Algebra uned 12b

1. ´Algebra. (I. Electr´onica)-Modelo B-Febrero-2012
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura ´optica. Cada respuesta correcta suma
1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.
Problema: Se corregir´a s´olo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.
Ejercicio 1 Al evaluar con MAXIMA las instrucciones
A:genmatrix(lambda([i,j], i-j), 3, 2); B:transpose(A); C:A.B; load(functs); tracematrix(C);
se obtiene el valor: A) 7; B) 0; C) 55 ; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 2 Si U = {u1, u2, · · · , un} es un sistema ligado de n vectores del espacio
vectorial V de dimensi´on n, es cierto que siempre se obtiene una base de V al hacer en U
la siguiente transformaci´on: A) Eliminar todos los vectores ui que dependan linealmente
de otros vectores de U; B) A˜nadir alg´un vector que no sea de U; C) Sustituir cualquier
ui por cualquier vector de V que no sea de U; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 3 Si A es la matriz de filas (0, −1) y (1, −1), la inversa de (3A)2
es: A)
1
9A; B) (1
9)A4
; C) 1
9A2
; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 4 La aplicaci´on f(x) = k, con x ∈ R, y k un n´umero real fijo, ser´a lineal:
A) ∀k; B) S´olo si k = 0; C) S´olo si k = 0; D) Nunca.
Ejercicio 5 En el conjunto de polinomios de grado menor que tres, al aplicar el
m´etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schimidt a la base {1, x, x2
} con el producto es-
calar p(x) • q(x) =
0
−1 p(x)q(x)dx, el segundo vector, ¯e2, obtenido antes de normalizar,
es: A) 3x2
− 1; B) x + 1
2; C) 3x2
; D) Ninguno de las anteriores.
Ejercicio 6 Si el polinomio caracter´ıstico de una matriz A es (λ − 4)4
(λ + 3)3
, los
n´umeros m´ınimo y m´aximo, respectivamente, de bloques de su matriz de Jordan son: A)
Dos y siete; B) Tres y cuatro; C) Uno y siete; D) Ninguno de las anteriores.
Problema
Si x2
1 + x2
2 + 2x1x2
2 − 4x2 − 1 = 0 representa una c´onica, se pide:
A)(2ptos.) Descomponer la ecuaci´on en parte cuadr´atica, parte lineal y parte constante
y dar las expresiones matriciales de dichas componentes.
B)(2ptos.) Obtener la ecuaci´on de la c´onica referida a una base cuyos vectores sean
paralelos a los ejes de la c´onica dada.

2. Ejercicio 1 Al ejecutar con MAXIMA las instrucciones
A:genmatrix(lambda([i,j], i-j), 3, 2); B:transpose(A); C:A.B; load(functs); tracematrix(C);
se obtiene el valor: A) 7; B) 0; C) -5 ; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 1 La soluci´on correcta es A.
Para comprobarlo es suficiente ejecutar las instrucciones dadas. V´ease Ejercicio-1-B-feb-
12.wxm
Ejercicio 2 Si U = {u1, u2, · · · , ui} es un sistema ligado de n vectores del espacio
vectorial V de dimensi´on n, es cierto que siempre se obtiene una base de V al hacer en U
la siguiente transformaci´on: A) Eliminar todos los vectores ui que dependan linealmente
de otros vectores de U; B) A˜nadir alg´un vector que no sea de U; C) Sustituir cualquier
ui por cualquier vector de que no sea de U; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 2 La soluci´on correcta es D.
La opci´on A) no es correcta porque U seguir´a teniendo un n´umero de vectores indepen-
dientes menor que n.
La opci´on B) tampoco es cierta: U seguir´a siendo un sistema ligado y adem´as tendr´a m´as
de n vectores.
La opci´on C) tampoco, porque el sistema obtenido tras la sustituci´on puede no ser libre
o no tener suficiente n´umero de vectores independientes.
Ejercicio 3 Si A es la matriz de filas (0, −1) y (1, −1), la inversa de (3A)2
es: A)
1
9A; B) (1
9)A4
; C) 1
9A2
; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 3 La soluci´on correcta es A.
Se verifica de forma f´acil efectuando las operaciones indicadas.
V´ease el Ejercicio-3-B-feb-12.wxm.
Ejercicio 4 La aplicaci´on f(x) = k, con x ∈ R, y k un n´umero real fijo, ser´a lineal:
A) ∀k; B) S´olo si k = 0; C) S´olo si k = 0; D) Nunca.
Soluci´on Ejercicio 4 La soluci´on correcta es C.
V´ease el EJEMPLO 3.3 de “´Algebra para ingenieros”.
Ejercicio 5 En el conjunto de polinomios de grado menor que tres, al aplicar el
m´etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schimidt a la base {1, x, x2
} con el producto es-
calar p(x) • q(x) =
0
−1 p(x)q(x)dx, el segundo vector ¯e2, obtenido antes de normalizar,
es: A) 3x2
− 1; B) x + 1
2; C) 3x2
; D) Ninguno de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 5
La soluci´on correcta es B.
Utilizando el primer paso del algoritmo indicado en la p´agina 208 de “´Algebra para

3. ingenieros” se obtiene:
¯e1 = 1.
¯e2 = x − x•1
1•1 1 = x + 1
2.
0
−1 1 · 1dx = 1.
0
−1 x · 1dx = −1
2.
Ejercicio 6 Si el polinomio caracter´ıstico de una matriz A es (λ − 4)4
(λ + 3)3
, los
n´umeros m´ınimo y m´aximo, respectivamente, de bloques de su matriz de Jordan son: A)
Dos y siete; B) Tres y cuatro; C) Uno y siete; D) Ninguno de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 6
La soluci´on correcta es A.
Corresponde al EJEMPLO 4.22 (p´agina 179) de “´Algebra para ingenieros”
Problema
Si x2
1 + x2
2 + 2x1x2
2 − 4x2 − 1 = 0 representa una c´onica, se pide:
A)(2ptos.) Descomponer la ecuaci´on en parte cuadr´atica, parte lineal y parte constante
y dar las expresiones matriciales de dichas componentes.
B)(2ptos.) Obtener la ecuaci´on de la c´onica referida a una base cuyos vectores sean
paralelos a los ejes de la c´onica dada.
Soluci´on problema
V´eanse las p´aginas 278, 279, 280 y 281 de “´Algebra para ingenieros”.
A)
Descomposici´on de la c´onica y expresiones matriciales correspondientes:
Parte cuadr´atica: f2(x1, x2) = x2
1 + x2
2 + 2x1x2
2 = x1 x2
1 1
1 1
x1
x2
.
Parte lineal: f1(x1, x2) = −4x2 = 0 −4
x1
x2
.
Parte constante: −1.
B)
La matriz diagonal semejante a
1 1
1 1
es
0 0
0 2
.
la matriz ortonormal de paso es
1√
2
1√
2
−1√
2
1√
2
.
La ecuaci´on de la c´onica en la nueva base es:
2x2
2 + 0 −4
1√
2
1√
2
−1√
2
1√
2
x1
x2
− 1 = 2x2
2 − 2
√
2x1 + 2
√
2x2 − 1 = 0.