Estefania Gil

1. COSENOS DIRECTORES DE UNA
RECTA EN EL ESPACIO
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión – Porlamar
Prof. Domingo Mendez
Geometría Analítica 1A
Alumno:
Estefanía Gil
CI: 27.525.552
Ing. Electrónica
Código #44

2. DEFINICIÓN
Se le denominan cosenos directores de un vector A, a los cosenos de los
ángulos que forma dicho vector con cada uno con los ejes coordenados; estos
determinan su dirección a lo largo de cada eje. El número de cosenos directores
depende del número de dimensiones del sistema, si es de dos dimensiones, existirán
dos cosenos directores. Si es tridimensional, existirán tres.
DOS DIMENSIONES TRES DIMENSIONES

3. COSENOS DIRECTORES EN EL ESPACIO (3D)
Sea A = xî + yĵ + zk, entonces los cosenos directores vienen dados por:
Cosα = Ax /|A| ; Cosβ = Ay /|A| ; Cosγ = Az /|A|
Donde α, β y γ son los ángulos que forma el vector con los ejes x, y, z. Y la suma
de los cuadrados de todos los cosenos directores es igual a uno:
Cos2α + Cos2β + Cos2γ = 1

4. ECUACIONES CON COSENOS DIRECTORES
Determinar los cosenos directores del vector A = (5, 7, -3).
Como A = (Ax, Ay, Az) = (5, 7, -3) entonces:
Ax = 5; Ay = 7; Az = -3
Los cosenos directores vendrán dados por:
Cosα = Ax /|A| ; Cosβ = Ay /|A| ; Cosγ = Az /|A|
Calculemos el módulo (o magnitud) de A :
|A| = √[ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 ] = √[ (5)2 + (7)2 + (-3)2 ] = √( 25 + 49 + 9 ) = √83
Por lo tanto:
Cosα = 5/√83 Cosβ = 7/√83 Cosγ = – 3/√83

5. Determine los cosenos directores del vector A = (1, -2, 4) y compruebe que la suma de
los cuadrados de todos los cosenos directores es igual a uno.
Ax = 1; Ay = -2; Az = 4
Calculemos el módulo (o magnitud) de A:
|A| = √[ (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 ] = √[ (1)2 + (-2)2 + (4)2 ] = √( 1 + 4 + 16 ) = √21
Por lo tanto:
Cosα = 1/√21
Cosβ = – 2/√21
Cosγ = 4/√21

6. Ahora, debemos comprobar que:
Cos2α + Cos2β + Cos2γ = 1
Tenemos:
(1/√21)2 + (- 2/√21)2 + (4/√21 )2 = 1/21 + 4/21 + 16/21
= 21/21
= 1

7. Mediante los cosenos directores determinar los ángulos α y β que forma el vector A =
(-4, 3) con los ejes x e y.
Como A = (Ax, Ay) = (-4, 3) entonces:
Ax = -4; Ay = 3
Los cosenos directores vendrán dados por:
Cosα = Ax /|A| ; Cosβ = Ay /|A|
Calculemos el módulo (o magnitud) de A:
|A| = √[ (Ax)2 + (Ay)2 ] = √[ (-4)2 + (3)2 ] = √( 16 + 9 ) =
= √25
= 5

8. Por lo tanto:
Cosα = – 4/5 ” α = arc cos (- 4/5) = 2,498 rad
Como 1 radián ≅ 57.296 °, entonces
α = 143,13 °
De forma análoga:
Cosβ = 3/5 ” β = arc cos (3/5) = 0,927 rad = 53,13 °

9. Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3), utilizando la siguiente
fórmula:
Cos2α + Cos2β + Cos2γ = 1
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝒙
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝒓
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒚 =
𝒛
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝟏
𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 + (−𝟑) 𝟐
=
𝟏
𝟏𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 + (−𝟑) 𝟐
=
𝟐
𝟏𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝒚 =
−𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 + (−𝟑) 𝟐
=
−𝟑
𝟏𝟒
1
14
2
+
2
14
2
+
−3
14
2
=
1
14
+
4
14
+
9
14
= 1