Downside Risk Measures

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Fernando Ruiz García, CAIA
Downside Risk Measures

2
Introducción
Safety First Criterion
Downside Risk Measures
Medidas basadas en otros momentos de la distribución de
rendimientos.
Omega ratio
Índice

33
Introducción
El nacimiento de la Teoría moderna de carteras tuvo lugar en 1952 tras la publicación de dos trabajos distanciados en
el tiempo por unos pocos meses de diferencia.
El primero de ellos fue el realizado por Markowitz donde se establecía tanto un modelo para el comportamiento de los
activos que componen la cartera óptima que descansaba de forma primordial en la varianza para medir el riesgo como un
modelo para representar la preferencias de rentabilidad – riesgo del inversor basado en las funciones de utilidad.
Tres meses después de la aparición del trabajo de Markowitz, apareció el de Roy en el que además de resolver
matemáticamente el problema que Markowitz tan sólo planteó, empleó un enfoque práctico mucho más cercano a la
realidad financiera para modelizar el intercambio entre rentabilidad y riesgo.
En esencia, Roy prescindió de las funciones de utilidad para modelizar las preferencias de rentabilidad – riesgo de
inversor. Roy prefiere hablar del Safety first criterion que establece que el inversor prefiere primero la seguridad de
su capital invertido y fijar un rendimiento mínimo aceptable que asegure el capital invertido.
La idea de Roy sirvió de inspiración para el desarrollo de lo que se ha dado en conocer como las downside risk
measures. Incluso Markowitz reconoció en 1959 la importancia de este criterio y sobre todo la importancia de las
downside risk measures. Es más, la primera medida de riesgo que quiso tener en cuenta fue la semivarianza, que es
una de la medidas por excelencia que trata de medir el downside risk.
El desarrollo de las downside risk measures dio lugar a otro tipo de medidas de riesgo mucho más amplias y que se
basan en momentos de la distribución de rendimientos que van más allá del momento de orden 1 y 2.
Safety First - Downside Risk Measures

44
Safety first criterion
El primero en desarrollar el criterio del Safety first fue Roy en 1952, pero existen otras dos formulaciones de este
principio, la de Katatoka y la de Telser.
En palabras del propio Roy, lo que realmente preocupa al inversor es que el rendimiento de su inversión sea inferior
a un determinado nivel rd, llamado el disaster level o rendimiento mínimo deseable.
Aunque el inversor no puede determinar con certeza el rendimiento de su inversión Rp sí que puede conocer su
nivel de incertidumbre p.
Por tanto, el inversor puede acotar la probabilidad de que el rendimiento de su inversión Rp sea inferior al nivel
mínimo deseable rd .
Según Roy, el inversor preferirá aquellas inversiones con menor probabilidad de que el rendimiento de su
inversión Rp sea inferior a rendimiento mínimo deseable rd
Aunque el análisis original de Roy se hizo suponiendo normalidad, iguales resultados se obtienen para
distribuciones de rendimientos cuyos momentos de orden 1 y 2 existen. La aplicación de la desigualdad de
Tchebycheff nos llevará a un resultado bastante conocido.

55
 Si el rendimiento final de la inversión es una variable aleatoria Rp con esperanza E[Rp] y desviación típica p
aplicando la desigualdad de Tchebycheff tenemos que:
 Y podemos encontrar una cota para la probabilidad de que la rentabilidad de la cartera Rp quede por debajo de rd
(cuando rd < Rp) es
 En lugar de minimizar la probabilidad de que el rendimiento de la inversión Rp sea inferior al rendimiento mínimo
deseable, minimizamos la cota anterior, lo que equivale a maximizar lo que Roy denominó disaster ratio:
       2
2
dp
p
dppp
rRE
rRERERP



              2
2
dp
p
dpppdpppdp
rRE
rRERREPrRERREPrRP



 
  
 
p
dp
dp
p
dp
σ
rRE
Max
rRE
σ
MinrRPMin





66
Roy llego al mismo resultado que años más tarde llegaría Sharpe, para comprobarlo basta con sustituir el
rendimiento mínimo deseable por el rendimiento del activo libre de riesgo en el disaster ratio.
De esta manera, se resuelve el problema de selección de una cartera óptima prescindiendo de funciones de utilidad
y coeficientes de aversión al riesgo. Tan sólo es necesario conocer el rendimiento mínimo necesario.
 
p
dp
σ
rRE
Max


77
La segunda versión del criterio Safety first fue propuesta por Katatoka, y propone la maximización de rendimiento
mínimo deseable acotando la probabilidad de que la rentabilidad de la cartera se encuentre por debajo de dicho nivel:
La otra versión fue desarrollada por Telser, y sugiere la maximización de la rentabilidad esperada de la cartera
acotando la probabilidad de que la rentabilidad de la misma se encuentre por debajo del rendimiento mínimo deseable:
   dp
d
rRPts
rMax
:.
:
 
   dp
P
rRPts
REMax
:.
:

88
La idea inspiradora de Roy de que la seguridad es lo primero sirvió, como ya comentamos al principio, de inspiración
para el desarrollo de las denominadas downside risk measures y su generalización a otras medidas basadas en
lower partial moments.
La relevancia de estas medidas se debe a que: (1) al inversor realmente le preocupa el riesgo de que el valor de
su inversión caiga por debajo de un determinado nivel (safety first); (2) las distribuciones de rendimientos
pueden no ser normales o simétricas, por lo que la varianza deja de ser una medida relevante del riesgo de la
inversión.
Las medidas del downside risk y la varianza ofrecen la misma respuesta en el caso de distribuciones normales; sin
embargo, las medidas del downside risk en distribuciones no normales son las únicas que ofrecen la respuesta
correcta.
En 1959, Markowitz propuso dos medidas para tratar de medir el downside risk:
La semivarianza computada a partir de la rentabilidad esperada o rentabilidad esperada E[R]:
Y la semivarianza computada a partir de una rentabilidad objetivo RTarget:
Downside risk measures
  
 
        


T
1t
22
S
1s
s
RE 2
RE,0max
T
1
RE,0maxπ)(RESVm ts RRRdFR
           


T
1t
22
S
1s
s
R 2
RE,0max
T
1
RE,0maxπ)(RESVt
Target
ts RRRdFR

99
Downside risk measures
A pesar de las ventajas prácticas de la semivarianza, el modelo basado en la varianza como medida del riesgo triunfó
y es el más conocido debido a la mayor tratabilidad analítica de ésta, ya que en muchos casos es fácil conseguir una
solución.
Existe una relación interesante entre la varianza y la semivarianza (respecto a la rentabilidad esperada) es que en el
caso de una distribución normal, la semivarianza es la mitad de la varianza. Por tanto, si el el ratio:
Se aleja de 2, entonces la distribución de rentabilidades presenta evidencias de ser asimétrica.
zaSemivarian
Varianza

1010
Medidas basadas en otros momentos de la distribucion
El primero en definir los modelos del tipo LPM (lower partial moments) fue Bawa en 1975 como una familia de
medidas de riesgo relativo a una rentabilidad objetivo Rtarget .en términos de la tolerancia al riesgo. Para un nivel de
tolerancia a, el lower partial moment se define como:
La semivarianza es tan sólo un caso particular de los modelos del tipo LPM, que emplean solo la cola izquierda de la
distribución de rendimientos para medir el riesgo de pérdida
       a
t
a
setT RRRdFRLPM(a,R   

Target
T
1t
Target
S
1s
s
R a
Targetarg R0,max
T
1
R0,maxπ)(R)
Target
Period Returns
1 10 5 25
2 10 5 25
3 10 5 25
4 10 5 25
5 10 5 25
6 10 5 25
7 10 5 25
8 10 5 25
9 35 0 0
10 35 0 0
Rtarget=15 20
LPM para a=2 y Rtarget = 15
 RTargetR,0max  2
TargetR,0max R
  
2
Target
T
1t
R,0max
T
1
R

1111
Medidas basadas en otros momentos de la distribución
El parámetro a refleja el nivel de aversión al riesgo:
a<1 se correspondería un inversor amante del riesgo.
a=1 se correspondería un inversor neutral frente al riesgo.
a>1 se correspondería un inversor averso al riesgo.
El LPM para a=0 es simplemente la probabilidad de que la rentabilidad se encuentre por debajo del rendimiento objetivo
RTarget:
El LPM para a=1 es simplemente la desviación media frente al rendimiento objetivo RTarget:
 

TargetR
arg )()0 RdF,RLPM( etT
  )(R)1
TargetR
Targetarg RdFR,RLPM( etT  


1212
Medidas basadas en otros momentos de la distribución de rendimientos
Cuanto mayor sea el parámetro a, mayor aversión al
riesgo tendrá el inversor.
La tabla muestra un ejemplo de cálculo de LPM para
distintos niveles de aversión al riesgo.
Return Prob. Return Prob.
-5 20% 10 80%
20 80% 35 20%
Mean Return
Variance
Skewness
LPM a=0
LPM a=0,5
LPM a=1
LPM a=1,5
LPM a=2
LPM a=3
Rtarget=15
1600,0 100,0
4,0 4,0
17,9 8,9
0,2 0,8
0,9 1,8
15,0
100,0
-1,5
15,0
100,0
1,5
Activo 2Activo 1
Degrees of the Lower Partial Moment
80,0 20,0
El activo 1 muestra una asimetría negativa lo que indica
que es una inversión con mayor downside risk que el activo
2.
Cuando a<1, el LPM tiende a penalizar al activo 2 frente al
activo 1, lo que es consistente con un inversor amante del
riesgo.
Por el contrario, cuando a>1 el LPM tiende a favorecer al
activo 2 frente al activo 1, al que penaliza cada vez más,
cuando a>1.

1313
Medidas basadas en otros momentos de la distribución
David Nawrocki, ferviente defensor de las downside risk measures y de LPM, propuso en 1983 la utilización del
algoritmo de correlación constante desarrollado por Elton y Gruber para optimizar carteras empleando como medidas
de riesgo la semivarianza y el LPM para distintos niveles de aversión al riesgo.
El trabajo original de Nawrocki empleaba el cociente entre el exceso de rentabilidad sobre el activo libre de riesgo y
la semivarianza, conocido como el ratio de Sortino, para ordenar los activos de mayor a menor.
Sortino 
E Ri   rf
Semi var ianzai

1414
Omega ratio
El Omega ratio parte de una idea muy sencilla y entronca con la filosofía de las medidas del tipo LPM y downside
risk. Además no sufre las limitaciones de la volatilidad en presencia de curtosis y asimetría, ya que no requiere como
paso previo el cálculo de estadísticos como la media y la desviación típica, y trabaja con la distribución de
probabilidad de los rendimientos sin realizar ningún supuesto sobre su forma.
Al igual que el downside risk requiere de la fijación de un umbral o una rentabilidad mínima (Rtarget). Por encima de
este umbral se considera una ganancia y por debajo una pérdida. Intuitivamente el ratio se puede interpretar como la
relación entre la ganancia condicionada cuando la rentabilidad se encuentra por encima del umbral y la perdida
condicionada a estar por debajo. O en términos más coloquiales, el Omega ratio es la relación entre cuál es la
ganancia cuando se gana, y cuál es la pérdida cuando se pierde.
Matemáticamente, se define como el cociente entre los rendimientos que quedan por encima del umbral
ponderados por su probabilidad, y los rendimientos que quedan por debajo ponderados por su probabilidad:
En la práctica financiera, se suele emplear la simplificada para Rtarget <=0:
OR(RTarget )
(1 F(r))dr
RTarget


F(r)dr

RTarget


(1 P[X  r])dr
RTarget


P[X  r]dr

RTarget


(r  RTarget )dr
RTarget


(RTarget  r)dr

RTarget

   
   TargetTarget
TargetTarget
Target
RRRRRP-
RRRRRP
)OR(R



E
E

1515
Omega ratio
La expresión anterior del omega ratio ofrece una segunda lectura, se puede entender como el cociente de la
ganancia media (por encima del umbral) ajustada por la probabilidad de esta ganancia y la pérdida media (por debajo
del umbral) ajustada por probabilidad de esta pérdida.
El uso que originalmente Keating y Sadhwich (2002) dieron al omega ratio fue el de una medida de performance,
que otorga una calificación superior a aquellas carteras que para un mismo umbral mínimo de rentabilidad
reservan una masa probabilística superior mayor más allá de dicho nivel de rentabilidad, siempre y cuando
no sea a costa de incurrir en pérdidas extremas.
En la actualidad, muchos son los interesados en construir (optimizar) carteras bajo este criterio, algo harto difícil con
las herramientas analíticas que hemos visto hasta ahora, se hacen necesarios otros métodos.

1616
Omega ratio

1717
Omega ratio

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