Clase de Elipse - Preuniversitario Crecer

1. DOMINIO
MATEMÁTICA
Bienvenidos

2. ELIPSE
DOMINIO MATEMÁTIC0
2

3. ELIPSE
La elipse es el conjunto de puntos planos que se mueven de tal manera que la
suma de sus distancias a ambos focos es constante.
3
C
Elipse
x

4. ELEMENTOS DE LA ELIPSE.
• Centro(C): Punto de intersección de los ejes focal y
secundario.
• Vértices (𝑽 𝟏 y 𝑽 𝟏): Puntos de la elipse que cortan al eje
focal.
• Extremos (𝑩 𝟏 y 𝑩 𝟐): son los extremos del eje menor.
• Distancia del Eje mayor (𝑽 𝟏 𝑽 𝟐 = 𝟐𝒂) : Es el segmento
de longitud 2a, que pasas por los vértices.
• Distancia focal (𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 = 𝟐𝐜): Es el segmento de longitud
2c, que pasa por los focos.
• Distancia del eje menor (𝑩 𝟏 𝑩 𝟐 = 𝟐𝐛): Recta que pasa
los extremos.
• Condición: 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
; 𝑎 > 𝑏, 𝑎 > 𝑐
• Excentricidad: 𝑒 =
𝑐
𝑎
(𝑒 < 1) ;
• 𝑳𝑹 =
𝟐𝒃 𝟐
𝒂
( 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐)
4
B1
B2
V1V2 C F1F2
L2 L1
R2 R1
P(x, y)
x
y

5. ECUACIÓN DE LA ELIPSE.
Elipse horizontal con centro en el origen.
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
+
𝒚 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
5
• Su eje focal coincide con el eje de las
X
• Sus vértices 𝑉1 𝑎, 0 , 𝑉2 (-a, 0)
• Sus focos 𝐹1 𝑐, 0 , 𝐹2 (-c, 0)
• Extremos del eje menor
𝐵1 0, 𝑏 , 𝐵2 (0, -b)
B1(0, b)
B2 (0, -b)
V1(a, 0)
C (0, 0)
F2 (-c, 0)V2(-a, 0) F1(c, 0)
y
x

6. ECUACIÓN DE LA ELIPSE.
Elipse vertical con centro en el origen.
𝒙 𝟐
𝒃 𝟐 +
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐 = 𝟏
6
• Su eje focal coincide con el eje de las Y
• Sus vértices 𝑉1 0, 𝑎 , 𝑉2 (0, −a)
• Sus focos 𝐹1 0, 𝑐 , 𝐹2 (0, −c)
• Extremos del eje menor 𝐵1 𝑏, 0 , 𝐵2 (−b, 0)
0
B1(b, 0)B2 (-b, 0)
V2(0, -a)
C (0, 0)
F1 (0, c)
V1(0, a)
F2(0, -c)
y
x

7. ECUACIÓN DE LA ELIPSE.
Elipse horizontal con centro en el punto (h, k).
(𝒙 − 𝒉) 𝟐
𝒂 𝟐
+
(𝒚 − 𝒌) 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
7
• Su eje focal coincide con el eje de las X
• Sus vértices 𝑉1 ℎ + 𝑎, 𝑘 , 𝑉2 (ℎ-a, k)
• Sus focos 𝐹1 ℎ + 𝑐, 𝑘 , 𝐹2 (ℎ − 𝑐, 𝑘)
• Extremos del eje menor 𝐵1(ℎ, 𝑘 +
B1(h, k+b)
B2 (h, k-b)
V1(h+a, k)C (h, k)
F2 (h-c, k)
V2(h-a, k) F1(h+c, k)
y
x

8. ECUACIÓN DE LA ELIPSE.
Elipse vertical con centro en el punto (h, k).
(𝒙−𝒉) 𝟐
𝒃 𝟐 +
(𝒚−𝒌) 𝟐
𝒂 𝟐 = 𝟏
8
• Su eje focal coincide con el eje de las Y
• Sus vértices 𝑉1 ℎ, 𝑘 + 𝑎 , 𝑉2 (h, k − a)
• Sus focos 𝐹1 ℎ, 𝑘 + 𝑐 , 𝐹2 (h, k − c)
• Extremos del eje menor 𝐵1 ℎ + 𝑏, 𝑘 , 𝐵2 (ℎ − b, k)
B1(h+b, k)B2 (h-b, k)
V2(h, k-a)
C (h, k)
F1
(h, k+c)
V1(h, k+a)
F2(h, k-c)
y
x
Ecuación general.
𝐴𝑥2
+ 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 ; 𝐶𝑜𝑛 𝐴 ≠ 𝐶 𝑦 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜

9. EJEMPLO
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