Áreas y volúmenes (II)

1. Geometría – Cuerpos Geométricos y Cuerpos de Revolución
 Marta Martín Sierra
1
03. Calcula el área y el volumen de un prisma cuadrangular regular de 5 cm de arista básica
y 9 cm de altura. Haz un esbozo de la figura geométrica en cuestión.
RESOLUCIÓN:
5 cm
5 cm
9 cm
ÁREA TOTAL
ATotal = ABases + ALateral
ABases
Cada una de las bases es un cuadrado, así pues:
Abase = l2
Abase = 25
Como tiene dos bases…
Abases = 25 · 2 = 50 cm2
ALateral
ALateral = Pb · h
ALateral = (5 · 4) · 9
ALateral = 180 cm2
Por tanto,
ATotal = ABases + ALateral
ATotal = 50 cm2
+ 180 m2
ATotal = 230 cm2
VOLUMEN
V = Ab · h
Sabemos el área de la base:
Abase = 25
V = 25 · 9
V = 225 cm3
El área del prisma cuadrangular es de 230 cm2
y su volumen es 225 cm3
05. Calcula el área total de un prisma recto de 3 m de altura, cuya base es un cuadrado de
0’5 m de lado. Haz un esbozo de la figura geométrica en cuestión.
RESOLUCIÓN:
0,5 m
0,5 m
3 m
ÁREA TOTAL
ATotal = ABases + ALateral

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2
ABases
Cada una de las bases es un cuadrado, así pues:
Abase = l2
Abase = 0,52
Abase = 0,25
Como tiene dos bases…
Abases = 0,25 · 2 = 0,5 m2
ALateral
ALateral = Pb · h
ALateral = (0,5 · 4) · 3
ALateral = 6 m2
Por tanto,
ATotal = ABases + ALateral
ATotal = 0,5 m2
+ 6 m2
ATotal = 6,5 m2
06. Un prisma recto tiene como base un rectángulo cuyas dimensiones son 6 cm y 4 cm. La
altura del prisma mide 8 cm. ¿Cuál será el área total de ese prisma? Haz un esbozo de la figura
geométrica en cuestión.
RESOLUCIÓN:
6 cm
4 cm
8 cm
ATotal = ABases + ALateral
ABases
Cada una de las bases es un rectángulo, así pues:
Abase = b · a
Abase = 6 · 4
Abase = 24
Como tiene dos bases…
Abases = 24 · 2 = 48 cm2
ALateral
ALateral = Pb · h
ALateral = (6 · 2 + 4 · 2) · 8
ALateral = 160 cm2
Por tanto,
ATotal = ABases + ALateral
ATotal = 48 cm2
+ 160 cm2
ATotal = 208 cm2
08. El lado de la base de un prisma triangular regular mide 12 cm y la altura del mismo 30
cm. Calcula el área total y el volumen.

3. Geometría – Cuerpos Geométricos y Cuerpos de Revolución
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3
RESOLUCIÓN:
12 cm
30 cm
VOLUMEN
ATotal = ABases + ALateral
ABases
Abase =
2
ab ⋅
La base es un triángulo equilátero, para calcular la altura, aplicamos el teorema de
Pitágoras:
6
12 12
a
h2
= c2
+ c2
a2
= 122
- 62
h2
= 108
h = 108 ≅ 10,39 cm
Abase =
2
39,1012⋅
Abase = 62,35 cm2
Como tiene dos bases…
Abases = 62,35 · 2 = 14,71 cm2
ALateral
ALateral = Pb · h
ALateral = (12 · 3) · 30
ALateral = 1080 cm2
Por tanto,
ATotal = ABases + ALateral
ATotal = 14,71 cm2
+ 1080 cm2
ATotal = 1094,71 cm2
VOLUMEN
V = Ab · h
Sabemos el área de la base:

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Abase = 62,35 cm2
V = 62,35 · 30
V = 1870,5 cm3
El área del prisma triangular es de 1094, 71 cm2
y su volumen es 1870, 5 cm3
10. Un prisma hexagonal de 3 dm de altura tiene un área lateral de 90 dm2
. Si la apotema
de su base mide 4 dm, ¿cuánto mide su área total?
RESOLUCIÓN:
ÁREA TOTAL
ATotal = ABases + ALateral
Sabemos que el área lateral es 90 dm2
ATotal = ABases + 90 dm2
ALateral
ALateral = Pb · h
90 = Pb · 3
Pb = 90/3
Pb = 30
Ahora tenemos más datos, sabemos que el perímetro de la base es 30 dm, por tanto, su
lado medirá:
30 : 6 = 5 dm
ABases
Cada una de las bases es un hexágono regular, así pues:
Abase =
2
aP ⋅
Abase =
2
430 ⋅
Abase = 60 dm2
Como tiene dos bases iguales…
Abases = 60 · 2 = 120 dm2
Por tanto,
ATotal = ABases + ALateral
ATotal = 120 dm2
+ 90 dm2
ATotal = 210 dm2
3 dm
4 dm

5. Geometría – Cuerpos Geométricos y Cuerpos de Revolución
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5
01. La pirámide de Keops es una pirámide de base cuadrangular regular de lado 240 m y la
altura 160 m. Calcula su volumen.
RESOLUCIÓN:
240 m
240
160
V =
3
hAb ⋅
Ab = lado · lado
Ab = 240 · 240
Ab = 57 600 m2
V =
3
hAb ⋅
=
V =
3
16057600 ⋅
=
V = 3 072 000 m3
02. La base de una pirámide regular es un hexágono de 5 cm de lado y 1.3 cm de apotema.
Si la apotema de la figura es 19 cm, ¿cuál será su área total? ¿y su volumen?
RESOLUCIÓN:
5 cm
h
a = 1.3
19 cm
ÁREA TOTAL
ATotal = ABase + ALateral
ABase
Solo tenemos una base que se trata de un hexágono regular, así pues:
Abase =
2
aP ⋅

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6
Abase =
2
3,1)65( ⋅⋅
Abase = 19,5 cm2
ALateral
ALateral =
2
eralapotemaLatPb ⋅
ALateral =
2
1930 ⋅
ALateral = 285 cm2
Por tanto,
ATotal = ABase + ALateral
ATotal = 19,5 cm2
+ 285 cm2
ATotal = 304,5 cm2
VOLUMEN
V =
3
hAb ⋅
El área de la base ya la conocemos:
Abase = 19,5 cm2
V =
3
hAb ⋅
¿Cómo determinamos la altura de la pirámide?
19 cm
1,3 cm
h
Calculamos la altura con la ayuda del teorema de Pitágoras:
h2 = 192 – 1,32
h2 = 359,31
h = 31,359 =18.96
Sustituimos en la fórmula del volumen de la pirámide:
V =
3
96,185,19 ⋅
V = 123,24 cm3
03. Calcula el volumen de la siguiente pirámide de base hexágono regular, donde los datos
conocidos son: Altura: 80 cm, lado de la base: 30 cm, apotema de la base: 26 cm.
RESOLUCIÓN:

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7
30 cm
80
30 cma = 26
V =
3
hAb ⋅
Ab =
2
apotemaperímetro⋅
Ab =
2
apotemaperímetro⋅
=
2
26630 ⋅⋅
=
Ab = 2340 cm2
V =
3
hAb ⋅
V =
3
802340 ⋅
V = 62 400 cm3
04. Calcula el volumen de la siguiente pirámide de base hexágono regular, donde los datos
conocidos son: Altura: 80 cm, lado de la base: 30 cm.
RESOLUCIÓN:
30 cm
80
30 cm
V =
3
hAb ⋅
Ab =
2
apotemaperímetro⋅
Calculamos la apotema:
30 cm
15
En un hexágono el radio es
igual al lado de dicho
hexágono
30 a
a2 = hip2 - cat2
a2 = 302 - 152
a2 = 675
a = 675 = 25.98 cm

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Ab =
2
apotemaperímetro⋅
=
2
98.25630 ⋅⋅
=
Ab = 2338.27 cm2
V =
3
hAb ⋅
V =
3
8027.2338 ⋅
V = 62353.87 cm3
05. Halla el área total de una pirámide rectangular de bases 18 y 14 m y su apotema 28 m.
RESOLUCIÓN:
18 m
14 m
28 m
ÁREA TOTAL
ATotal = ABase + ALateral
ABase
Solo tenemos una base que se trata de un rectángulo, así pues:
Abase = b · a
Abase = 18 · 14
Abase = 252 m2
ALateral
ALateral =
2
eralapotemaLatPb ⋅
ALateral =
2
28)214218( ⋅⋅+⋅
ALateral = 896 m2
Por tanto,
ATotal = ABase + ALateral
ATotal = 252 m2
+ 896 m2
ATotal = 2248 m2
06. La apotema de una pirámide cuadrangular regular es de 15 m, y el área de la base, de
36 m2
. ¿Cuál es el área total?
RESOLUCIÓN:
36 m2
15 m
ATotal = ABase + ALateral
ATotal = 36 + ALateral

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9
ABase
Al saber el área de la base, podemos determinar cuánto mide un lado del cuadrado:
Abase = l2
36 = l2
l = 36
lado = 6 m
ALateral
ALateral =
2
eralapotemaLatPb ⋅
Sabemos que cada arista de la base mide 6m, así pues, el perímetro de la base será:
6 · 4 = 24 m
ALateral =
2
1524 ⋅
ALateral = 180 m2
Por tanto,
ATotal = ABase + ALateral
ATotal = 36 m2
+ 180 m2
ATotal = 216 m2