ESTADISTICA APLICADA

1. Ingeniería Industrial y
de Sistemas
Control estadístico de
procesos
EDA 2023
Prof. Valeria Quevedo

2. Contenido
I. Introducción
• Conceptos básicos de SPC
• Gráficos de control
II. Gráficos de control por variables
• Gráficos de control media-rango.
• Gráficos de control media-S.
III. Gráficos de observaciones individuales
IV. Gráfico de control por atributos
• Gráfico P y NP
• Gráficos C y U
V. Gráficos de control con memoria
• Gráfico de control EWMA

3. I. INTRODUCCIÓN

7. Fuente: cocacoladeperu.com.pe
Fuente: El Comercio Fuente: Kinsa

8. Variabilidad de un proceso
Nuestro interés está en controlar los indicadores de la calidad de un
proceso.
Cualquier proceso está sujeto a la influencia de muchos factores no
controlados, y por tanto a variabilidad en el resultado final.
Proceso
Variables
controlables
Variables
NO
controlables
Entrada,
materia prima,
componentes,
subensamblajes
, etc.
Características
de la calidad:
𝒚𝟏, 𝒚𝟐… 𝒚𝒏
Si repetimos un proceso en
condiciones homogéneas, las
magnitudes que estemos
utilizando para monitorear el
proceso no darán siempre el
mismo valor.

9. Variabilidad de un proceso
Entonces la magnitud que controlamos puede interpretarse como una variable
aleatoria.
El valor numérico concreto que obtenemos sería una realización de dicha variable
aleatoria.
Haremos el seguimiento en el tiempo de los indicadores que estén relacionados con
la calidad.
𝒚𝟏, 𝒚𝟐… 𝒚𝒏
𝒚𝟏, 𝒚𝟐… 𝒚𝒏

10. Variabilidad de un proceso
La idea principal es:
Si los factores que producen la variabilidad no se alteran, las magnitudes
que monitoreamos serán variables aleatorias de distribución estable y
reconocible.
Así, si en algún momento se produce algún cambio o desajuste, dicha
variabilidad cambiará y podremos detectar el desajuste.

11. Causas fortuitas y asignables de la variación de la calidad
Causas comunes o aleatorias
• Es la variación inherente al proceso.
• Difíciles de detectar y eliminar.
• Producen poca variabilidad.
• Pueden ser eliminadas solo a través
de mejoras en el sistema.
Se dice que un proceso que es
operado con únicamente causas
fortuitas de variación está bajo
control estadístico.
Causas asignables
• Variación debida a factores fáciles
de detectar.
• Fáciles de detectar y eliminar.
• Pueden ser eliminadas por el
operador o acción tomada por
gerencia.
Se dice que un proceso que opera
en presencia de causas asignables
está fuera de control.

17. Causas fortuitas y asignables de la variación de la calidad

18. Causas fortuitas y asignables de la variación de la calidad

19. Control estadístico de procesos
▪ El control estadístico de procesos (SPC por sus siglas en inglés) es un
conjunto de herramientas que pueden resultar en un proceso estable
y una reducción de la variabilidad.
▪ El objetivo del SPC es la reducción de la variabilidad en el proceso y
la identificación de causas asignables a fin de hacer la investigación
pertinente y tomar las acciones correctivas.
▪ Una de las herramientas del SPC son las cartas de control.

20. CARTAS DE CONTROL

21. Gráficos de control
El proceso es estable (o “en control estadístico”) si la distribución de
la característica de calidad no cambia en el tiempo.
Las cartas de control se usan para monitorear esta estabilidad.

22. LCI
LCS
Línea central
Característica
de la calidad
Número de muestra o tiempo
Gráficos de control

23. ▪ Los límites de control se determinan de tal manera que si el proceso está
bajo control, casi todos los puntos se localizarán entre ellos.
▪ Si un punto se localiza fuera de los límites de control, se interpreta como
evidencia que el proceso está fuera de control y se requiere investigación y
posterior acción correctiva.
▪ La práctica usual es usar los límites de control Shewhart o “3-sigma”.
Reaccionar solo si un punto sale fuera de esos límites o si hay un patrón
inusual.
𝑳𝑪𝑺: 𝑬 𝜽 + 𝟑 𝑽𝒂𝒓(𝜽)
𝑳í𝒏𝒆𝒂 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍: 𝑬 𝜽
𝑳𝑪𝑰: 𝑬 𝜽 − 𝟑 𝑽𝒂𝒓(𝜽)
Gráficos de control

24. ▪ Se debe tomar en cuenta el plan de muestreo, el tamaño de muestra, la
frecuencia del muestreo y se debe especificar la regla de decisión.
▪ Muestras muy grandes hacen más fácil de determinar cambios pequeños en
el proceso.
▪ Lo recomendable es tener muestras pequeñas y más frecuentes.
▪ Se asume que para esta gráfica la variable a medir es continua.
Diseño de un gráfico de control

25. Población vs. muestra
POBLACIÓN
MUESTRA 1 MUESTRA 2 MUESTRA 3 …

26. ▪ Asuma que la verdadera media del proceso es igual a 𝜇0 =74 y que la
desviación estándar del proceso es 𝜎0 =0.01. Se toman muestras de
tamaño 5. Es decir, por ejemplo:
Muestras 1 2 3 4 5
1 74.025 73.986 74.010 73.992 74.000
2 73.993 73.988 74.002 73.995 73.981
…
Diseño de un gráfico de control - ejemplo

27. Distribución de la media muestral
ഥ
𝑿 =
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏
𝒏
=
𝟏
𝒏
𝑿𝟏 +
𝟏
𝒏
𝑿𝟐 + ⋯ +
𝟏
𝒏
𝑿𝒏
Sea 𝑋 una variable aleatoria de media 𝝁 y desviación
estándar 𝝈, se define la media muestral:
Como 𝑋 es una variable aleatoria,
ഥ
𝑿 también será una variable aleatoria.

28. Distribución de la media muestral
𝑬 ഥ
𝑿 = 𝑬 𝑿 = 𝝁
𝝈ഥ
𝑿 =
𝝈
𝒏
ഥ
𝑿 =
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏
𝒏
=
𝟏
𝒏
𝑿𝟏 +
𝟏
𝒏
𝑿𝟐 + ⋯ +
𝟏
𝒏
𝑿𝒏
𝑆𝑒𝑎 𝜇 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑦 𝜎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙:

29. Distribución de la media muestral
Cuando la muestra es grande Cuando la población es normal
𝑛 > 30 𝑋 ~ 𝑁 𝜇, 𝝈
ഥ
𝑿 ~ 𝑵 𝝁; ൗ
𝝈
𝒏
PorelTeorema
CentraldelLímite
ഥ
𝑿 ~ 𝑵 𝝁; ൗ
𝝈
𝒏
Porser ҧ
𝑋lasumade
𝑛variablesnormales
𝑆𝑒𝑎 𝜇 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑦 𝜎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
ഥ
𝑿 =
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏
𝒏
=
𝟏
𝒏
𝑿𝟏 +
𝟏
𝒏
𝑿𝟐 + ⋯ +
𝟏
𝒏
𝑿𝒏

30. Distribución de la media muestral
𝐸 ഥ
𝑿 = 𝜇
𝜎 ത
𝑋
ഥ
𝑿
𝑆𝑒𝑎 𝜇 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑦 𝝈 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙:
𝜎 ത
𝑋 =
𝝈
𝒏

31. Distribución normal
μ−3𝝈 μ+3𝝈
Para una variable 𝑿 cualquiera
𝑬 𝑿 = 𝝁
𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 𝝈

32. Distribución normal
μ−3𝝈 μ+3𝝈
ഥ
𝑿 ഥ
𝑿 ഥ
𝑿 ഥ
𝑿 ഥ
𝑿 ഥ
𝑿
Para la media muestral ഥ
𝑿 (si es normal) 𝑬 ഥ
𝑿 = 𝝁
𝜎 ത
𝑋 =
𝝈
𝒏

33. Diseño de un gráfico de control - ejemplo
EN ESTE EJEMPLO SE VA A MONITOREAR ഥ
𝑿
LCI
LCS
Línea
central
Característica
de la calidad
Número de muestra o tiempo
Cada punto
representará la
media de una
muestra
𝝁 + 𝟑𝝈ഥ
𝒙
𝝁 − 𝟑𝝈ഥ
𝒙
𝑬 ഥ
𝑿 = 𝝁

34. Diseño de un gráfico de control - ejemplo
Proceso
(característica de
calidad)
Media muestral
𝑬 𝑿 = 𝝁 = 𝟕𝟒 𝝈 = 𝟎. 𝟎𝟏
𝑬 ഥ
𝑿 = 𝝁 = 𝟕𝟒 𝝈ഥ
𝑿 =
𝝈
𝒏
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟓
𝑿
ഥ
𝑿

35. Diseño de un gráfico de control - ejemplo
EN ESTE EJEMPLO SE VA A MONITOREAR ഥ
𝑿
LCI
LCS
Línea
central
Característica
de la calidad
Número de muestra o tiempo
Cada punto
representará la
media de una
muestra
𝝁 + 𝟑𝝈ഥ
𝒙
𝝁 − 𝟑𝝈ഥ
𝒙
𝑬 ഥ
𝑿 = 𝝁

36. ▪ Los límites de control «3 sigma» son:
𝑳𝑪𝑺 = 𝟕𝟒 + 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟓) = 𝟕𝟒. 𝟎𝟏𝟑𝟒
𝑳í𝒏𝒆𝒂 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 = 𝟕𝟒
𝑳𝑪𝑰 = 𝟕𝟒 − 𝟑(𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟓) = 𝟕𝟑. 𝟗𝟖𝟔𝟓
Diseño de un gráfico de control - ejemplo

37. ▪ En la fase de monitoreo (fase II), los límites de control Shewhart son
equivalentes a probar las hipótesis, repetidamente.
𝑯𝟎: 𝝁𝟎 =74
𝑯𝟏: 𝝁𝟎 ≠74
Donde 𝜎 = 0.01 es conocida.
Nota: La variable que se
“monitorea” es la media
muestral. Se hace uso del
teorema del límite central.
Relación entre límites de control y prueba de hipótesis

38. Si w es un estadístico muestral que mide alguna característica de
calidad de interés, en donde 𝝁𝒘 sea la media de ese estadístico.
LCS = 𝝁𝒘 + 𝑳 𝝈𝒘
Línea central= 𝝁𝒘
LCI = 𝝁𝒘 - 𝑳 𝝈𝒘
En donde L es la “distancia” de
los límites de control a la línea
central expresada en unidades
de desviación estándar.
Diseño para una carta de control Shewhart general

39. Proceso (característica
de calidad)
Media muestral
𝑿 ഥ
𝑿

40. ▪ Asuma que la verdadera media del proceso es igual a 𝝁𝟎 =74 y que la
desviación estándar del proceso es 𝝈𝟎 =0.01. Se toman muestras de
tamaño 5. Es decir, por ejemplo:
▪ Dado que en este caso conocemos la desviación estándar del
proceso 𝜎0 =0.01, podemos calcular la desviación del promedio
muestral:
𝜎 ҧ
𝑥 =
𝜎
5
= 0.0045
Muestras 1 2 3 4 5
1 74.025 73.986 74.010 73.992 74.000
2 73.993 73.988 74.002 73.995 73.981
…
ҧ
𝑥1 = 74.0026
ҧ
𝑥2 = 73.9919
Diseño de un gráfico de control - ejemplo

41. Usemos Excel…
Muestras 1 2 3 4 5
1 73.971031 74.0003334 73.995556 74.0130571 73.997109
2 73.9996644 74.0037135 74.0059198 73.98646 74.0016841
3 73.9908176 73.9913247 74.0026517 74.0069224 73.997863
4 73.9970576 73.9958431 74.004188 73.9910818 74.0085293
5 74.0023409 74.0125813 74.0022825 74.0007644 74.0214959
6 73.9940216 74.007898 74.0129357 73.9924453 73.9948626
7 73.9869703 74.0017506 73.9988193 73.9969878 74.0023767
8 74.0113154 73.9907885 73.9771845 73.9914104 74.0118984
9 74.0034713 74.0002881 74.0070487 73.9943513 74.008815
10 74.0098341 73.989565 74.0089575 73.9872773 74.0012378

42. ▪ Fase I: Se toman muestras a lo largo del tiempo. Se verifica la estabilidad
eliminando las causas asignables de variación. Se establecen límites de
control de prueba.
▪ Fase II: Se toman muestras periódicas del proceso. Se estiman los límites en
base la data de la fase I. Se evalúa si el proceso está en control. Se corrige
el proceso cuando ocurran problemas.
Fases del SPC

43. Fase I es sobre
aprendizaje
Fase II es sobre
monitoreo, sobre
“detección”
Fases del SPC

44. Si L=3 , bajo el supuesto de normalidad,
aproximadamente el 99.73% de los valores
muestrales caen dentro de los límites “3 sigma”•
Así, 0.27% de los valores caerán fuera de los
límites de control.
0.27% es la probabilidad de cometer el error Tipo I
o falsa alarma en esta situación.
Diseño para una carta de control Shewhart general

45. ▪ Estos límites son típicamente
establecidos a +/- 2 desviaciones
estándar de la media del gráfico o
línea central.
▪ Si dos de tres valores
CONSECUTIVOS caen entre estos
límites y los límites de control,
puede que el proceso no esté
operando correctamente.
▪ Ventaja: aumentan la sensibilidad
de las cartas de control.
Desventaja: Riesgo incrementado
de falsas alarmas.
Límites de advertencia en cartas de control

46. Otras reglas de sensibilidad para las cartas de control Shewhart

47. II. CARTAS DE CONTROL PARA
VARIABLES

48. ▪ Una variable es una característica particular medible de la Calidad
que puede ser medida en una escala numérica continua. Por ejemplo,
pesos, longitudes, tiempos, etc.
▪ Cuando se trabaja con variables, se debe monitorear ambos, la media
de la característica de Calidad y su variabilidad.
▪ El control medio del proceso suele hacerse con la carta de control
para medias o carta ഥ
𝑿.
▪ La variabilidad del proceso puede monitorearse con:
▪ Una carta de control para la desviación estándar, llamada carta S.
▪ Una carta de control para el rango, llamada carta R.
Introducción

49. ▪ Entonces para la carta de control ഥ
𝑿:
LCS: μ + 3
𝜎
𝑛
Línea central: 𝜇
LCI: μ − 3
𝜎
𝑛
Si μ y 𝜎 son conocidas, entonces se pueden usar esos límites.
Pero…. Usualmente son desconocidas!
Entonces se deben estimar.
Carta de control ഥ
𝑿

50. ▪ Supongamos que:
Muestra 1: 𝑥11, 𝑥12… 𝑥1𝑛
Muestra 2: 𝑥21, 𝑥22… 𝑥2𝑛
…
Muestra k: 𝑥𝑘1, 𝑥𝑘2… 𝑥𝑘𝑛
ҧ
𝑥1; 𝑠1 =
σ𝑗=1
𝑛
(𝑥1𝑗− ҧ
𝑥1)2
𝑛−1
; 𝑅1 = max 𝑥11, …𝑥1𝑛 − min 𝑥11, … 𝑥1𝑛
ҧ
𝑥2; 𝑠2=
σ𝑗=1
𝑛
(𝑥2𝑗− ҧ
𝑥2)2
𝑛−1
; 𝑅2 = max 𝑥21, …𝑥2𝑛 − min 𝑥21, … 𝑥2𝑛
ҧ
𝑥𝑘 ; 𝑠𝑘; 𝑅𝑘
Estimación de μ y 𝜎

51. Muestra 1: 𝑥11, 𝑥12… 𝑥1𝑛 ҧ
𝑥1
Muestra 2: 𝑥21, 𝑥22… 𝑥2𝑛 ҧ
𝑥2
…
Muestra k: 𝑥𝑘1, 𝑥𝑘2… 𝑥𝑘𝑛 ҧ
𝑥𝑘
Ƹ
𝜇 = Ӗ
𝑥 =
ҧ
𝑥1+ ҧ
𝑥2… ҧ
𝑥𝑘
𝑘
Estimación de μ

52. Muestra 1: 𝑥11, 𝑥12… 𝑥1𝑛 𝑠1; 𝑅1
Muestra 2: 𝑥21, 𝑥22… 𝑥2𝑛 𝑠2; 𝑅2
…
Muestra k: 𝑥𝑘1, 𝑥𝑘2… 𝑥𝑘𝑛 𝑠𝑘; 𝑅𝑘
ෝ
𝝈 ∝ ഥ
𝑹
ഥ
𝑹 =
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 … 𝑹𝒌
𝒌
ෝ
𝝈 ∝ ഥ
𝑺
Usando la
desviación
estándar
muestral s
Usando el
rango
muestral R
ഥ
𝑺 =
𝒔𝟏 + 𝒔𝟐 … 𝒔𝒌
𝒌
Estimación de 𝜎: Hay dos opciones

53. CARTAS DE CONTROL PARA ഥ
𝑿 Y R

54. Muestra 1: 𝑥11, 𝑥12… 𝑥1𝑛 𝑅1
Muestra 2: 𝑥21, 𝑥22… 𝑥2𝑛 𝑅2
…
Muestra k: 𝑥𝑘1, 𝑥𝑘2… 𝑥𝑘𝑛 𝑅𝑘
ෝ
𝝈 ∝ ഥ
𝑹
ഥ
𝑹 =
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 … 𝑹𝒌
𝒌
Estimación de 𝜎: Usando los rangos

55. ▪ Límites para la carta de control ഥ
𝑿:
LCS: Ӗ
𝑥 + 𝐴2
ത
𝑅
Línea central: Ӗ
𝑥
LCI: Ӗ
𝑥 − 𝐴2
ത
𝑅
LCS: μ + 3
𝜎
𝑛
Línea central: 𝜇
LCSI μ − 3
𝜎
𝑛
𝝁 = ഥ
ഥ
𝒙 &
ෝ
𝝈 ∝ ഥ
𝑹
𝟑
ෝ
𝝈
𝒏
= 𝑨𝟐
ഥ
𝑹
Carta de control ഥ
𝑿, usando el rango
Al no conocer μ y 𝜎,
debemos estimarlos.

56. ▪ Límites para la carta de control R:
LCS: 𝐷4
ത
𝑅
Línea central: ത
𝑅
LCI: 𝐷3
ത
𝑅
Las constantes A2, D3, y D4 dependen del tamaño de cada muestra
(valor de n).
Se muestran en la siguiente diapositiva.
Carta de control 𝑹

58. Muestras P1 P2 P3 P4
1 65 66 67 68
2 65 66 67 67
3 68 65 67 64
4 67 66 68 67
5 67 66 66 67
6 67 67 66 68
7 68 64 67 68
8 67 66 67 67
9 66 68 66 66
10 66 67 67 67
11 66 68 67 67
12 66 66 67 67
13 65 67 65 67
14 68 66 65 67
15 66 67 67 67
16 65 67 67 66
17 67 67 66 66
18 67 67 68 67
19 67 67 68 68
20 68 67 67 67
Ejemplo

59. ▪ Paso 1: Calcular la media y el rango de cada muestra.
▪ Paso 2: Calcular las media de medias Ӗ
𝑥 y la media de los rangos ത
𝑅. Se
recomienda usar 20 muestras para el cálculo
▪ Ӗ
𝑥 = 66.675 y ത
𝑅 = 1.85
▪ Paso 3: Calcular los límites para el gráfico de las medias.
▪ Paso 4: Calcular los límites para el gráfico de los rangos.
Construcción de las carta de control ഥ
𝑿 y R - Ejemplo

60. Ejemplo

61. Recordar que si se está en la fase I, estos límites son límites de prueba.
▪ Paso 5. Si existiera algún punto fuera de control (fuera de los límites), se
eliminan esos puntos (asumiendo que existe causa asignable) y se
recalculan límites y gráficos.
▪ Paso 6. Si no hay puntos fuera de los límites, se dice que el proceso
está en control. Se adoptan los límites de prueba como límites para la
fase II, el monitoreo futuro.
▪ Paso 7. Revisar periódicamente los límites. Siempre calculando los
límites cada 20 muestras.
Construcción de las carta de control ഥ
𝑿 y R - Ejemplo

62. CARTAS DE CONTROL PARA ഥ
𝑿 Y S

63. Muestra 1: 𝑥11, 𝑥12… 𝑥1𝑛 𝑠1
Muestra 2: 𝑥21, 𝑥22… 𝑥2𝑛 𝑠2
…
Muestra k: 𝑥𝑘1, 𝑥𝑘2… 𝑥𝑘𝑛 𝑠𝑘
ෝ
𝝈 ∝ ഥ
𝑺
ഥ
𝑺 =
𝒔𝟏 + 𝒔𝟐 … 𝒔𝒌
𝒌
Estimación de 𝜎: Usando las desviaciones estándar muestrales

64. ▪ Límites para la carta de control ഥ
𝑿:
LCS: Ӗ
𝑥 + 𝐴3
ҧ
𝑆
Línea central: Ӗ
𝑥
LCI: Ӗ
𝑥 − 𝐴3
ҧ
𝑆
LCS: μ + 3
𝜎
𝑛
Línea central: 𝜇
LCSI μ − 3
𝜎
𝑛
𝝁 = ഥ
ഥ
𝒙 &
ෝ
𝝈 ∝ ഥ
𝑺
𝟑
ෝ
𝝈
𝒏
= 𝑨𝟑
ഥ
𝑺
Carta de control ഥ
𝑿, usando S

65. ▪ Límites para la carta de control 𝑺
LCS: 𝐵4
ҧ
𝑆
Línea central: ҧ
𝑆
LCI: 𝐵3
ҧ
𝑆
Las constantes A3, B3, y B4 dependen del tamaño de cada muestra (valor
de n).
Carta de control S

67. Muestras P1 P2 P3 P4
1 65 66 67 68
2 65 66 67 67
3 68 65 67 64
4 67 66 68 67
5 67 66 66 67
6 67 67 66 68
7 68 64 67 68
8 67 66 67 67
9 66 68 66 66
10 66 67 67 67
11 66 68 67 67
12 66 66 67 67
13 65 67 65 67
14 68 66 65 67
15 66 67 67 67
16 65 67 67 66
17 67 67 66 66
18 67 67 68 67
19 67 67 68 68
20 68 67 67 67
Xbarra-S
Ejemplo

68. ▪ Paso 1: Calcular la media y la desviación estándar de cada muestra.
▪ Paso 2: Calcular las media de medias Ӗ
𝑥 y la media de las desviaciones
estándar ҧ
𝑆. Se recomienda usar 20 muestras para el cálculo
▪ Ӗ
𝑥 = 66.675 y ҧ
𝑆 = 0.88146
▪ Paso 3: Calcular los límites para el gráfico de las medias.
LCS: Ӗ
𝑥 + 𝐴3
ҧ
𝑆 = 66.675 + 1.628*0.88146
Línea central: Ӗ
𝑥 = 66.675
LCI: Ӗ
𝑥 − 𝐴3
ҧ
𝑆 = 66.675 − 1.628∗0.88146
▪ Paso 4: Calcular los límites para el gráfico de los rangos:
LCS: 𝐵4
ҧ
𝑆 = 2.266*0.88146
Línea central: ҧ
𝑆 = 0.88146
LCI: 𝐵3
ҧ
𝑆 = 0
Construcción de las carta de control ഥ
𝑿 y S - Ejemplo

69. Recordar que si se está en la fase I, estos límites son límites de prueba.
▪ Paso 5. Si existiera algún punto fuera de control (fuera de los límites), se
eliminan esos puntos (asumiendo que existe causa asignable) y se
recalculan límites y gráficos.
▪ Paso 6. Si no hay puntos fuera de los límites, se dice que el proceso
está en control. Se adoptan los límites de prueba como límites para la
fase II, el monitoreo futuro.
▪ Paso 7. Revisar periódicamente los límites. Siempre calculando los
límites cada 20 muestras.
Construcción de las carta de control ഥ
𝑿 y S - Ejemplo

70. Ejemplo Fase I y Fase II
Un ingeniero civil que supervisa una importante expansión de una autopista desea monitorear los tiempos
de llenado de los camiones de volteo. Cada día, mide cuánto tiempo se demora el llenado de cinco
camiones seleccionados al azar.
Use las primeras 15 muestras para el análisis de fase I y el resto para fase II.
Muestras X1 X2 X3 X4
1 18 21 19 19
2 19 25 18 17
3 18 17 23 18
4 19 18 19 21
5 21 19 22 21
6 19 25 9 17
7 15 21 21 19
8 19 16 18 23
9 20 16 13 19
10 19 25 16 19
11 15 17 23 17
12 18 23 22 22
13 22 21 26 24
14 17 22 17 22
15 19 17 20 25
16 22 14 16 21
17 23 20 20 19
18 15 21 16 14
19 17 18 15 19
20 17 18 16 19

71. INTERPRETACIÓN DE LAS CARTAS DE
CONTROL

72. Ciclos:
• Cambios sistemáticos ambientales
(temperature, humedad, etc.)
• Fatiga de operarios.
• Rotación de operarios
• Patrón mezclado es generado por dos o
mas distribución traslapadas en la
salida del proceso.
• Muestras de varias fuentes (p.ejem.
Máquinas en paralelo)
Patrones no aleatorios habituales

73. Cambios en el proceso:
• Cambios en el método de
trabajo.
• De equipos.
• Cambio de insumos.
• Desgaste de
herramientas o de algún
componente.
• Fatiga del operador.
• Influencia estacionales.
Aparente falta de variabilidad.
• Se puede deber a
incorrectos límites de
control.
• O cada muestra contiene
medidas de diferentes
máquinas.
Patrones no aleatorios habituales

74. Patrones no aleatorios habituales

75. III. CARTAS DE CONTROL SHEWHART
PARA MEDICIONES INDIVIDUALES

76. ▪ Este caso es muy común:
➢En inspecciones automáticas en donde cada unidad manufacturada es analizada.
➢Cuando el ratio de producción es lento y no conviene tener tamaño de muestras
mayores a 1.
➢En muchos procesos químicos en donde las mediciones de una variable difieren
muy poco.
En este caso, cuando la muestra solo tiene una observación, se usa la
carta de control Shewhart para mediciones individuales X y de rango
móvil RM.
¿Qué pasa si el tamaño de muestra es n=1?

77. Recuerden que nuestro objetivo sigue siendo
monitorear la media del proceso y su variabilidad.
▪ Recuerden que:
LCS: 𝐸 𝜃 + 3 𝑉𝑎𝑟(𝜃)
Línea central: 𝐸 𝜃
LCI: 𝐸 𝜃 − 3 𝑉𝑎𝑟(𝜃)
▪ Entonces para la carta de control X:
LCS: μ + 3𝜎
Línea central: 𝜇
LCI: μ − 3𝜎
¿Qué pasa si el tamaño de muestra es n=1?

78. Muestra 1: 𝑥1
Muestra 2: 𝑥2
…
Muestra k: 𝑥𝑘
Ƹ
𝜇 = ҧ
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 … + 𝑥𝑘
𝑘
Estimación de μ

79. Muestra 1: 𝑥1
Muestra 2: 𝑥2
Muestra 3: 𝑥3
…
Muestra k: 𝑥𝑘
ෝ
𝝈 ∝ 𝑹𝑴
𝑹𝑴 =
𝑹𝑴𝟏 + 𝑹𝑴𝟐 … 𝑹𝑴𝒌−𝟏
𝒌 − 𝟏
Notar: Aquí se considera n=2.
Pero aquí n no es el tamaño de muestra, sino el número
de observaciones que se usa para calcular el RM.
𝑅𝑀1 = 𝑥2 − 𝑥1
𝑅𝑀2 = 𝑥3 − 𝑥2
𝑅𝑀𝑘−1 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
Estimación de 𝜎: Usando los RM

80. ▪ Límites para la carta de control 𝑿
LCS: ҧ
𝑥 + 𝐸2𝑅𝑀
Línea central: ҧ
𝑥
LCI: ҧ
𝑥 − 𝐸2𝑅𝑀
▪ Límites para la carta de control 𝑹𝑴
LCS: 𝐷4𝑅𝑀
Línea central: 𝑅𝑀
LCI: 𝐷3𝑅𝑀
Notar que son los mismos
límites que la carta de
control R.
Para la constantes 𝐷3, y 𝐷4
se usa n=2 pues se han
usado dos observaciones
para el cálculo de cada
RM.
Para la constante E2, se
usa n=2 pues se han
usado dos
observaciones para el
cálculo de cada RM.
Carta de control 𝑿 𝒚 𝑹𝑴

82. Muestra Tiempo
Rango
móvil
1 63
2 64 1
3 65 1
4 65 0
5 66 1
6 65 1
7 65 0
8 67 2
9 67 0
10 63 4
11 68 5
12 64 4
13 64 0
14 64 0
15 63 1
16 63 0
17 65 2
18 62 3
19 63 1
20 66 3
Ejemplo

83. Ejemplo
▪ Límites para la carta de control 𝑿
LCS: ҧ
𝑥 + 𝐸2𝑅𝑀 = 64.6 + 2.66 ∗ 1.53 = 68.67
Línea central: ҧ
𝑥 = 64.6
LCI: ҧ
𝑥 − 𝐸2𝑅𝑀= 64.6 − 2.66 ∗ 1.53 = 60.53
▪ Límites para la carta de control 𝑹𝑴
LCS: 𝐷4𝑅𝑀 = 3.267 ∗ 1.53 = 5
Línea central: 𝑅𝑀 = 1.53
LCI: 𝐷3𝑅𝑀 = 0
ҧ
𝑥 = 64.6
𝑅𝑀 = 1.53

84. Ejemplos

85. ▪ La carta de control 𝑋 se interpreta de la misma manera que las cartas
de control ത
𝑋.
▪ Sí debe tomarse muy en serio el supuesto de normalidad para las
cartas de control para mediciones individuales.
▪ Pero las cartas de RM no pueden interpretarse de la misma manera
que las cartas S o R.
▪ Esto debido a que los valores de las cartas de RM están
correlacionados, entonces buscar patrones en esta carta, no tiene
sentido.
▪ Entonces se debe poner más énfasis en la interpretación de la carta X
que las de RM.
Interpretación de la carta de control para
mediciones individuales

86. Para valores
individuales
Resumen – carta de control para variables

87. IV. CARTAS DE CONTROL PARA
ATRIBUTOS

88. Atributos
▪ Muchas características de la calidad no pueden representarse con
valores numéricos.
▪ En muchos casos cada artículo o “item” se puede clasificar como
conforme o disconforme. También se puede usar el “defectuoso” o
“no defectuoso”.
▪ A las características de calidad de este tipo se les llama atributos.
▪ Hay dos tipos:
Artículos
defectuosos
Número de disconformidades
(incidencias, defectos) por unidad.

89. Artículos defectuosos
Número de disconformidades
(incidencias, defectos) por
unidad de inspección
Proporción de
defectuosos
Número de
defectuosos
Carta de control
p
Carta de control
np
• Número de quejas por unidad
de inspección
• Número de defectos por
unidad de inspección.
• Número de llamadas por
unidad de inspección.
Carta de control
c y u
Atributos

90. CARTAS DE CONTROL PARA P Y NP

91. ▪ La proporción de disconformes es el cociente del número de
elementos disconformes de la población y el número total de artículos
que componen dicha población.
▪ El artículo es inspeccionado y si no se ajusta al estándar se clasifica
como disconforme.
𝒏 es el número de elementos
tomados para la inspección.
𝑫𝒊 número de elementos
disconformes de la muestra.
ො
𝒑𝒊 =
𝑫𝒊
𝒏
proporción de
disconformes
Fracción o proporción de disconformes

92. ▪ Se trata de monitorear la proporción de disconformes muestral ෝ
𝒑𝒊 en
el tiempo:
¿Qué tipo de variable es
ෝ
𝒑𝒊 y qué distribución
sigue?
LCS: 𝑬 ෝ
𝒑𝒊 + 𝟑 𝑽𝒂𝒓(ෝ
𝒑𝒊)
Línea central: 𝑬 ෝ
𝒑𝒊
LCI: 𝑬 ෝ
𝒑𝒊 − 𝟑 𝑽𝒂𝒓(ෝ
𝒑𝒊)
Carta de control p

93. ▪ Recuerden que “el número de ocurrencias” 𝐷𝑖 en una muestra 𝑛 sigue
una distribución binomial. En donde:
▪ Todos los n eventos son independientes.
▪ Cada ocurrencia o elemento se caracteriza por poseer el atributo o no
tenerlo. Por ejemplo, “disconforme” o “conforme”.
▪ La probabilidad de tener dicho atributo es 𝒑 y es constante.
Distribución de número de ocurrencias

94. ▪ Entonces 𝐷𝑖 (número de ocurrencias o disconformes) sigue una
distribución binomial con parámetros p y n, en donde:
𝑃 𝐷𝑖 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
en donde 𝑥 = 0,1, … 𝑛
▪ Si la variable aleatoria es la proporción de disconformes Ƹ
𝑝𝑖
ෝ
𝒑𝒊 =
𝑫𝒊
𝒏
𝑬 ෝ
𝒑𝒊 = 𝒑; 𝑽𝒂𝒓 ෝ
𝒑𝒊 =
𝒑 𝟏 − 𝒑
𝒏
Distribución binomial

95. ▪ Sabemos que Ƹ
𝑝𝑖~𝐵 𝑛, 𝑝
▪ Además, si 𝑛𝑝 > 5 y 𝑛(1 − 𝑝) > 5, la distribución de Ƹ
𝑝𝑖 se aproximará a
una distribución normal:
Ƹ
𝑝𝑖~𝑁(𝑝,
𝑝 1 − 𝑝
𝑛
)
Distribución de la fracción de disconformes

96. LCS: 𝑝 + 3
𝑝 1−𝑝
𝑛
Línea central: 𝑝
LCI: 𝑝 − 3
𝑝 1−𝑝
𝑛
¿Y si no conocemos 𝑝?
LCS: 𝐸 Ƹ
𝑝𝑖 + 3 𝑉𝑎𝑟( Ƹ
𝑝𝑖)
Línea central: 𝐸 Ƹ
𝑝𝑖
LCI: 𝐸 Ƹ
𝑝𝑖 − 3 𝑉𝑎𝑟( Ƹ
𝑝𝑖)
Carta de control p

97. LCS: ҧ
𝑝 + 3
ҧ
𝑝 1− ҧ
𝑝
𝑛
Línea central: ҧ
𝑝
LCI: ҧ
𝑝 − 3
ҧ
𝑝 1− ҧ
𝑝
𝑛
En donde ҧ
𝑝 =
σ𝑖=1
𝑘
𝐷𝑖
σ𝑖=1
𝑘
𝑛𝑖
Recordar que k es el número de muestras. Si n no es el mismo, se debe
usar ത
𝑛 =
σ𝑖=1
𝑘
𝑛𝑖
𝑘
LCS: 𝐸 Ƹ
𝑝𝑖 + 3 𝑉𝑎𝑟( Ƹ
𝑝𝑖)
Línea central: 𝐸 Ƹ
𝑝𝑖
LCI: 𝐸 Ƹ
𝑝𝑖 − 3 𝑉𝑎𝑟( Ƹ
𝑝𝑖)
Carta de control p, si no conocemos p

98. Muestras Tamaño de lote
Unidades
defectuosas
1 724 48
2 763 83
3 748 70
4 748 85
5 724 45
6 727 56
7 726 48
8 719 67
9 759 37
10 745 52
11 736 47
12 739 50
13 723 47
14 748 57
15 770 51
16 756 71
17 719 53
18 757 34
19 760 29
20 742 37
21 726 50
22 751 66
Ejemplo

99. Ejemplos

100. También se puede monitorear el número de disconformes 𝐷𝑖. Recordar
que el número de disconformes sigue una distribución binomial con
parámetros n y p.
Sabemos que si n es grande, la distribución de 𝐷𝑖 sigue una
distribución Normal:
𝐷𝑖~𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
LCS: 𝐸 𝐷𝑖 + 3 𝑉𝑎𝑟(𝐷𝑖)
Línea central: 𝐸 𝐷𝑖
LCI: 𝐸 𝐷𝑖 − 3 𝑉𝑎𝑟(𝐷𝑖)
LCS: 𝑛 ҧ
𝑝 + 3 𝑛 ҧ
𝑝 1 − ҧ
𝑝
Línea central: n ҧ
𝑝
LCI: n ҧ
𝑝 − 3 𝑛 ҧ
𝑝 1 − ҧ
𝑝
Carta de control np

101. Artículos defectuosos
Número de disconformidades
(incidencias, defectos) por
unidad de inspección
Proporción de
defectuosos
Número de
defectuosos
Carta de control
p
Carta de control
np
• Número de quejas por unidad
de inspección
• Número de defectos por
unidad de inspección.
• Número de llamadas por
unidad de inspección.
Carta de control
c y u
Atributos

102. CARTAS DE CONTROL PARA C Y U

103. ▪ En muchos casos, un elemento puede tener una o más
disconformidades (o defectos).
▪ También podría interesar el número de eventos adversos que ocurren
en un intervalo de tiempo.
▪ En estos casos es útil una carta de control para monitorear el número
de disconformidades (o defectos) para una unidad de inspección.
▪ La unidad de inspección es siempre la misma (una unidad, tiempo,
área, etc.)
▪ Por ejemplo:
▪ Número de defectos observados en un producto.
▪ Número de defectos en 100 metros de oleoducto
▪ Número de quejas en 100 llamadas, etc.
Número de disconformidades

104. ▪ Si consideramos a 𝑥 como el número de disconformidades en una
unidad de inspección, ésta puede ser modelada por la distribución de
Poisson con parámetro c. Es decir: 𝑥~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝑐)
▪ En donde:
𝑝 𝑥 =
𝑒−𝑐𝑐𝑥
𝑥!
Con 𝑥 = 0,1,2 …
▪ Recordar que la media y varianza de una variable que sigue una
distribución Poisson son:
𝐸 𝑥 = 𝑐
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝑐
Número de disconformidades

105. ▪ Sabemos además que si el número de sucesos observados es mayor
a 5, la distribución de Poisson se puede ajustar a una Normal:
𝑥𝑖~𝑁 𝑐, 𝑐
Por lo tanto:
LCS: 𝐸 𝑥𝑖 + 3 𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖)
Línea central: 𝐸 𝑥𝑖
LCI: 𝐸 𝑥𝑖 − 3 𝑉𝑎𝑟(𝑥𝑖)
LCS: ҧ
𝑐 + 3 ҧ
𝑐
Línea central: ҧ
𝑐
LCI: ҧ
𝑐 − 3 ҧ
𝑐
En donde ҧ
𝑐 =
σ𝑖=1
𝑘
𝑥𝑖
𝑘
Carta de control C

106. Ejemplo

107. Ejemplo
El límite de control inferior sale
negativo, por lo tanto se toma
el valor de 0.

108. Ejemplo
Dado que hay un punto fuera de control. Se asume que
se identificó la causa asignable y se elimina dicho punto.
Luego se recalculan los límites.

109. ▪ Debemos usar la carta de control U cuando el número de tamaño de
muestra o unidad de inspección cambia.
▪ Por ejemplo, en el primer subgrupo se obtiene 10 quejas en 100
llamadas. Aquí la unidad de inspección es 100 llamadas. Pero luego
por alguna razón, la unidad de inspección cambia a 200, y en esas
200, se obtienen 12 quejas.
▪ En este caso se puede calcular el número medio de defectos por
unidad. Por ejemplo, para el primer subgrupo se obtiene 10/100, y
para el segundo 12/200.
▪ Como se observa, la variable ya no es entera, ya que es un promedio
por unidad.
Carta de control U

110. ▪ En este caso le llamamos 𝑢𝑖 =
𝑥𝑖
𝑛𝑖
al número medio de defectuosos por
unidad de inspección.
▪ Sabemos que si el número de sucesos observados es mayor a 5,
𝑥𝑖~𝑁 𝑐, 𝑐 , por lo que se puede derivar (se verá en clase) que:
𝑢𝑖~𝑁 𝑢,
𝑢
𝑛𝑖
Por lo tanto:
LCS: 𝐸 𝑢𝑖 + 3 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖)
Línea central: 𝐸 𝑢𝑖
LCI: 𝐸 𝑢𝑖 − 3 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖)
LCS: ത
𝑢 + 3
ഥ
𝑢
𝑛𝑖
Línea central: ത
𝑢
LCI: ത
𝑢 − 3
ഥ
𝑢
𝑛𝑖
En donde ത
𝑢 =
σ𝑖=1
𝑘
𝑥𝑖
σ𝑖=1
𝑘 𝑛𝑖
Notar que los
límites cambian
cuando el número
de sucesos
observados
cambia
Carta de control U

111. Ejemplo 2
▪ En una planta de acabados textiles se inspecciona la tela teñida para
la ocurrencia de defectos en cada 50 metros cuadrados. En la
siguiente tabla se muestran los datos de diez rollos de tela. Se usarán
estos datos para establecer una carta de control para las
disconformidades por unidad.
Muestra
Número todal de
disconformidades
Nro. de unidades
de inspección en
el rollo, n
1 14 10
2 12 8
3 20 13
4 11 10
5 7 9.5
6 10 10
7 21 12
8 16 10.5
9 19 12
10 23 12.5

112. Ejemplo 2
ത
𝑢 =
153
107.5
= 1.423
Los límites de control son
variables, dependiendo
del valor de 𝑛𝑖
Resolveremos el ejemplo
en clase.

113. Solo tener en
cuenta que 𝒏
puede ser variable
Resumen – carta de control para atributos

114. V. GRÁFICOS DE CONTROL CON
MEMORIA

115. Gráficos de control con memoria
▪ Gráficos anteriormente estudiados pueden ser poco efectivos para
detectar desajustes pequeños (tardan mucho, sirven bien desajustes
grandes).
▪ Otra desventaja de las cartas de control Shewhart es que se demoran
en detectar cambios pequeños en la media.
▪ Como alternativas a este problema, se pueden usar las cartas de
control:
• De suma acumulada (CUSUM)
• Del promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA)

116. • El término CUSUM procede del inglés cumulative-sum, que significa
suma acumulada.
• Los gráficos CUSUM se basan en la representación de la
acumulación de las desviaciones de cada observación respecto a
un valor de referencia.
Principios básicos de CUSUM

117. • Asumamos que cuando un proceso está en control, sus observaciones
siguen 𝑥𝑖~𝑁 𝜇0, 𝜎0 . Luego, al igual que antes, tenemos los valores:
𝑥1, 𝑥2,…𝑥𝑘
• En CUSUM, se compara cada una de estos valores con el valor nominal 𝜇0
y se calcula la desviación: 𝑥𝑖 − 𝜇0.
• Esas desviaciones se van acumulando, 𝐶𝑖
+
acumula las desviaciones por
encima de 𝜇0 y 𝐶𝑖
−
acumula aquellas por debajo de 𝜇0.
Usualmente se quiere
detectar cambios
pequeños en la media,
de 1 𝝈, entonces:
𝑲 =
𝝈
𝟐
Principios básicos de CUSUM

118. Principios básicos de CUSUM
LCS = 𝟓𝝈
LC= 0
LCI = −𝟓𝝈
Si se quiere detectar
cambios pequeños en
la media:
𝑲 =
𝝈
𝟐

119. Se muestran los valores del tiempo de espera en la atención a clientes
que llamaban a una línea comercial. Es el tiempo, en segundos, desde
que contestan a la llamada hasta que se es atendido por el personal
técnico (incluyendo el tiempo de espera con la típica música de
fondo).
Se sabe que cuando el proceso está bajo control, el tiempo de espera
de una llamada xi~𝑁(𝜇0 = 25, 𝜎0 = 5)
Ejemplo

120. Obs. Turno
Tpo. De
espera x-i - mu_0 C_i+ C_i-
0 0
1 A 26.1 1.1 0 0
2 A 19.9 -5.1 0 2.6
3 A 21.2 -3.8 0 3.9
4 A 30.4 5.4 2.9 0
5 A 24.3 -0.7 0 0
6 A 26.9 1.9 0 0
7 A 25.4 0.4 0 0
8 A 21.8 -3.2 0 0.7
9 A 22.2 -2.8 0 1
10 A 27.2 2.2 0 0
11 A 20.2 -4.8 0 2.3
12 A 28.9 3.9 1.4 0
13 A 27.8 2.8 1.7 0
14 A 20.8 -4.2 0 1.7
15 A 23.6 -1.4 0 0.6
16 B 24 -1 0 0
17 B 18.9 -6.1 0 3.6
18 B 30.1 5.1 2.6 0
19 B 27.4 2.4 2.5 0
20 B 28.2 3.2 3.2 0
21 B 31.1 6.1 6.8 0
22 B 30.1 5.1 9.4 0
23 B 29.5 4.5 11.4 0
24 B 27.2 2.2 11.1 0
25 B 28.1 3.1 11.7 0
26 B 30.2 5.2 14.4 0
27 B 26.7 1.7 13.6 0
28 B 37.3 12.3 23.4 0
29 B 30.2 5.2 26.1 0
30 B 29.2 4.2 27.8 0
Gráficos de control CUSUM

121. Usualmente los límites
(también llamados H)
son establecidos como
±5 veces una desviación
estándar:
= ±𝟓𝝈
En este ejemplo
LCS= 𝟓 ∗ 𝟓 = 𝟐𝟓
LCI= −𝟓 ∗ 𝟓 = −𝟐𝟓
Gráficos de control CUSUM

122. Ejemplo, si hubiéramos usado la carta X − 𝑀𝑅

123. EWMA = Exponentially Weighted Moving Average
(Medias móviles con ponderación exponencial)
La carta de control EWMA monitorea el estadístico 𝑦𝑖
𝑦𝑖 = 𝜆𝑥𝑖 + 1 − 𝜆 𝑦𝑖−1
En donde:
• 𝑥𝑖 son las observaciones de la característica de calidad que
queremos monitorear.
• 𝑦0 = 𝜇0 o y0 = ҧ
𝑥
• 𝜆 es una constante, elegida por el analista 0 < 𝜆 ≤ 1
Si 𝝀 es cercano a 1,
tiene muy poca
memoria. Si 𝝀 es
cercano a 0, se le da
más peso a los valores
históricos.
Gráficos de control EWMA

124. Los límites de control para esta carta son:
Si i es grande:
LCS: 𝑬 𝒚𝒊 + 𝟑 𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒊)
Línea central: 𝑬 𝒚𝒊
LCI: 𝑬 𝒚𝒊 − 𝟑 𝑽𝒂𝒓(𝒚𝒊)
Gráficos de control EWMA

125. Gráficos de control EWMA

126. • Para EWMA, generalmente, 0.15 ≤ λ ≤0.25 funciona bien para
detectar pequeñas desviaciones en el proceso (más memoria).
• Si se quiere detectar desajustes grandes, se usará λ cercano a 1
(menos memoria).
• Las cartas de control CUSUM y EWMA funcionan bien para
desviaciones pequeñas en el proceso. Sin embargo, no reaccionan
tan rápido como las Shewhart para las desviaciones más grandes.
Gráficos de control EWMA