Estadística

1. Unidad II: Medidas de Posición o Tendencia Central.
Bienvenido, en esta unidad trabajaremos de forma muy interesante con las medidas de
posición central, obtendremos conocimientos básicos tales como la definición, la utilidad
que tienen en el deporte y las fórmulas que se utilizan para su cálculo. También aprenderás
como calcularlas y lo harás como si fueras ya un entrenador deportivo. Todo esto se
desarrollará en tres actividades:
Actividad 1: Investigación y discusión socializada de conceptos básicos, además del
cálculo manual de las medidas de tendencia central.
Actividad 2: Uso de herramienta tecnológica
Actividad 3: Proyecto con atletas. Cálculo e Interpretación de las medidas de posición
central.
Al culminar esta unidad estás preparado para:
Recuerda que tú eres el protagonista de este proceso de enseñanza.
Tu participación activa a lo largo del desarrollo de todas las actividades es muy
importante.
Así que adelante!... y comencemos con la primera actividad.
ACTIVIDAD 1: Investigación y discusión de los Conceptos.
Definir las medidas de posición, calcular e interpretar las medidas de
posición a través de cálculos manuales y computacionales. Realizar
inferencias relacionadas con las medidas de posición acerca del
desempeño de los atletas.

2. Cálculo manual
En el capítulo anterior aprendimos agrupar y presentar los datos de forma organizada, en
esta unidad nos encargaremos de describir a través de un representante el comportamiento
de los elementos que constituyen una población. Y algunos de estos representantes son las
medidas de posición central.
Medidas de Posición o Tendencia Central, se llaman así debido a que sus valores tienden
a estar en el centro de la distribución ordenada. También son conocidas como valores
medios o medidas representativas. Son utilizadas para describir y sintetizar mediante un
único número, el conjunto total de valores observados.
Definiciones de Media Aritmética (X), según la bibliografía sugerida:
“La media, o valor medio, es quizás la medida de ubicación más importante para una
variable, pues proporciona una medida de la ubicación central de los datos…” (Anderson,
Sweeney y Williams).
“La media es la suma de todos los valores divididos entre el número total de los mismos...”
(Lind, Mason y Marchal).
“… la media aritmética es la que se emplea con mayor frecuencia y es de uso fundamental
para calcular otros estadísticos. La media, el valor medio y el promedio aritmético son
términos sinónimos. La media aritmética se calcula sumando todos los datos de una serie o
distribución y dividiéndolos por el número de ellos” (Chourio).
“Es la medida más conocida, la más fácil de calcular y con la que siempre estamos más
familiarizados, ya que siempre hemos calculado el promedio de calificaciones obtenidos en
cada período escolar. A veces, se le denomina simplemente media o promedio, y es
Amigo estudiante investiga que son las medidas de posición, el
concepto de media aritmética, mediana y moda. Anímate y
pregúntale al Prof. Alirio Mejías para que se utilizan las medidas de
tendencia central en el deporte.

3. utilizado con tanta frecuencia, que en algunas ocasiones nos conducen a resultados que no
revelan lo que se pretende presentar, ya que la distribución puede requerir de la aplicación
de un promedio diferente a la media.
La media presenta algunas ventajas: es el único promedio que se presta a tratamientos
algebraicos, presenta una gran estabilidad en el muestreo, y es altamente sensible a
cualquier cambio en los valores de la distribución. Su mayor desventaja radica en la
imposibilidad de ser aplicada en aquellas distribuciones que no tienen definidos sus valores
extremos y debido a su gran sensibilidad para valores muy grandes de la variable, casos en
los que nos daría un valor que no es típico o representativo…. Se puede afirmar que la
media aritmética es representativa del conjunto, si se quiere promediar cantidades
semejantes, que presenten variaciones dentro de un margen razonable.
La media aritmética se define como el cociente que se obtiene al dividir la suma de los
valores de la variable por el número total de observaciones” (Martínez)
Ahora entre los estudiantes y el docente en una discusión socializada en clase deben
construir un concepto de media aritmética
Ahora el docente explicará como calcular la Media Aritmética:
Para hacer el cálculo de la media se utilizan métodos diferentes de acuerdo al tipo de datos;
datos simples, datos simples con distribución de frecuencia, y datos agrupados
La media aritmética…

4. Datos Simples Si representan los n valores que toma la variable y n es el
número total de observaciones, entonces:
= , es el i-ésimo valor de la variable.
Ejemplo ilustrativo: Calcular la media aritmética de los siguientes datos que representan el
número de vueltas al campo que realizaron unos atletas en un día de entrenamiento
4, 8, 10, 10, 5, 10, 9, 8, 6, 8, 10, 8, 5, 7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6.
Solución
Interpretación: los atletas hicieron en promedio 7 vueltas al campo. En este caso se debe
hacer un redondeo del resultado debido a que el número de vueltas al campo se expresa en
números enteros.
Datos Simples con Distribución de Frecuencia Se calcula de la siguiente manera:
= , dónde Nc es el n° de clases, n es el n° de observaciones, fi es la
frecuencia absoluta de la clase i y Xi es el valor que toma la variable.
Pasos para calcular la media aritmética de Datos Simples con Distribución:
1. Construir la distribución de frecuencia para datos simples.
2. Efectuar los productos de Xi . fi en una columna adicional.
3. Efectuar la suma de Xi . fi
4. Sustituir los valores en la formula de
5. Interpretar el resultado.
Ejemplo Ilustrativo: Utilizando los mismos datos del ejemplo ilustrativo anterior, calcular
la media aritmética para datos simples con distribución de frecuencias.
Solución
1. Primero realizamos la distribución de frecuencias.
Xi fi

5. 4 3
5 2
6 3
7 1
8 6
9 1
10 4
2 y 3. Efectuamos los productos de Xi . fi en una columna adicional y efectuamos la suma
de Xi . fi
Xi fi Xi.fi
4 3 12
5 2 10
6 3 18
7 1 7
8 6 14
9 1 10
10 4 14
∑Xi.fi 144
4. Sustituimos en la fórmula = = = 7,2.
5. Interpretación: El número promedio de vueltas al campo realizadas por los atletas es 7.
Datos Agrupados: Se calcula de la siguiente manera:
= , dónde Nc es el n° de clases, n es el n° de observaciones, fi es la
frecuencia absoluta de la clase i y Xmi es la marca de clase de la clase i.
Pasos para calcular la media aritmética de Datos Agrupados:
1. Construir la distribución de frecuencia para datos agrupados y calcular la marca de
clases.
2. Efectuar los productos de Xmi . fi en una columna adicional.
3. Efectuar la suma de Xmi . fi

6. 4. Sustituir los valores en la formula de
5. Interpretar el resultado.
Ejemplo Ilustrativo. Los siguientes datos representan el número de vueltas al campo
realizados por un grupo de atletas en un día de entrenamiento.
Intervalo fi Xmi
[4,6) 5 5
[6,8) 4 7
[8,10) 7 9
[10,12) 4 11
Solución.
En este caso, la distribución de frecuencias ya está dada, así, el paso 1 ya está hecho, en el
caso que no lo esté, habría que hacer la distribución de frecuencias como se aprendió en la
Unidad I
2. Efectuemos los productos de Xmi . fi en una columna adicional y efectuemos el paso 3
hacer la suma de Xmi . fi
Intervalo fi Xmi Xmi.fi
[4,6) 5 5 10
[6,8) 4 7 28
[8,10) 7 9 63
[10,12) 4 11 44
∑ Xmi.fi 145
4. Sustituir los valores en la formula de
= = = 7,25
5. Interpretar el resultado.
Interpretación: Los atletas en promedio dieron 7 vueltas al campo.

7. Bien, ahora que ya sabemos la definición de la media aritmética y cómo se calcula, vamos a
conocer otra medida de posición central que se utilizará cuando la media no sea un buen
representante del conjunto de datos ¿Cuándo ocurre esto?.......
Definiciones de la Mediana (Md), según la bibliografía sugerida:
“La mediana es otra medida de ubicación central; es el valor de en medio cuando los datos
están acomodados en orden ascendente (del valor menor al valor mayor). Con un número
impar de observaciones, la mediana es el valor de en medio. Con un número par, no hay
valor de en medio. En este caso se sigue la convención de que la mediana será el promedio
de los valores de las dos observaciones de en medio.” (Anderson y otros).
“Es una medida de posición, menos importante que la media. Se define como: aquel valor
de la variable que supera la mitad de las observaciones y a su vez es superado por la otra
mitad de las observaciones....
….. Su aplicación es menos frecuente que la media aritmética; presenta gran inestabilidad
en el muestreo; sus fórmulas son rígidas y no admiten tratamiento algebraico como la
media. En aquellas distribuciones irregulares, que presentan valores extremos que por lo
general afectan el promedio, deberá utilizarse la mediana, ya que no se afecta por los
cambios que sufra la variable, mientras no sea en la observación central. Para calcular la
mediana se requiere un ordenamiento de los datos, de menor a mayor o viceversa.
La mediana es utilizada con mayor frecuencia, cuando la distribución presenta el primero y
el último intervalo abierto o no definido en datos agrupados. El valor de este promedio
depende del número de observaciones y no del valor de las mismas; la mediana es poco
conocida y presenta dificultades en su aplicación.” (Martínez).
“Se define como el dato, medida o punto que divide a una distribución o serie ordenada en
dos partes exactamente iguales. Esto implica que a ambos lados de la mediana habrá un

8. 50% de valores. Para representar la mediana se usan símbolos como Xd, Md, Me, etc.”
(Chourio).
“Es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a
menor. Se tiene que 50% de las observaciones se encuentran por arriba de la mediana y
50% por debajo de ella.” (Lind, Marchal, Mason).
“La mediana es una medida de tendencia central diferente a cualquiera de las que hemos
tratado hasta ahora. La mediana es un solo valor del conjunto de datos que mide la
observación central del conjunto. Esta sola observación es el elemento que está más al
centro del conjunto de números. La mitad de los elementos están por arriba de este punto y
la otra mitad está por debajo.” (Levin y Rubin).
Ahora entre los estudiantes y el docente en una discusión socializada en clase deben
construir un concepto de mediana.
Ahora el docente explicará como calcular la Mediana:
Al igual que con la media, el procedimiento para calcular la mediana dependerá del tipo de
datos.
Datos Simples Primero ordenamos los datos de menor a mayor
Si n es impar: la mediana coincide con el valor ubicado en el centro de la serie ordenada,
el dato central, posición
Si n es par: la mediana es la semisuma de los dos datos centrales, y .
Ejemplo ilustrativo: Los siguientes datos representan las edades de un grupo de
bailoterapia que tiene la entrenadora Laurimar Rosales. Calcular la Mediana.
17,20, 37, 34, 32 ,27, 30, 33, 35,40,50,45,49,47,48,63.
Solución
La mediana es……..

9. Notemos que en los datos se presenta un poco de irregularidad pues hay datos extremos (17
y 63), lo que hace a la mediana una medida de posición más precisa que la media
aritmética.
Veamos, primero ordenemos los datos de menor a mayor. Y enumeremos las posiciones.
17 20 27 30 32 33 34 35 37 40 45 47 48 49 50 63
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Notemos, que en este ejemplo hay 16 datos, así que n=16 por lo tanto n es par.
Ubiquemos ahora cuales son las posiciones centrales:
= y =
Ahora, la mediana será el promedio de esos dos datos, es decir, =
Interpretación: El 50% de las personas que hacen bailoterapia tienen 36 años o menos y
el otro 50% tiene 36 años o más.
Datos Simples con Distribución de Frecuencia.
Si n es impar: ubicamos la posición de la mediana, en la columna de las frecuencias
absolutas acumuladas, si el número resultante no está exactamente se debe ubicar el
inmediato superior, y la mediana corresponderá al valor observado de esta clase.
Si n es par: la mediana corresponde a la semisuma de los datos y . Es decir, primero
debemos ubicar el valor resultante de en la columna de las frecuencias absolutas
acumuladas, si no se encuentra exactamente el valor, se debe ubicar el inmediato superior y
el valor observado de esta categoría lo denotaremos por , luego repetimos este
Saber esta información para la entrenadora Laurimar Rosales es importante
porque le ayudará a diseñar su programa de baile y evaluar si debe dividir su
clase en dos grupos pues el ritmo cardíaco (entre otras cosas) de una persona de
63 y de una de 17 años no es igual. Y la clase debe adaptarse a la edad de los
participantes para poder cuidar su salud.

10. procedimiento para y el valor observado de esta categoría lo denotamos por y la
mediana corresponderá al valor de
Ejemplo Ilustrativo: Los siguientes datos representan la cantidad de kg que pueden
levantar un grupo de atletas haciendo pesas, los cuales serán cambiados de entrenador,
calcular la mediana.
Xi fi Fi
10 3 3
12 2 5
15 3 8
20 1 9
25 6 15
30 2 17
Solución
Notemos que en este grupo de atletas hay unos bastante fuertes, y otros no tanto que
podrían no tener tanto tiempo entrenando como los datos son un poco irregulares la
mediana es la medida de posición más precisa a la hora de representar los datos.
En este caso hay 17 datos por lo tanto n=17 el cual es un número impar; calculemos
entonces la posición de la mediana = = .
Este 9 lo ubicamos en las frecuencias acumuladas, que en este caso corresponde a . Así la
mediana corresponde al dato correspondiente que sería 20.
Interpretación El 50% de los atletas pueden levantar pesas de 20 kg o menos y el otro 50%
pueden levantar pesas de 20 kg o más.
Esta información le servirá al nuevo entrenador para saber cuántas pesas
debe comprar de cada tipo de peso. Además de hacer planes de entrenamiento
que les permita a los atletas mejorar su rendimiento en el levantamiento de
pesas.

11. Observación. En el caso de que el valor obtenido con la fórmula de la posición de la
mediana no se encuentre exactamente en la columna de las frecuencias absolutas
acumuladas se debe ubicar el superior más cercano que se encuentre en dicha columna.
Datos Agrupados.
Para calcular la mediana de datos agrupados con distribución de frecuencias utilizamos la
siguiente fórmula:
Para utilizar esta fórmula primero debemos elegir el intervalo con el que vamos a trabajar,
para esto calculamos el valor de y lo ubicamos en la columna de las frecuencias absolutas
acumuladas, si el resultado no está, elegimos el inmediato superior y la clase
correspondiente a éste valor será de la que obtendremos todos los valores que sustituiremos
en la fórmula.
Ejemplo Ilustrativo: Los siguientes datos representan el número de goles realizados por
unos jugadores pertenecientes al equipo de fútbol de la policía Estadal. Calcular la medida
de posición central que mejor represente los datos.
Intervalo fi Fi
[4,6) 5 5
[6,8) 4 9
[8,10) 7 16
10 o más 8 24
Solución
Notemos que en este caso el último intervalo es abierto lo que nos impide realizar el cálculo
de la media (no existe punto medio de tal intervalo), por lo tanto la mediana es la medida de
posición central que mejor representa este conjunto de datos. Así que procedamos con el
cálculo.

12. Lo primero que tenemos que hacer es ubicar el intervalo del que obtendremos los datos
para sustituir en la fórmula, esto se hace calculando cuanto es = , este valor lo
ubicamos en la columna de las frecuencias acumuladas, como el 12 no está ubicamos el 16
que es el superior más cercano que allí se encuentra el cuál corresponde a . Por lo tanto
los datos los obtendremos de la clase 3, esto es,
= 8 +
Interpretación El 50% de los jugadores tienen un record de 9 goles o menos y el otro 50%
tiene un record de 9 goles o más.
Ahora, ya estás casi por terminar de conocer las tres medidas de posición central más
utilizadas, pero aguarda, aún te falta la moda.
¿Con qué asocias la palabra moda?..........................
Los autores sugeridos definen la Moda (Mo) como sigue:
“El valor de la observación que aparece con más frecuencia” (Lind, Marchal y Mason).
“Se define como el valor alrededor del cual, se concentra la mayor cantidad de datos. Es el
punto donde la concentración de datos es máxima. Es el valor que más se repite, el más
común, el más típico.” (Chourio).
“La moda es otra medida de posición, menos importante que los dos promedios anteriores,
y su uso es bastante limitado. Al igual que la mediana, sus fórmulas no admiten
tratamientos algebraicos; tampoco es sensible a valores extremos o a los cambios que se
hagan a los valores de la variable diferentes al de la moda. Su uso se hace indispensable
cuando la distribución presenta el primero y el último intervalo abierto o no definido.
Se utiliza de preferencia en distribuciones con amplitud constante y en especial cuando la
variable o el atributo presenta una frecuencia demasiado grande con respecto a las demás.
Esto le permitirá al entrenador evaluar si el entrenamiento respecto a los goles
está funcionando o necesita reforzar el programa de entrenamiento en este
aspecto.

13. La moda se define como aquel valor de la variable o del atributo que presenta la mayor
densidad, es decir la mayor frecuencia.
Si se tiene un atributo o una variable con máxima frecuencia, la distribución es unimodal.
Si hay dos valores con la misma frecuencia máxima, la distribución es bimodal. Si hay más
de dos, la distribución es multimodal…” (Martínez).
“La moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia.” (Anderson y otros).
“La moda es el valor que más se repite en el conjunto de datos.” (Levin y Rubin)
Ahora, muchachos construyamos juntos un concepto para la moda.
La ubicación de las medidas de posición me permite determinar como es la distribución de
datos, es decir hacia qué lado se concentran más los datos.
Bueno, ahora conozcamos cuál es el procedimiento para calcular la moda.
Datos Simples no agrupados. Se deben ordenar los datos de menor a mayor y la moda
será el dato que más se repita, si no hay ningún dato que se repita; se dice que no hay moda.
La moda es….

14. Ejemplo Ilustrativo: Los siguientes datos representan las edades de un grupo de
bailoterapia que tiene la entrenadora Laurimar Rosales. Calcular la Moda.
17,20, 37, 34, 32 ,27, 30, 33, 35,40,50,45,49,47,48,63.
Solución.
En este caso, como ningún dato se repite se dice que no hay moda.
Datos Simples con Distribución de Frecuencias. En este caso la moda corresponde al
valor observado de la distribución de frecuencia cuya frecuencia absoluta sea mayor.
Ejemplo Ilustrativo:
Los siguientes datos representan la cantidad de kg que pueden levantar un grupo de atletas
haciendo pesas, los cuales serán cambiados de entrenador, calcular la moda.
Xi fi Fi
10 3 3
12 2 5
15 3 8
20 1 9
25 6 15
30 2 17
Solución.
En este caso la frecuencia absoluta mayor es 6, por lo tanto la moda corresponde al 25. Esto
quiere decir que muchos atletas levantan pesas de 25 kg.
Datos Agrupados con Distribución de Frecuencias.
Para calcular la moda de datos agrupados con distribución de frecuencias utilizamos la
siguiente fórmula:

15. Para utilizar esta fórmula primero debemos elegir el intervalo con el que vamos a trabajar,
para ello determinamos cual es la mayor frecuencia absoluta y ese valor será , este valor
es conocido como la frecuencia modal y también se denota por fo. Luego sustituimos en la
fórmula los demás datos correspondientes a esa clase cuya frecuencia absoluta es mayor, en
el caso de que la mayor frecuencia absoluta se repita escogemos la clase que concentre
mayor cantidad de datos a su alrededor.
Observación: en el caso de que la mayor frecuencia absoluta se repita se debe elegir el
intervalo que concentre más datos a su alrededor.
Ejemplo Ilustrativo: Los siguientes datos representan el número de goles realizados por
unos jugadores pertenecientes al equipo de fútbol de la policía Estadal. Calcular la moda.
Intervalo fi Fi
[4,6) 5 5
[6,8) 8 13
[8,10) 7 20
[10, 12) 8 28
[12, 14) 6 34
Solución.
Lo primero que tenemos que hacer es buscar la frecuencia modal que en este caso es 8 pues
es la mayor frecuencia simple. Pero como la frecuencia modal se repite (para la clase 2 y la
clase 4) debemos elegir un intervalo del cual se obtendrán los datos para sustituirse en la
fórmula, la clase 2 concentra 8+7+5= 20 datos a su alrededor y la clase 4 concentra 8+7+6
=21 datos a su alrededor por lo tanto trabajaremos con la clase 4, así obtenemos:
= 10 + * 2= 10,66
Lo cual significa que hay varios jugadores que han realizado 10,66 11 goles.

16. AUTOEVALUACIÓN.
1. ¿Cuáles son las características de la Media Aritmética?
2. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de la Mediana?
3. ¿Cuál es el caso más adecuado para buscar la Moda?
4. Los siguientes datos representan el número de flexiones realizados por unos atletas
en 16 segundos. Calcular las medidas de posición central
Intervalo fi Fi
[4,6) 5 5
[6,8) 8 13
[8,10) 7 20
[10, 12) 4 24
[12, 14) 5 29
.
5. Los siguientes datos representan la cantidad de abdominales realizadas por unos
atletas en 30 segundos, calcular las medidas de posición central.
Xi fi Fi
10 3 3
12 2 5
15 3 8
20 1 9
25 6 15
30 4 19
6. Los siguientes datos representan los puntos obtenidos por unos equipos de fútbol.
3,4,6,8,3,5,9,10,4,6.
Calcular las medidas de posición central.