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Ejercicio N° 47
El volumen de un cilindro circular recto está dado por la formula 𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ ,
donde 𝑟 es el radio y ℎ la altura.
a) Encuentre una fórmula para la razón de cambio instantánea de 𝑉 respecto
a 𝑟 si 𝑟 cambia y ℎ permanece constante.
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ
𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑉, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 , 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑟.
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 2𝜋𝑟ℎ
Respuesta: la razón de cambio instantánea es 2𝜋𝑟ℎ
b) Encuentre una fórmula para la razón de cambio instantánea de 𝑉 respecto
a ℎ si ℎ cambia y 𝑟 permanece constante.
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ
𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑉, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 , 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ℎ.
𝜕𝑉
𝜕ℎ
= 𝜋𝑟2
Respuesta: la razón de cambio instantánea es 𝜋𝑟2
c) Suponga que ℎ tiene un valor constante de 4 pulgadas, pero 𝑟 varia.
Encuentre la razón de cambio de 𝑉 respecto a 𝑟 en el punto donde 𝑟 = 6
pulgadas.
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎) ,
𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠.
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 2𝜋𝑟ℎ
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 2 × 𝜋 × 4 × 6
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 48𝜋 𝑝𝑢𝑙𝑔.2
Respuesta: la razón de cambio instantánea en el punto (6;4) es 48𝜋𝑝𝑢𝑙𝑔.2
d) Suponga que 𝑟 tiene un valor constante de 8 pulgadas, pero ℎ varia.
Encuentre la razón de cambio de 𝑉 respecto a ℎ en el punto donde ℎ = 10
pulgadas.
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎) ,
𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠.

2. 𝜕𝑉
𝜕ℎ
= 𝜋𝑟2
𝜕𝑉
𝜕ℎ
= 𝜋 × 82
𝜕𝑉
𝜕ℎ
= 64𝜋 𝑝𝑢𝑙𝑔.2
Respuesta: la razón de cambio instantánea en el punto (8;10) es
64𝜋𝑝𝑢𝑙𝑔.2