Guía para la actividad de 5to año Factorial y Combinatoria

1. U. E. Colegio María Auxiliadora
¡Ruega por todos tus hijos Madre Santísima!
Prof. Dennys Becerra e-mail: deabm3@gmail.com Matemática 5
Prof. Rosa Virginia Párraga M. e-mail: rovipame@gmail.com
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Número Factorial y Teoría Combinatoria
Definición de un Número Factorial
Es el producto de varios números naturales siguientes o consecutivos a partir de uno.
Entonces para todo número natural n, se denomina factorial o factorial de n n! al producto
de todos los números naturales como factores de forma decreciente desde n hasta uno (1)
Su Fórmula es n! = n • (n-1) • (n-2) • (n-3) •…• 1
Propiedades del Factorial
Por conveniencia se establecen estas dos propiedades básicas
1. El factorial del número cero es uno  0! = 1
2. El factorial del número uno es uno  1! = 1
Ejemplos: desarrollar los siguientes factoriales
a) 3! b) 5! c) 10! d) 16!
Solución:
Aplicamos la fórmula de factorial n! = n • (n-1) • (n-2) • (n-3) •…• 1
a) 3!
3! = 3 • (3-1) • (3-2) Sólo usamos dos factores
3! = 3 • 2 • 1 Se forman los factores en forma decreciente hasta el uno
3! = 6 Se multiplican todos los factores

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b) 5!
Solución: aplicamos la fórmula de factorial n! = n • (n-1) • (n-2) • (n-3) •…• 1
5! = 5 • (5-1) • (5-2) • (5-3) • (5-4) Se usan 4 factores después del n=5
5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1
5! = 20 • 6
5! = 120
c) 10!
Solución: aplicamos la fórmula de factorial n! = n • (n-1) • (n-2) • (n-3) •…• 1
10! = 10 • (10-1) • (10-2) • (10-3) • (10-4) • (10-5) • (10-6) •
(10-7) • (10-8) • (10-9) Acá se usan 9 factores después de n = 10
10! = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 Se resuelven las sustracciones
10! = 90 • 56 • 30 • 24 Se multiplican los factores
10! = 3628800 el resultado es multiplicar todos los factores
d) 16!
Solución:
En este caso omitiremos la fórmula y solo tendremos en cuenta realizar el producto
de los factores en forma decreciente hasta llegar a uno
16! = 16 • 15 • 14 • 13 • 12 • 11 • 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1
16! = 240 • 182 • 132 • 90 • 56 • 30 • 24
16! = 43680 • 11880• 1680 • 24

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16! = 518918400 • 40320 = 209227898800
Por ser un valor muy alto, te puede aparecer en notación científica
16! = 2092278989 x 1013
Es la misma respuesta!
Los factoriales poseen las mismas operaciones cerradas de los conjuntos
numéricos estudiados durante todo tu bachillerato: Adición, Sustracción,
Multiplicación y División
Por ello se pueden combinar y resolver de la siguiente manera:
Ejemplo: Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones factoriales
Solución:
Se resuelven los factores que quedan
Se resuelven los factores que quedan
Se observan los factoriales y desarrolla el que sea mayor entre ellos, en este
caso es 8! Hasta llegar al factorial igual que el del denominador
Se cancelan (eliminan) los factoriales que aparecen iguales en el numerador
y denominador
Se observan los factoriales y desarrollan los que sean mayores
entre ellos, en este caso es 12! Y 7! Hasta llegar al factorial igual
que el del denominador
Se cancelan (eliminan) los factoriales que aparecen iguales en el
numerador y denominador

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Desarrollamos los factoriales con mayor cantidad e igualamos a los factoriales restantes
Se saca factor común con el factorial común 6!
Se agrupan los factoriales y se cancelan por ser iguales
Se resuelve el producto de los factores
Se resuelve las operaciones
Se desarrollan los factoriales de mayor cantidad y se igualan
Se saca factor común en el denominador con el 8!
Se separa los factoriales y se simplifican (eliminan)
Se resuelven los factores y las operaciones

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TEORIA COMBINATORIA
El término “combinatoria” tal y como lo usamos actualmente fue introducido por
Wihem Leibniz en su Dissertartio de Arte Combinatoria. De gran importancia
para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el
arte de conjeturar) de J.Bernouilli » ; este trabajo estaba dedicado a establecer las
nociones básica de probabilidad.
Definición de Número Combinatorio
Sean dos números enteros positivos n y m tal que, m es mayor o igual que n. Diremos
que: ( )
Ejemplos: Calcular los siguientes números combinatorios
( ) ( ) ( ) ( )
Solución: Se toma en consideración la fórmula ( )
( ) Se verifica que m sea mayor o igual a n
( ) Se sustituye los valores en la fórmula
( ) Se resuelve la sustracción y se desarrolla el factorial mayor
( ) Se separan los factoriales comunes
( ) Se simplifica los factoriales comunes y se resuelve los productos

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( ) Se resuelve la división
( ) Se verifica que m sea mayor o igual a n
( ) Se sustituye los valores en la fórmula
( ) Se resuelve la sustracción y se desarrolla el factorial mayor
( ) Se separan los factoriales comunes
( ) Se simplifica los factoriales comunes y se resuelve los productos
( ) Se resuelve la división
( ) Se verifica que m sea mayor o igual a n
( ) Se sustituye los valores en la fórmula
( ) Se resuelve la sustracción, se aplica la propiedad de factorial
( ) Se multiplica el factorial por uno en el denominador
( ) Se simplifica los factoriales comunes
( )
( ) Se verifica que m sea mayor o igual a n, como no se cumple la
condición que m sea mayor o igual que n.
El combinatorio no se puede resolver.

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Puedes checar https://guao.org/quinto_ano/matematica/factorial_de_un_numero-numero_factorial
https://youtu.be/T8b8CYdL-4M
https://youtu.be/jD2h-3nkGEA
Ejercicios Propuestos
Desarrolla y simplifica los factoriales
Desarrolla y simplifica los siguientes combinatorios
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 Como gran recomendación te dejo el LEER muy bien todo el documento, esto
lo puedes hacer las veces que sean necesario para que tengas la idea del
proceso a seguir.
 Puedes hacer consultas al e-mail, Considera el horario escolar.