Este documento describe el efecto del confinamiento en el concreto y cómo mejora sus propiedades a deformaciones elevadas. Explica cómo las hélices confinan de manera más efectiva que los aros rectangulares. También presenta modelos teóricos para determinar las curvas momento-curvatura de secciones de concreto armado considerando el confinamiento.

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DIAGRAMA MOMENTO –
CURVATURA CONFINADO
DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA DE UNA SECCIÓN
DE CONCRETO ARMADO CONFINADO
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
1. EFECTO DEL CONFINAMIENTO DEL CONCRETO
En la práctica, se puede confinar al concreto mediante refuerzo transversal,
comúnmente en forma de hélices o aros de acero espaciados a poca distancia. En este
caso, a bajos niveles de esfuerzo en el concreto, el refuerzo transversal apenas se
esfuerza; en consecuencia, el concreto no está confinado. El concreto queda confinado
cuando a esfuerzos que se aproximan a la resistencia uniaxial, las deformaciones
transversales se hacen muy elevadas debido al agrietamiento interno progresivo y el
concreto se apoya contra el refuerzo transversal, el que entonces aplica una reacción de
confinamiento al concreto. En consecuencia, el refuerzo transversal proporciona
confinamiento pasivo; las pruebas realizadas por muchos investigadores, han
demostrado que el confinamiento por el refuerzo transversal puede mejorar
considerablemente las características esfuerzo deformación del concreto a
deformaciones elevadas.
Figura 1. Curvas esfuerzo - deformación para cilindros de concreto confinados con
hélices de varillas de acero suave.
La figura muestra curvas esfuerzo – deformación obtenidas de tres conjuntos de
cilindros de concreto confinados por hélices que probaron Iyengar y otros. Cada
conjunto tenía una resistencia no confinada distinta del concreto. Es muy apreciable el
aumento en la resistencia y ductilidad con la cuantía del acero de confinamiento.

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Las pruebas han demostrado que las hélices confinan al concreto con mucha mayor
eficiencia que los aros rectangulares o cuadrados.
Figura 2. Curvas carga axial-deformación para prismas cuadrados de concreto
En la figura tenemos curvas carga deformación para prismas de concreto, que
probaron Bertero y Felippa, que contenían distintas cantidades de estribos cuadrados.
El efecto de la distinta cuantía de acero transversal en la ductilidad es bastante
apreciable, aunque el efecto en la resistencia es mucho menor.
Figura 3. Confinamiento por aros cuadrados y hélices
Debido a su forma, las hélices están en tensión axial de aro y proporcionan una
presión continua de confinamiento alrededor de la circunferencia, que a grandes
deformaciones transversales se aproxima al confinamiento de un fluido.
Sin embargo, como regla, los aros cuadrados sólo pueden aplicar reacciones de
confinamiento cerca de las esquinas de los aros, debido a que la presión del concreto
contra los lados de los aros tienden a flexionar los lados hacia afuera.

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En consecuencia, una porción considerable de la sección transversal del concreto
puede no estar confinada. Debido al arqueo interno entre las esquinas, el concreto está
confinado efectivamente sólo en las esquinas y en región central de la sección. Sin
embargo, el acero cuadrado de confinamiento sí produce un aumento significativo en la
ductilidad y muchos investigadores han observado cierto aumento en la resistencia.
Es evidente que el confinamiento por refuerzo transversal tiene poco efecto en la
curva esfuerzo – deformación antes de que se alcance la resistencia uniaxial del
concreto. El perfil de la curva de esfuerzo – deformación a deformaciones elevadas es
una función de muchas variables, en que las principales son las siguientes:
1. La relación del volumen del acero transversal al volumen del núcleo del concreto,
debido a que un elevado contenido de acero transversal involucra una elevada
presión de confinamiento transversal.
2. El esfuerzo de fluencia del acero transversal, puesto que esto proporciona un límite
superior a la presión de confinamiento.
3. La relación del espaciamiento del acero transversal a las dimensiones del núcleo de
concreto, debido a que un espaciado más pequeño conduce a un confinamiento
más efectivo. El concreto está confinado por el arqueado del concreto entre las
varillas transversales; y si el espaciado es grande, es evidente que no puede
confinarse un volumen grande de concreto, por lo que éste puede desconcharse.
Figura 4. Efecto del espaciamiento del acero transversal en la eficiencia del
confinamiento

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4. La relación del diámetro de la varilla transversal a la longitud no soportada de las
varillas transversales en el caso de estribos o aros rectangulares, debido a que un
diámetro grande de varilla conduce a confinamiento más efectivo. Las varillas
transversales de diámetro pequeño actúan solamente como amarres entre las
esquinas, debido a que la rigidez por flexión del aro es pequeña y éstos se arquean
hacia afuera en vez de confinar en forma efectiva al concreto en las regiones entre
las esquinas. Con una relación mayor de diámetro de la barra transversal a su
longitud no soportada, el área de concreto confinado efectivamente es mayor
debido a la mayor rigidez por flexión del lado del aro. En el caso de una hélice esta
variable no tiene significado; gracias a su forma, la hélice trabaja en tensión axial y
aplica una presión radial uniforme al concreto.
5. La cuantía y tamaño del refuerzo longitudinal, debido a que ese acero también
confina al concreto. Las varillas longitudinales generalmente tienen diámetro
grande, y por lo general la relación de diámetro de varilla a longitud no soportada es
tal que las varillas pueden confinar efectivamente el concreto. Sin embargo, las
varillas longitudinales deben colocarse bien ajustadas contra el acero transversal,
ya que este proporciona las reacciones de confinamiento a las varillas
longitudinales, y si se necesita mover las varillas longitudinales para ponerlas en
contacto efectivo con el acero transversal, se reduce la eficiencia del confinamiento.
6. La resistencia del concreto, debido a que el concreto de baja resistencia es algo
más dúctil que el concreto de alta resistencia.
7. La tasa de carga, debido a que las características de esfuerzo deformación del
concreto dependen del tiempo.
El concreto no está confinado fuera del acero transversal, y se puede esperar que
este concreto de recubrimiento tenga características esfuerzo – deformación distintas a
las del concreto dentro del acero transversal. El recubrimiento generalmente comienza a
desconcharse cuando se alcanza la resistencia no confinada, especialmente si la
cuantía de acero transversal es elevada, debido a que la presencia de un gran número
de varillas transversales crea un plano o superficie de debilidad entre el núcleo y el
recubrimiento lo que precipita el desconchamiento. En consecuencia, para cuantías
altas de acero transversal, la contribución del recubrimiento a elevadas deformaciones
debe ignorarse. Se puede suponer que el recubrimiento tiene las características del
concreto no confiando hasta una deformación supuesta de desconchamiento y que no
contribuye a la resistencia total bajo deformaciones más elevadas.

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2. DETERMINACIÓN TEÓRICA DE LA RELACIÓN MOMENTO – CURVATURA
Es posible deducir curvas teóricas momento – curvatura para secciones de
concreto reforzado con flexión y carga axial, en base a suposiciones semejantes a las
utilizadas para la determinación de la resistencia a flexión. Se supone que las secciones
planas antes de la flexión permanecen planas después de la flexión y que se conocen
las curvas esfuerzo-deformación para el concreto y el acero. Las curvaturas asociadas
con un rango de momentos flectores y cargas axiales pueden determinarse utilizando
estas suposiciones y a partir de los requerimientos de compatibilidad de deformación y
equilibrio de las fuerzas.
Figura 5. Esfuerzo - deformación del concreto confinado a compresión
Figura 6. Esfuerzo - deformación del acero a tracción y compresión

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En las figuras 5 y 6 se muestran curvas típicas esfuerzo – deformación para el
concreto confinado y acero de refuerzo, en que fy es el esfuerzo de fluencia del acero y
f’c es la resistencia a compresión del concreto no confinado en un elemento.
Figura 7. Sección y diagrama de deformaciones
La figura muestra una sección de concreto armado. Para determinada deformación
del concreto confinado a una profundidad “r” de la fibra extrema a compresión εc y una
distancia c-r del eje neutro, se puede determinar las deformaciones del acero εs1, εs2,
εs3, …, εsi y la posición de la deformación máxima del concreto no confiando hr por
triángulos semejantes del diagrama de deformaciones.
( ) ( ) ( )
Figura 8. Sección, diagrama de esfuerzos y fuerzas internas

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La figura muestra una sección de concreto armado con carga axial y flexión. Ahora
se pueden encontrar los esfuerzos fs1, fs2, fs3, …, fsi correspondientes a las
deformaciones εs1, εs2, εs3, …, εsi a partir de la curva esfuerzo - deformación para el
acero. En seguida se pueden encontrar las fuerzas del acero S1, S2, S3, …, Si a partir
de los esfuerzos del acero y las áreas del mismo. Por ejemplo, para la varilla i, la
ecuación de la fuerza es:
( )
Se puede encontrar la distribución del esfuerzo del concreto en la parte comprimida
de la sección de la figura 8 a partir del diagrama de deformaciones y la curva esfuerzo -
deformación para el concreto. Para cualquier deformación dada del concreto εc a una
distancia r de la fibra extrema a compresión, se puede definir la fuerza de compresión
del concreto C y su posición en términos de los parámetros y en que:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
La compresión del concreto confinado Cc actúa a una distancia ( ) de la
profundidad del eje neutro. La compresión del concreto no confinado Cn actúa a una
distancia de la profundidad del eje neutro. Se puede determinar el factor α del
esfuerzo medio y el factor del centroide para cualquier deformación εc para secciones
rectangulares a partir de la relación esfuerzo-deformación como sigue:
∫
( )
∫
∫
( )
∫
( )
∫
∫
( )

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En consecuencia, si se puede escribir el esfuerzo fc en el concreto en términos de
la deformación εc (es decir, si se conoce la curva esfuerzo deformación), usando las
ecuaciones del 6 al 9 se puede determinar la fuerza del concreto y su línea de acción.
Se pueden escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas como:
∑ ( )
( ) ∑ ( ) ( ) ( )
La curvatura está dada por:
( )
Se puede determinar la relación teórica momento – curvatura para un nivel dado de
carga axial, incrementado la deformación del concreto en la fibra εc. Para cada valor de
εc se encuentra la profundidad c del eje neutro que satisface el equilibrio de las fuerzas
ajustando c hasta que las fuerzas internas calculadas utilizando las ecuaciones 2 y 5.
Satisfaga la ecuación 10.
Nótese que en el caso de flexión solamente Pa = 0. Entonces se utilizan las fuerzas
internas y la profundidad del eje neutro encontrado de esa manera para determinar el
momento M y curvatura φ a partir de las ecuaciones 7, 9. 11 y 12 que correspondan a
ese valor de εc. Desarrollando el cálculo para una diversidad de valores de εc se puede
graficar la curva momento - curvatura. El cálculo es extenso y de ser necesario se
realiza mejor utilizando una computadora digital.

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3. MODELO ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL CONCRETO CONFINADO
La curva de Kent y Park tiene puntos característicos, comienza con una parábola
invertida en el origen y tiene un vértice en las coordenadas ( ; ), donde el valor de
, se considera como 0.002, luego la curva se convierte en línea recta de pendiente
negativa hasta que su resistencia tiene un esfuerzo del 0.20 y finalmente la curva se
convierte en una línea horizontal hasta que se produzca la deformación de ruptura.
Figura 9. Curva esfuerzo-deformación del concreto confinado
{
[ ( ) ]
[ ( )]
√
Donde:
: Esfuerzo del concreto no confinado
: Esfuerzo máximo del concreto no confinado (lb/pulg2
)
: Deformación del concreto
: Deformación del concreto asociado al ( =0.002)
: Deformación del concreto asociado al
: Pendiente de la rama descendente recta
: Relación del volumen de refuerzo transversal al volumen del núcleo de concreto
medido al exterior de los aros
: Ancho del núcleo confinado medido al exterior de los aros
: Espaciamiento de los aros

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Para determinar la fuerza resultante que actúa en la sección transversal del
elemento y la distancia donde actúa esta fuerza con respecto al eje neutro se calculan
coeficientes, denominados y , que van a representar porcentajes de área rectangular
y de distancia respectivamente.
El coeficiente de es un porcentaje del área por debajo de la curva con respecto al
área de un rectángulo de valor .
{
∫ [ ( ) ]
∫ [ ( ) ] ∫ [ ( )]
{
( )
( )
El coeficiente de es un porcentaje de distancia de con respecto al valor de la
deformación .
{
[
∫ [ ( ) ]
∫ [ ( ) ]
]
[
∫ [ ( ) ] ∫ [ ( )]
∫ [ ( ) ] ∫ [ ( )]
]
{
( )
( )
Finalmente estos coeficientes y nos servirán para evaluar la fuerza resultante
generada por los esfuerzos de compresión y la ubicación del punto de aplicación de la
fuerza, respectivamente.

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4. MODELO ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA EL ACERO DE REFUERZO
En general la curva esfuerzo – deformación a tracción está formada por tres ramas:
rama elástica lineal, rama o planicie de posfluencia y la rama de endurecimiento por
deformación, tal como se muestra en la figura 10.
Figura 10. Curva completa esfuerzo-deformación del acero sometido a tracción.
Para la zona de tracción los esfuerzos en el acero dentro de la zona de
endurecimiento por deformación se utilizará el modelo propuesto por Park y Paulay
(1975). Para la zona de compresión se utilizará la misma curva.
( ⁄ )( )
[
( )
( )
( )( )
( )
]
Donde:
fy: Esfuerzo de fluencia del acero
εsh: Deformación máxima de la rama de posfluencia del acero
εsu, fsu: Deformación y esfuerzo últimos del acero
εs, fs: Deformación y esfuerzo del acero en la zona de tracción y compresión

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5. EJEMPLO DE APLICACIÓN
1. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
f 'c: Esfuerzo de compresión del concreto (MPa) 27.6 As (mm2
) d (mm)
εco: Deformación del concreto no confinado 0.002 1014 75
εcm: Deformación máxima del concreto no confinado 0.004 1521 475
εcu: Deformación máxima del concreto confinado 0.0199
fy: Esfuerzo de fluencia del acero (MPa) 414
fsu: Esfuerzo máximo del acero (MPa) 621
Es: Módulo de elasticidad del acero (MPa) 200000
εsh: Deformación al inicio del endurecimiento 0.0124
εsu: Deformación última del acero 0.0745
Δc: Incremento de la deformación del concreto 0.0001
2. PROPIEDADES DE LA SECCIÓN
b: Base de la sección (mm) 300.00
h: Altura de la sección (mm) 550.00
dbh: Diámetro del acero horizontal (mm) 9.525
Asbh: Área de acero de la barra horizontal (mm2
) 71.00
fyh: Esfuerzo de fluencia del acero horizontal (MPa) 414
εshu: Deformación última del acero horizontal 0.0745
s: Espaciamiento del acero horizontal (mm) 100
re: Recubrimiento del acero horizontal (mm) 52.775
Pa: Carga axial actuante en la sección (N) 0.00
3. DIAGRAMA MOMENTO - CURVATURA
εc α γ c (mm) M (KN-m) Ø (m-1
)
0.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.00 0.0000
0.0001 0.0492 0.6653 145.36 29.15 0.0007
0.0002 0.0967 0.6638 146.23 57.74 0.0014
0.0003 0.1425 0.6623 147.12 85.75 0.0020
0.0004 0.1867 0.6607 148.02 113.19 0.0027
0.0005 0.2292 0.6591 148.95 140.03 0.0034
0.0006 0.2700 0.6574 149.89 166.28 0.0040
0.0007 0.3092 0.6557 150.86 191.92 0.0046
0.0008 0.3467 0.6538 151.84 216.96 0.0053
0.0009 0.3825 0.6520 152.85 241.37 0.0059
0.0010 0.4167 0.6500 152.63 263.24 0.0066
0.0011 0.4492 0.6480 141.20 265.16 0.0078
0.0012 0.4800 0.6458 132.00 266.70 0.0091
0.0013 0.5092 0.6436 124.50 267.96 0.0104
0.0014 0.5367 0.6413 118.32 269.00 0.0118
0.0015 0.5625 0.6389 113.18 269.87 0.0133
0.0016 0.5867 0.6364 108.86 270.61 0.0147
0.0017 0.6092 0.6337 105.22 271.23 0.0162
0.0018 0.6300 0.6310 102.13 271.75 0.0176
0.0019 0.6492 0.6280 99.50 272.20 0.0191
0.0020 0.6667 0.6250 97.26 272.56 0.0206
0.0021 0.6824 0.6218 95.36 272.86 0.0220
0.0022 0.6966 0.6184 93.73 273.09 0.0235
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA DE UNA SECCIÓN DE C°A°
Kent y Park (Concreto) y Park y Paulay (Acero)
EJECUTAR
BORRAR

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6. CONCLUSIONES
- Mediante el diagrama momento – curvatura podemos predecir el comportamiento a
la flexión de una sección de concreto armado confinado.
7. BIBLIOGRAFÍA
- R. Park y T. Paulay. Estructuras de Concreto Reforzado. (1983)
- Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe. Diagrama Momento – Curvatura de una Sección
de Concreto Armado No Confinado