Modulo1cinematica

Cinemática
Módulo I –Física 4º
Cinemática
Conceptos
La cinemática (del griego kínematos: movimiento) es la parte de la física que se ocupa de las
leyes del movimiento. No se ocupa de las causas que producen dicho movimiento sino del estudio
matemático con el objeto de obtener una ley que permita predecir el movimiento futuro de una
partícula; ley de Movimiento.

Llamamos móvil a toda partícula (objeto puntual) en movimiento. Hablamos de objeto puntual
pues en estas ecuaciones no consideramos un factor muy importante que afecta al movimiento como es
el rozamiento con el aire. En otras palabras, trabajaremos con móviles cuyo coeficiente aerodinámico es
el valor más alto. Un cuerpo está en movimiento cuando su posición varia a través del tiempo. Estos
movimientos son siempre relativos pues para un observador en la tierra, un edificio sería un objeto
carente de movimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio estará animado de
movimiento rotacional y trasnacional. Por eso hablamos de movimiento relativo, dependiendo de la
ubicación del sistema de referencia ( centro de coordenadas).
Todos los movimientos que analizaremos estarán referidos a un sistema de ejes en reposo con
respecto al observador.
Denominamos trayectoria a la línea que une las distintas posiciones de un móvil. Pueden ser
rectilíneas, circulares, elípticas, parabólicas, etc. El espacio es la longitud de camino recorrido a partir de
un punto tomado como origen.

Clasificación de los Movimientos:
Uniforme (MRU)
Rectilíneo
Uniformemente Variado (MRUV)
Movimiento
Uniforme (MCU)
Circular
Uniformemente Variado (MCUV)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Un movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria recorrida por el móvil es una recta. Cuando
los espacios recorridos en intervalos de tiempo iguales son los mismos, decimos entonces que el
movimiento es uniforme:
e1 / t1 = e2 / t2 = ....= en / tn = constante

Dicha constante representa el espacio recorrido en la unidad de tiempo y la denominamos
velocidad. Ésta es una magnitud vectorial caracterizada por:

• módulo: velocidad numérica cuyas unidades son [v]= m/seg, km/h, etc. A esta magnitud se
la denomina rapidez.
• punto de aplicación: punto de la trayectoria.
• dirección: tangente a la trayectoria en el punto estudiado.
• sentido: el mismo del movimiento.

Para pasar las unidades de km/h a m/s hay que dividir la velocidad por 3.6:

1 km/h = 1000 m / 3600 seg = 1/3.6 m/s

Ejercicio A:
Un automóvil viaja a 130 km/h. ¿A qué velocidad viaja en m/s y en millas / hora?
Dato: 1 milla equivale a 1,609 Km

1 Lic. Pablo A. Manzano

Cinemática
Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniforme

IªLey: La velocidad es constante.
v = cte.

2ª Ley: El espacio recorrido es proporciona¡ al tiempo siendo la constante de proporcionalidad,
la velocidad.
e= v.t

Ecuación General del MRU:
Esta ecuación representa la posición de un móvil con movimiento rectilíneo uniforme a cualquier
tiempo t y es particularmente útil para resolver problemas de encuentro de móviles.

X(t) = Xo + v.t

donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, xo es la posición a tiempo cero (posición inicial),v
representa la velocidad. La diferencia X(t) - Xo representa el espacio recorrido por el móvil.

Representación gráfica del MRU:
Veremos a continuación que tipos de gráficos se obtienen al representar la leyes de este
movimiento y la ecuación general:

v(t) e X(t)
Xo
v = cte
e = v.t tg α = e/t = v Xo
espacio α

t t t
móvil alejándose el observador
móvil acercándose al observador

Ejercicio B:
a) Un automóvil viaja a una velocidad de 90 km/h. Representar gráficamente V(t), e(t) y X(t) a
partir del instante en que pasa por el punto ubicado en el observador.
b) Las posiciones de un móvil respecto del observador en función del tiempo son las siguientes:

t (seg) 0 10 20 30 40 50
X(t) (m) 30 330 630 930 1230 1530
1) Representar gráficamente la tabla anterior.
2) Construir un gráfico de V(t) y calcular gráficamente el espacio recorrido.
3) Determinar gráfica y analíticamente la velocidad del móvil.

MOVIMIENTO VARIADO
Cuando los espacios recorridos por el móvil no son proporcionales a los tiempos, el movimiento
es variado, es decir, la velocidad varía con el tiempo. Esta velocidad puede aumentar o disminuir.
Podemos definir dos tipos de velocidad en este movimiento:

Velocidad Media ( vm ): es la velocidad del móvil con la cual recorrería el mismo espacio en igual
tiempo pero con movimiento rectilíneo uniforme.
Supongamos que un automóvil recorre en la primera media hora 30 Km. y en los 15 minutos
posteriores 20 Km. ¿Cuál será su velocidad media en km/h?
La velocidad media queda definida por la siguiente ecuación:

Vm = (e1+e2) / (t1+t2)
Antes de reemplazar los valores vamos a pasar los dos tiempos de minutos a horas:

Cinemática

60 min. 1 hora 60 min. 1 hora
30 min. x= 30 min.1h/60 min = 0.5 hs. 15 min x= 15 min.1h/60 min= 0.25 h

Entonces t1 = 0.5 hs. y t2 = 0.25 h. Ahora reemplazamos:

Vm = (e1+e2)/(t1+t2) = (30 km + 20 km ) / (0.5 h + 0.25 h) = 50 km / 0.75 h = 66.67 km/h

Velocidad Instantánea ( vi): es la velocidad real que tiene el móvil en un instante dado.

Vi = lim (∆e / ∆t) = de/dt
∆t 0
donde dt = 1 seg. y de el espacio recorrido durante ese segundo.

Veamos un ejemplo para clarificar este concepto. Supongamos que dejamos caer una pelota desde el
extremo de una pendiente. La pelota va aumentando su velocidad a medida que desciende por el plano.
Podemos determinar su velocidad en algún punto de la pendiente colocando una superficie plana
horizontal en algún punto de la pendiente. La velocidad con la cual la pelota recorrerá dicho plano
horizontal, es la misma velocidad que tenía en dicho punto de la pendiente:
1 En 1 la velocidad de la pelota es 0
En 2 la pelota está en movimiento
2 En 3 la pelota va más rápido que en 2
3 5 En 4 la pelota va más rápido que en 3
4 En 5 la pelota se mueve
horizontalmente
con la misma velocidad instantánea que
tenía en 4.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Es un movimiento en el cual las variaciones de velocidad son proporcionales a los tiempos en los
cuales varía dicha velocidad, es decir, a tiempos iguales, la velocidad experimenta variaciones iguales.
Si la velocidad aumenta en el transcurso del tiempo, el movimiento es acelerado; si en cambio
disminuye, el movimiento es retardado.

Aceleración
Es un parámetro que representa la variación de la velocidad en la unidad de tiempo.

a = (v2 – v1) / t

Donde t representa el tiempo en el cual la velocidad cambió desde el valor v1 al valor v2.

Unidades de aceleración:
Se obtienen al dividir las unidades de velocidad por la unidad de tiempo,

[a] = [ v ] / [ t ] = (m/seg). / seg. = m/seg2

Veamos un ejemplo: un automóvil que circula por una ruta a 100 km/h acelera hasta 130 km/h en 10
segundos. ¿Cuánto vale la aceleración?

v1 = 100 km/h : 3.6 = 27.78 m/s
v2 = 130 km/h : 3.6 = 36.11 m/s a = (36.11 m/s – 27.78 m/s) / 10 seg = 0.833 m/seg2
t = 10 seg.

Esto significa que la velocidad aumentó en 0.833 m/s en cada segundo.


Cinemática
Signos de la aceleración:
La aceleración puede ser positiva o negativa según los valores de ambas velocidades,

• Si v2 > v1 => a >0 ( positiva ) el movimiento es acelerado (va más rápido).
• Si v2 < v1 => a< 0 ( negativa ) el movimiento es retardado (está frenando).

Velocidad inicial (vo)
Es la velocidad del móvil a tiempo t = 0, es decir, al inicio del movimiento.

Velocidad final ( vf )
Es la velocidad a un instante t distinto de cero.
V(t) = vo + a . t
Si t = 8 seg, se obtiene la velocidad instantánea del móvil al finalizar el octavo segundo.

Leyes del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

• 1ª Ley: la variación de velocidad es proporciona¡ al tiempo.

∆v = a . t vf - vo = a.t

• 2ª Ley: el espacio recorrido es proporciona¡ al cuadrado del tiempo empleado en recorrerlo.

e = v0 . t + ½ a . t2

Ecuación General del MRUV
Esta ecuación representa la posición de un móvil con movimiento rectilíneo uniformemente
variado a cualquier tiempo t y es particularmente útil para resolver problemas de encuentro de móviles.

x(t) = x0 + v0 . t + ½ a . t2

donde x(t) es la posición del móvil al tiempo t, xo es la posición a tiempo cero (posición inicial), v0
representa la velocidad inicial y a la aceleración. La diferencia X(t) - Xo representa el espacio recorrido
por el móvil.

Representación Gráfica
Veremos a continuación que tipos de gráficos se obtienen al representar la leyes de este
movimiento y la ecuación general:
v(t)
v(t) vf x(t)
1 2 v0 3
v0
3 espacio 1 2

t t t

Referencias: 1- Movimiento acelerado con velocidad inicial
2- Movimiento acelerado sin velocidad inicial (a partir del reposo)
3- Movimiento retardado (obviamente con velocidad inicial)

Velocidades típicas:
-hombre caminando: 1.7 m/seg -corredor a pie: 9 m/seg
-automóvil de carrera: 33.33 m/seg -avión en vuelo: 30 a 300 m/seg
-sonido en aire a 15ºC : 340 m/seg -bala de fusil: 400 m/seg
-rotación terrestre: 463 m/seg sobre el Ecuador -Traslación terrestre: 30.000 m/seg
-Sistema solar hacia Hércules: 20.000 m/seg -Luz en el vidrio: 2 x 108 m/seg
-Luz en el vacío y ondas electromagnéticas: 3 x 10 m/seg
8


Cinemática
Ejercicio C:
a) Un automóvil parte del reposo desde el punto donde se encuentra el observador con una
aceleración de 1.5 m/seg2. Representar gráficamente V(t) y X(t) para los primeros 15 segundos.
b) Las velocidades de un móvil en función del tiempo son las siguientes:

t (seg) 0 10 20 30 40 50
v(t) (m/s) 10 15 20 25 30 35
1) Representar gráficamente la tabla anterior y determinar el espacio total recorrido y la
aceleración, analítica y gráficamente.
2) Construir un gráfico de x(t) .
3) Determinar la velocidad instantánea del móvil en km/h a los 27 segundos.
4) Determinar su velocidad media.

CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

Cuando dejamos caer un objeto (sin velocidad inicial) desde una determinada altura, éste lo
hace libremente bajo la acción de la fuerza de gravedad. En este caso el movimiento se lo denomina
caída libre. Si por el contrario, lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba o hacia abajo con una
determinada velocidad inicial, el movimiento se denomina tiro vertical.

Ambos movimientos son un caso particular del MRUV pues el móvil está sometido en el primer
caso a una aceleración producida por la fuerza gravitatoria y en el segundo caso, a una desaceleración
provocada por la misma fuerza (si se lanza hacia arriba) o una aceleración hacia abajo si se lo lanza en
igual sentido. El valor de dicha aceleración-desaceleración se denomina aceleración de ¡a gravedad " g"
siendo su valor 980.665 cm / seg2 a nivel del mar y 45º latitud.

La definimos de esta manera pues su valor depende de la altura, la posición relativa al ecuador
(debido a que la tierra no es perfectamente esférica) y otros factores como la rotación terrestre y la
composición geológica del suelo. Así por ejemplo en la ciudad de Cambridge, Massachusetts,
g=980.398 cm/seg2 (h=14m), y en Denver, Colorado, g=979.609 cm/seg2 (h= 1 638 m).

A partir de lo dicho anteriormente, podemos plantear las ecuaciones que rigen este movimiento,
tomando en cuenta que:
• para la caída libre a = g con v0 = 0
• para el tiro vertical a = -g con vo >0 ó v0 < 0 según sea lanzado hacia arriba o hacia abajo

Ecuaciones Generales válidas para ambos movimientos:

Velocidad: v(t) = v0 – g.t

Altura: h(t) = h0 + v0.t - ½ g t2

Aplicando las condiciones especificadas más arriba, las ecuaciones se simplifican de la siguiente forma:

Caída libre: v(t) = – g.t h(t) = h0 - ½ g t2

Tiro Vertical: v(t) = v0 – g.t h(t) = h0 + v0.t - ½ g t2

En las fórmulas anteriores, h0 es la altura inicial desde la cual se deja caer o se lanza el objeto y
h(t) es la altura que alcanza el móvil al tiempo t. Nótese que en las ecuaciones, el término que contiene
a “g” es negativo. Esto se debe a que el eje de coordenadas para medir la posición vertical del objeto
(altura) es positivo hacia arriba y la aceleración g es hacia abajo ( es decir, contraria a dicho eje:
negativa). Nosotros utilizaremos como valor de g, 9.81 m/seg2


Cinemática
h(t)  h(t) v(t) = 0
h0 hmáx

v 0 <0
g g h0

v0>0 
h0

0 0

CAÍDA LIBRE TIRO VERTICAL DESDE EL PISO TIRO VERTICAL
CON ALTURA INICIAL

En el caso de un tiro vertical cuando el objeto alcanza su altura máxima, se detiene (v(t) = 0) y
comienza a caer en caída libre. Si el objeto fue lanzado desde el piso, debido a que la única fuerza que
actúa, tanto en el ascenso como en el descenso es la fuerza gravitatoria a través de g, el tiempo que
tarda en caer nuevamente al piso es el mismo tiempo empleado en alcanzar la altura máxima.
Asimismo, la velocidad con que llega al piso es la misma con la que salió inicialmente desde éste pero
negativa.

Si el objeto es lanzado desde cierta altura, pueden presentarse dos casos:.
a) El objeto se lanza hacia arriba: en este caso v0 es positiva.
b) El objeto se lanza hacia abajo: entonces v0 es negativa.

A partir de las ecuaciones generales vistas más arriba, pueden deducirse otras como por
ejemplo:

• tiempo empleado en alcanzar la altura máxima tm = v0/g

• altura máxima alcanzada hm = h0 + ½ v02/g

Ejercicio D:
Desde el borde de una terraza de 45 m de altura se deja caer un objeto hasta la vereda.
Calcular:
a) ¿Cuánto tarda en llegar a la vereda y con que velocidad llega?
b) ¿a qué altura se encuentra y cuál es su velocidad a los 2 segundos?
c) ¿Qué altura máxima alcanzaría si se lanza desde la terraza hacia arriba con una velocidad de
25 m/s?
d) ¿Cuánto tardaría en llegar a la vereda si se lanza a 10 m/s hacia abajo?

TIRO OBLICUO

Cuando un objeto es lanzado con un cierto ángulo respecto de la superficie horizontal del suelo,
describe una trayectoria parabólica en la cual alcanza una altura máxima y luego cae al suelo. En este
movimiento se combinan el MRU y el MRUV. El lanzamiento de una jabalina, la trayectoria de una bala
de cañón son algunos ejemplos de este movimiento.

El Tiro Oblicuo puede descomponerse en dos direcciones:

• una dirección vertical a la que llamaremos “y” donde se aplican las ecuaciones del MRUV,
más precisamente las del tiro vertical, pues está afectada por la aceleración gravitatoria.
• Una dirección horizontal a la que llamaremos “x” en la cual se aplican las ecuaciones del
MRU pues no hay ninguna aceleración que afecte a esta dirección del movimiento.


Cinemática

Y(t)

El dibujo anterior muestra la trayectoria parabólica de una bala de cañón bajo un tiro oblicuo.
Veamos como descomponemos este movimiento en los dos ejes x e y:

y y(t)

v0y
v0 hmax
α

v0x X x(t)
alcance del proyectil

En la figura de la izquierda la flecha roja representa la velocidad inicial y α el ángulo que forma
la dirección de la velocidad con la superficie del suelo. El vector velocidad inicial se puede descomponer
en ambos ejes x e y: la flecha azul representa la componente horizontal de la velocidad inicial (v 0x) y la
flecha verde representa a la componente vertical de dicha velocidad (v0y).

Aplicando las funciones trigonométricas para la descomposición rectangular de vectores,
podemos obtener los valores de ambas componentes:

v0x = v0 . cos α v0y = v0. sen α tg α = voy / vox

Si observan el dibujo de la derecha podrán ver que las flechas azules horizontales que
representan la velocidad horizontal (vx) no varían durante toda la trayectoria, esto significa no cambia
debido a que en esta dirección el tipo de movimiento es MRU (recordar que en este movimiento la
velocidad es constante).
En cambio, las flechas verticales que representan la componente vertical de la velocidad (v y), van
cambiando: disminuyen hasta la altura máxima donde se anula y luego va en aumento pero hacia abajo
hasta que toca el suelo. En este caso el movimiento corresponde a un tiro vertical.

En función de lo explicado hasta aquí, las ecuaciones para este movimiento quedan expresadas
de la siguiente manera:
vox vox

• Eje x: vx (t) = vo . cos α x(t) = vo . cos α . t

voy voy

• Eje y: vy(t) = vo . sen α – g . t y (t) = y0 + v0 . sen α . t - ½ g . t2

En la altura máxima (hmáx), se cumple que:

v y (t) = vo sen α - g . t = 0 y(t) = vo sen α . t - ½ g t2 = h máx.


Cinemática
Xm= Vo cos α . t = Xf / 2

Donde Xm representa la distancia desde el punto de lanzamiento donde alcanza la altura máxima
y Xf representa el alcance, es decir, la distancia horizontal donde el objeto toca el piso.

Ejercicio E:
Se lanza un objeto desde el piso con un ángulo de 37º y una velocidad de 35 m/s. Calcular:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
b) ¿A qué distancia alcanza dicha altura?
c) ¿En qué posición y con qué velocidad se encuentra a los 2 segundos?
d) ¿Cuál es el alcance del objeto?
e) ¿Cuál sería la altura máxima y a qué distancia caería nuevamente al piso si se lanza desde
una plataforma de 8 m de altura?

MOVIMIENTO CIRCULAR:

Se denomina así a aquel movimiento en el cual la trayectoria que describe un móvil es una
circunferencia. El movimiento de la Luna y los satélites alrededor de la tierra son ejemplos claros de este
tipo de movimiento. Dentro de éstos se pueden distinguir dos casos:

• Rotación: cuando el eje alrededor del cual gira el objeto está contenido dentro del mismo,
como por ejemplo la rotación terrestre.

• Revolución: cuando el eje se encuentra fuera del objeto como por ejemplo el movimiento
de la luna alrededor de la tierra.

Ejercicio F:
Den ejemplos de movimientos de rotación y de revolución.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Se denomina así al movimiento circular en el cual un móvil recorre arcos de circunferencia
iguales en tiempos iguales. Esto significa, en otras palabras, que el móvil tarda siempre el mismo tiempo
en recorrer toda la circunferencia completa. Imagínense un automóvil que circula por una pista circular
siempre a la misma velocidad. En este caso, dicho automóvil pasará por el punto de partida a intervalos
de tiempo regulares ( por ejemplo, cada 2 minutos).

Dentro de este tipo de movimiento, vamos a definir en primer lugar algunos conceptos
importantes:
a) Vector posición o radio vector ( r ): es el vector que une el centro de la circunferencia
con el móvil.
r
o

b) Velocidad angular ( ω ): se define como el ángulo barrido por el vector posición en la
unidad de tiempo.

o α ω=α / t
[ω] = radianes / seg.

Por convención la velocidad angular es positiva cuando el objeto se mueve en sentido contrario
a las agujas del reloj (antihorario) y negativa en sentido horario.
c) Radián: la medida de un ángulo, expresada en radianes, queda definida por el cociente
entre la longitud del arco de circunferencia (∆d) y el radio correspondiente ( R ) .

Cinemática

R ∆d
o α (rad) = ∆d / R

Para una circunferencia completa, es decir 360 º, podemos calcular el ángulo equivalente en
radianes:

El arco de la circunferencia es el perímetro de ésta, es decir 2.π.R

Entonces el ángulo en radianes queda

α (rad) = ∆d / R = 2.π.R / R = 2.π. = 360º

Esta última igualdad puede utilizarse para pasar cualquier ángulo a radianes

d) Velocidad tangencial (vt): es el cociente entre el arco de circunferencia (∆d) y el tiempo
empleado en recorrer dicho arco. En el ejemplo anterior del automóvil en la pista circular,
esta velocidad representa la que marca el velocímetro del auto.

vt

Se denomina velocidad tangencial pues su
dirección es tangente al arco de la
circunferencia (flecha azul).

La relación que existe entre la velocidad angular y la tangencial es la siguiente:

vt = ω . R
Si el radio está expresado en metros y la velocidad angular en rad/seg, la velocidad queda
expresada en m/seg. Esta velocidad es constante en el MCU.

e) Frecuencia ( f ): se define como el número de revoluciones ( o vueltas) que realiza el móvil
en la unidad de tiempo. Generalmente se expresa en Revoluciones por minuto (RPM) o
vueltas por segundo (1/seg).

1 RPM = ( 2π / 60 ) Seg.

f) Período (T): representa el tiempo empleado por el móvil en realizar un giro completo. Es la
inversa de la frecuencia expresada en 1/seg. La unidad de T debe estar expresada en
unidades de tiempo.
T=1/f
La relación que existe entre la velocidad angular, la frecuencia y el período queda
establecida por la siguiente igualdad:
ω=2πf=2π/T

Esta igualdad surge de considerar que en el tiempo T el móvil realiza una revolución
completa, es decir 2π.

g) Aceleración Centrípeta (ac): si bien el módulo del vector que representa la velocidad
tangencial es constante durante todo el movimiento, no ocurre lo mismo con su dirección,
pues esta cambia continuamente, girando hacia el centro de la circunferencia de modo tal
que siempre sea tangente a ésta. La aceleración centrípeta da cuenta de esta variación.

Las flechas azules representan La aceleración centrípeta se calcula a
las distintas posiciones y partir de la siguiente ecuación:

Cinemática
orientaciones del vector vt.
ac = ω . v = v2 / R = ω 2 . R

Ejercicio G:
Un automóvil circula a velocidad constante por una pista circular de 85 m de radio recorriendo
una vuelta completa cada 3 minutos. Calcular:
a) ¿Cuál es la frecuencia y el período para el automóvil?
b) ¿A qué velocidad va el automóvil?.
c) ¿Cuál es su velocidad angular?
d) ¿Qué longitud tiene la pista?
e) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta para el automóvil?

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

En este tipo de movimiento, tanto la velocidad tangencial como la angular no son constantes en
el tiempo. Imaginemos un cilindro que puede girar libremente sobre un eje horizontal al cual le
enrollamos un hilo del cual colgamos una pesa. Al soltar dicha pesa, el cilindro girará desenrollando el
hilo y los puntos de la superficie del cilindro experimentarán un movimiento circular acelerado por la
acción de la gravedad sobre la pesa. Otro ejemplo es el de una calesita: inicialmente esta quieta y al
cabo de un determinado lapso de tiempo, alcanza una cierta velocidad de rotación.

Podemos pues definir para este movimiento una aceleración tangencial y una aceleración
angular:

a) Aceleración Tangencial ( at ): representa la variación de la velocidad tangencial por
unidad de tiempo.
at = (vf – vo ) / t

Esta es la misma aceleración que vimos en el MRUV, por lo tanto su unidad es m/seg2.

b) Aceleración Angular ( ϕ ): representa la variación de la velocidad angular por unidad de
tiempo.
ϕ = (ω f – ω o ) / t

Esta aceleración se expresa en rad / seg 2 o , simplemente, 1 / seg 2

Ambas aceleraciones se pueden relacionar a partir de la relación entre la velocidad angular y la
tangencial:

at = (vf – vo ) / t = (ω f R – ω o R) / t = (ω f – ω o ) . R / t = ϕ . R

Ejercicio H:
Una plataforma horizontal de 8 m de radio comienza a girar a partir del reposo hasta alcanzar
una frecuencia final de 15 RPM en 18 segundos. Calcular:
a) ¿Cuál es la velocidad tangencial final en el borde de la plataforma?
b) ¿Qué valor tienen la aceleración tangencial y la angular?.
c) ¿Cuál es su velocidad angular a los 10 segundos?
d) ¿ Cuál es la velocidad tangencial final a 2 m del borde sobre la plataforma?
e) ¿Cuánto vale la aceleración centrípeta a los 13 segundos?

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD:

Esta teoría fue formulada en el año 1905 por el físico Albert Einstein, basándose en dos
postulados:

Cinemática

1]- Sí se toman como referencia dos sistemas que se mueven uno con respecto al otro con
movimiento rectilíneo uniforme, las leyes de la física son descritas desde los dos sistemas mediante
conjuntos de ecuaciones que tienen la misma forma.

2]- La velocidad de la luz en el vacío es la misma medida desde cualquier sistema.

El primer postulado, conocido como principio de la relatividad de los movimientos uniformes,
equivale a negar la existencia del espacio absoluto. Decir que un movimiento es uniforme en el espacio,
carece de sentido si no hacemos referencia a ningún otro cuerpo. En otras palabras, si dos objetos se
alejan entre sí en el espacio, es imposible decir cuál de ellos está en movimiento y cuál está quieto o si
ambos están en movimiento.

El segundo principio postula que la velocidad de la luz siempre es la misma, independientemente
de si el observador que la determina, se encuentra en un sistema en reposo o dotado de movimiento.

RESUMEN DE ECUACIONES DEL CAPÍTULO

MRU:
e= v.t X(t) = Xo + v.t

MRUV :

Vm = (e1+e2) / (t1+t2)

a = (v2 – v1) / t V(t) = vo + a . t

e = v0 . t + ½ a . t2 x(t) = x0 + v0 . t + ½ a . t2

CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL :

v(t) = v0 – g.t h(t) = h0 + v0.t - ½ g t2

TIRO OBLICUO :

• Eje x: vx (t) = vo . cos α x(t) = vo . cos α . t

• Eje y: vy(t) = vo . sen α – g . t y (t) = y0 + v0 . sen α . t - ½ g . t2

MCU :

ω=α / t vt = ω . R 1 RPM = ( 2π / 60 ) Seg. ω=2πf=2π/
T

MCUV :

at = (vf – vo ) / t ϕ = (ω f – ω o ) / t


Cinemática
GUÍA DE PROBLEMAS Nº1
CINEMÁTICA
1)- Un automóvil se desplaza con velocidad constante de 60 km/h .¿Cuánto tiempo tardará
en recorrer 140 km y qué espacio habrá recorrido al cabo de 4 horas, 35 minutos y 15
segundos?
Rta: 2 hs, 20 minutos; 642,25 km.

2)- Un automóvil se desplaza a 80 km/h. Otro automóvil sale en su búsqueda a 130 km/h. Si el
primero se encontraba 150 km adelante del segundo en el momento de iniciar la búsqueda;
¿cuánto tiempo tardará en alcanzarlo y a qué distancia del punto de partida se encuentran?
Represente gráficamente la solución.
Rta: 3 hs ; 390 km

3)- Dos automóviles separados por una distancia de 420 km salen en el mismo instante y
sentido contrario. El automóvil A se desplaza hacia B a 60 km/h y el B se dirige hacia A a 90
km/h. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse y qué distancia recorrió cada uno antes de
encontrarse?
Rta: 2 hs, 48 ‘ ; dA= 168 km , dB = 252 km

4)- ¿Que velocidad mínima deberá desarrollar un automóvil para alcanzar a otro que se
desplaza 200 km adelante a 80 km/h si debe hacerlo en 4 hs? Si la velocidad máxima del
primero es de 140 km/h ¿ logrará su propósito?
Rta: v= 130 km/h, sí.

5)- Un auto se desplaza a 36 km/h y acelera uniformemente durante 2½ minutos hasta
alcanzar una velocidad de 180 km/h. ¿Cuánto vale la aceleración y qué espacio recorre en
dicho tiempo?
Rta: a= 0.27 m/s2 ; e = 4537,5 m

6)- Si un móvil parte del reposo, acelera uniformemente y alcanza una velocidad de 130 km/h
en 7 segundos; ¿cuánto vale la aceleración, que distancia recorre en ese tiempo y cuanto
tardaría en recorrer 2.5 km?
Rta: a = 5.16 m/s2 ; d = 126.39 m ; t = 31,13 seg.

7)- Indique en cada uno de los gráficos de v (t), de que tipo de movimiento se trata, la
velocidad inicial, la velocidad final , la aceleración y el espacio recorrido: [ v ] : m/s ; [ t ] : seg.

a] b] c] d] e]
10
9 8 8 9
5
3 3

0 10 0 8 15 0 20 0 12 18 25 0 9 19 22
Rtas: a]- MRUV , 3m/s , 9m/s, 0.6 m/s2, 60 m ; b]- MRUV , 10m/s , 5m/s, -0.625 m/s2, 107 m ; c]- MRU , 8m/s
, 8m/s, 0m/s 2, 160 m ; d]- MRUV , 3m/s , 0m/s, 0.83 m/s 2 ,, -1.14 m/s2 , 97 m ; e]- MRUV , 0m/s , 0m/s, 1 m/
s2 ,, -3 m/s2 , 144 m

8)- Un automóvil parte del reposo y se desplaza con una aceleración de 1 m/seg2 durante 15
segundos; luego apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción durante 10 seg. a
25 cm/seg2. A partir de entonces aplica los frenos y se detiene en 5 segundos. Calcular la
distancia total recorrida, la velocidad máxima alcanzada y la desaceleración producida por
los frenos. Representar gráficamente.
Rta: e = 281.25 m ; v = 15 m/seg ;a = -2.5 m/seg2

9)- Un camión jaula circula por la ruta nacional Nº2 pasando por la localidad de Maipú a 54
km/h y luego de 20 seg acelera durante 5 seg con a = 2 m/seg2. En el instante que deja de
acelerar, observa que 100 m delante, una vaca se encuentra recostada en la mitad de la


Cinemática
cinta asfáltica. ¿Qué desaceleración deberá imprimir los frenos para detener el camión antes
de atropellar a la vaca? ¿Cuál es el espacio total recorrido desde Maipú?
Rta: a = - 8 m/seg2 ; e = 500 m

10)- Un auto esta esperando que cambie la luz roja de un semáforo. Cuando ésta cambia,
acelera uniformemente durante 10 seg. a razón de 1.9 m/seg por cada seg., después de lo
cual mantiene la velocidad constante. En el instante que el auto comienza a moverse, un
camión de galletitas que se desplaza en la misma dirección y sentido lo pasa a 40 km/h.
¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse nuevamente y a qué distancia del semáforo?
Rta: 12 seg ; 133.53 m.

11)- Un automóvil desea alcanzar a una persona que se desplaza caminando a 7 km/h. Si el
auto parte del reposo ½ hora después que el caminante, con una aceleración de 0.5 m/seg 2.
¿cuánto tardará en alcanzarlo, con qué velocidad y qué distancia recorrieron ambos desde
el momento de la salida del automóvil?
Rta: t = 2’2’, v = 220 km/h , dp=237.19 m , da = 3737,19 m

12)- Dos automóviles parten del reposo en igual dirección; el primero con aceleración de 0.32
m/seg2 y el segundo, 1000 m más adelante con aceleración de 0.12 m/seg2. ¿Cuánto tiempo
tardan en cruzarse, cuál es la velocidad de cada uno y el espacio recorrido? Plantee el
problema suponiendo que se intercambian las aceleraciones, ¿ a qué conclusión llega?
Rta: te = 1’40” ; v1 = 115,2 km/h ; v2 = 43,2 km/h, e1 = 1.6 km, e2 = 600 m.

13)- Un camión parte del reposo, acelera uniformemente durante 10 segundos con
aceleración de 3 m/seg2; luego se desplaza con velocidad constante durante 15 minutos y
posteriormente acelera nuevamente a razón de 1,2 m/seg2. Al cabo de 5 segundos, comienza
a subir una pendiente de 150 m de longitud, provocándole una desaceleración de 5 m/seg 2.
¿Cuál es la distancia total recorrida desde la partida a la base de la pendiente? ¿Logra pasar
la pendiente?
Rta: e = 27,44 km. no

14)- Dos móviles parten en sentido contrario desde dos puntos distintos. El móvil A desarrolla
una aceleración de 0.16 m/seg2 y el móvil B de 0.28 m/seg2. Ambos se encuentran cuando el
primero recorrió 1,8 km. ¿Cuál es la separación entre ambos puntos, cuánto tardan en
encontrarse y cuál es la velocidad final de ambos?
Rta: 4,95 km ; t = 5‘ 30 “ ; vA = 86.4 km/h ; vB = 151.2 km/h

15)- Un automóvil y un camión parten en el mismo instante, estando el primero una cierta
distancia detrás del camión. El automóvil acelera a razón de 1.8 m/seg 2 y el camión a 1.20
m/seg2. ¿Cuánto tarda en alcanzar al camión sabiendo que lo hace cuando éste recorrió
una distancia de 187,5 m, cuál era la distancia inicial entre ambos y con que velocidad se
encuentran cada uno?.
Rta: t = 25 seg ; d = 375 m ; va = 162 km/h ; vc = 108 km/h

16)- Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo. Un estudiante que mira
desde la ventana la ve pasar delante de él a 4 m/seg, 1.7 segundos después de ser lanzada.
¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota, que tiempo empleó en subir desde la
ventana hasta dicha altura y cuál es la altura de la ventana?.
Rta: hm = 21.8 m; t = 0.41 seg; h = 21 m

17)- Una pelota es arrojada verticalmente hacia arriba desde la cornisa de un edificio; la
pelota salva estrictamente la cornisa en su descenso y pasa por un punto situado 48 m debajo
de ésta 5 segundos después de ser lanzada. ¿Con qué velocidad fue arrojada la pelota, que
altura alcanzó sobre la cornisa y cuál es la altura del edificio si tarda 10 seg. en llegar al piso?
Rta: vo = 14.93 m/s ; hm = 11,34 m ; he = 341.2 m
18)- Desde la terraza de un edificio de 60 m de altura se deja caer un objeto y en el instante
en que éste se encuentra a 40 m del piso, se arroja un segundo objeto desde el suelo con una
velocidad de 10 m/seg. ¿A qué altura se encuentran, cuál es la velocidad de cada uno, y
cual es la altura máxima del segundo objeto?
Rta: he= 4,56 m; v1 = 32.86 m/s ; v2 = 3,23 m/s; hm: 5.10m


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19)- En un pozo de 600 m de profundidad se deja caer una piedra y 2 segundos después se
arroja una segunda piedra. ¿Qué velocidad inicial deberá tener ésta para que ambas se
encuentren en la mitad de la trayectoria?
Rta: vo = 23 m/seg.

20)- Un estudiante de física desea comprobar por sí mísmo la Ley de la Gravedad, para lo cual
se deja caer, reloj en mano, desde la cornisa de un rascacielos de 270 m de altura, iniciando
su caída libre. Cinco segundos después entra Superman en escena y se arroja desde la
terraza para salvarlo. ¿Cuál deberá ser la velocidad inicial de Clark Kent para lograr rescatarlo
justo antes de que se estrelle contra el pavimento?¿Con qué velocidad llega y cuánto tarda
en caer?
Rta: vo = 99.7 m/s; vf = 123 m/s; t = 7.42 seg

21)- Un jugador de fútbol desea patear un tiro libre directo desde una distancia de 20 m del
arco, formándose la barrera a 7 m de la pelota con una altura de 1.70m. Si la pelota sale con
un ángulo de 30º con la superficie del campo, ¿Cuál sera la velocidad inicial que deberá
imprimir a la pelota para que ésta salve la barrera e ingrese al arco 10 cm por debajo del
travesaño, sabiendo que éste se encuentra a 2.40 m del suelo?¿Con qué velocidad llega al
arco, cuánto tarda en alcanzar la altura máxima y cuánto vale dicha altura?
Rta: vo =16.87m/s; vx = 14.61 m/s; vy = -5m/s; t = 0.86 s; hm = 3.62 m

22)- Un motociclista desea saltar una pared de 4.00 m de altura empleando una rampa de
45º. Cuál es la velocidad mínima con que deberá salir de la rampa para superar la pared
sabiendo que se encuentra a 6 m de la rampa? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al otro lado
de la pared, y a qué altura y distancia se encuentra 1 segundo después de abandonar la
rampa?
Rta: vo = 13.27 m/s ; t = 1.28 seg ; d = 3.4 m

23)- Un jugador de balon-pie patea una pelota con una velocidad inicial de 15 m/seg,
tardando 1 seg en alcanzar su altura máxima.¿ Con qué ángulo fue lanzado el balón, cuál es
la altura máxima alcanzada y a qué distancia caerá.?
Rta: α = 40.8º; H = 4.9 m ; d = 22.71 m

24)- Un avión que se desplaza a 150 m/seg y una altura de 1 km, arroja un objeto a tierra.
¿Cuánto tardará en caer el objeto y a qué distancia del punto de lanzamiento cae?
Rta: t = 14.3 seg; X = 2143 m.

25)- Un cañón antiaéreo se encuentra custodiando un campamento militar en un desierto de
Oriente Medio. Un avión caza enemigo se acerca hacia éste con una velocidad de 250
m/seg y una altura de 2500 m. Calcular con qué ángulo deberá apuntar el cañón para
derribarlo 5 segundos después del disparo sabiendo que la velocidad de salida del misil es de
600 m/seg . ¿ A qué distancia del cañón lo alcanza y cuál es la distancia del avión en el
momento de efectuar el disparo?
Rta: a = 61º; dc = 1457 m;da = 2707 m

26)- Suponer en el problema anterior que el avión está equipado con misiles que caen en
caída libre con una velocidad de salida horizontal de 400 m/seg.¿Cuál es la distancia desde la
cual deberá soltarlos para impactar en el cañón y cuánto tiempo antes de que éste dispare?
Rta: d = 14,67 km; t = 17,5 seg

27]- El profesor de Física, mientras los alumnos copian problemas de la materia, se entretiene
arrojando horizontalmente tizas al cesto del aula, situado a 2,8 m del escritorio. Teniendo en
cuenta que el cesto tiene una altura de 0, 4 m y una diámetro de 0,2 m. Calcular entre qué
valores deberá estar la velocidad de partida de las tizas para que puedan ingresar al cesto,
sabiendo que la altura del brazo del profesor respecto del piso es de 1,2 m.

28)- Un automóvil, equipado con cubiertas Goodyear GPS – 2 de 52 cm de diámetro viaja a
velocidad constante de 120 km/h. Calcular la velocidad angular en RPM , la aceleración
centrípeta y la cantidad de vueltas que gira el neumático al cabo de un viaje de 400 km.

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Rta: ω = 1224 R.P.M.; a = 4273 m/seg2; 244800 vueltas

29)- Calcular la velocidad a la que se desplaza un niño ubicado en el borde de una calesita
de 8 m de diámetro que describe una vuelta completa al cabo de 12 segundos.
Rta: v = 7.54 km/h

30)- Un automóvil alcanza una velocidad de 100 km/h a partir del reposo en 6,5 seg.
Suponiendo que esta equipado con neumáticos radiales de 50 cm de diámetro. Calcular la
aceleración tangencial y angular desarrollada por los neumáticos
Rta: a = 4.27 m/seg2; ϕ = 17.11 rad/seg2.

31)- Sabiendo que el radio terrestre es de 6380 km, calcular la velocidad a la cual se está
moviendo una persona parada en el ecuador respecto de un observador ubicado en el
espacio ( sin tomar en cuenta la traslación). ¿Cuál es la velocidad angular y la aceleración
centrípeta?.
Rta: v = 1670 km/h; ω = 6.94 x 10-4 RPM; a = 0.034 m/seg2

32)- Una turbina de 1.2 m de diámetro gira con una aceleración tangencial de 8 m/seg2.
Calcular la aceleración angular de la misma.
Rta: ϕ = 13.33 rad/seg2


Cinemática
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Objetivo: Verificar las ecuaciones del movimiento rectilíneo, determinar velocidades instantáneas e
interpretar gráficamente dicho movimiento .

Materiales: Cuerpo esférico, plano inclinado, cronómetro y cinta métrica.

Procedimientos:
Primera Parte: Movimiento Rectilíneo Uniforme.
1º]- Coloque la canica en el extremo del plano inclinado. Déjela caer por el plano tomando el tiempo que
tarda en recorrer sobre la mesa una distancia de 50 cm a partir de la base el plano.
2º]- Mida tres veces dicho tiempo y calcule el valor promedio.
3º]- Vuelva a realizar el procedimiento anterior para una distancia de 1 m sobre la mesa.
4º]- Repita todo el procedimiento para dos alturas más.
5º]- Plantee la ecuación de movimiento y calcule la velocidad de la esfera en cada caso.
6º]- Complete la siguiente tabla:

Altura Espacio t1 t2 t3 t prom. v
50 cm
100 cm
50 cm
100 cm
50 cm
100 cm

Segunda Parte: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.

1º]- Coloque la canica en el extremo del plano inclinado. Déjela caer por el plano tomando el
tiempo que tarda en llegar hasta la primer marca.
2º]- Mida tres veces dicho tiempo y calcule el valor promedio.
3º]- Vuelva a realizar el procedimiento anterior para las otras distancias.
4º]- Repita todo el procedimiento para otra altura.
5º]- Plantee la ecuación de movimiento y calcule la aceleración de la esfera en cada caso.

Altura Espacio t1 t2 t3 t prom. a

Representar gráficamente mediante Excel, la velocidad y el espacio en función del tiempo
para cada una de las alturas e interpretar el gráfico obtenido. Informar las conclusiones del
trabajo.


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TRABAJO PRÁCTICO Nº 2
CAÍDA LIBRE
Objetivo:
Verificar la ecuación de movimiento en caída libre e interpretarla gráficamente .

Materiales:
Cuerpo esférico (pelotita de tenis), soporte, cronómetro y cinta métrica.

Procedimientos:

1º]- Sostenga el objeto a 50 cm del piso. Déjelo caer tomando el tiempo que tarda en llegar al piso.
2º]- Repita el procedimiento 2 veces más y calcule el tiempo promedio de caída.
3º]- Repita para las siguientes alturas: 80 cm, 100 cm, 130 cm, 160 cm.

Altura t1 t2 t3 t prom. vfinal.
50 cm
80 cm
100 cm
130 cm
160 cm

5º]- Plantee la ecuación de movimiento.
6º]- Verifique la validez de dicha ecuación.
7º]- Represente gráficamente mediante Excel la altura en función del tiempo e interprete el
gráfico obtenido.
8º]- Represente gráficamente mediante Excel la velocidad en función de la altura inicial e
interprete el gráfico obtenido.

Cuestionario:

1]- ¿ Por qué elegimos un cuerpo esférico para realizar esta práctica?
2]- ¿ Qué factores pueden tener incidencia en la verificación de la ecuación de movimiento? Enúncielos y
determine cómo podrían corregirse.
3]- ¿ Qué conclusión obtiene de la observación de los gráficos realizados?
4]- ¿ En qué forma podría realizarse esta práctica para aumentar la precisión de las mediciones sin
necesidad de recurrir a equipos más sofisticados?
5]- Si tuviera que descartar mediciones, ¿ cuáles descartaría y por qué?


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