3. cinemática de la partícula

PPreparado por: Voltaire Fuentes Olavereparado por: Voltaire Fuentes Olave
II UNIDADII UNIDAD
CINEMATICA DE LACINEMATICA DE LA
PARTICULAPARTICULA
1vfuentes@utem.cl
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, MATEMATICA Y DE MEDIOAMBIENTE
DEPARTAMENTO DE FISICA

DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO
SISTEMAS DE REFERENCIA
X
YY
•
P(x)
Y
P(x,y)
X
•
Z
P(x,y,z)
X
Y
•
vfuentes@utem.cl 2

““CINEMATICA DE LA
PARTICULA””
LA CINEMATICA DESCRIBELA CINEMATICA DESCRIBE
POSIBLES MOVIMIENTOS ENPOSIBLES MOVIMIENTOS EN
SUS CONDICIONES DESUS CONDICIONES DE ESPACIO
YY TIEMPO SIN OCUPARSE DESIN OCUPARSE DE
LAS CAUSAS QUE LOSLAS CAUSAS QUE LOS
PRODUCENPRODUCEN
vfuentes@utem.cl 3

VECTOR POSICIÓN
Z
• P(x,y,z)
Y
X ˆˆ ˆx y zr i r j r kr = + +
r
r
r
Y
• P(x,y)
X
ˆ ˆx yr i jr r= +
r
r
r
Y
X
•
P(x)
ˆxir r=
r
r
r
vfuentes@utem.cl 4

TRAYECTORIA
DISTANCIA RECORRIDA
0
2
1
3
r∆
2 1r r r∆ = −
• •A B
vfuentes@utem.cl 5

DESPLAZAMIENTO
•
•
Z
X
Y0
P1
P2
2t t t= + ∆
1r
r 2r
r
1t r∆
r
21r r r∆+ =
r r r
2 1 2 1 2 1 2 1
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r r r x x i y y j z z k∆ = − = − + − + −
r r r
vfuentes@utem.cl 6

MOVIMIENTO
Cambio de posición con
respecto a un punto de
referencia fijo a medida que
transcurre el tiempo.
vfuentes@utem.cl 7

VELOCIDAD
Velocidad Media:
Velocidad Instantánea:
m
r
v
t
∆
=
∆
r
r
variación
desplazamiento
de tiempo
 
 
 
; ;
m cm km
s s h
0
limi
t
r
v
t∆ →
∆ 
=  ÷
∆ 
r
r
i
dr
v
dt
=
r
r
o
vfuentes@utem.cl 8

RAPIDEZ
Rapidez Media:
Rapidez Instantánea:
m
r dr
v
t dt
∆
= =
∆
r
r distancia
tiempo
 
 
 
; ;
m cm km
s s h
distancia
iv
tiempo
=
r
i
r
v
t
=o
vfuentes@utem.cl 9

ACELERACION
Aceleración Media:
Aceleración Instantánea:
m
v
a
t
∆
=
∆
r
r variación de velocidad
variación de tiempo
 
 
 
2 2 2
; ;
m cm km
s s h
0
limi
t
v
a
t∆ →
∆ 
=  ÷
∆ 
r
r
i
dv
a
dt
=
r
r
o
vfuentes@utem.cl 10

MOVIMIENTO
A partir de un sistema de referencia
inercial se pueden obtener las
ecuaciones características del
movimiento de un cuerpo, desde donde
se puede medir en función del tiempo la
posiciónposición
velocidadvelocidad y
aceleraciónaceleración
( )r t
r
( )v t
r
( )a t
r
vfuentes@utem.cl 11

MOVIMIENTO
Cuyas ecuaciones son:
posiciónposición
velocidadvelocidad y
aceleraciónaceleración
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zv t v t i v t j v t k= + +
r
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y za t a t i a t j a t k= + +
r
( , , ) coordenadas cartesianasx y z =
ˆˆ ˆ( , , ) unitarios cartesianosi j k vectores=
vfuentes@utem.cl
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +
r
12

EJERCICIOSEJERCICIOS
EJERCICIO 1
Si representan las coordenadas de un punto móvil calcule
su velocidad y su aceleración cuando han transcurrido 4 segundos.
EJERCICIO 2
Una partícula describe una trayectoria en línea recta y su posición estaría definida por
la siguiente expresión:
sabiendo que t se mide en segundos y r en metros, determine:
a) La aceleración de la partícula cuando su velocidad es 6 m/s.
b) La velocidad media desde t=2 s hasta t=5 s.
c) Dibuje los gráficos ( r v/s t) , (v v/s t ) y (a v/s t) para los 6 primeros segundos.
EJERCICIO 3
Si la ecuación de itinerario de una partícula es:
a) Encuentre su posición en t=1 s y en t´=3 s .
b) El desplazamiento entre t y t´.
2 2
3 2 e y=t 3x t t= − +
3
ˆ4 1
3
t
r t i
 
= − + ÷
 
r
( ) 2 ˆˆ ˆ( ) 4 1 mr t ti t j t k= + − +
r
vfuentes@utem.cl 13

EJERCICIOSEJERCICIOS
EJERCICIO 4
La posición de una partícula está dada por la ecuación:
a) Grafique (r v/s t) para los primeros 8 segundos del movimiento.
b)Determine los instantes en que la partícula pasa por el origen (compare estos
valores con su gráfico).
EJERCICIO 5
Se supone que una partícula se mueve en una línea recta de acuerdo con la
siguiente ecuación:
a) Grafique (r v/s t) desde t=o hasta t= 5 s
b)Calcule la distancia que ha recorrido durante los tres primeros segundos.
c) Calcular la velocidad media durante el cuarto segundo.
d) Calcule las velocidades instantáneas cuando t=3 s cuando t=4s
e) Calcule la aceleración media durante el tercer segundo.
f) Calcule la aceleración instantánea en t=2s.
2
( ) 10 20 4 mr t t t= − + −
2
( ) 3 8 cmr t t t= +
vfuentes@utem.cl 14

MOVIMIENTOMOVIMIENTO
RECTILINEORECTILINEO
CURVILINEOCURVILINEO
CIRCUNFERENCIALCIRCUNFERENCIAL
vfuentes@utem.cl 15

RECTILINEORECTILINEO
((UNIDIMENSIONALUNIDIMENSIONAL))
HORIZONTAHORIZONTA
LL
VERTICALVERTICAL
UniformeUniforme
UniformementeUniformemente
AceleradoAceleradoUniformementeUniformemente
RetardadoRetardado
PLANOPLANO
INCLINADOINCLINADO
vfuentes@utem.cl 16

HORIZONTALHORIZONTAL
UNIFORMEUNIFORME
(M.R.U.)(M.R.U.) 0( )x t x vt= +
d (m)
t (s)
y d m
m v
x t s
∆ ∆  
= = =  ∆ ∆  
1t 2t
1d
2d
vfuentes@utem.cl 17

UNIFORMEUNIFORME
(M.R.U.)(M.R.U.) 0( .)v t v cte= =
y
m
x
∆
=
∆
m
v
s
 
  
[ ]t svfuentes@utem.cl 18

UNIFORMEMENTE ACELERADOUNIFORMEMENTE ACELERADO
(M.R.U.A)(M.R.U.A)
2
0 0
1
( )
2
x t x v t at= + +
d (m)
t (s)1t 2t
1d
2d
secantesecante
tangentetangente
vfuentes@utem.cl 19

0( )v t v at= +
UNIFORMEMENTEUNIFORMEMENTE
ACELERADOACELERADO
1t 2t
1v
2v
m
v
s
 
  
[ ]t s
2
y v m
m
x t s
∆ ∆
= =
∆ ∆
Velocidad en funciónVelocidad en función
del tiempodel tiempo
vfuentes@utem.cl 20

ACELERADOACELERADO
2 2
0( ) 2v x v a x= + ∆
Rapidez en función deRapidez en función de
la posiciónla posición
vfuentes@utem.cl 21

0( )v t v at= −
DESACELERADODESACELERADO
1t 2t
2v
1v
m
v
s
 
  
[ ]t s
2 1
2
2 1
= - a
v vy v m
m
x t t t s
−∆ ∆
= = =
∆ ∆ −
Velocidad en funciónVelocidad en función
del tiempodel tiempo
vfuentes@utem.cl 22

RESUMENRESUMEN
2
0 0
1
( )
2
x t x v t at= + +
r r r r
0( )v t v at= +
r r r
2 2
0( ) 2v x v a x= + ∆
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
0( )x t x vt= +
r r r
.v cte=
r
Ecuación de POSICIONEcuación de POSICION
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADOMOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
.a cte=
r
Ecuación de ITINERARIOEcuación de ITINERARIO
vfuentes@utem.cl 23

LANZAMIENTO VERTICALLANZAMIENTO VERTICAL
ASCENDENTEASCENDENTE
VERTICALVERTICAL
CAIDA LIBRECAIDA LIBRE
DESCENDENTEDESCENDENTE
vfuentes@utem.cl 24

CRITERIO PARA ASUMIR EL SIGNO DE LACRITERIO PARA ASUMIR EL SIGNO DE LA
ACELERACION DE GRAVEDADACELERACION DE GRAVEDAD
VERTICALVERTICAL
SEGÚN SISTEMA DE COORDENADASSEGÚN SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANASCARTESIANAS
Y
X0
Campo gravitatorioCampo gravitatorio
( ) ˆ10g j= −
r
Y5
Y4
Y3
Y2
Y1
vfuentes@utem.cl 25

a.- ECUACIONES SEGÚN SISTEMA DEa.- ECUACIONES SEGÚN SISTEMA DE
COORDENADAS CARTESIANASCOORDENADAS CARTESIANAS
2
0 0
1
( )
2
yy t y v t gt= + −
r r r
0( )v t v gt= −
r r
2 2
0( ) 2yv y v g y= − ∆
r r
vfuentes@utem.cl 26

0v
r
fv
r
0y
fy
y
x
CONDICIONES INICIALES
0v máxima=
r
0 0y =
0fv =
rr
fy máxima=
ECUACIONES
2
0
1
( )
2
yy t v t gt= −
0v gt=
2
0 2yv g y= ∆
LANZAMIENTO VERTICAL ASCENDENTELANZAMIENTO VERTICAL ASCENDENTE
vfuentes@utem.cl 27

VERTICALVERTICAL
DESCENDENTEDESCENDENTE
vfuentes@utem.cl 28

0v
r
fv
r
0y
fy
y
x
CONDICIONES INICIALES
0 0v =
rr
0y máxima=
fv máxima=
r
0fy =
ECUACIONES
21
( )
2
y t gt=−
( )v t gt= −
2
( ) 2 ( fv y g y= − 0 )y−
vfuentes@utem.cl 29

CURVILINEOCURVILINEO
(bidimensional)(bidimensional)
MOVIMIENTO PARABOLICOMOVIMIENTO PARABOLICO
Lanzamiento de proyectilesLanzamiento de proyectiles
Uniformemente AceleradoUniformemente Acelerado
Uniformemente RetardadoUniformemente Retardado
vfuentes@utem.cl 30

0v
r
fv
r
0y fy
y
x
CASO GENERAL
MOV. UNIF.
RETARDADO
MOV. UNIF.
ACELERADO
0θ
vfuentes@utem.cl 31

0v
r
fv
r
0y
fy
y
x
OTROS CASOS
vfuentes@utem.cl 32

0v
r
fv
r
0y
fy
y
x
OTROS CASOS
0θ
vfuentes@utem.cl 33

0v
r
fv
r
0y
fy
y
x
OTROS CASOS
vfuentes@utem.cl 34

0v
r
fv
r
0y
fy
y
x
OTROS CASOS
vfuentes@utem.cl 35

x
CASO GENERAL
0v
r
v
r
0y fy
y
máximax0xv
0yv
. 0y máx xv v=
xv
yv−
fv
r
máximay
θ
( )r t
r
vfuentes@utem.cl 36

VARIABLES FISICAS DEL MOVIMIENTO PARABOLICOVARIABLES FISICAS DEL MOVIMIENTO PARABOLICO
( )0 0 0
ˆ ˆx yv v i v j= +
r
A.- VELOCIDAD INICIAL
B.- VELOCIDAD EN UN INSTANTE (t)
( ) ( )0 0
ˆ ˆ( ) cosv t v i v sen gt jθ θ= ± −
r
C.- VELOCIDAD EN PUNTO DE ALTURA MÁXIMA
ˆ ˆx yv v i v j= +
r
0
0
ˆcosv iθ = ÷
 
vfuentes@utem.cl 37

F.- ALTURA MAXIMA
E.- TIEMPO EN PUNTO DE ALTURA MÁXIMA
yv ( )
0
0v sen gtθ= − 0v sen
t
g
θ
=
0( )máxy t y=
0 2
0
1
2
y ymáx ymáxv t gt+ −
2 2
0
( )
2
máx
v sen
y t
g
θ
=
D.- TIEMPO TOTAL DE VUELO: (tv)
( )y t
0
0y=
0 2
0
1
2
yv t gt+ − 0 0
2 2yv v sen
t
g g
θ
= =
vfuentes@utem.cl
38

I.- ANGULO MAS EFICIENTE DE DISPARO
G.- ALCANCE MAXIMO
0máx x máxx v t=
2
0 2
máx
v sen
x
g
θ
=
H.- VECTOR POSICION
( ) ( )
ˆ ˆ( ) x yr t r i r j= +
r
( ) 2
0 0
1ˆ ˆ( ) cos
2
r t v t i v sen t gt jθ θ 
= × + ×− ÷
 
r
2 2
0 02v sen v
g g
θ
= 45θ= o
vfuentes@utem.cl
39

CIRCUNFERENCIALCIRCUNFERENCIAL
UNIFORMEUNIFORME
vfuentes@utem.cl 40

CIRCUNFERENCIAL UNIFORMECIRCUNFERENCIAL UNIFORME
La partícula se mueve en
una trayectoria circular con
rapidez lineal (tangencial)
constante.
tangencial .v cte=
r
vfuentes@utem.cl 41

R
Z
Y
X
β
A
ˆkω ω=
r
tangencialv
r
B
vfuentes@utem.cl 42

Describe arcos iguales en tiempos iguales.
El radio de posición describe ángulos iguales en tiempos
iguales.
tangencialv
r
tangencial .v cte=
r
=Dir ciónec VARIABLE
=ntidoSe VARIABLE
vfuentes@utem.cl 43

PERIODO= Tiempo en que la partícula demora en dar una
vuelta completa (S=2πR). (hrs, min, s).
FRECUENCIA= Número de vueltas o veces que la partícula
pasa por un mismo punto. (ciclos/s; rev/s; rpm; Hz…).
N°Vueltas=θ rd/2π
tangencial /s
2
m
arco R R
v
tiempo Período T
θ π×
= = =
rd rd
.
180 x
π θ
=
° °
1 360 2rev radπ= ° =
vfuentes@utem.cl 44

En cada punto de la trayectoria la velocidad tangencial
cambia de Dirección y Sentido.
El cambio de Dirección produce ACELERACIÓN
NORMAL
X
R
Z
Y
β
A
ˆkω ω=
r
tangencialv
r
B
Na
r
Na
r
vfuentes@utem.cl 45

Velocidad angular , vector perpendicular al plano de la
trayectoria circular y se ubica en el centro de ella y cuyo
sentido lo regula la regla de la mano derecha.
2
=2 f /srd
ángulo
tiempo tiempo T
θ π
ω π= = =
ω
r
Aceleración Normal:
2
tang 2
m/sN
v
a
R
=
vfuentes@utem.cl 46

Algunas relaciones: m/sv Rω=
2 2
R m/sNa ω=
vfuentes@utem.cl 47

DEFINICIONESDEFINICIONES
Velocidad angular ( )ω
r
1θ
2θ
θ∆
1P
2P
1t
2t
2 1θ θ θ∆ = −
vfuentes@utem.cl 48

Velocidad angular media ( )mω
r
2 1
2 1
ˆ rd sˆ /m k k
t t t
θ θθ
ω
 −∆ 
= =  ÷ ÷
∆ −   
r
Velocidad angular instantánea
( ) iω
r
0
ˆ rd/ˆiml si
t
d
k k
t dt
θ θ
ω
∆ →
∆   
= = ÷  ÷
∆   
r
vfuentes@utem.cl 49

Aceleración angular ( ):
Si la partícula posee
Aceleración Angular .
α
r
1 22
2 1
rd/ˆ sˆ
m k k
t t t
ω ωω
α
 −∆ 
= =  ÷ ÷
∆ −   
r rr
r
Aceleración angular media ( ):
Si son velocidades angulares
instantáneas en .
mα
r
.cteω ≠
r
α
r
1 2yω ω
r r
1 2yt t
vfuentes@utem.cl 50

Aceleración angular instantánea( ):iα
r
0
2ˆ rd/ˆlim si
t
d
k k
t dt
ω ω
α
∆ →
∆   
= = ÷  ÷
∆   
r r
r
vfuentes@utem.cl 51

La velocidad tangencial o lineal cambia de Dirección, de
Sentido y de Magnitud . Este cambio de magnitud produce la
Aceleración tangencial
ACELERACION VARIABLEACELERACION VARIABLE
Aceleración normal y Aceleración tangencialAceleración normal y Aceleración tangencial
tv
r
R
Z
Y
β
A
ˆkω ω=
r
tangencialv
r
B
Na
r
´
tv
r
tv
r
tangenciala
r
´
t tv v>
r r
tanga
r
X
vfuentes@utem.cl 52

Desaceleración
Aceleración normal y Aceleración tangencialAceleración normal y Aceleración tangencial
R
Z
Y
β
A
ˆkω ω=
r
tangencialv
r
B
Na
r
´
tv
r
tv
r
tangenciala
r
´
t tv v<
r r
X
vfuentes@utem.cl 53

Aceleración Media entre los puntos A y B:
Aceleración normal o radial y AceleraciónAceleración normal o radial y Aceleración
tangencialtangencial
t
m
v
a
t
∆
=
∆
r
r
Aceleración Instantánea: Normal o Radial y Tangencial
0
lim R
R
t
v
a
t∆ →
∆ 
=  ÷
∆ 
r
r 2
R
v
a
R
=
r
Ta Rα=0
lim T
T
t
v
a
t∆ →
∆ 
=  ÷
∆ 
r
r
T
dv
a
dt
=
r
2
Ra Rω=
vfuentes@utem.cl 54

Aceleración TotalAceleración Total
Aceleración Total Resultante (en cualquier dirección):
2 2
tangT Na a a= +
R
Z
Y
β
A
ˆkω ω=
r
tangencialv
r
B
Na
r
´
tv
r
tv
r
tangenciala
r
TOTALa
r
R
X
vfuentes@utem.cl 55

Aceleración TotalAceleración Total
Desaceleración
2 2
tangT Na a a= +
R
Z
Y
β
A
ˆkω ω=
r
tangencialv
r
B
Na
r
´
tv
r
tv
r
tangenciala
r
TOTALa
r
R
X
vfuentes@utem.cl 56

MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIALMOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL
Condiciones
1.-
2.-
.Ta R Cteα= =
r
a
r
v
r
VARIABLES
CONSTANTEα =
r
3.-
vfuentes@utem.cl 57

d
dt
ω
α =si
d dtω α= ∫
0 0
0=cte.; t =0
t
t
d dt
ω
ω
ω α α=∫ ∫
0( )t tω ω α= +
vfuentes@utem.cl 58

d
dt
θ
ω =si
d dtθ ω= ∫
( )0 0 0 0 0
0 0=
t t t t
t t t t
d dt t dt dt tdt
θ
θ
θ ω ω α ω α= = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
0 0
1
( )
2
t t tθ θ ω α= + +
vfuentes@utem.cl 59

De las dos ecuaciones anteriores se
puede obtener una tercera expresión.
2 2
0( 2)tω ω α θ= + ∆
vfuentes@utem.cl 60

RELACION ENTRE MAGNITUDES LINEALES YRELACION ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y
ANGULARESANGULARES
DISTANCIA ; dxx ; dθ θ
VELOCIDAD v ω
ACELERACION a α
LINEAL ANGULAR
vfuentes@utem.cl 61

RELACION ENTRE MAGNITUDES LINEALES YRELACION ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y
ANGULARESANGULARES
. . .M CU 0( ) + ttθ θ ω=. . .M RU
. . . .M RU V
LINEAL ANGULAR
. . . .M C U V
0( ) +vtx t x=
2
0 0
1
( ) +v t+ at
2
x t x= 2
0 0
1
( ) + t+ t
2
tθ θ ω α=
0( ) +atv t v= 0( ) + ttω ω α=
2 2
0( ) +2a xv t v= ∆ 2 2
0( ) +2tω ω α θ= ∆
vfuentes@utem.cl 62

3. cinemática de la partícula

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 3. cinemática de la partícula

Similar a 3. cinemática de la partícula (20)

Último

Último (20)

3. cinemática de la partícula