El documento presenta información sobre vectores, incluyendo su definición, representación y elementos. Explica cómo encontrar las componentes de un vector y realizar operaciones como suma y diferencia de vectores. También introduce conceptos como vectores equipolentes.

1. U. E. Colegio María Auxiliadora
¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima!
Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com Matemática 2
Prof. Dennys Becerra. e-mail: deabm3@gmail.com
Un Vector AB es un segmento de recta orientado y dirigido que tiene su origen en A y
su extremo en B
Estudio de los Vectores en el Plano
En las carreras científicas, el estudio de los vectores es importante, ya ustedes estudiantes de
egreso de la educación Media General verán las aplicaciones de este contenido.
Por eso en primer lugar cabe preguntarse
Los invito a explorar cada uno de los contenidos de este material, para afianzar sus conocimientos sobre "El
mundo Vectorial"
CONCEPTO DE VECTOR:
Consideramos dos puntos A y B en el plano, lo cual podemos generar un
segmento orientado que pasa o une dichos puntos.
Cuando hablamos de Segmento Orientado, quiere decir que los puntos se
unen a través de flechas y ellas indican hacia dónde van.
Su notación es ⃗⃗⃗⃗⃗ donde A es el punto inicial y B es el punto final. Eso
lo sabemos por el sentido de la flecha que está en la parte superior de los
puntos.
Se lee Vector AB

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Ejemplos prácticos podemos ver:
Los sentidos de las calles, carreras o avenidas en una ciudad
En objetos donde se manipulan cuerdas u objetos lineales
O situaciones de desplazamientos
OJO:
Estos son ejemplos de donde podemos visualizar los vectores

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Representación de Vectores:
El Espacio Bidimensional sólo tiene dos
componentes (x,y) llamado par ordenado. Se describe
acá dos dimensiones largo (x) y ancho (y)
El Espacio Tridimensional es la dimensión 3D (tres
dimensiones) lo cual contiene tres componentes (x,y,z)
llamada triada espacial, se describe acá tres
dimensiones largo (x) y ancho (y) y la altura (z)
Elementos de los Vectores
Un vector se caracteriza por tener cuatro elementos que lo distinguen, siendo
los siguientes:
1. Dirección o línea de acción: Es la
ubicación espacial del segmento
orientado, lo cual es:
De Derecha a Izquierda
De Izquierda a Derecha
2. Sentido: Es el recorrido que
hace el segmento orientado,
lo cual cada vector puede
tener dos sentidos
El que va de A hacia B o
El que va de B hacia A
3. Punto de Posición: Es el punto de
anclaje en el origen y otro punto
en el plano, es decir: el Vector
A ( )
Ellos se representan con el
punto de Origen (0,0) y el Punto
A (x0,y0)
4. Longitud o módulo: Es la
distancia que tiene el
segmento que forma los
puntos A y B

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Componentes de un Vector
En el caso de los vectores podemos ver que: se pueden representar
para buscar el vector y también podemos calcular su distancia.
Ahora bien, qué pasa si debemos encontrar los vectores sin
representar (dibujar). En este caso se buscan sus componentes, esto es
de gran ayuda para poder realizar las operaciones con los vectores
(Suma y Diferencia)
Sean los puntos A = (x1 , y1) y B = (x2 , y2), lo cual forman el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
diremos que: se restan las componentes finales de x con las
componentes iniciales de x, luego las componentes finales de y con las
componentes iniciales de y
⃗⃗⃗⃗⃗
Ejemplo 1:
Hallar las componentes del vector ⃗⃗⃗⃗ formado por los puntos H = (-3, 4)
y J = (-2, -3)
Solución:

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Primero debemos ubicar quienes son los puntos a considerar según el
sentido del vector, H = (-3, 4) es el punto inicial y J = (-2, -3) es el punto
extremo o final
Esto para poder ubicar x1= - 3, x2= - 2, y1= 4, y2= - 3
Sustituimos en la Fórmula de componentes de un vector
⃗⃗⃗⃗ Fórmula de componentes de vectores
⃗⃗⃗⃗ Sustituyendo los valores de H y J
⃗⃗⃗⃗ ( ) Efectuando las operaciones
correspondientes dentro de los paréntesis, signos iguales se suman y se deja el
signo común, signos diferentes se restan y se coloca el signo del número mayor
⃗⃗⃗⃗ así el vector HJ es (1, - 7)
Ejemplo 2:
Hallar las componentes del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ formado por los puntos C = (-1, )
y D = ( , )
Solución:

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Primero debemos ubicar quienes son los puntos a considerar según el
sentido del vector, D = ( , ) es el punto inicial y C = (-1, ) es el punto
extremo o final
Esto para poder ubicar x1= , x2= - 1, y1= , y2=
Sustituimos en la Fórmula de componentes de un vector
⃗⃗⃗⃗⃗ Fórmula de componentes de vectores
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) ( ) ( )) Sustituyendo los valores de D y C
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Efectuando las operaciones correspondientes
dentro de los paréntesis, método copa (Suma o resta de FRACCIONES CON
DIFERENTE DENOMINADOR)
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Se multiplican en forma de cruz
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Efectuamos las multiplicaciones
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Resolvemos las operaciones, signos iguales se suman
y se deja el signo común, signos diferentes se restan y se coloca el signo del
número mayor

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Así el vector DC es ( )
Vectores Equipolentes
Dos o más vectores se dice que son equipolentes cuando tienen igual longitud,
dirección y sentido, en otras palabras, si ambos vectores poseen las mismas
componentes.
Ejemplo:
Dados los puntos A=(2,1), B=(5,5), P=(-5,1), Q=(-2,5), verifique si los
vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ son equipolentes.
Solución:
Primero debemos buscar las componentes de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗
Con el vector AB x1= 2, x2= 5, y1= 1 , y2= 5
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
P=(-5,1), Q=(-2,5)
Con el vector PQ x1= -5, x2= -2, y1= 1 , y2= 5
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Luego como ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ los vectores son equipolentes.

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Suma de Vectores
Dados dos o más vectores,
diremos que se pueden
SUMAR de la siguiente
manera:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Diferencia de Vectores
Dados dos o más vectores,
diremos que se pueden
RESTAR de la siguiente
manera:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Suma y Diferencia de Vectores
Ejemplo1:
Dados los puntos A= (-2,5), F= (3,-4), K= (1,-1), M= (-5,-8) encuentre las
siguientes operaciones: a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , b) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , c) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Solución a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Primero debemos buscar las componentes de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Con el vector AK x1= - 2, x2= 1, y1= 5 , y2= - 1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Con el vector MF x1= - 5, x2= 3, y1= - 8 , y2= - 4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

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Una vez encontrado los vectores ahora sí podemos encontrar la suma
entre ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Solución b) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Primero debemos buscar las componentes de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
F= (3,-4), K= (1,-1), A= (-2,5), M= (-5,-8)
Con el vector FK x1= 3, x2= 1, y1= - 4, y2= - 1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Con el vector AM x1= - 2, x2= -5, y1= 5, y2= - 8
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Una vez encontrado los vectores ahora sí podemos encontrar la
diferencia entre ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

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⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Solución c) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Primero debemos buscar las componentes de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
F= (3,-4), A= (-2,5), M= (-5,-8), K= (1,-1)
Con el vector FA x1= 3, x2= - 2, y1= - 4 , y2= 5
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Con el vector MK x1= - 5, x2= 1, y1= - 8 , y2= - 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Con el vector FK x1= 3, x2= 1, y1= - 4 , y2= - 1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Una vez encontrado todos los vectores ahora sí podemos encontrar
primero la suma entre ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y después restamos ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

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⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Producto de un número racional por un vector
Si A = (x1 , y1) es un vector y “n” es un número racional, se define el producto del
vector “A” por el racional “n” de la siguiente manera:
Ejemplo:
Dado el punto M= (-2,5) y n= -3, encuentre el producto.
Solución
Formula de un número por el vector
Sustituyendo los valores
Realizando las operaciones de multiplicación y tomando en cuenta la
ley de los signos.

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Ejercicios Propuestos:
1) Encontrar las componentes de los vectores, seguidamente realice las
operaciones indicadas a continuación con los siguientes puntos:
N = (- 4,5) T= (-3,-1) Q =(-1,5) P= (9, ) R= ( ) S= ( )
a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
e) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
f) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
g) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
CUIDADO LOS VECTORES:
RP Y PR, PQ Y QP, TN Y NT NO SON IGUALES, POR LO QUE DEBEN SACAR LAS
COMPONENTES A CADA UNO
2) Del ejercicio anterior como ya realizó y encontró las componentes de los
vectores, indicar cuales son equipolentes o no:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗