Demostraciones

1. VECTORES Página 1
𝜶
V
R
A A
B
B
I. Verificarque lasmagnitudesde lasumay la diferenciade dosvectoresA y B ,
expresadasencoordenadaspolares,estándadaspor:
S = {( 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙) 𝟐 + ( 𝑨 𝒚 + 𝑩 𝒚) 𝟐 + ( 𝑨 𝒛 + 𝑩 𝒛) 𝟐}
𝟏
𝟐⁄
yD = {( 𝑨 𝒙 − 𝑩 𝒙) 𝟐 +
( 𝑨 𝒚 − 𝑩 𝒚) 𝟐 + ( 𝑨 𝒛 − 𝑩 𝒛) 𝟐}
𝟏
𝟐⁄
A = (x, y)
B = (m, n)
A.B= (x,y) . (m, n)
A.B = (xm, yn)
A.B = AB 𝐜𝐨𝐬 𝜶
→ → →
a) V + B = A
→ → →
V = A – B
→
V = (x,y) – (m,n)
→
V = (x–m, y –n)
│V│ = √(𝒙 − 𝒎) 𝟐 + ( 𝒚 − 𝒏) 𝟐
│V│= √𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙𝒎+ 𝒎 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒚𝒏 + 𝒏 𝟐
│V│ = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒎 𝟐 + 𝒏 𝟐 − 𝟐(𝒙𝒎− 𝒚𝒏)
│V│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 − 𝟐 𝑨. 𝑩
│V│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 − 𝟐 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
│A - B│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 − 𝟐 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ……………..DEMOSTRADO
→ → →
b) R = A + B
→
R = (x, y) + (m,n)
→
R = (x +m, y +n)
│R│ = √(𝒙 + 𝒎) 𝟐 + ( 𝒚 + 𝒏) 𝟐
│R│ = √𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙𝒎+ 𝒎 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟐𝒚𝒏 + 𝒏 𝟐
│R│ = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒎 𝟐 + 𝒏 𝟐 + 𝟐(𝒙𝒎+ 𝒚𝒏)
│R│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 + 𝟐│𝑨│.│𝑩│
│R│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 + 𝟐│ 𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
│A + B│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 + 𝟐 │𝑨│.│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ……………..DEMOSTRADO

2. VECTORES Página 2
II. Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son iguales, entonces los
vectores son perpendiculares.
│A - B│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 − 𝟐 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
│A + B│ = √│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 + 𝟐 │𝑨│.│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
│A + B│ = │A - B│
│𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 + 𝟐 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = │𝑨│ 𝟐 + │𝑩│ 𝟐 − 𝟐 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝟐 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = −𝟐 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝟒 │𝑨│ .│𝑩│ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 0
→│𝑨│ .│𝑩│ ≠ 𝑶 → 𝐜𝐨𝐬 𝜶= 0
𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝟎 = 𝜶
𝜶 = 𝟗𝟎º
∴ 𝑳𝑶𝑺 𝑽𝑬𝑪𝑻𝑶𝑹𝑬𝑺 𝑨 𝒚 𝑩 𝑺𝑶𝑵 𝑷𝑬𝑹𝑷𝑬𝑵𝑫𝑰𝑪𝑼𝑳𝑨𝑹𝑬𝑺
III. Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpendiculares, los
vectores tienen magnitudes iguales.
→ →
V = ( x- m, y- n) R = ( x+ m, y+ n)
→ →
V . R = │V│ . │R│ 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎º …. [ 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎º = 𝟎 ]
→ →
V . R = 0
( x- m, y- n) . ( x+ m, y+ n) = 0
( x – m) ( x + m) + (y – n) (y +n) = 0
𝒙 𝟐 + 𝒙𝒎− 𝒙𝒎 - 𝒎 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒚𝒏 − 𝒚𝒏 − 𝒏 𝟐 = 0
( 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)− ( 𝒎 𝟐 + 𝒏 𝟐) = 𝟎
│𝑨│ 𝟐 − │𝑩│ 𝟐 = 0
│𝑨│ 𝟐 = │𝑩│ 𝟐
│A│ = │B│
∴ 𝑳𝑶𝑺 𝑽𝑬𝑪𝑻𝑶𝑹𝑬𝑺 𝑨 𝒚 𝑩 𝑻𝑰𝑬𝑵𝑬𝑵 𝑴𝑨𝑮𝑵𝑰𝑻𝑼𝑫𝑬𝑺 𝑰𝑮𝑼𝑨𝑳𝑬𝑺.