Actividad 4to año 1

U. E. Colegio María Auxiliadora
¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima!
Prof. Dennys Becerra e-mail: deabm3@gmail.com Matemática 4
III momento https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_3_91f27635e1ffe9 Página 1
Ecuación de Segundo Grado
Es una ecuación en la que el exponente máximo de las incógnitas es 2, toda
ecuación de segundo grado se escribe siempre de la forma en
donde a es un número distinto de cero.
Así podemos decir:
“a” el coeficiente o número que acompaña a la variable .
“b” el coeficiente o número que acompaña a la variable x.
“c” es el termino independiente o el número que no posee variable.
Para resolver una ecuación de segundo grado basta con sustituir los valores de a, b
y c en la siguiente fórmula general:
√
Ejemplos:
1.
Solución:
√
Tenemos la fórmula

Luego identificamos los valores de a, b y c de la ecuación
a b c
Valores
a = 2
b = 3
c = -2
√
Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula con el signo que
tengan
√
Multiplicamos los valores 4•2•(-2)= - 16
√
Resolvemos el signo • = +
√
Se resuelve el 32
= 9 y multiplicamos 2 • 2 = 4
√
Se suman los valores 9 + 16 = 25

√
En la calculadora encontramos el valor de √
Como se tiene dos signos , nos indica que obtendremos dos valores
Se realiza la operación – 3 + 5= 2 (signos diferentes se
Restan y se coloca el signo del número mayor)
Se realiza la operación – 3 – 5 = – 8 (signos iguales se
Suman y se coloca el signo común entre ellos)
Si es divisible se realiza la operación
Así la solución es y

2.
Solución:
√
Tenemos la fórmula
a b c
Valores
a = 1 (Cuando la variable no posee coeficiente o número se sobre entiende que es 1)
b = -7
c = 12
√
posea
√
Multiplicamos los valores 4•1•12= 48
√

√
Se resuelve el (-7)2
√
Se Restan los valores 49 48 = 1
√
Se realiza la operación 7 + 1= 8 (signos iguales se
Se realiza la operación 7 – 1 = 6 (signos diferentes se

3.
Solución:
√
Tenemos la fórmula
a b c
Valores
a = 1 (Cuando la variable no posee coeficiente o número se sobre entiende que es 1)
b = -8
c = 0 (como no posee termino independiente se coloca el valor cero)
√
Posea
√
Multiplicamos los valores 4•1•0= 0
√

√
Se resuelve el (-8)2
√
Se Restan los valores 64 0 = 64
√
Se realiza la operación 8 – 8 = 0 (signos diferentes se

4.
Solución:
√
Tenemos la fórmula
a b c
Valores
a = 2
b = 0 (como no posee el coeficiente o número que acompaña a la variable x)
c = -72
√
Posea
√
Multiplicamos los valores 4•2•(-72)= - 576
√

√
Multiplicamos 2 • 2 = 4
√
Se Suman los valores 0 + 576 = 576
√
Se realiza la operación 0 – 24 = - 24 (signos diferentes
Se restan y se coloca el signo del número mayor)

PRODUCTOS NOTABLES
En esta etapa, comenzaremos a desarrollar algunos productos (multiplicaciones) de binomios
(expresiones polinómicas con sólo dos términos) que presentan unas características
especiales, realizándose de una forma más abreviada sin necesidad de realizar la
multiplicación de polinomios tal y como se estudió en el apartado anterior.
ALGUNOS ASPECTOS A CONSIDERAR COMO CONOCIMIENTOS PREVIOS:
 an
= a • a • a• … • a • a • a
 (a • b)n
= an
• bn
 ( )
 a0
= 1
 Propiedad Asociativa a.b.c = (a.b).c = (a.c).b = a.(b.c)
Llamaremos, Producto Notable a los resultados del producto entre dos
expresiones binomicas cuyas características se generalizan a través de
FÓRMULAS ESPECIALES
Esta unidad la estudiaremos por casos,
CASO 1
Cuadrado de la Suma
CASO 2
Cuadrado de la Diferencia
(x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
x es la variable
a es cualquier número
entero o racional
El cuadrado de la suma de
un binomio es igual al
cuadrado del primer
término más el doble
producto del primer
término por el segundo
término más el cuadrado
del segundo término
(x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
x es la variable
a es cualquier número
entero o racional
El cuadrado de la diferencia
de un binomio es igual al
cuadrado del primer
término menos el doble
producto del primer término
por el segundo término más
el cuadrado del segundo
término
Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables

a)(x + 4)2 b)(x – 13)2 c)(3x + 2)2 d)( – 2x3)2
Solución a) (x + 4)2
Primero observamos las características especiales:
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos
 La potencia es cuadrada (el exponente es dos (2))
 Los términos están separados por el símbolo de suma
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso
usaremos cuadrado de la suma (x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
(x + 4)2
Sustituimos en la fórmula (x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
el valor de a = 4, para sustituir en la
fórmula
(x + 4)2
= x2
+ 2•x•4 + 42
resolvemos las operaciones 2•x•4
agrupamos
los números (asociamos) 2.4 . x = 8.x = 8x
resolvemos la potencia 42 = 4.4 = 16
(x + 4)2
= x2
+ 8x + 16
Así, el producto notable de (x + 4)2
es x2
+ 8x + 16
Solución b) (x – 13)2
 Los términos están separados por el símbolo de resta
usaremos cuadrado de la diferencia (x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
(x – 13)2
Sustituimos en la fórmula (x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
el valor de a = 13, para sustituir en la
fórmula
(x – 13)2
= x2
– 2•x•13 + 132
resolvemos las operaciones 2•x•13
agrupamos
los números (asociamos) 2.13. x = 26.x = 26x
resolvemos la potencia 132 = 13.13 = 169
(x – 13)2
= x2
– 26x + 169
Así, el producto notable de (x - 13)2
es x2
- 26x + 169

Solución c) (3x + 2)2
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, 3x y 2
usaremos cuadrado de la suma (x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
(3x + 2)2
Sustituimos en la fórmula
(x + a)2
= x2
+ 2•x•a + a2
el primer valor no es x solamente acá es 3x el primer
término y el segundo es 2, para sustituir en la fórmula
(3x + 2)2
= (3x)2
+ 2•3x•2 + 22
resolvemos las operaciones 2•3x•2 agrupamos
los números (asociamos) 2.2.3x = 12.x = 12x
resolvemos las potencias
(3x)2
= 32
x2
= 3 . 3 x2
= 9 x2
22 = 2.2 = 4
(3x + 2)2
= 9x2
+ 12x + 4
Así, el producto notable de (3x + 2)2
es 9x2
+ 12x + 4
Solución d) ( – 2x3
)2
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, el primer término es una
fracción y el segundo es 2x3
Luego nos ubicamos en la fórmula que debemos emplear, en ese caso usaremos cuadrado
de la diferencia (x – a)2
= x2
– 2•x•a + a2
( – 2x3
)2
= x2
– 2•x•a + a2
el primer término es = 6/5, el segundo término es 2x3
para sustituir en la fórmula
( – 2x3
)2
= ( )2
– 2•( )• 2x3
+ (2x3
)2
resolvemos todas las operaciones:
( )2
= =
2•( )• 2x3
= x3
= x3
(2x3
)2 = 22
x3•2
= 4x6
( – 2x3
)2
= – x3
+ 4x6

Así, el producto notable de ( – 2x3
)2
= – x3
+ 4x6
Ver https://youtu.be/480qlaja1sQ (el ejercicio del minuto 4:41 al minuto 6:22 no lo manejamos en este nivel)
https://youtu.be/PrESVDKTkeI
CASO 3
Cubo de la Suma
CASO 4
Cubo de la Diferencia
(x + a)3
= x3
+ 3•x2
•a + 3•x•a2
+ a3
x es la variable
a es cualquier número entero o
racional
El cubo de la suma de un binomio es
igual al cubo del primer término más
el triple producto del cuadrado del
primer término por el segundo
término más el triple producto del
cuadrado del primer término por el
cuadrado del segundo término más el
cubo del segundo término
(x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
x es la variable
a es cualquier número entero o
racional
El cubo de la diferencia de un binomio
es igual al cubo del primer término
menos el triple producto del cuadrado
del primer término por el segundo
término más el triple producto del
cuadrado del primer término por el
cuadrado del segundo término menos
el cubo del segundo término
Ver los enlaces: https://youtu.be/L3ZizkSnYBo (el ejercicio del minuto 3:10 al minuto 6:15 no lo
manejamos en este nivel)
Ejemplos: Desarrolle los siguientes productos notables
a)(x + 6)3 b)(5t – 2)3 c)( m – 4n2)3
Solución a) (x + 6)3
 La potencia es al cubo (el exponente es tres (3))
usaremos cubo de la suma (x + a)3
= x3
+ 3•x2
•a + 3•x•a2
+ a3
(x + 6)3

Sustituimos en la fórmula (x + a)3
= x3
+ 3•x2
•a + 3•x•a2
+ a3
el valor de a es 6
(x + 6)3
= x3
+ 3•x2
•6 + 3•x•62
+ 63
resolvemos las operaciones
3•x2•6 = 3 • 6 • x2 = 18 x2
3•x•62 = 3 • x • 36 =3 • 36 • x = 108
x
63 = 6 • 6 • 6 = 216
(x + 6)3
= x3
+ 18•x2
+ 108 •x + 216
Así, (x + 6)3
es x3
+ 18x2
+ 108x + 216 Nótese que deben quedar ordenado (Forma
Decreciente)
Solución b) (5t – 2)3
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, 5t y 2
 La potencia es el cubo (el exponente es tres (3))
usaremos cubo de la diferencia (x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
(5t – 2)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
el primer término es 5t y el
segundo es 2
(5t – 2)3
= (5t)3
– 3•(5t)2
•2 + 3•5t•22
– 23
resolvemos todas las operaciones
(5t)3 = 53 t3 = 125 t3
3•(5t)2•2 = 6 • 25 • t2 = 150 t2
3•5t•22 = 3 • 5t • 4 =3 • 20 • t = 60
t
23 = 2 • 2 • 2 = 8
(5t + 2)3
= 125 t3
– 150•t2
+ 60 •t – 8
Solución c) ( m – 4n2
)3
 Es un binomio porque sólo tiene dos términos, el primer término es
una fracción m y el segundo es 4n2

usaremos cubo de la diferencia (x – a)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
( m – 4n2
)3
= x3
– 3•x2
•a + 3•x•a2
– a3
el primer término es 5t y el
segundo es 2
( m – 4n2
)3
= ( m)3
– 3•( m)2
•4n2
+ 3• m•(4n2
)2
– (4n2
)3
resolvemos todas las operaciones
( m)3 = ( )3 m3
= m3
3•( m)2•4n2
= 3•4n2
• m2 = n2
m2
3• m•(4n2
)2 = 3• m•16n4
= 32n4
m
(4n2
)3 = 4•4•4•(n2
)3 = 64 n6
( m – 4n2
)3
= m3
– n2
m2
+ 32n4
m – 64n6
Ejercicios Propuestos
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.

Resolver los siguientes productos notables:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
 Como gran recomendación te dejo el LEER muy bien todo el documento, esto
lo puedes hacer las veces que sean necesario para que tengas la idea del
proceso a seguir.
 Puedes hacer consultas al e-mail, Considera el horario escolar.
 Se les deja un enlace de un texto de consulta
 https://issuu.com/santillanavenezuela/docs/matematica_3_91f27635e1ffe9

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