Este video tutorial resuelve un problema de geometría analítica en el plano. Se calculan las coordenadas de los vértices B y C de un triángulo ABC, dado que la recta m es la mediatriz del lado AB y se conocen las ecuaciones de las alturas. Primero se grafica la situación y se calcula la ecuación de la recta AB. Luego, resolviendo sistemas de ecuaciones, se encuentran los puntos MAB, B y C.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: geometría en el plano
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En este vídeo vas a aprender a resolver un problema de
geometría analítica en el plano

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Enunciado:
La recta 𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 es la mediatriz del lado AB del triángulo ABC siendo
el vértice A(-2,0).
La ecuación de la altura paralela a m es ℎ: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 y la ecuación de la altura
que pasa por A es ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0.
Calcula las coordenadas de B y C.

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En primer lugar vamos a realizar una gráfica que nos aclare la situación del
problema:
𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0
h: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0
𝐴(−2,0)
𝑀𝐴𝐵

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Se puede observar que la recta que une los vértices A y B que denotaremos por 𝑟𝐴𝐵
es perpendicular a la recta m (o a la recta h ya que h y m son paralelas). Por lo tanto
el vector director de la recta 𝑟𝐴𝐵 es el vector normal de la recta m.
Como la ecuación de m es 𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0, el vector normal de m viene dado
por: 𝑛 = (2, −1)
Podemos calcular ahora la ecuación de 𝑟𝐴𝐵, ya que conocemos su vector director
𝑛 = 2, −1 y el punto A(-2,0).
Por lo tanto la ecuación de la recta que une A con B, viene dada por:
𝑟𝐴𝐵:
𝑥 + 2
2
=
𝑦 − 0
−1
Y su ecuación general o implícita vendrá dada por: 𝑟𝐴𝐵: 𝑥 + 2𝑦 = −2

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𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0
h: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0
𝐴(−2,0)
𝑀𝐴𝐵
Si observamos el dibujo, la intersección de la recta 𝑟𝐴𝐵 y m, nos da el punto 𝑀𝐴𝐵 que es
el punto medio de A y B. Calculamos entonces esta intersección, para ello resolvemos el
sistema de ecuaciones:
𝑥 + 2𝑦 = −2
2𝑥 − 𝑦 = 6

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Este sistema de ecuaciones nos da como solución: 𝑥 = 2, 𝑦 = −2
Por lo tanto tenemos determinado el punto
𝑀𝐴𝐵= (2, −2)
Como hemos comentado anteriormente el punto 𝑀𝐴𝐵 es el punto medio de A y B,
por lo tanto:
𝑀𝐴𝐵 =
𝐴 + 𝐵
2
𝐵 = 2𝑀𝐴𝐵 − 𝐴
De donde al sustituir los valores de 𝑀𝐴𝐵 y de A, se tiene:
𝐵 = 2 2, −2 − −2,0 𝐵 = (6,4)

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𝑚: 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0
ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0
ℎ: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
𝐵(6, −4)
A(−2,0)
𝑀 𝑎𝑏
Calculamos a continuación, la recta que une B y C. Esta recta es perpendicular a la
recta ℎ 𝐴 y pasa por el punto B(6,-4).
Por tanto el vector director de la recta 𝑟𝐵𝐶 es el vector normal de ℎ 𝐴.
Como ℎ 𝐴: 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0, entonces su vector normal será 𝑚(3, −4)

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Por tanto la recta 𝑟𝐵𝐶 tiene como vector director 𝑚(3, −4) y pasa por el punto
𝐵 6, −4
𝑟𝐵𝐶:
𝑥 − 6
3
=
𝑦 + 4
−4
Si la expresamos en ecuación implícita o general nos quedaría:
𝑟𝐵𝐶: 4𝑥 + 3𝑦 = 12
Calculo a continuación el vértice C como intersección de las rectas 𝑟𝐵𝐶 y h.
2𝑥 − 𝑦 = 1
4𝑥 + 3𝑦 = 12

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La solución al sistema anterior es: 𝑥 =
3
2
, 𝑦 = 2
Por tanto el vértice C viene dado por
𝐶
3
2
, 2