Este documento presenta la resolución de varios ejercicios matemáticos relacionados con sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones lineales. En la Parte A, el autor resuelve un sistema de ecuaciones lineales en diferentes formas (matricial, vectorial) y expresa la solución. En la Parte B, repite el proceso para otro sistema de ecuaciones. En la Parte C, modela transformaciones geométricas como transformaciones lineales, expresando los espacios de salida y llegada y la forma genérica de los vectores involucrados.

1. Hernán Artigas Unidad 4 Matematica1
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Unidad 4
Hernán Artigas
Parte A. Individual.
Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático. Esto es:
1. Escriba su forma matricial AX=B.
2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en
los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su
grado de comprensión).
3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una
base de vectores para dicho conjunto.
4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las
columnas de A.
5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las
columnas de A.
Respuestas:
1.
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 500
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 400
AX = B
[
2 3 4
1 2 3
] · [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
500
400
]
2.
[
2
1
] · 𝑥 + [
3
2
] . 𝑦 + [
4
3
] . 𝑧 = [
500
400
] , 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑦+ 𝐴3 𝑧 = 𝐵

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Así, el término independiente [
500
400
]está generado por las columnas {[
2
1
] ,[
3
2
], [
4
3
]}.
Como posee infinitas soluciones, decimos que [
500
400
] 𝐺𝑒𝑛 {[
2
1
] , [
3
2
] ,[
4
3
]} .
3. Procedemos:
𝑆 = {[
𝑥
𝑦
𝑧
]| 𝑥 = −200 + 𝑢; 𝑦 = 300 − 2𝑢; 𝑧 = 𝑢; 𝑢 = 𝑧ℝ} =
= {[
−200 + 𝑢
300 − 2𝑢
𝑢
]|𝑢ℝ} = {[
−200 + 𝑢
300 − 2𝑢
0 + 𝑢
]| 𝑢 ℝ} =
{[
−200
300
0
] + [
𝑢
−2𝑢
𝑢
] | 𝑢 ℝ} = {[
−200
300
0
] + 𝑢 · [
1
−2
1
] | 𝑢 ℝ}
4.
La actividad expresada con simbología matemática: Encontrar 𝐵 ∈ 𝐺𝑒𝑛 { 𝐴1,…, 𝐴 𝑛}
Es decir encontrar:
[
𝑏1
·
·
·
𝑏 𝑛]
∈ 𝐺𝑒𝑛
{[
𝑎11
·
·
·
𝑎 𝑚1]
,… ,
[
𝑎1𝑛
·
·
·
𝑎 𝑚𝑛]}
Pasando en limpio:
Encontrar 𝐵 ∈ 𝐺𝑒𝑛 {[
2
1
], [
3
2
] , [
4
3
]}
𝐵 = 𝐶1 · 𝐴1 + 𝐶2 · 𝐴2 + 𝐶3 · 𝐴3 donde C1, C2, Y C3 son escalares cualesquiera.
En simbología matemática:
𝐵 = 𝐶1 · [
2
1
] + 𝐶2 · [
3
2
] + 𝐶3 · [
4
3
]
Ahora le damos valor a cada escalar:
C1=4

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C2=1
C3=2
Ahora operamos reemplazando:
𝐵 = 4 · [
2
1
] + 1 · [
3
2
] + 2 · [
4
3
]
𝐵 = [
8
4
] + [
3
2
] + [
8
6
]
𝐵 = [
19
12
]
5.
Propondremos un vector que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A. Es decir, lo
contrario a lo pedido en el punto 4.
𝐵 𝑁𝑜 ∈ 𝐺𝑒𝑛 {[
2
1
] ,[
3
2
], [
4
3
]} (Puse “No” porque no encontré el símbolo del pertenece tachado)
𝐵 = [
52
37
]
Se plantea la ecuación
[
2
1
] · 𝑥 + [
3
2
] . 𝑦 + [
4
3
]. 𝑧 = [
52
37
],
Si lo expresamos en SEL:
2x + 3y + 4z = 52
x + 2y + 3z = 37
El único paquete capaz de resolver una ecuación 2x4 capaz de arrojar el resultado que necesito es
resolvermatrices.com
Resolvemos este SEL:

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Como observamos, El SEL no tiene solución si lo pensamos como dentro del contexto realdel
problema. La solución se encuentra con números negativos. Use los números que utilice en el
vector, siempre encuentra una solución. Con esto llego a la conclusión que para el contexto real del
problema esto no será posible, pero si hay solución dentro de los números reales. No es posible
encontrar un vector que no pertenezca al espacio generado por las columnas de A.

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Parte B. Individual.
Retome el SEL de la Actividad 4B y cambie de modelo matemático. Esto es:
1. Escriba su forma matricial AX=B.
2. Escriba su forma vectorial. Verbalice el simbolismo como está hecho en
los ejemplos del material de lectura obligatorio digital (para observar su
grado de comprensión).
3. Exprese el conjunto solución en términos de vectores, identifique una
base de vectores para dicho conjunto.
4. Identifique un vector B que pertenezca al espacio generado por las
columnas de A.
5. Identifique un vector B que no pertenezca al espacio generado por las
columnas de A.
Respuestas:
1.
20𝑥 + 30𝑦 + 40𝑧 = 34
30𝑥 + 40𝑦 + 50𝑧 = 46
40𝑥 + 50𝑦 + 90𝑧 = 67
Expresado como AX = B es:
[
20 30 40
30 40 50
40 50 90
] · [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
34
46
67
]
2.
[
20
30
40
] · 𝑥 + [
30
40
50
] · 𝑦 + [
40
50
90
] · 𝑧 = [
34
46
67
] 𝐴1 𝑥 + 𝐴2 𝑦 + 𝐴3 𝑧 = 𝐵
El término independiente [
34
46
67
]está generado por las columnas {[
20
30
40
],[
30
40
50
],[
40
50
90
]}
Entonces como [
20 30 40
30 40 50
40 50 90
] · [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
34
46
67
] quiere decir que posee una única

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solución que es: [
34
46
67
]  𝐺𝑒𝑛 {[
20
30
40
], [
30
40
50
], [
40
50
90
]} .
3.
La solución expresada en términos de vectores es:
𝑆 = {[
0.5
0.4
0.3
]}
Lo que es igual a decir que la solución es un vector fijo.
4.
La actividad expresada con simbología matemática: Encontrar 𝐵 ∈ 𝐺𝑒𝑛 { 𝐴1,…, 𝐴 𝑛}
Es decir:
[
𝑏1
·
·
·
𝑏 𝑛]
∈ 𝐺𝑒𝑛
{[
𝑎11
·
·
·
𝑎 𝑚1]
,… ,
[
𝑎1𝑛
·
·
·
𝑎 𝑚𝑛]}
Pasando en limpio:
𝐵 ∈ 𝐺𝑒𝑛 {[
20
30
40
],[
30
40
50
] ,[
40
50
90
]}
𝐵 = 𝐶1 · 𝐴1 + 𝐶2 · 𝐴2 + 𝐶3 · 𝐴3 en donde C1,C2 y C3 son escalares.
𝐵 = 𝐶1 · [
20
30
40
] + 𝐶2 · [
30
40
50
] + 𝐶3 · [
40
50
90
]
Le damos valores a C1, C2 y C3:
 C1=4
 C2=2
 C3=1
Reemplazamos:
𝐵 = 4 · [
20
30
40
] + 2 · [
30
40
50
] + 1 · [
40
50
90
]

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𝐵 = [
80
120
160
] + [
60
80
100
] + [
40
50
90
]
𝐵 = [
180
250
350
]
5.
Debo buscar esto:
𝐵 𝑁𝑜 ∈ 𝐺𝑒𝑛 {[
20
30
40
], [
30
40
50
], [
40
50
90
]} (Puse “No” porque no encontré el símbolo del “pertenece”
tachado)
Tomamos como ejemplo un vector:
𝐵 = [
54
32
79
]
Se plantea la ecuación
[
20
30
40
] · 𝑥 + [
30
40
50
] . 𝑦 + [
40
50
90
] . 𝑧 = [
54
32
79
]
Si lo expresamos en SEL:
20x + 30y + 40z = 54
30x + 40y + 50z = 32
40x + 50 y + 90z = 79
Resolvemos el SEL con Online M School.

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La solución se encuentra con números negativos. Use los números que utilice en el vector, siempre
encuentra una solución. Con esto llego a la conclusión que para el contexto real del problema esto
no será posible, pero si hay solución dentro de los números reales. No es posible encontrar un
vector que no pertenezca alespacio generado por las columnas de A.

9. Hernán Artigas Unidad 4 Matematica1
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Parte C. Individual.
Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su posición en el
plano multiplicando matrices y cambie el modelo matemático. Lo pensará como una transformación lineal:
1. Identifique la primera transformación lineal que identificaremos por T.
2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.
3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.
4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.
5. Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.
6. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos
por .
7. Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos
por .
8. Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.
Procedemos:
𝑇 = [
𝑘 0
0 1
] ( 𝑘 𝑅); 0 < 𝑘 < 1
k = 1/2
Entonces:
𝑇: 𝑅2 → 𝑅2
Espacio de salida: R2
Espacio de llegada: R2
[
𝑥
𝑦] → [
1/2 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = [
1
2
𝑥
𝑦
]
Expresión genérica de un vector en el espacio de salida: [
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de llegada: [
1
2
𝑥
𝑦
]
Repita 1) 2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.

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Procedemos:
𝑆 = [
𝑘 0
0 1
] ( 𝑘 𝑅); 𝑘 < 1
k = 2
Entonces:
𝑇: 𝑅2 → 𝑅2
Espacio de salida: R2
Espacio de llegada: R2
[
𝑥
𝑦] → [
2 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = [
2𝑥
𝑦
]
Expresión genérica de un vector en el espacio de salida: [
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de llegada: [
2𝑥
𝑦
]
Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos
por .
Tenemos las matrices:
𝑇 = [
1/2 0
0 1
]
𝑆 = [
2 0
0 1
]
𝑋 → 𝑆 𝑜 𝑇( 𝑋) = (𝐵𝐴)𝑋
Por lo tanto S o T es la transformación que se obtiene de realizar el producto de ambas
matrices A y B. La cual llamaremos C:
𝑆 𝑜 𝑇 = 𝐶 = 𝐴𝐵 = ([
1/2 0
0 1
] · [
2 0
0 1
]) = [
1 0
0 1
]
𝑆 𝑜 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2
Espacio de salida: R2
Espacio de llegada: R2

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[
𝑥
𝑦] → [
1 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = [
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de salida: [
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de llegada: [
𝑥
𝑦]
Repita 1) 2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos por .
Es hacer lo mismo que antes, pero con la ubicación contraria en las matrices:
Tenemos las matrices:
𝑇 = [
1/2 0
0 1
]
𝑆 = [
2 0
0 1
]
𝑋 → 𝑇 𝑜 𝑆( 𝑋) = (𝐴𝐵)𝑋
Por lo tanto T o S es la transformación que se obtiene de realizar el producto de ambas
matrices B y A. La cual llamaremos C:
𝑇 𝑜 𝑆 = 𝐶 = 𝐵𝐴 = ([
2 0
0 1
] · [
1/2 0
0 1
]) = [
1 0
0 1
]
𝑆 𝑜 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2
Espacio de salida: R2
Espacio de llegada: R2
[
𝑥
𝑦] → [
1 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = [
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de salida: [
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de llegada: [
𝑥
𝑦]

12. Hernán Artigas Unidad 4 Matematica1
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(Como observamos, nos dio todo igual que en el punto anterior. En este caso se dio así).
Repita 1) 2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.
𝑇 = [
1/2 0
0 1
]
𝑇−1 = [
2 0
0 1
]
Entonces:
𝑇: 𝑅2 → 𝑅2
Espacio de salida: R2
Espacio de llegada: R2
[
𝑥
𝑦] → [
2 0
0 1
] [
𝑥
𝑦] = [
2𝑥
𝑦
]
Expresión genérica de un vector en el espacio de salida: [
𝑥
𝑦]
Expresión genérica de un vector en el espacio de llegada: [
2𝑥
𝑦
]