Angulo de torsion en barras circulares

1. RESISTENCIA DE MATERIALES
UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES
EDEN CANO RODRIGUEZ
RESISTENCIA DE
MATERIALES
“ANGULO DE TORSIÓN EN
BARRAS CIRCULARES”
ING. PEDRO DE LA CRUZ LARA
INSTRUCTOR
EDEN CANO RODRIGUEZ
5TO CUATRIMESTRE DOMINGOS

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Introducción
Este trabajo está elaborado con el fin de explicar sobre los elementos sujetos a
torsión, como pueden ser barras o vigas o algún cuerpo al someterse a este
hecho; este trabajo está dedicado de igual forma al estudio de las tensiones y
deformaciones tangenciales en la sección transversal de un elemento (miembro)
debido a la acción de un momento de torsión (momento en torno al eje longitudinal
del elemento). Este estudio estará restringido a secciones circulares macizas y
huecas.
Hipótesis Básicas para Miembros Circulares
Considerar miembros de sección transversal circular maciza o tubular.
 Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece
plana después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el
alabeo o distorsión de planas normales al eje del miembro.
 En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones
unitarias de corte varían linealmente desde el eje central, alcanzando su
máximo valor en la periferia de la sección (Fig. 1).
 Se considera un material homogéneo y linealmente elástico.
Deformación de un miembro circular sometido a torsión.
Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de
radio c de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.

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Torsión y momento de torsión.
En un caso más general, puede suceder que el plano del momento, determinado
por el momento resultante de todos los momentos de las fuerzas de la izquierda
con respecto al centro de gravedad de la sección, no sea normal a esta. Será
posible entonces, descomponer ese momento, uno contenido en un plano normal
a la sección que nos dará un momento flector (flexión normal y oblicua) y otro en
el plano de la sección que nos dará un momento torsor (o de torsión). En la Fig. 65
se muestra el caso en el que el 𝑀𝑓 da una flexión normal:

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Aquí veremos solamente la torsión simple en la que:
Es un caso que muy difícilmente se produce en la práctica igual que el de corte
simple visto en el tema XV. Normalmente la torsión viene acompañada de flexión y
corte. En cuanto a las tensiones provocadas por la torsión deben, eventualmente,
sumarse vectorialmente a las provocadas por el esfuerzo de corte constituyendo
las tensiones tangenciales.
Angulo de torsión y ángulo de hélice.
Supongamos entonces, el cuerpo cilíndrico de la Fig. 67 de diámetro D, empotrado
en uno de sus extremos y sometido en el otro a la acción de un momento torsor 𝑀𝑡
Por reacción en el empotramiento se desarrollará un momento torsor reactivo
(−𝑀𝑡) y si hiciéramos el diagrama de momentos torsores tendríamos el de la
figura 68.

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Por efecto del momento torsor, el radio GA de la superficie cilíndrica extrema gira
hasta ocupar la posición GA´. El ángulo de giro 𝒚𝒕 es el ángulo de torsión.
Una generatriz como la AB por efecto del mismo momento de torsión pasaría a
ocupar la posición A’B formando una hélice sobre la superficie cilíndrica. Si se
desarrollara en un plano esta superficie tendríamos que la hélice se convierte en
una recta con un ángulo de inclinación ɣllamado ángulo de la hélice. (Fig. 69 a).
Si ahora considero un disco del cuerpo cilíndrico de espesor dx, se podría
comprobar que, siempre que las deformaciones (el ángulo de torsión ɣ) sean
pequeñas, además de cumplirse la hipótesis de Navierre se verifica que las
secciones permanecen circulares y sus diámetros y las distancias entre ellas no
cambian.
𝑑𝑠 =
𝐷
2
. 𝑑 ɣ 𝑦 𝑑𝑠 = ɣ 𝑑𝑥 Igualando ɣ = 1
2
𝐷. 𝑑𝑦
𝑑𝑥
Esto nos dice que
𝑑𝑦
𝑑𝑥
es una constante y representa el ángulo de torsión por
unidad por longitud de la pieza. Este ángulo se puede simbolizar con ø es el
ángulo especifico de torsión y la ecuación anterior la podemos escribir como ɣ =
1
2
𝐷. ø.

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El momento torsor producirá en el cuerpo tensiones de torsión. Considerando la
superficie donde está aplicado el 𝑀𝑡 analicemos dos anillos de la misma, uno
exterior y otro interior. Por efecto del Momento el punto A pasará a A’ y el punto
interior a a a’ (Fig. 70a). Aquí también se cumple la ley de Hooke por lo que las
tensiones de torsión serán proporcionales a esos desplazamientos y por
consiguiente resultará el diagrama de la Fig. 70b.
Si ahora consideramos un elemento de la superficie exterior de espesor 𝑑 𝑟 y
determinando por dos generatrices próximas separadas por un valor Δs y por dos
círculos exteriores separados de un valor dx, teniendo en cuenta la Fig. 67 y Fig.
69 b y Fig. 71 y la fórmula (41) vista en el tema XV – punto 2, al tratar el módulo
de la elasticidad transversal, tenemos:

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Igualando con la ecuación ɣ = 1
2
𝐷. ø ‫ﻍ‬ 𝑚𝑎𝑥
=
1
2
. D. G. ø de la figura 70b
resultara que
‫ﻍ‬ 𝑚𝑎𝑥
‫ﻍ‬
=
𝐷/2
𝑟
‫2=ﻍ‬
𝑟
𝐷
‫ﻍ‬ 𝑚𝑎𝑥
teniendo en cuenta la figura 72 y
aplicando la condición mecánica de equilibrio deberá verificarse que
𝑑𝑀𝑡=2𝜋𝑟.𝑑𝑟‫ﻍ‬.𝑟
𝑀𝑡 = ∫ 2𝜋.
𝐷/2
0
𝑟2
.‫ﻍ‬.𝑑𝑟
Y reemplazando ‫ﻍ‬por la formula
‫ﻍ‬ 𝑚𝑎𝑥
‫ﻍ‬
=
𝐷/2
𝑟
‫2=ﻍ‬
𝑟
𝐷
‫ﻍ‬ 𝑚𝑎𝑥
resulta
𝑀𝑡 = 2𝑚𝑎𝑥/𝐷‫ﻍ‬.𝑑𝑟∫ 2𝜋.𝐷/2
0 𝑟2
.‫ﻍ‬.𝑑𝑟 al valor 𝐼𝑝 = ∫ 2𝜋.𝐷/2
0 𝑟3 = 𝜋𝐷4/32

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Torsión en barras de sección circular.
Teoría de Coulomb
Las secciones transversales circulares
de la viga permanecen planas durante la
torsión, girando como n todo rígido
alrededor del eje normal X de la sección.
Los radios giran permaneciendo rectos,
y las fibras longitudinales se convierten
en hélices.
𝑦 = tan 𝑦 =
𝐶𝐶
Á𝐶
=
𝑃.𝑑ø𝑥
𝑑𝑥
= 𝑝. ø siendo;
Ø el ángulo de torsión
ϴ el ángulo de torsión por unidad de longitud, definido por ø=
𝑑ø
𝑑𝑥

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De acuerdo con Hook, t=G.y=G.p.ø, es decir, las tensiones tangenciales son
proporcionales al radio.

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Torsión en piezas de sección prismática.

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