Este documento presenta la solución a seis ejercicios de integrales inmediatas. Resume cada ejercicio desarrollando la integral y llegando a una expresión final. Los ejercicios involucran integrar funciones racionales, raíces cuadradas y binomios elevados.

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Ejercicios Resueltos
Ingenier´ıa
C´alculo aplicado I
´Ultima edici´on: 5 de abril de 2016
Ejercicios: integrales inmediatas
i) x(x + a)(x + b)dx
ii) 2pxdx
iii) 1
n√
x
dx
iv) (nx)
1−n
n dx
v) a
2
3 − x
2
3
3
dx
vi) (xm
−xn)2
√
x
dx
Soluci´on:
i) Primero debemos desarrollar el producto que se encuentra dentro de la integral
x(x + a)(x + b) = x(x2
+ bx + ax + ab),
= x3
+ bx2
+ ax2
+ abx,
= x3
+ (a + b)x2
+ abx.
Luego
x(x + a)(x + b)dx = x3
+ (a + b)x2
+ abx dx,
= x3
dx + (a + b)x2
dx + abxdx,
= x3
dx + (a + b) x2
dx + ab xdx,
=
x3+1
3 + 1
+ (a + b)
x2+1
2 + 1
+ ab
x1+1
1 + 1
+ c,
=
x4
4
+ (a + b)
x3
3
+ ab
x2
2
+ c,
=
x4
4
+
(a + b)
3
x3
+
ab
2
x2
+ c.
ii) Podemos hacer lo siguiente
2px = 2p ·
√
x.
Entonces

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2px dx = 2p ·
√
x dx,
= 2p
√
x dx,
= 2p x
1
2 dx,
= 2p
x
1
2 +1
1
2 + 1
+ c,
= 2p
x
3
2
3
2
+ c,
=
2 2p
3
x
3
2 + c.
iii) Integramos de manera inmediata
1
n
√
x
dx =
1
x
1
n
dx,
= x− 1
n dx,
=
x1− 1
n
1 − 1
n
+ c,
=
x
n−1
n
n−1
n
+ c,
=
n
n − 1
x
n−1
n + c.
iv) Podemos hacer lo siguiente
(nx)
1−n
n = n
1−n
n · x
1−n
n .
Entonces
2

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(nx)
1−n
n dx = n
1−n
n · x
1−n
n dx,
= n
1−n
n x
1−n
n dx,
= n
1−n
n ·
x
1−n
n +1
1−n
n + 1
+ c,
= n
1−n
n ·
x
1−n+n
n
1−n+n
n
+ c,
= n
1−n
n ·
x
1
n
1
n
+ c,
= n · n
1−n
n · x
1
n + c,
= n
1−n
n +1
· x
1
n + c,
= n
1−n+n
n · x
1
n + c,
= n
1
n · x
1
n + c,
= n
√
n · n
√
x + c,
= n
√
nx + c.
v) Recordemos lo siguiente. El producto notable del cubo al binomio1
(a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
,
aplicado a nuestro ejercicio
a
2
3 − x
2
3
3
= a
2
3
3
− 3 a
2
3
2
x
2
3 + 3a
2
3 x
2
3
2
− x
2
3
3
,
= a2
− 3a
4
3 x
2
3 + 3a
2
3 x
4
3 − x2
,
entonces
a
2
3 − x
2
3
3
dx = a2
− 3a
4
3 x
2
3 + 3a
2
3 x
4
3 − x2
dx,
= a2
dx − 3a
4
3 x
2
3 dx + 3a
2
3 x
4
3 dx − x2
dx,
= a2
dx − 3a
4
3 x
2
3 dx + 3a
2
3 x
4
3 dx − x2
dx,
= a2
· x − 3a
4
3 ·
x
2
3 +1
2
3 + 1
+ 3a
2
3 ·
x
4
3 +1
4
3 + 1
−
x2+1
2 + 1
+ c,
= a2
· x − 3a
4
3 ·
x
5
3
5
3
+ 3a
2
3 ·
x
7
3
7
3
−
x3
3
+ c,
= a2
x −
9
5
a
4
3 x
5
3 +
9
7
a
2
3 x
7
3 −
x3
3
+ c.
1Puedes visitar la secci´on de productos notables en http://www.ejerciciosresueltos.cl/
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vi) Recordemos el producto notable del cuadrado de binomio2
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
,
aplicando a nuestro problema
(xm
− xn
)2
= (xm
)2
− 2xm
xn
+ (xn
)2
,
= x2m
− 2xm+n
+ x2n
,
entonces
(xm
− xn
)2
√
x
dx =
x2m
− 2xm+n
+ x2n
√
x
dx,
=
x2m
− 2xm+n
+ x2n
x
1
2
dx,
=
x2m
x
1
2
−
2xm+n
x
1
2
+
x2n
x
1
2
dx,
= x2m− 1
2 − 2xm+n− 1
2 + x2n− 1
2 dx,
= x2m− 1
2 dx − 2xm+n− 1
2 dx + x2n− 1
2 dx,
= x2m− 1
2 dx − 2 xm+n− 1
2 dx + x2n− 1
2 dx,
=
x2m− 1
2 +1
2m − 1
2 + 1
− 2
xm+n− 1
2 +1
m + n − 1
2 + 1
+
x2n− 1
2 +1
2n − 1
2 + 1
,
=
x2m+ 1
2
2m + 1
2
− 2
xm+n+ 1
2
m + n + 1
2
+
x2n+ 1
2
2n + 1
2
.
2Puedes visitar la secci´on de productos notables en http://www.ejerciciosresueltos.cl/
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