Este documento explica los límites y la continuidad de funciones de dos variables. Define el límite de una función de dos variables como el valor al que se aproxima la función cuando el punto (x, y) se acerca al punto (a, b), excepto quizás en el punto mismo. Explica que para funciones de dos variables hay direcciones infinitas de acercamiento a diferencia de las funciones de una variable que solo tienen dos direcciones. Finalmente, establece que una función de dos variables es continua en un punto si su límite cuando (x, y) se acerca al punto es igual al valor de

1. INSTITUTO Universitario DE Tecnología
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENSION BARCELONA-PUERTO LA CRUZ
Bachilleres:
Hernández Daisy
Puerto La Cruz ;JULIO Del 2014

2. Límite de una función de dos variables
Definición
Sea función de dos variables definida en un disco abierto centrado en
excepto quizás en el punto y sea L un número real. Entonces,
Si para cada existe un tal que
siempre que
Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto.
en el disco de radio el valor de esta entre y

3. Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a
a, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda o
por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite de una función de una
variable. Para funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla,
puesto que podemos dejar que (x, y) se aproxime a desde un número
infinito de direcciones y de cualesquiera formas.
Ejemplo # 1
Existe?
Proponemos:
Ahora proponemos:
El limite no existe

4. Ejemplo # 2
En este caso probamos con la ecuación de la recta, ya que con esta ecuación
podemos ver de forma general si existe o no el límite, ya que la ecuación de la
recta es todos los puntos por donde pasa la recta en una circunferencia.
Existe?
Proponemos:
Proponemos:
Proponemos:
m puedes ser cualquier numero que pertenece a los reales, por lo tanto
El limite no existe.

5. Continuidad
Recuerde que la evaluación de límites de funciones continuas de una sola
variable es fácil. Se efectúa por sustitución directa porque la propiedad de
definición de una función continua es lim x->a f(x) = f(a). Las funciones
continuas de dos variables también están definidas por la propiedad de
sustitución directa.
Definición:
Una función f de dos variables se denomina continua en (a, b) si
Lim f(x,y) = f (a, b)
(x,y) -> (a,b)
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a, b) de D
El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x,y) cambia en una
pequeña cantidad, entonces el valor de f(x,y) cambia en una pequeña cantidad.
Esto significa que si una superficie es la grafica de una función continua
entonces no tiene ni huecos ni rupturas.
Con el uso de las propiedades de los limites, es posible ver que las sumas,
diferencias, productos y cocientes de funciones continuas son continuas en sus
dominios.

6. Una función polinomial de dos variables (o, para abreviar, un polinomio), es
una suma de términos de la forma cx “y”, donde c es una constante y m y n son
enteros no negativos. Una función racional es la razón de dos polinomios. Por
ejemplo,
f(x,y) =
Es un polinomio mientras que:
g(x,y) =
Los limites muestran que las funciones f(x,y)=x, g(x,y)= y, y h(x,y) = c son
continuas. Como cualquier polinomio puede ser obtenido a parten de las
funciones simples f, g y h por multiplicación y suma, llegamos a que todos los
polinomios son continuas en R. Del mismo modo, cualquier función racional es
continua en su dominio porque es cociente de funciones continuas.
Ejemplo:
Evalué

7. Solución, Como es un polinomio, es continuo en todas
partes, de modo que podemos hallar el limite por sustitución directa:

8. BIBLIOGRAFIA
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Limites_y_continuidad_de_funci
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