En esta presentación aprenderás a estudiar el valor de un determinado parámetro para que una matriz cuadrada tenga inversa. Aprenderás también a calcular la inversa de una matriz cuadrada.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: matrices
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Estudio de la inversa de una matriz.
- Cálculo de la inversa de una matriz.

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PROBLEMA RESUELTO: matrices
ENUNCIADO:
Dada la matriz 𝐴 =
1 𝑎 1
𝑎 1 𝑎
0 𝑎 1
donde a es un parámetro real.
a) Determina para qué valores del parámetro a la matriz A no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para 𝑎 = −2.

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a) En primer lugar recordaremos que una matriz A cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero.
Por lo tanto en primer lugar calcularemos el determinante de la matriz.
𝐴 =
1 𝑎 1
𝑎 1 𝑎
0 𝑎 1
= 1 − 𝑎2
Igualamos el determinante a cero para calcular los valores de a, para los cuales el determinante de A es nulo, y por tanto no
tiene inversa.
1 − 𝑎2 = 0 𝑎 = ±1
Por lo tanto la matriz:
• Si 𝑎 = ±1, la matriz A no tiene inversa.
• Si 𝑎 ≠ ±1, la matriz A tiene inversa.

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b) En este segundo apartado nos indican que calculemos la inversa, si existe, para el caso en que a=-2.
Ya hemos estudiado en el apartado anterior los casos en los que existe la inversa de A. Por lo tanto por el apartado anterior
existe la inversa de A para 𝑎 = −2.
Calculamos la inversa de A en este caso.
𝑎 = −2 𝐴 =
1 −2 1
−2 1 −2
0 −2 1
Recordamos que la inversa de A viene dada por:
𝐴−1
=
1
|𝐴|
𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡
Donde 𝐴𝑑𝑗(𝐴) representa la matriz adjunta de A.

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El determinante de A viene dado por 𝐴 = 1 − −2 2
= −3, para hallarlo basta con sustituir el valor de a, en la expresión
del determinante calculado en el apartado anterior.
Calculamos a continuación la matriz adjunta de A.
Recordemos que el adjunto del elemento (i,j) es el determinante que resulta de eliminar su fila y su columna, multiplicado
por −1 𝑖+𝑗
.
En la práctica consiste en realizar el determinante mencionado y cambiar el signo a elementos alternos en la matriz
siguiendo el diagrama:
+ − +
− + −
+ − +
Calculamos por tanto la matriz adjunta de A.

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𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
1 −2
−2 1
−
−2 −2
0 1
−2 1
0 −2
−
−2 1
−2 1
1 1
0 1
−
1 −2
0 −2
−2 1
1 −2
−
1 1
−2 −2
1 −2
−2 1
Realizando todos los determinantes tenemos que:
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
−3 2 4
0 1 2
3 0 −3
Por tanto la inversa de la matriz A viene dada por:
𝐴−1
=
1
|𝐴|
𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡
=
1
−3
−3 2 4
0 1 2
3 0 −3
𝑡

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Es decir:
𝐴−1
=
1
|𝐴|
𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡
=
1
−3
−3 2 4
0 1 2
3 0 −3
𝑡
=
−1
3
−3 0 3
2 1 0
4 2 −3
=
1 0 −1
−2/3 −1/3 0
−4/3 −2/3 1
Para comprobar que realmente esta es la matriz inversa, basta con comprobar que 𝐴 ∙ 𝐴−1
= 𝐼
Es decir:
1 −2 1
−2 1 −2
0 −2 1
1 0 −1
−2/3 −1/3 0
−4/3 −2/3 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1