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1. Teorema de
Taylor
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

2. Teorema de Taylor
 Se utiliza para aproximar cualquier función
usando funciones polinómicas. Uno de sus usos
puede ser predecir un punto extrapolado de una
función.
 𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) +
𝑓´(𝑥𝑖)
1!
∗ ℎ +
𝑓´´(𝑥𝑖)
2!
∗ ℎ2 +
𝑓´´´(𝑥𝑖)
3!
∗ ℎ3 +
𝑓𝑛
(𝑥𝑖)
𝑛!
∗ ℎ𝑛
+
··· + 𝑅𝑛
 Donde h es el paso:
 ℎ = (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)
 Y n es el orden .
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

3. Ejemplo
 En la función:
 𝑓 𝑥 = −0,1𝑥4 − 0,15𝑥3 − 0,5𝑥2 − 0,25𝑥 + 1,2
 Se desea obtener la aproximación a la función evaluada en el
punto 𝑥𝑖+1 = 1
 Para efectos de control obtendremos la función evaluada en 1
que es el punto que queremos obtener. Ese valor nos servirá
para obtener el porcentaje de error en cada 1 de los valores que
se vayan calculando.
 𝑓 1 = −0,1 ∗ 14 −0,15 ∗ 13 −0,5 ∗ 12 −0,25 ∗ 1 + 1,2
 𝑓 1 = 0,2
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

4. Ejemplo
 Primero: evaluar la función en el punto 𝑥 = 0
 𝑓 0 = −0,1 ∗ 04
−0,15 ∗ 03
−0,5 ∗ 02
−0,25 ∗ 0 + 1,2
 𝑓 0 = 1,2
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

5. Ejemplo
 𝑓 0 = −0,1 ∗ 04
−0,15 ∗ 03
−0,5 ∗ 02
−0,25 ∗ 0 + 1,2
 𝑓 0 = 1,2
 Este constituye la evaluación de orden cero. Posteriormente se
realizará la primera derivada de la función obteniendo así el
elemento de orden 1.
 𝑓´ 𝑥 = −0,4𝑥3 − 0,45𝑥2 − 1𝑥 − 0,25
 𝑓´ 0 = −0,25
 La serie de Taylor evaluada o aproximada hasta el primer orden
quedaría entonces como:
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 +
(−0,25)
1!
ℎ
 𝑓 𝑥 = −0,1𝑥4 − 0,15𝑥3 − 0,5𝑥2 − 0,25𝑥 + 1,2
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

6. Ej
 El valor de h es la diferencia entre 𝑥𝑖+1 y 𝑥𝑖
 ℎ = 1 − 0
 ℎ = 1
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 +
(−0,25)
1!
1
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0,95
 𝑓 𝑥 = −0,1𝑥4
− 0,15𝑥3
− 0,5𝑥2
− 0,25𝑥 + 1,2
 El error total será entonces:
 𝐸𝑇 = 0,2 − 0,95
 𝐸𝑇 = −0,75
 Y el error relativo porcentual será:
 𝜀𝑡 =
−0,75
0,2
∗ 100
 𝜀𝑡 = −375%
 .
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

7. Ej
 A continuación obtendremos el elemento de
segundo orden y repetiremos el proceso de
la evaluación de la función y el cálculo
correspondiente de error.
 𝑓´ 𝑥 = −0,4𝑥3 − 0,45𝑥2 − 1𝑥 − 0,25
 𝑓´´ 𝑥 = −1,2𝑥2 − 0,9𝑥 − 1
 𝑓´´ 0 = −1
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 +
(−0,25)
1!
1 +
(−1)
2!
12
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 − 0,25 −
1
2
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0,45
 𝑓 𝑥 = −0,1𝑥4
− 0,15𝑥3
− 0,5𝑥2
− 0,25𝑥 + 1,2
 𝐸𝑇 = 0,2 − 0,45
 𝐸𝑇 = −0,25
 Y el error relativo porcentual será:
 𝜀𝑡 =
−0,25
0,2
∗ 100
 𝜀𝑡 = −125%
 .
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

8. Ej.
 Evaluando el elemento de tercer orden:
 𝑓´´´ 𝑥 = −2,4𝑥 − 0,9
 𝑓´´´ 0 = −0,9
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 +
(−0,25)
1!
1 +
(−1)
2!
12 +
(−0,9)
3!
13
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 − 0,25 −
1
2
− 0,15
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0,3
 𝐸𝑇 = 0,2 − 0,3
 𝐸𝑇 = −0,1
 Y el error relativo porcentual será:
 𝜀𝑡 =
−0,1
0,2
∗ 100
 𝜀𝑡 = −50%
 .
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

9. Ej.
 Evaluando el elemento de tercer orden:
 𝑓𝑖𝑣 𝑥 = −2,4
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 +
(−0,25)
1!
1 +
(−1)
2!
12
+
(−0,9)
3!
13
+
(−2,4)
4!
14
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 1,2 − 0,25 −
1
2
− 0,15 − 0,1
 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0,2
 𝐸𝑇 = 0,2 − 0,2
 𝐸𝑇 = 0
 𝜀𝑡 = 0%
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

10. Ej 2
 Ejemplo 2:
 Obtener 𝑓(𝑥𝑖+1) de la ecuación: 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 cuando 𝑥𝑖 =
𝜋
4
y se
desea aproximar a 𝑥𝑖+1 =
𝜋
3
 Incorporar elementos hasta n=6
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza

11. El resíduo
 Donde 𝑅𝑛 =
𝑓𝑛+1(𝜀)
𝑛+1 !
∗ ℎ𝑛+1
 Donde ε toma el valor más alto posible de la derivada n+1, dado que 𝑥𝑖 < 𝜀 < 𝑥𝑖+1
 En el ejemplo anterior (𝑓 𝑥 = cos(𝑥)):
 𝑓𝑉𝐼𝐼 𝑥𝑖 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
= 0,7071 →
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝜀)
7!
∗ ℎ = 3,6730 ∗ 10−5
 𝑓𝑉𝐼𝐼
𝑥𝑖+1 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
= 0,8660 →
𝑓𝑉𝐼𝐼(𝜀)
7!
∗ ℎ = 4,4985 ∗ 10−5
  𝑅 = 4,4985 ∗ 10−5
 Y el valor de la aproximación se escribe como:
 𝑓
𝜋
3
= cos
𝜋
3
= 0,49999 ± 4,4985 ∗ 10−5
Ing. Willy Rodríguez Bacarreza