Este documento trata sobre derivadas parciales, diferenciales y gradientes en cálculo multivariable. Explica que las derivadas parciales indican cómo cambia una función cuando varía una variable independiente manteniendo las demás constantes, y provee ejemplos de su cálculo. También define las diferenciales en términos de derivadas e incrementos, y los gradientes como vectores formados por las derivadas parciales de una función. Finalmente, incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
1. MATERIA: CÁLCULO II
TEMA: DERIVADAS PARCIALES,
DIFERENCIALES, GRADIENTES
PROFESOR: ING. JULIO PALMA
CURSO: 2 SEMESTRE “A”
INTEGRANTES:
CABESA ESPAÑA LUIS
QUIROZ SANCHEZ GENESIS
ZAMBRANO BONE MARINA
UNIVERSIDAD AGRARIA DEL ECUADOR
2. DERIVADAS PARCIALES
• Las derivadas parciales de
una función con varias
variables f(x , y, z) (tres en
este caso) nos informa de
cómo cambia la función (df)
cuando se produce un
pequeño cambio en una
única variable
independiente
• (por ejemplo dx en la
variable x).
3. • En este caso hay varias
variables, para subrayar que se
trata de cambios en la función
multivariable utilizaremos el
símbolo ∂ para distinguirlo del
símbolo d, que es el que indica
un pequeño cambio en el caso
de las funciones ordinarias.
• Las derivadas parciales de una
función multivariable las
definiremos también mediante
un límite, si este límite existiera,
haciendo extensiva la definición
de una derivada ordinaria.
4. En el primer caso, la derivada
parcial de la función respecto a x,
se consideran las variables
independientes y y z como unas
constantes.
En el segundo caso, respecto a y,
se consideran las variables
independientes x y z como unas
constantes.
En el tercer caso, la derivada
parcial de la función respecto a z,
se consideran las variables
independientes x e y como unas
constantes.
Las derivadas parciales de
una función u = f(x , y, z) serían:
5. Derivación implícita
con derivadas
parciales
• Las derivadas
parciales permiten obtener en
muchas ocasiones con más
sencillez la derivación
implícita.
• Se obtiene el mismo resultado
en derivación implícita
mediante derivadas parciales,
con la siguiente fórmula que
facilita y simplifica el cálculo:
6. EJERCICIO 1
• Hallar las derivadas parciales
de esta función de dos
variables:
• Solución:
• Cuando derivamos
parcialmente respecto de una
de las variables, la otra se
considera una constante. Se
utilizan las reglas de derivación
conocidas:
7. Ejercicio 2
• Hallar las derivadas parciales
de esta función:
• Solución:
Cuando derivamos parcialmente
respecto de una de las variables,
la otra se considera una
constante. Utilizamos las reglas
de derivación conocidas:
9. • Si f (x) es una función derivable,
la diferencial de una función
correspondiente al incremento h
de la variable independiente, es
el producto f´(x) . H
La diferencial de una función se
representa por df o dy
10. Interpretación
geométrica de
la diferencial
• La diferencial en un punto representa el
incremento de la ordenada de la tangente,
correspondiente a un incremento de la variable
independiente.
11. EJERCICIO 1
• Hallar la diferencial de
Calculamos la derivada de la función
Así la diferencial es igual a la derivada
de la función por el incremento.
13. GRADIENTES
• El vector gradiente, representado por
∇f(x,y), de una función f(x,y) es el
vector cuyas coordenadas son las
derivadas parciales de la función f con
respecto a x y y, es decir:
14. • Como puedes ver, ahora tenemos dos
coordenadas. Esto quiere decir que cuando
tengamos una función, al hacer las derivadas
parciales en función de x y y, colocaremos la
primera en la coordenada de x, mientras que
la segunda en la coordenada de y.
• Y lo mismo aplica para todas las variables que
queramos. Sin embargo, en este caso solo
trabajaremos con 2 y 3 variables. Entonces,
para f(x,y,z) el vector de gradiente es:
•
15. EJERCICIOS
• CALCULA EL GRADIENTE
• Si queremos calcular el valor del vector de gradiente en un punto
P0=(x0,y0) solo tenemos que sustituir el punto en la expresión del
vector.
• Por tanto, para P0=(1,2), el vector de gradiente será:
