinte con tres grupos de
veinte, el resultado es cuatro grupos de veinte.
3) En la actualidad, una persona k’iche’ expresa el concepto de triángulo de la
siguiente manera: oxib’ uxkut (tres esquinas o tres lados). El más práctico es el
xuk’ub’, los tres tenamastes que sostienen con equilibrio el comal. Pensar en tres
esquinas o tres lados permite imaginar el concepto de triángulo de una manera
más fácil y sencilla.
4) La estructuración de conceptos matemáticos desde la óptica maya responde a
situaciones reales o cotidianas. Por ejemplo, la agrupación de veinte (juwinaq)
se asocia a una persona (jun winaq) por el hecho de tener diez dedos en las
manos y diez en los pies. Otro punto importante es que en los idiomas mayas
hay especificidad en el conteo del tiempo y genérico, así la organización de las
unidades de tiempo: juwinaq equivale a veinte días; mientras que 20 cosas es
juk’al.
Parte de lo expuesto se pretende ampliar y profundizar en el módulo que está por
trabajar. Vale la pena indicar que la valoración del contenido depende de quién
lo reciba. La condición para valorar lo presentado, será que la lectora o el lector
experimente, ejercite, reflexione, cuestione, aporte y genere investigación. Debe
recordar que se está en los inicios del rescate y valoración de la matemática maya…
¿Qué tal si usted se convierte en una o uno de los aportadores de esta matemática?

11
La adición o suma en el sistema de numeración maya
1. Introducción
2. La adición o suma
400 400
20 20
1 1
Hasta el momento conoce la manera como se
escriben e interpretan cantidades en el sistema
de numeración vigesimal o maya. Básicamente
debe recordar que:
1) Las agrupaciones son de veinte en veinte.
2) Se estructura en posiciones que se ordenan
de abajo hacia arriba. Cada posición tiene un
valor que es 20 veces mayor que la inmediata
inferior.
3) Cuatro barras en una posición dan un valor
de veinte. Entonces, esas cuatro barras se
cambian por un punto a la posición inmediata
superior. Por ejemplo:
Con esos conocimientos está listo o lista para el
abordaje de la adición o suma en el sistema de
numeración maya.
Respecto a las operaciones en el sistema de
numeración maya o vigesimal, el Dr. Leonel
Morales dice: “La adición y probablemente
las otras operaciones de la aritmética, se
trabajan sobre una tabla o en el suelo, en ella
se colocan puntos y barras (frijoles y palitos).
León Portilla (pág. 2) propone que en el
CÓDIGO DE DRESDE (44-b) se
encuentra la representación de una
multiplicación. También
Calderón (1966) describe
en forma muy didáctica,
las cuatro operaciones de
la aritmética…” (Morales:
16, 1994).
Hay varias interpretaciones
que se le han dado al
procedimiento para
realizar la adición o suma
y la sustracción en el
sistema de numeración
maya o vigesimal. En este
apartado se presenta una
manera que pretende ser
previa a un procedimiento
más general.
Hay varios casos que
pueden ocurrir cuando
se realiza una adición
o suma en el sistema
de numeración maya o
vigesimal. Explorará cada
caso de dos maneras:
Acudiendo al uso de
material concreto y en
forma abstracta. La parte
de la experiencia con
material se presentará
en forma de actividades.
La parte abstracta como
una explicación que
resume lo que se haga a
nivel concreto.
¿Ha observado
cómo hacen sumas
mentales las y
los vendedores
en los mercados?
Ellos siguen un
procedimiento
fácil y práctico,
primero suman las
cantidades mayores,
redondeándolo si
fuera posible, luego
agregan los picos.
¿Cómo podríamos
traer estas estrategias
al aula para realizar
sumas?
En el diccionario de Coto se encuentran
expresiones como: ju.tzik, ka.tzik un
punto, dos puntos; ox.jik, kaj.jik tres rayas,
cuatro rayas; y ju.k’ex ka.k’ex un grupo de
cinco; dos grupos de cinco semillas de cacao
para intercambiar o trocar.
Los textos de las
estelas y los códices
incluyen sumas de
distancia temporal
(en días, veintenas de
días), a partir de una
fecha del Cholq’ij o
la Cuenta Larga, para
ubicar, con precisión, la
fecha de un siguiente
evento.

12
Adición o suma sin agrupar,
sin llevar o transformar (Caso 1)
2.1
Lea el siguiente problema:
Candelaria tiene libros.
Si decidieran reunirlos, ¿cuántos libros tendrían en total?
¿Ya pensó la operación que resuelve el problema?...
Bien, ¿coincide con la siguiente?
más
Su hermana tiene libros.
Observe que las cantidades a sumar son: dos de veinte y cinco más (+) dos de veinte
y uno. En maya se diría algo como dos k’ales y cinco unidades sobre dos k’ales y
una unidad.
Realice esa adición o suma de dos maneras: La primera con materiales y la segunda en
forma abstracta. Para la primera manera, realice la siguiente actividad.
El procedimiento no
cambia el resultado.
¡Semillas de maíz
para sumar!
Diccionarios
coloniales de
idiomas k’iches,
reportan que
iximanik es el acto
de contar e ixim y
calcular con semillas
de maíz.

13
A. Utilice cartón de desecho para elaborar
un cuadriculado como el que se ilustra: (Si
no tuviera una regla a disposición, puede
usar medidas prácticas, no estandarizadas
como cuartas y dedos)
Además, prepare las barras y puntos de la
numeración maya. Según su creatividad o
disponibilidad de objetos.
B. Realice lo siguiente:
1) Utilice sus materiales para mostrar la
primera cantidad (el primer sumando) en la
primera columna del cuadriculado que hizo
ylasegundacantidad(elsegundosumando)
en la segunda columna. Observe:
30 cm
30
cm
Actividad
2) Junte la cantidad de la segunda columna
con la cantidad de la primera columna.
Hágalo posición por posición, de abajo
hacia arriba. Realice esto antes de leer el
siguiente inciso.
3) Observe si tiene algo como lo siguiente:
¡Ya está! Aquí tiene el resultado de la adición o
suma. ¿Cuál es la respuesta al problema?
Los mayas presentaban los
números de distancia (ND) en
orden ascendente, k’in (1 día),
winäq (20 días); 1 tun (360
días); 1 k’atun (20 tunes) para
ser sumados a una fecha base
Choltun, en orden descendente
(B’aktun _400 tunes; K’atun,
tun,...) ¿Qué similitud encuentra
entre esto y el procedimiento para
la suma maya?

14
El paso a lo abstracto es fácil. Observe: En maya: kak’al wo’o’ pa ruwi’ kak’al jun.
más
El procedimiento se resume así:
2) Junte o traslade los puntos y barras a la
primera columna (según posición en que
están)
1) Escriba cada cantidad en un cuadriculado en
su respectiva columna)
Entonces, dos de veinte y cinco sumado a dos de veinte y uno, da como resultado cuatro de veinte y
seis. Esto interpretado en el sistema vigesimal y en idioma maya corresponde a nombres de números
y dígitos representados: kak’al wo’o’ pa ruwi’ kak’al jun napon kajk’al waqi’.
Si quiere interpretar lo anterior en sistema decimal, hace lo siguiente:
k’al k’al
45 + 41 = 86

15
más más
Actividad
Ahora pruebe con otra adición o suma: (bola a círculo, disco, rodaja)
A. Utilice el cuadriculado que elaboró en la
actividad anterior, sus barras y puntos.
B. Forme un grupo de dos o tres compañeros
o compañeras y traten de realizar la suma
presentada anteriormente pero utilizando
sus materiales. Después de haber tratado,
confirmen o aprendan realizando lo
siguiente.
1) Utilice sus materiales para mostrar cada
cantidad de la adición o suma que resuelve
el problema. Hágalo en su respectiva
columna. Observe:
q’o’
k’al
jujunal
q’o’
k’al
jujunal
2) Junte las cantidades en la primera columna.
siguiente inciso.

16
Véalo en forma abstracta: más más
2) Junte o traslade los puntos y barras a la
primera columna (según la posición en que
están)
1) Escriba cada cantidad en un cuadriculado
(en su respectiva columna)
q’o’
k’al
q’o’
k’al
Esto se puede interpretar de varias maneras:
• Uno de veinte de veinte, seis de veinte y siete de uno sumado a
uno de veinte de veinte, cinco de veinte y uno de uno sumado a
uno de veinte y cinco de uno da; como resultado dos de veinte de
veinte, doce de veinte y trece de uno.
• Uno de cuatrocientos, seis de veinte y siete de uno sumado a uno
de cuatrocientos, cinco de veinte y uno de uno sumado a uno de
veinte y cinco de uno; da como resultado dos de cuatrocientos,
doce de veinte y trece de uno.
Interpretado en sistema decimal:
527 + 501 + 25 = 1,053
Una fecha del Choltun o
Cuenta Larga se presentaba
en orden descendente, del
mayor a menor que es k’in o
q’ij, día. Siguiendo tal orden,
el primer sumando se leería
ju.q’o’ waq.k’al wuqu’.

17
Actividad
A. Resuelva los siguientes problemas.
1) En un bosque hay pinos.
cedros y
¿Cuántos árboles hay en total?
2) Pedro tiene quetzales ahorrados. Deposita quetzales en su cuenta de ahorro.
¿Cuánto ha ahorrado en total?
B. Realice las sumas indicadas.
1) más
2) más
3) más
4) más
5) más
6) más
7) más
12) más más
11) más más
8) más
10) más más
9) más más

18
Actividad
Adición sin agrupar,
sin llevar o sin transformar (Caso 2)
2.2
Lea y trate de resolver el siguiente problema:
En una bolsa hay pelotas azules y pelotas blancas.
¿Cuántas pelotas hay en total?
A. Utilice el cuadriculado que elaboró en la
actividad anterior y sus barras y puntos.
Realice lo siguiente:
1) Con sus materiales muestre cada cantidad
de la adición que resuelve el problema
presentado anteriormente..
2) Observe:
3) Junte las cantidades en la primera columna.
siguiente inciso.
5) Como se observa, en la segunda posición
hay seis puntos. ¿Qué hacer en ese caso?
Piense y resuelva.
6) Observe si hizo algo como lo siguiente:
El cambio en la segunda posición se hace
porque, como recordará, cinco puntos
se cambian por una barra. Esto aplicará
para cualquier caso en que se tengan cinco
puntos.

19
Véalo en forma abstracta: más
k’al
1) Escriba cada cantidad en
un cuadriculado (en su
respectiva columna).
2) Junte o traslade los puntos
y barras a la primera
columna.
3) En la segunda posición,
cambie cinco puntos por
una barra.
NOTA
El segundo y tercer
paso pueden unirse. Al
observar que hay seis
puntos en la segunda
posición, de una vez se
cambian cinco por una
barra; entonces queda
una barra y un punto.
Interpretando en sistema decimal:
85 + 41 = 126
El resultado de
la suma se leería
como: waqk’al
waqi’ literalmente
seis k’ales y seis
unidades.

20
2) Ana ya tiene habas en un canasto. Agrega habas que acaba de tostar.
Actividad
A. Resuelva los siguientes problemas.
¿Cuántas personas hay en la reunión?
En total, ¿cuántas habas hay en el canasto?
B. Realice las siguientes sumas.
1) más 6) más
7) más más
8) más más
2) más
3) más
4) más
5) más

21
Adición o suma agrupando,
llevando o transformando (Caso 3)
2.3
¿Qué tal si “le entra” al siguiente problema? Trate de hacerlo usted mismo/a, sin ayuda. Después
confirme o aprenda cómo se resuelve.
Silverio paga quetzales por un Popol Wuj y quetzales por un libro del Chilam B’alam.
¿Cuánto invierte en total?
¡Simple y lógico!

22
Actividad
A. Prepare sus barras y puntos (materiales que usó en otras actividades) para realizar la suma
anterior.
B. Forme pareja con una compañera o compañero y realicen lo siguiente. Recuerden conversar
antes de realizar uno de los pasos y ayudarse cuando no comprendan algo.
Realice lo siguiente:
1) En el cuadriculado y en las respectivas columnas, representen cada cantidad de la adición o
suma.
2) Confirmen si tienen algo como lo siguiente:
3) Junten las cantidades tal como lo hizo en la adición o suma sin llevar. Observen lo que se forma
en cada posición. Hagan los cambios que consideren necesarios.
4) Observe si hicieron algo como lo siguiente:
Así está al inicio. Se juntan cantidades.
Cuatro barras forman
una veintena. Entonces
se cambian por un
punto en la segunda
posición.
Cinco puntos en la
segunda posición se
cambian por una barra.
Este es el total.

23
Con esta forma logro
agilidad mental.
La suma maya es
fácil y divertida.
5) Con sus materiales, experimenten lo anterior si no lo habían
hecho así.
6) Entonces el resultado es:
Hasta aquí, ya ha
experimentado que
es totalmente posible
realizar sumas,
llevando y sin llevar.
¿Lo ha hecho con
las y los educandos,
utilizando material
concreto? ¡A los niños
les encanta jugar a
sumar!
NOTA
Algunos pasos pueden
realizarse en uno sólo. Por
ejemplo, al juntar, de una
vez cambiar cuatro barras
de la primera posición por
un punto en la segunda.
A la vez, los cinco puntos
de la segunda posición por
una barra.
más igual a
o.k’al (5.veintes)
waqxaqi’ (8 unos)
7) Utilicen sus materiales para realizar la siguiente suma. Hagan la
interpretación de las cantidades que se suman y del total. Recuerden
lo siguiente:
a) Cinco puntos se cambian por una barra.
b) Cuatro barras forman una veintena. Entonces se cambian por un punto que pasa a la posición
inmediata superior. Lo que sobra se queda en su posición original.
más más

24
Observe las sumas ya trabajadas en forma abstracta. En el caso de
la suma que se presentó en el problema tenemos:
más
k’al
1) Escriba cada cantidad en
un cuadriculado (en su
respectiva columna)
2) Junte o traslade los
puntos y barras a la
primera columna.
3) Cambie cuatro barras de
la primera posición por
un punto en la segunda.
En la segunda cambie
cinco puntos por una
barra.
¡Podemos acortar el tiempo, tomando atajos!
El segundo y tercer paso pueden unirse de manera que mentalmente se hacen los cambios para ir
desde lo que se ve en el primer cuadriculado hasta el resultado que se observa en el tercero.
55 + 53 = 108

25
¿Quiere probar a reducir
los pasos para realizar la
suma? Solo con la práctica lo
logramos.
Observe la otra suma, de tres sumandos:
más más igual a
2) Junte posición por posición.
3) Cambie puntos por una barra en la primera
y tercera posición, en la primera y tercera
posición, porque cinco puntos equivalen a
una barra.
4) En la primera y segunda posición, cambie
cuatro barras por un punto que pasa a la
posición inmediata superior.
1) Escriba las cantidades.
q’o’
k’al
¡Recuerde que la experiencia hace la diferencia!
Cuandoyasetienesuficientecomprensiónydominiodelprocedimiento,
se puede pasar desde lo que se ve en el primer cuadriculado hasta el
cuarto y los cambios se hacen mentalmente.

26
Actividad
1,334 + 1,913 + 404 = 3,651
A. Realice las siguientes sumas.
1) más
3) más
4) más
5) más más
2) más
6) más más
B. ¿Qué sucede si para sumar tenemos que utilizar otra posición o tenemos más cantidades o
sumandos?
Forme pareja con una compañera o compañero. Piensen y realicen las siguientes adiciones o
sumas. Pidan apoyo de la o el docente en caso de duda.

27
¿Cuál será el resultado de sumar
los 13 numerales del Cholq’ij?
¡Probemos!
1)
2)
más
más más
más más más
k’ala’
chuy
q’o’
k’al
Sabemos que aún con
varios sumandos y con
cantidades más altas, de
tres o más posiciones,
se sigue el mismo
procedimiento: juntamos
las unidades colocándolos
en una misma columna y
transformamos cuando es
necesario; seguimos con
los k’al o veintenas; los q’o’
(400s); los chuy (8000s) y
así sucesivamente.

31
1. Introducción
Una vez se ha comprendido el procedimiento de suma, la resta resulta
fácil ya que se realizan pasos que son inversos a los hechos en tal
operación.
Para trabajar la resta es importante recordar los principios de sustitución
o equivalencia que se describen abajo.
1. Un punto que se pasa de una posición a otra inmediata inferior,
equivale a cuatro barras.
2. Puntos se operan con puntos y barras con barras. Cuando no hay
suficientes puntos se cambian barras por puntos. Cuando no hay
suficientes barras, se cambia un punto por cuatro barras, de una
posición superior a una inferior.
En esta unidad le invitamos a trabajar la resta de manera similar a
lo hecho con la suma. Primero usamos material concreto y después
pasamos a lo abstracto. ¿Qué dice? ¿Le entramos?
Los mayas también
realizaron restas de los
números de distancia
o adverbios de tiempo
pasado, los cuales se
restaban de una fecha
base y con ello establecían
la fecha anterior de otro
evento. Algo como restar
la edad de un niño al año
actual para obtener el año
de nacimiento.
¿Cómo se restarán estas cantidades?
¿Será fácil hacer resta
con números mayas?
Aprendamos
en esta unidad.

32
¿Cómo se expresa
verbalmente una resta en el
idioma maya que habla? En
Kaqchikel se diría algo como
“Si sacas cinco jocotes de la
canasta que contiene veinte,
te quedan...”
_______________________.
Sustracción sin desagrupar,
sin transformar o prestar (Caso 1)
2.1
2. La sustracción o resta
¿En los idiomas
mayas no hay un
signo para resta ni
suma?
También en la sustracción o resta hay varios casos que pueden ocurrir y que se tratarán en el siguiente
apartado. De nuevo le invitamos a iniciar con una experiencia concreta para pasar a lo abstracto.
Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Compare su solución con una compañera o
compañero.
En una caja hay lápices para vender. Cierto día se venden
¿Cuántos lápices quedan?
Confirme con lo que se expone a continuación.
La operación que corresponde al problema es:
menos
¡No aún, pero se
han hecho algunas
propuestas!

33
Actividad
A. Prepare sus ceros, barras y puntos (materiales creados por usted) para realizar la resta
anterior.
B. Antes de iniciar, lea lo siguiente:
1) La sustracción o resta en el sistema de numeración maya se piensa como una
comparación.
2) Para operar la sustracción, se compara puntos con puntos y barras con barras de cada
posición.
3) La operación se realiza en forma de eliminación. Se eliminan tantos puntos y barras que hay
en la cantidad que se restará como puntos y barras hay en la cantidad de la que se restará.
C. En el cuadriculado, represente con sus materiales la cantidad de la que se restará en la primera
columna (podemos llamar “minuendo” a esta cantidad). La cantidad que se restará (sustraendo)
represéntela en la segunda columna.
D. Observe si hizo algo como lo siguiente:
Cantidad de la
cual se restará
(minuendo)
Cantidad que
se restará
(sustraendo)
E. Para realizar la resta haga lo siguiente:
1) En la primera posición hay una barra en la cantidad de la que se restará y una barra en la que
se restará. Elimine ambas y coloque un cero como resultado de la primera posición.

34
2) En la segunda posición observe hay dos puntos en la cantidad de la cual se restará y uno en la
que se restará. Entonces elimine un punto de cada una. Queda un punto que se coloca como
resultado de la segunda posición.
Observe:
En forma abstracta se harían las eliminaciones tachando tantos elementos hay en la cantidad de la que
se restará como la que restará (puntos con puntos y barras con barras). Observe:
k’al
k’al
45 - 25 = 20
Entonces:
menos igual a
¿Ya experimentó enseñar la resta
utilizando el idioma maya materno de las
y los educandos? Si no, manos a la obra.
Pruebe y verá los resultados.

35
k’al
75 - 45 = 30
Mirá sólo tenés que
hacer esta operación.
¿Cómo saber cuál es mi año de
nacimiento, si tengo 10 años?
Actividad
En grupos de tres compañeras o compañeros, realicen las siguientes restas. Háganlo con sus
materiales y, después, en forma abstracta.
1) 2)
Confirmen sus resultados. En el caso del ejercicio 1:

36
Actividad
k’al
q’o’
4,055 - 2,050 = 2,005
Para el ejercicio 2:
Individualmente realice las siguientes restas. Hágalas sólo en forma abstracta. Si lo desea, confirme
expresándolas en sistema de numeración decimal.
1) menos
2) menos
3) menos
5) menos
6) menos
4) menos
7) menos
8) menos

37
Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Compare su solución con una
compañera o compañero.
En un colegio hay educandos. son niñas, y el resto son niños.
¿Cuántos varones hay?
Actividad
Mientras sigue practicando la resta en sistema vigesimal maya; le proponemos hacer la prueba
de las restas en sistema decimal; pero utilice puntos y barras (del 0 al 9), ¿Qué dice? ¿Lo intenta?
Sustracción o resta
desagrupando en la misma posición (caso 2)
2.2
Con sus materiales (puntos, barras, ceros
mayas y cuadriculado):
1) Represente las cantidades en el
cuadriculado.
2) Observe si le quedó así:
k’al k’al
3) Cambie la barra de la primera posición de
la cantidad de la que se restará (minuendo)
por cinco puntos. Recuerde que esto debe
hacerse porque puntos se eliminan con
puntos.
4) Ahora sí… proceda a eliminar tal como
lo hizo en las restas ya trabajadas en la
sección anterior.

38
5) Observe si el resultado le quedó así:
k’al
¿Podría pensar en otra forma de
representar la resta o sustracción y de
presentar la diferencia? La creatividad y
la necesidad son base para esto.
85 - 42 = 43
En forma abstracta:
k’al
¡el resultado!
sustituir y eliminar
Representar cantidades
Entonces:
¿Cuál es la respuesta al problema presentado?
igual a
menos

39
Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Compare su solución con una compañera o
compañero.
Sustracción transformando, desagrupando o
prestando de una posición a otra (Caso 3)
2.3
Quizás no afecta
pero es mejor tener
un orden.
¿Que pasara si resto
en otro orden?
En la aldea “La Loma” hay habitantes.
¿Cuántos habitantes más hay en “Los Jocotes”?
Veamos. La operación que resuelve el problema es: menos
En la aldea “Los Jocotes” hay habitantes.

40
Actividad
2) Observe la segunda posición. ¿Qué pasa en ese caso?
Se puede ver que es menor que . Entonces, antes de operar, hacemos un cambio.
¿Un cambio? Sí, es desagrupar (o “prestar”).
Se toma un punto de la tercera posición, del minuendo, y se cambia por cuatro barras que se
colocan en la segunda.
Utilizando sus materiales (puntos, barras, ceros mayas y cuadriculado):
1) Represente las cantidades en el cuadriculado.
k’al
q’o’
Minuendo – sustraendo un punto desagrupado

41
845 - 505 = 340 ¡17 k’ales!
3) Realice lo anterior con sus materiales. Después haga la resta.
4) Observe si el resultado le quedó así:
k’al
q’o’
En forma abstracta:
Entonces:
menos igual a
Tomando en cuenta que:
Cuando lo que se restará en una posición es menor que la cantidad de la que se restará (minuendo),
se debe desagrupar (o prestar) una veintena de la posición inmediata superior (un punto se cambia
por cuatro barras).
Por otra parte, a veces también es necesario cambiar una barra por cinco puntos, sin que implique
cambiar de posición.
k’al

42
Observe otro ejemplo:
menos
1) Escriba las cantidades en el cuadriculado.
Observe que en la primera posición
es menor que
3) Para operar puntos con puntos y barras
con barras, cambie una de las barras de la
primera posición por cinco puntos.
2) Desagrupe (o preste) una veintena de la
segunda a la primera posición.
Entonces, un punto de la segunda posición
se cambia por cuatro barras que pasan a la
primera posición.
4) Observe la segunda posición de la cantidad
de la que se resta. es menor
que . Hay que desagrupar (o prestar)
una veintena de la tercera posición (de la que
se está restando). Como en esa posición hay
una barra, la cambiamos por cinco puntos.
q’o’
k’al

43
Seguramente ya tuvo la oportunidad de expresar problemas de resta en el idioma
maya de las y los niños. En kaqchikel se dice tawelesaj (saca) juq’o’ wolajk’al
wuqu’ chupam (de) oq’o’ wuqk’al.
Algo como “tome un q’o’ (400s), quince k’ales y siete unidades de oq’o’ wuqk’al.
2,140 – 707 = 1,433
5) Para operar puntos con puntos y barras
con barras, cambie una de las barras de la
primera posición por cinco puntos.
6) Observe la segunda posición de la cantidad
de la que se resta. es menor que .
Hay que desagrupar (o prestar) una veintena
de la tercera posición (de la que se está
restando). Como en esa posición hay una
barra, la cambiamos por cinco puntos.
k’al
q’o’
Varios de los pasos pueden omitirse cuando ya se tiene suficiente experiencia y comprensión de lo
que se hace. Se logra con la práctica ¡restar, restar y restar!
En resumen

44
Actividad
¿No se sienten bien al saber que su
cultura maya ha aportado mucho?
¡Super bien!
Realice las siguientes restas. Hágalas sólo en forma abstracta.
3)
1) menos
4) menos
5) menos
2) menos

45
6)
menos
7) menos
8) menos
9) menos
10)
menos

Si sabemos sumar,
podemos multiplicar.

49
¿Suman o multiplican?
¡Investiguemos¡
1. Introducción
Una vez comprendido y dominado el procedimiento para sumar y restar en el
sistema de numeración maya, resulta fácil trabajar la multiplicación y la división. La
multiplicación se entenderá como una suma repetida y puede operarse de esa manera
(sumar varias veces la cantidad dada). Sin embargo, tanto para la multiplicación como
para la división existen procedimientos particulares y más rápidos de aplicar.
En esta unidad se aplicará un procedimiento “desmenuzado” de la multiplicación
con la intención de facilitar la comprensión de otros algoritmos que pueden ser más
rápidos aunque más mecanizados.
Es importante anotar que la lógica de los procedimientos para operaciones aritméticas
en el sistema de numeración maya o vigesimal se deduce de acercamientos que han
hecho investigadores como el Dr. Leonel Morales, matemático guatemalteco, que
ha dedicado parte de su tiempo para valorar y promulgar la matemática creada y
utilizada por nuestros ancestros mayas.
¿Qué operación hacen las tejedoras,
al organizar la urdimbre textil?

50
¿Cree que es importante conocer el procedimiento para
realizar multiplicaciones en el sistema de numeración
maya o vigesimal? ¿Por qué?
2. La multiplicación
La multiplicación puede entenderse como una operación en la que se suma varias veces una
cantidad. Esto es fácil cuando se trabaja con cantidades pequeñas. Sin embargo, cuando se
trata de cantidades grandes es necesario acudir a un algoritmo más práctico y sencillo aunque
“Hasta el momento, no ha sido posible deducir históricamente dicho algoritmo” (Morales: 26,
1994). El Dr. Leonel Morales hace una propuesta personal de ese algoritmo que mediaremos
y ampliaremos en los siguientes segmentos.
Debemos investigar más
sobre formas de multiplicar
con números mayas.
Estoy de acuerdo. De esa
manera podremos practicar,
y compartir mejor.

51
¿Qué ventajas habrá si se utiliza el idioma
maya en la enseñanza de la multiplicación?
La multiplicación sin agrupar,
2.1
Lea el siguiente problema y trate de resolverlo:
Tomás tiene canastos. En cada canasto hay jocotes.
¿Cuántos jocotes tiene en total?
¿Está de acuerdo con que la operación que corresponde es la siguiente?
Actividad
Volvamosconsusmateriales(puntosybarras).
Realice la siguiente experiencia para resolver
el problema planteado o para confirmar la
solución que ya encontró.
1) Represente cuatro veces dos (con los
materiales que representan números
mayas).
2) Junte todo de manera que ejecute una
suma.
3) Realice los cambios que sea necesario.
4) Confirme si hizo algo como lo siguiente:
veces
Cuatro veces dos.
más más
Total:
más
O sea que cuatro veces dos es igual a ocho.
5) Escriba la expresión de multiplicación
en el idioma maya materno que conoce.
Después busque pareja y conversen a
partir de lo siguiente:
a) ¿Coincide la expresión en idioma maya
con el procedimiento de multiplicación
que realizaron? Es decir, ¿la expresión
en el idioma maya da a entender cuál
es la cantidad que se repite y cuántas
veces?
b) ¿Hasta dónde puede facilitar la
comprensión del concepto de
multiplicación si la o el docente realizará
la clase en el idioma maya de las niñas y
los niños?
veces

52
Entonces...
¡Así multiplicaban los
abuelos y las abuelas¡
Me gusta multiplicar
como lo hacían mis
abuelos y abuelas.
Actividad
Realice las multiplicaciones. Hágalo en forma abstracta.
2)
3)
4)
1) veces
veces
veces
veces

53
La multiplicación sin agrupar,
2.2
Actividad
NOTA
En la multiplicación se utilizará
el lugar de las posiciones en
forma horizontal. Entonces,
en el cuadriculado de al
lado, el que indica
cuántas veces se repetirá
la cantidad, está colocado
en la primera posición si
se ve horizontalmente y
de derecha a izquierda. La
segunda posición sería la que
sigue a la izquierda y es la de
las veintenas (k’al) y así se
continúa.
Para un proyecto comunitario se forman grupos de personas. En cada grupo hay personas.
¿Cuántas personas hay en total?
Veamos. La operación que resuelve el problema es: ¡ka’i’ mul kak’al wo’o’!
veces
Utilices sus materiales (puntos, barras y cuadriculado) para dar el resultado de la multiplicación
presentada anteriormente. Para eso, realice lo siguiente:
1) Represente las cantidades en un cuadriculado. Observe cómo se hace:
K’a
q’o’
Aquísecolocalacantidad
que indica cuántas veces
se repetirá la cantidad.
Aquí se coloca
la cantidad que
se repetirá.

54
2) En el primer cuadrito de la tercera columna muestre el resultado de operar veces
.
3) Observe si hizo algo como lo siguiente. Si no fue así, le invitamos a que lo haga después de
observar:
¿Ha experimentado que al contar en un idioma maya, está multiplicando? Al
contar en grupos de veinte, en el fondo, estamos multiplicando porque 20
es como decir una vez 20 (ju.may, ju.k’al o ju.winaq) y en castellano 20 es
como decir dos veces diez.
(veces )
(veces )
4) En el segundo cuadrito de la tercera columna, muestre el resultado de operar veces .
5) Observe si hizo algo como lo siguiente. Si no fue así, le invitamos a que lo haga después de
observar:
6) El resultado de la multiplicación es lo que se observa en la tercera columna.

55
Veamos el procedimiento en forma abstracta (kamul kak’al jo’ob’).
veces
1. Escriba las cantidades en donde
corresponde. 2. Opere veces .
q’o’
k’al
Si quiere comprobar en sistema decimal:
Opere veces .
Ya está el resultado.
2 x 45 = 90
Pruebe con otro ejemplo. Hágalo a partir del siguiente problema. Principie leyéndolo. Después escriba
la operación y trate de resolverlo.
Hay secciones de primero. En cada una hay educandos.
¿Cuántos educandos hay en total?

56
Actividad
Realice lo siguiente. Puede utilizar sus materiales para confirmar el resultado.
1) Represente las cantidades en un cuadriculado.
2) En el primer cuadrito de la tercera columna muestre el resultado de operar veces .
3) Observe si hizo algo como lo siguiente (si no fue así, le invitamos a que lo haga después de
observar):
Aquísecolocalacantidad
que indica cuántas veces
se repetirá la cantidad
Aquí se coloca
la cantidad que
se repetirá

57
4) En el segundo cuadrito de la tercera columna, muestre el resultado de operar veces .
5) Observe si hizo algo como lo que se muestra en el cuadriculado:
6) El resultado de la multiplicación es lo que se observa en la tercera columna.
Observe el procedimiento en forma abstracta.
veces
a. Escriba las cantidades en donde
corresponde.
b. Opere veces

58
¿Ha visto personas que calculan mentalmente, rápido y con exactitud? Ellas
siguen un método fácil. Para obtener el resultado de tres veces dos veintes y
cuatro (oxmul kak’al kajib’), multiplican tres por dos que da seis veintes (120).
Despues multiplican tres por cuatro (12) y suman los resultados.
Actividad
3 x 44 = 132
Opera veces .
Ya está el resultado.
Si quiere comprobar en sistema decimal:
Realice las siguientes multiplicaciones. Si lo desea primero con materiales.
1) veces
2) veces
3) veces
4) veces
7) veces
8) veces
5) veces
6) veces 9) veces
10) veces

59
Sofía vende güipiles. Por cada güipil cobra quetzales.
La multiplicación agrupando,
2.3
Actividad
veces
Juq’o’
kak’al
waqi’
Trate de hacer la operación antes de continuar. Kajib’ mul juq’o’ kak’al waqib’.
Utilice sus materiales para realizar lo siguiente:
1) Represente las cantidades en un cuadriculado.
Ju.q’o’
ka.k’al
waqi’
2) Repita veces la cantidad de cada posición. Haga los cambios necesarios (recuerde que
cinco puntos se pueden expresar con una barra).
¿Cuánto obtuvo en total?
¿Está de acuerdo con que la operación que resuelve el problema es la siguiente?

60
3) Observe si hizo algo como lo siguiente:
4) En el primer cuadro de la tercera columna vemos que hay . Recuerde
que cuatro barras forman una veintena. Pase la veintena a la segunda posición hacia arriba (esto
implica cambiar cuatro barras por un punto). Al cambiar, quedan sobrando cuatro unidades
(cuatro puntos) que se dejan en la primera posición.
5) Comoenlasotrasposicionesnohaynecesidaddehacercambios,elresultadodelamultiplicación
es lo que se observa en la tercera columna.

61
Observe el procedimiento en forma abstracta. Kajib’ mul juq’o’ waqib’.
veces
Escriba las cantidades donde correspondan. Repita veces la cantidad de cada posición,
haciendo los cambios que simplifiquen la
expresión del resultado (cinco puntos por una
barra).
Cambie la veintena que está en la primera
posición por un punto que pasa a la segunda
posición.
Si quiere comprobarlo
en el sistema decimal:
4 x 446 = 1,784
Es importante recordar que cuatro barras en una posición (cualquier posición)
forma una veintena. Por tanto, se cambian por un punto que pasa a la posición
inmediata superior.
¿Qué bases matemáticas
se necesitan para
comprender el
procedimiento de
multiplicación en
el sistema maya o
vigesimal? ¿En qué
grados recomendaría
que se trabajara
para garantizar su
comprensión?

62
Observe otro ejemplo.
veces
Escriba las cantidades en donde corresponde. Repita veceslacantidaddecadaposición.
Puede simplificar los resultados cambiando
cinco puntos por una barra.
Cambie la veintena que está en la segunda
posición por un punto que pasa a la tercera
posición.
En la segunda posición queda .
Comprobando en sistema decimal:
5 x 903 = 4,515

63
Actividad
NOTA
NOTA: En el ejercicio 10, agregue filas al
cuadriculado para dar el resultado. Como
verá, al multiplicar la cantidad de la tercera
posición, deberá agrupar para formar una
veintena que pasa a la cuarta posición.
Realice las siguientes multiplicaciones.
1) veces
5) veces
4) veces
6) veces
7) veces
8) veces
9) veces
10) veces
2) veces
3) veces
¿Qué le parece si prueba con otras operaciones que
no fueron ejemplificadas? Con lo que sabe ya puede
realizarlas.
1) 2)

64
Como observa, la diferencia está en que el
primer factor (el que dice cuántas veces se
repite la otra cantidad) abarca dos posiciones
(una veintena y dos unidades). El autor de
este documento le propone un algoritmo para
realizar esa operación que se infiere de una
propuesta que hace el Dr. Leonel Morales.
Haremos la operación en forma abstracta.
Observe:
En el cuadriculado se colocará en la parte
inferior. En tal caso la posición de las unidades
será la primera columna y la de las veintenas
será la segunda columna; si tuviésemos una
cantidad que está en la tercera posición (q’o’)
se utilizaría la tercera columna y así se puede
continuar agregando columnas.
Observe cómo se coloca la cantidad:
La multiplicación agrupando,
2.4
Respecto a las multiplicaciones que ha hecho
hasta el momento, ¿qué diferencia encuentra
en la siguiente?
veintena (20)
veintena: k’al
unidad (1)
unidad
La cantidad que se repetirá se coloca en el lugar
correspondiente (al lado derecho y fuera del
cuadriculado). Como recordará las posiciones
se interpretan de abajo hacia arriba. Observe:
veintena: k’al
unidad
En resumen, el cuadriculado queda así:
Para continuar, ayudémonos recordando el
algoritmo de la multiplicación en el sistema
decimal. Por ejemplo, cuando se opera 34 x
56:
56
34
(veces)

65
a) Comienza con 4 x 56:
b) Sigue con 30 x 56 (aunque se opera sólo 3 x
56, realmente el 3 representa 3 decenas)
c) Suma los productos parciales.
56
34
224
+ 1680
Este cero se omite
y se dice que se
“corre el lugar” o
se deja vacío.
56
34
224
56
34
224
+ 168
1904
Lo anterior será “transferido” al algoritmo de
la multiplicación que estamos trabajando con
números mayas. Retomemos lo que teníamos
en el último cuadriculado.
a) Opere
b) Opere
El resultado se coloca en la segunda columna
pero “corriendo un lugar” o sea dejando una
casilla vacía. Esto se hace porque el punto
realmente está representando una veintena.
(Estrictamente se debiera colocar un cero en la
casilla que quedará vacía).

66
¿Cómo evalúa el procedimiento
para realizar las multiplicaciones
presentadas? ¿Qué condiciones se
necesitan para comprenderlo?
¿Y será que
multiplicaban números
grandes?
Resultado
c) Sume los productos parciales. El resultado
se puede mostrar en la tercera columna.
Puede comprobar expresando en sistema
decimal.
22 x 65 = 1,430

67
(veces)
(veces)
Analice otro ejemplo:
Comience colocando las cantidades fuera del
cuadriculado (observe dónde se coloca cada
cantidad).
a) Opere
b) Opere
c) Sume los productos parciales realizando los
cambios necesarios. Debe recordar que
una veintena (cuatro barras) se cambian por
un punto que pasa a la posición inmediata
superior.
Puede comprobar pasando a sistema
decimal.
64 x 125 = 8,000
Como observa, en el último paso hubo
necesidad de agregar una casilla porque se
formó una veintena en la tercera posición. Esto
de agregar casillas se puede hacer libremente y
según lo que ocurra en las operaciones que se
van realizando.

68
Actividad
Realice las siguientes multiplicaciones. Agregue las casillas que sean necesarias cuando los
resultados lo requieran.
1) veces
2) veces
3) veces
4) veces
6) veces
7) veces
8) veces
9) veces
10) veces
5) veces
¿Qué le parece si prueba con otras operaciones que no fueron ejemplificadas? Recuerde que
puede agregar las casillas que sean necesarias.
2)
1)

69
Si cada carga de leña rajada contiene 80 leños.
¿Cuántos leños contienen cinco cargas?
Con una multiplicación
podría calcular cuánto
se gasta al mes en
sueldos de diputados.
Sí. Yo también podría calcular
cuántas tortillas me como
durante el año.

73
¿Cómo se dice dividir en su
idioma maya, y cómo podemos
auxiliarnos del idioma para
comprender y facilitar esta
operación?
División sin
residuo (Caso 1)
2.1
1. Introducción
2. La división
Siguiendo la propuesta del Dr. Leonel Morales,
la división se operará como el proceso inverso
de la multiplicación. En otras palabras, dada la
cantidad a dividir (dividendo) y entre cuánto
se dividirá (divisor); se buscará el cociente que
multiplicado por el divisor dé el dividendo. Por
ejemplo, si se tiene 20 ÷ 4 nos preguntamos
qué número por cuatro nos da veinte.
Otra forma de considerarlo es decir cuántas
veces cabe una cantidad en otra. Volviendo al
ejemplo de 20 ÷ 4, la pregunta a responder es:
¿Cuántas veces cabe cuatro en veinte?
Le invitamos a trabajar algunos casos.
Don Tomás tiene quetzales. Quiere
repartirlos en partes iguales
entre sus hijos. ¿Cuántos quetzales le
dará a cada uno?
¿Está de acuerdo con que la operación que
corresponde es la siguiente?
repartido o entre
Para resolverlo sencillamente contestaremos
una de las siguientes preguntas:
¿Qué número multiplicado por da como
resultado o producto ?
O bien, ¿Cuántas veces cabe en ?
¿Ya tiene el resultado? Confirme:
Confirmando con una multiplicación:
entre es igual a
veces =
=
÷
24 ÷ 6 = 4

74
Actividad
Los mayas utilizaron
la división al diseñar
y distribuir los 365
escalones entre las
cuatro escalinatas de la
pirámide de K’uk’ulkan
o el Castillo que está
asociada al ciclo solar.
¿Se imagina de qué
manera?
Opere las siguientes divisiones.
3) repartido
4) repartido
6) repartido
7) repartido
8) repartido
9) repartido
10) repartido
5) repartido
1) repartido
2) repartido
Si divido bien tendré un
número exacto de gradas
en cada escalinata.

75
División sin
residuo (Caso 2)
2.2
¿Cuánto debemos
sembrar cada uno si
son 20 cuerdas?
¿Qué tal si
dividimos?
¿Cuántos grupos formará?
¿Está de acuerdo con que la operación que corresponde es la siguiente?
Lea el siguiente problema y plantee la operación:
A una bodega llegan machetes. La encargada decide guardarlos en grupos de .
repartido

76
Actividad
2) Comience la división en la tercera posición
del dividendo, visto en forma vertical.
Calcule cuantás veces cabe en .
Muestre ese resultado en la parte de
afuera del cuadriculado y en el lugar
correspondiente. Observe:
Utilice sus materiales para realizar la división
anterior.
1) Represente las cantidades en un
cuadriculado. Observe dónde se coloca
la cantidad que se repartirá (dividendo)
y la cantidad que indica entre cuánto se
repartirá (divisor).
q’o’
k’al
dividendo
divisor
cociente
3) Pase a la segunda posición del dividendo.
Calcule cuántas veces cabe en .
Muestre ese resultado afuera del
cuadriculado y en la
segunda posición. Observe:
3ª
4) Ahora pase a la primera posición del
dividendo. Calcule cuántas veces cabe
en en . Muestre ese resultado
afuera del cuadriculado y en
la primera posición. Observe:
¡Ahí tiene el resultado! (en la parte exterior
del cuadriculado).

77
Como ya habrá observado, tanto en el
sistema decimal como en el vigesimal, la
distribución se inicia con las posiciones
más altas, hasta finalizar con la unidad.
Ya observó que la división sigue la misma
secuencia con el decimal; la diferencia es que
los numerales mayas se colocan verticalmente
y no horizontalmente.
Ahora vea el procedimiento en forma
abstracta:
Comience anotando las cantidades en el
cuadriculado, como se muestra.
Calcule cuántas veces cabe en
Puede comprobarlo pasándolo al sistema
decimal:
2,655 ÷ 3 = 885

78
En K’iche’ se diría ‘kajach wajxaqk’al lajuj
(8k’ales y diez) chupam wajxaqib’ (ocho).’
¿En su idioma cómo se diría?
División con
residuo (Caso 3)
3) repartido
4) repartido
6) repartido
7) repartido
8) repartido
9) repartido
10) repartido
5) repartido
repartido
1) repartido
2) repartido
Actividad
Observe como se realiza la siguiente
división:
Comience colocando las cantidades en el
cuadriculado.
k’al Waxaqk’al
lajuj
2.3

79
Calcule cuántas veces cabe en Calcule cuántas veces cabe en
Como cabe una vez y sobra; se otro paso.
Opere vez y reste.
cociente
residuo
decimal.
170 ÷ 8 = 21 residuo 2
Analice otro ejemplo:
repartido
Se colocan las cantidades en el cuadriculado.

80
Calcule cuántas veces cabe en . Como
no cabe, se trabaja con la cantidad que se forma
con la tercera y segunda posición.
Entonces, calcule cuántas veces cabe en
.
Opere veces y reste.
Multiplique y reste.
cociente
residuo
decimal.
615 ÷ 10 = 61 residuo 5

81
Actividad
1) repartido
2) repartido
3) repartido
4) repartido
5) repartido
6) repartido
7) repartido
8) repartido
9) repartido
10) repartido
El Choltun, es un período de 360 días. ¿Cuántas veintenas
habrá en 360 días? ¿A qué período corresponde ese dato si
pensamos en la medición del tiempo en la cultura maya?

82
División con
residuo (Caso 4)
2.1
÷
Hay casos de división que requieren algunos
pasos más. Analice los siguientes ejemplos y
comprobará que son fáciles de realizar. Todo es
cuestión de paciencia y mucha observación.
Tome en cuenta que la disciplina,
observación, paciencia y práctica son
condiciones para realizar bien una
operación aritmética.
Ejemplo 1:
Vea cómo se resuelve en forma abstracta:
Multiplique y reste. Para hacer la resta, agregue
dos columnas.
Opere vez y reste.
“Baje” el a la par de lo que queda de la
primera resta.
Puede usar colores diferentes
para resaltar cada paso y así
distinguirlos hasta comprender
todo el procedimiento.
Queremos
una educación
contextualizada.
¿Qué tal si
aprendemos más
de matemática
maya?

83
Observe que el divisor que es juk’al
oxi’, una veintena y tres unidades,
está escrito en una fila, no en columnas.
Las tres unidades están escritas en la
derecha, y la veintena en la izquierda.
cociente
residuo
Para hacer la prueba, pasamos al sistema decimal: 214 ÷ 9 = 23 residuo 7.
÷
¿Observó que el divisor abarca dos posiciones? En este caso, al igual que en la multiplicación, se
colocará esa cantidad, en fila, en la parte inferior del cuadriculado y abarcando dos posiciones, vistas
de derecha a izquierda. Observemos:
Divisor, juk’al oxi’.
Observe otro caso.
Antes responda: Comparando con las divisiones que ya trabajó, ¿qué hay de diferente en la división
siguiente?

84
cociente
residuo
Calcule cuántas veces cabe
Observe cómo se realiza:
en
en
Como no es posible, calcule cuántas veces
cabe
Opere veces y reste.
Baje la cantidad de la primera posición a la par
de lo que queda de la resta.
en
Calcule cuántas veces cabe
1,004 ÷ 23 = 43 residuo 15

85
1) repartido
2) repartido
3) repartido
5) repartido
4) repartido
Actividad
7) repartido
10) repartido
6) repartido
8) repartido
9) repartido
11) repartido
12) repartido
13) repartido
14) repartido

86
Hasta este punto ya podemos sumar, restar, multiplicar y dividir en sistema
de numeración maya. Pero estos solo son algunos elementos culturales
que sirven para revalorizar lo nuestro. El reto es ir más allá y defender con
argumentos nuestros derechos. Por ejemplo, si sabemos que cerca del
50% de la población es maya, también debemos velar porque el 50% de
los docentes sean bilingües para atender a la población estudiantil en el
idioma materno que corresponda.
Algunas palabras finales
Al estudiar este texto tuvo la oportunidad de profundizar en la aritmética maya.
Pero es más importante practicar y, sobre todo, aplicar estos conocimientos en
la solución de problemas que requieren sumar, restar, multiplicar y/o dividir. Se le
invita a ampliar su uso en la familia y la comunidad. Ir más allá del contexto escolar
y aplicarlo en temas educativos, problemas tradicionales de agricultura, temas de
exclusión étnica y social. Asimismo se le extiende la invitación para que continúe
en la formación y reflexión de y con sus alumnas y alumnos y otros contextos
sobre la matemática maya y su aplicación.
¡Aprender operaciones de
matemática maya es parte la
contextualización!
Sí, pero no lo es todo.
El Estado debe ir más allá y
atender las necesidades
del pueblo maya.

87
Bibliografía
1. Bell, Max y otros. Estudios de matemática, Volumen IX. El curso
conciso en matemáticas para los profesores de escuela primaria.
Estados Unidos, 1966.
2. Caciá, Daniel y Reyes Caballeros, Roselia. Didáctica del sistema
de numeración maya y de sus operaciones aritméticas. Editorial
Piedra Santa. Guatemala, 2004.
Coto, Fray Tomás de.
3. DIGEBI- Caciá, Daniel. Jikomal Chomanik che le mayab’ Ajilanb’al.
MINEDUC. Guatemala, 2005.
4. Lorenzo, Booz y otros. Ajlab´il Tuj Oyol Mam. DIGEBI, FEBIMA-
CTB. Guatemala.
5. Morales, Leonel. Matemática Maya. Editorial “La Gran Aventura”.
Guatemala, 1994.
6. Morley, Sylvanus G. La civilización maya. Fondo de Cultura
Económica. México, 1968.

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