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Ejercicios Resueltos
Ingenier´ıa
Algebra lineal
´Ultima edici´on: 20 de agosto de 2015
Ejercicios: vectores
Sean
u = 3ˆi − 5ˆj y v = −7ˆi − 4ˆj,
dos vectores.
◦ Determine:
i) ||v|| y su direcci´on,
ii) 3u − 2v,
iii) ||3u − 2v|| y su direcci´on,
iv) 2v − 3(u + 2v),
v) el vector unitario del vector resultante del ´ıtem II)
◦ Demostrar que el vector
3
5
, −
4
5
es un vector unitario.
Soluci´on:
◦ i) Calculamos la norma del vector v
||v|| = || − 7ˆi − 4ˆj||,
= (−7)2 + (−4)2,
=
√
49 + 16,
=
√
65.
ii) Calculamos el vector 3u − 2v
3u − 2v = 3(3ˆi − 5ˆj) − 2(−7ˆi − 4ˆj),
= 9ˆi − 15ˆj + 14ˆi + 8ˆj,
= 23ˆi − 7ˆj.
iii) Calculamos la norma del vector 3u − 2v,

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||3u − 2v|| = ||23ˆi − 7ˆj||,
= (23)2 + (−7)2,
=
√
529 + 49,
=
√
578,
=
√
2 · 289,
= 17
√
2.
Calculamos la direcci´on
tan θ =
23
−7
, ⇒ θ = arctan −
23
7
,
θ = −73◦
4 20.95
iv) Calculamos el resultante de 2v − 3(u + 2v),
2v − 3(u + 2v) = 2 −7ˆi − 4ˆj − 3 3ˆi − 5ˆj + 2 −7ˆi − 4ˆj ,
= 2 −7ˆi − 4ˆj − 3 3ˆi − 5ˆj − 6 −7ˆi − 4ˆj ,
= −14ˆi − 8ˆj − 9ˆi − 15ˆj − −42ˆi − 24ˆj ,
= −14ˆi − 8ˆj − 9ˆi + 15ˆj + 42ˆi + 24ˆj,
= 19ˆi + 31ˆj.
v) Normalizamos el vector 23ˆi − 7ˆj
ˆw =
23ˆi − 7ˆj
||23ˆi − 7ˆj||
,
=
23ˆi − 7ˆj
||23ˆi − 7ˆj||
,
=
23ˆi − 7ˆj
17
√
2
,
=
23
17
√
2
ˆi −
7
17
√
2
ˆj.
◦ Calculamos la norma del vector
3
5
, −
4
5
=
3
5
2
+ −
4
5
2
,
=
9
25
+
16
25
,
=
25
25
,
=
√
1,
= 1.
2

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Por lo tanto, es un vector unitario.
3