Este documento resume la obra de Apolonio de Perga titulada "Las Cónicas", que consta de ocho libros en los que estudia las propiedades de las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola). Se detalla que Apolonio introdujo por primera vez los nombres modernos de estas curvas y realizó importantes contribuciones como establecer que dos cónicas no pueden tener más de cuatro puntos en común. También se mencionan algunos de sus descubrimientos clave sobre tangentes, focos, intersecciones de cón

1. Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán
Centro Universitario Regional Santa Rosa de Copán
Carrera de Profesorado de Matemáticas en el grado de Licenciatura
Historia y Naturaleza de la Matemática
Apolonio de Perga
Las Cónicas
Docente:
Lic. Francisco Javier Espinoza
Responsables Registro
Cindy Sarahi Enrriquez Chacón 1401-1995-00510
Heyli Cristibell López 1613-1998-00250
Pricila Elizabeth Aguilar 512-1997-00129
Grisselda Faviola Espinoza 1401-1995-00564
II Período 2020

2. Índice
Objetivos...........................................................................................................................................3
Introducción.....................................................................................................................................4
Aspectos Biográficos .........................................................................................................................5
Orígenes de las Secciones Cónicas.....................................................................................................6
Descripción de los libros de las Cónicas ............................................................................................7
Los nombres de las Secciones Cónicas ..............................................................................................8
El cono de dos hojas..........................................................................................................................9
Intersecciones Cónicas ....................................................................................................................10
Cónicas semejantes .........................................................................................................................11
Focos de las Cónicas........................................................................................................................12
Definiciones de las Secciones Cónicas..............................................................................................13
Proposición 11 ................................................................................................................................13
Proposición 12 ................................................................................................................................15
Conclusiones...................................................................................................................................17
Bibliografía.....................................................................................................................................18

3. Objetivos
 Identificar los aportes que realizó Apolonio en las matemáticas.
 Indagar en la obra de Apolonio de Perga denominada “Las Cónicas”.
 Conocer las definiciones de las secciones cónicas.
 Mencionar los ochos libros de la obra de la cónicas.
 Fomentar la búsqueda de la belleza de la historia de las matemáticas.

4. Introducción
El presente informe muestra los aportes principales de Apolonio matemático que inspiro
con sus obras de las secciones elípticas denominadas las cónicas. Este aporte ha ayudado no solo
en las matemáticas, sino también en la astronomía y físicas ciencias que han utilizados sus obras
para fundamentar hallazgos recientes que sabemos gracias a los estudios realizados por Apolonio.
Apolonio de Perga es uno de los tres grandes matemáticos que resaltaron en la llamada
“edad de oro” en Grecia junto con Euclides y en Arquímedes. Estos hombres enriquecieron esta
era con sus descubrimientos y fundamentaron la matemática en una nueva era para las futuras
generaciones. Los méritos de Apolonio por sus descubrimientos le dieron el nombre en su época
de “El Gran Geómetra”
Los segmentos seleccionados son solo una muestra de lo que hizo sus demostraciones y
sus descubrimientos dieron paso a descubrir que la tierra giraba en forma elíptica y no circular
como algunos suponían.

5. Apolonio de Perga
Las Cónicas
Aspectos Biográficos
Poco se sabe sobre la vida de Apolonio. Heráclides menciona que, en Perga, ciudad de Pamfilie,
nació el tercer gran matemático de la Antigüedad que se llamó Apolonio, un nombre muy familiar
en aquella época. El año que ocurrió su nacimiento no es bien determinado; unos opinan que fue
en el año 262 A.C. otros, entre 246 y 221. Fue aproximadamente 25 años más joven que
Arquímedes. Siendo joven fue a estudiar a Alejandría en donde tuvo la oportunidad de aprender
con los sucesores de Euclides se radicó un buen tiempo en tal importante ciudad cultural, famosa
por su Biblioteca y su Museo. Luego pasó a visitar Pérgamo, en el oeste del Asia Menor, en donde
había una universidad y una biblioteca a semejanza de la de Alejandría. También estuvo en el
Efeso para retornar después a Alejandría en donde falleció alrededor del año 190 A.C.
Se conjetura que la época del mayor esplendor de Apolonio fue al comienzo del siglo II A.C.
durante el reinado de Tolomeo Filopator (222-205). Apolonio fue un notable astrónomo y se
admite que escribió sobre múltiples temas matemáticos, pero su mayor obra y que lo identifica es
sus “Cónicas”, que es el único escrito que poseemos de él, pero incompleto. Este tratado de
geometría superior consta de ocho libros, de los que poseemos los cuatro primeros en su versión
original y los tres siguientes se conocen a través de traducciones árabes. El libro ocho está
totalmente perdido, pero lo conocemos indirectamente por algunos comentarios de Pappus.
Cuando Apolonio estuvo en Pérgamo conoció a Eudemo, quien fue uno de los primeros
historiadores de la matemática y a quién dedicó los libros I, II y III. Apolonio se deleitaba
escribiendo sus obras en donde contribuía admirablemente con nuevas ideas; así, él proclamaba:
“La mayor parte y los más hermosos de estos teoremas son nuevos”.
Si a Euclides se le identifica con “Los Elementos”, dedicado a la geometría básica y también
en parte, a la teoría de números, a Apolonio se le identifica con las “secciones cónicas”; se
conjetura que también escribió sobre aritmética, sobre los “irracionales no ordenados” y que llegó

6. a inventar un método para obtener una rápida aproximación del número 𝜋. Se afirma también que
con Apolonio se inicia la teoría de la convergencia uniforme. Y por supuesto, con él se inicia la
importante teoría de la geometría analítica de un modo formal; esto en una época en que no existía
el álgebra de un modo organizado que le hubiera sugerido, posiblemente, algebrizar a la geometría
de las cónicas, como lo hicieron muchos siglos después, Kepler, Cavalieri y sobre todo Descartes.
Euclides, Arquímedes y Apolonio son considerados como los tres más altos exponentes de la
matemática en la Antigüedad; pertenecen a la llamada” Edad de Oro” de la matemática griega y
vivieron en torno del primer siglo de la Época Helenística. Apolonio mejoró algunos resultados
conseguidos por Arquímedes; por ejemplo, se afirma que llegó al valor 3.1416 para 𝜋 aún cuando
no se conoce como lo obtuvo. En la Antigüedad existió una famosa colección llamada el “Tesoro
del Análisis”, la que incluía varias obras de Apolonio, como su geometría analítica. Los méritos
de Apolonio como profundo matemático le valió que fuera conocido en la Antigüedad como “El
Gran Geómetra”.
Euclides, Arquímedes y Apolonio desarrollaron sus privilegiados intelectos dentro del
estimulante escenario que ofrecía el Museo y la Biblioteca de Alejandría, alrededor de quienes
floreció una pléyade de pensadores de altísimo nivel. La ciudad de Alejandría fue el faro que
iluminó por muchos siglos el desarrollo de la matemática y del pensamiento universal.
Orígenes de las Secciones Cónicas
Los griegos descubrieron las secciones cónicas entre los años 600 y 300 a.C. A principios del
periodo Alejandrino ya se sabía lo suficiente acerca de las cónicas como para que Apolonio (269-
190 a.C.) escribiera una obra de ocho volúmenes sobre el tema. Más tarde, hacia finales del periodo
Alejandrino, Hipatia escribió un texto titulado “Sobre las cónicas de Apolonio”. Su muerte marcó
el final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos.
Los primeros griegos se interesaron mucho por las propiedades geométricas de las cónicas. No
fue sino 1 900 años después, a principios del siglo XVII, cuando se hicieron evidentes las amplias
posibilidades de aplicación de las cónicas, las cuales llegaron a jugar un papel prominente en el
desarrollo del cálculo.

7. La gran calidad matemática de Apolonio se observa en el alto nivel en que fueron escritos las
“Cónicas” esta perfección hizo que lo que se escribió antes que él sobre las secciones cónicas
pasaran al olvido. Sin embargo, desde el punto de vista histórico es conveniente rescatar los
trabajos de, entre otros posiblemente, Menecmo, Euclides y del mismo Arquímedes, quienes
aportaron ideas en el descubrimiento de las secciones cónicas.
Menecmo (aproximadamente 350 A.C.) fue alumno de Eudoxo y fue un notable astrónomo y
geómetra. Su contribución más importante fue la creación de las secciones cónicas, la que aplica
en su estudio del problema clásico de la duplicación del cubo o “Problema de Delos”.
Hipócrates había reducido este problema al de la búsqueda de dos medias proporcionales entre
dos rectas a y b. De esta manera se tiene
𝑎
𝑥
=
𝑥
𝑦
=
𝑦
𝑏
. Si a =2, b= 1, ello se reduce a 𝑥2
= 2𝑦, 𝑦2
=
𝑥 y de esta manera 𝑥3
= 2𝑦³, es decir, “el cubo de lado x es de volumen doble que el de lado y.
Observemos que en las ecuaciones 𝑥2
= 𝑎𝑦 y 𝑥𝑦 = 𝑎𝑏 están las ecuaciones de lo que actualmente
llamamos parábola e hipérbola equilátera (ambas son secciones cónicas).
¿Cómo procedió Menecmo para obtener tales ecuaciones? Las cónicas eran el lugar geométrico
de los puntos de intersección de la superficie de un cono (acutángulo, obtusángulo o rectángulo)
con un plano perpendicular a una de las generatrices del cono. Las secciones cónicas tuvieron un
equivalente con las ecuaciones algebraicas.
Descripción de los libros de las Cónicas
Libro I: Trata la posición relativa de una recta respecto de un cónica; construye la tangente en
un punto y concluye que: “La tangente y una secante que pasan por un punto de una cónica, separan
armónicamente los extremos del diámetro conjugado a la dirección de la secante”. Concluye
diciendo, entre otros aspectos: “dada una cónica cualquiera, siempre existe una superficie cónica
de sección circular de la cual esa cónica es una sección”.
Libro II: En este libro Apolonio estudia en general a la hipérbola y a sus asíntotas; observa
que “las secciones opuestas tienen las mismas asíntotas”.
Libro III: Apolonio estudia las propiedades relativas a los triángulos y cuadriláteros inscritos
y circunscritos, las que él usa en los “problemas de las tres rectas y de las cuatro rectas”, los que

8. han de influir en el nacimiento de la geometría analítica. Trata también sobre los polos y polares
de las cónicas, así como también de los focos de la elipse y de la hipérbola. Hay que remarcar que
Apolonio no trata al foco de la parábola ni a las directrices de las cónicas.
Libro IV: En este libro Apolonio estudia las intersecciones y los contactos de las cónicas o de
las cónicas con las circunferencias. Por ejemplo, establece que dos cónicas no pueden tener más
de cuatro puntos comunes, lo que prueba con un argumento por el absurdo.
Libro V: Es el libro por excelencia por la calidad de sus resultados. Apolonio estudia las
distancias máxima y mínima de un punto a los puntos de una cónica en su plano, es decir, investiga
a las rectas normales a los puntos de la cónica que pasan por un punto dado. Apolonio resuelve el
problema probando que los pies de las normales que pasan por un punto fijo se encuentran sobre
una hipérbola, la “hipérbola de Apolonio” como la llamamos actualmente; la solución del
problema lo obtiene intersectando esta hipérbola con la cónica dada.
Libro VI: Es un libro en que Apolonio no hace grandes contribuciones, como lo hizo en el
libro anterior. Trata la congruencia y la semejanza de las cónicas. Su mayor interés radica en
completar y clarificar los trabajos hechos por los matemáticos antes de él, como lo hecho por
Arquímedes, por ejemplo.
Libro VII: Apolonio contribuye nuevamente con temas originales; estudia los máximos y los
mínimos de ciertas funciones de los diámetros de las cónicas, probando diversas propiedades
importantes. Uno de tales resultados es: “la suma (caso de la elipse) o la diferencia (hipérbola) de
los cuadrados construidos sobre un par de diámetros conjugados, es constante”. Prueba también
que “el rectángulo construido sobre un par de diámetros, es constante”.
El Libro VIII se perdió, pero contendría algunos problemas planteados en el Libro VII.
Muchos años después, el astrónomo Halley lo reconstruyó con base a datos que dio el mismo
Apolonio, así como de los comentarios hechos por el historiador Pappus.
Los nombres de las Secciones Cónicas
No hay duda que a lo largo de la historia de la matemática los conceptos han sido mucho más
importantes que la terminología utilizada, pero no obstante el cambio de nombre de las secciones
cónicas debido a Apolonio tiene una importancia mayor que la usual. Durante un siglo y medio

9. aproximadamente estas curvas no tuvieron otro nombre especifico mas que descripciones triviales
de la manera como habían sido descubiertas: secciones de un como agudo (u oxitoma), secciones
de un cono rectángulo (u ortotoma) y secciones de un cono obtuso (o amblitoma). Arquímedes
continuó utilizando estos nombres, aunque según parece también usó ya el nombre de parábola
como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Pero fue realmente Apolonio,
posiblemente siguiendo una sugerencia de Arquímedes, quien introdujo por primera vez los
nombres «elipse», «parábola» e «hipérbola» no eran nuevas en absoluto y acuñadas para la
ocasión, sino que fueron adoptadas a partir de un uso anterior, debido quizá a los pitagóricos en la
solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas, Ellipsis, que significa
una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y
resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada). Mientras que la palabra Hyperbola (de
«avanzar más allá») se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento dado, y por último
la palabra Parábola (de «colocar al lado» o «comparar») indicaba que no había ni deficiencia ni
exceso. Apolonio aplicó estas palabras en un contexto nuevo, utilizándolas como nombres para las
secciones cónicas. La conocida ecuación moderna de la parábola con vértice en el origen y eje de
abscisas es 𝑦2
= 𝑙𝑥, donde l es el llamado «latus rectum» o parámetro, que suele representarse por
2p ya veces por 4p; es decir, la parábola tiene la propiedad característica de que, para todo punto
tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su ordenada y es exactamente igual al
rectángulo construido sobre la abscisa x y, y el parámetro l.
El cono de dos hojas
Al obtener todas secciones cónicas a partir de un único cónica circular oblicuo de dos hojas, y
darle unos nombres tan adecuados como él les dio. Apolonio hizo una contribución notable en la
geometría, pero aun así no consiguió llegar en el grado de generalidad todo lo lejos que él podría
haber ido. Apolonio podría haber comenzado de la misma manera que un como elíptico bien con
un como cuadrático en general, y haber obtenido no obstante las mismas curvas, Es decir
cualquier sección plana de un cono circular como el utiliza Apolonia la hubiera utilizado como
cono generatriz o base en su definición de manera que la particularización de un cono circular no
es necesaria. De hecho, tal y como demuestra Apolonio en su primer libro proposición un
número 5, todo cono circular oblicuo tiene no solo un sistema finito de secciones circulares

10. paralelas a las de las bases si no también otro conjunto finito de secciones circulares dadas por
las que el llamo secciones sub contrarias o anti paralelas a las primeras.
Sea BFC la base del cono circular oblicuo dado y sea ABC la sección triangular del cono según
figura 9,2
Ilustración 1: El cono de dos hojas
A una sección circular DPE paralela a la BFC Y SEA HPK una sección por un plano tal que
los triángulos HAK y ACB son semejantes, pero orientaos de manera opuesta; en esta situación
Apolonio llama a la sección HPK una sección sub contraria de BFC y demuestra que esta sección
es también circunferencia. La demostración se puede obtener fácilmente a partir de una
semejanza de triángulos: Los HMD y EMK de esta semejanza se sigue que
HM.MK=DM.ME=PM (2) Propiedad característica de una circunferencia, En el lenguaje de la
geometría analítica si llamamos HM=x , HK=a, PM=y, entonces 𝑦2
=x(a-x). Que es la ecuación
de una circunferencia.
Intersecciones Cónicas
El libro IV de las cónicas lo describe su autor como el que se ocupa del problema de “de cuantas
maneras diferentes pueden cortarse unas a otras las secciones de conos” y Apolonio se muestra
especialmente orgulloso de los teoremas “ninguno de los cuales ha sido tratado por los escritores
anteriores”, relativos al número de puntos en que una sección cónica corta a las ramas opuestas de
una hipérbola. La idea de considerar a la hipérbola como una curva de dos ramas se debe a
Apolonio, que se explaya en el descubrimiento y demostración de teoremas relativos a ella. Por
ejemplo, demuestra Apolonio (IV. 42) que si una rama de una hipérbola corta a las dos ramas de

11. otra hipérbola, entonces la rama opuesta de la primera hipérbola no cortara a ninguna de las dos
ramas de la segunda hipérbola en dos puntos. O bien (IV. 54), si una hipérbola es tangente a una
de las ramas de una segunda hipérbola con la concavidad en direcciones opuestas, entonces la rama
opuesta de la primera hipérbola no cortara a la rama opuesta de la segunda. Es precisamente en
conexión con los teoremas de este libro donde Apolonio hace un comentario que nos indica que,
en su época, lo mismo que en la nuestra, había obtusos adversarios de la matemática pura que
preguntaban, con intención malévola, por la utilidad de tales resultados. Apolonio contesta con
orgullo a estas objeciones afirmando que “Merecen ser aceptados a causa de sus propias
demostraciones, de la misma manera que aceptamos muchas otras cosas en la matemática por esta
misma razón y por ninguna otra”.
Cónicas semejantes
En su dedicatoria de Libro VI de las cónicas al rey Atalo, Apolonio lo describe como dedicado
a estudiar las proposiciones relativas a los «segmentos de cónicas iguales y desiguales, semejantes
y desemejantes, junto con algunas otras materias que no fueron tratadas por los que me
precedieron. En particular, se encontrará en este libro como se puede obtener una sección de un
cono recto igual a una sección cónica dada». Dos cónicas son semejantes según Apolonio, si las
ordenadas trazadas al eje a distancias proporcionales a las correspondientes abscisas. Entre las
proposiciones más fáciles que podemos ver en el Libro VI están las que aseguran que todas las
parábolas son semejantes (VI. 11), que una parábola no puede ser semejante a una elipse ni a una
hipérbola, ni tampoco una elipse a una hipérbola (VI. 14, 15). Otras proposiciones de este mismo
libro, como las VI. 26 y VI. 27, demuestran que si se corta un cono arbitrario por dos planos
paralelos que dan lugar a secciones hiperbólicas o elípticas, entonces las dos secciones son
semejantes, pero no iguales.
El libro VII vuelve al tema de los diámetros conjugados, y contiene «muchas proposiciones
nuevas relativas a los diámetros de las secciones cónicas y a las figuras construidas sobre ellos».
Entre ellas algunas que pueden encontrarse también en los textos modernos, tales como las
demuestran que (VII. 12, 13, 29, 30)

12. «En toda elipse la suma, en toda hipérbola la diferencia de los cuadrados construidos sobre
dos diámetros conjugados cualesquiera son igual a la suma, o diferencia, respectivamente, de los
cuadrados construidos sobre los ejes»
También nos encontramos con la demostración del conocido teorema que dice si trazamos las
tangentes en los extremos de un par de diámetros conjugados de una elipse o de una hipérbola (en
cuyo caso deben considerarse las dos hipérbolas conjugadas), entonces el paralelogramo formado
por estas cuatro tangentes es equivalente al rectángulo construido sobre los ejes. Se ha formulado
a veces la conjetura de que el Libro VIII, que se ha perdido, de las Cónicas continuaría co el estudio
de otros problemas análogos, debido a que en la introducción al Libro VII nos dice Apolonio que
en los teoremas del Libro VII vas a ser utilizados en el Libro VIII para resolver determinados
problemas sobre cónicas, de tal manera que este último libro «es, como si dijéramos, aun
apéndice».
Focos de las Cónicas
Las cónicas de Apolonio constituyen un tratado de una amplitud y una profundidad tan
extraordinarias que a veces nos sorprende precisamente el notar que se han omitido algunas de las
propiedades que a nosotros nos parece tan obviamente fundamentales. Tal como se definen las
cónicas hoy en día en los libros de texto, los focos juegan un papel de primera importancia; sin
embargo, Apolonio ni siquiera le da nombres especiales a estos puntos, y se refiere a ellos solo de
una manera indirecta. Se supone que el mismo, y quizá incluso ya Aristeo y Euclides estaban bien
familiarizados con las propiedades de estas curvas referidas al foco y a la directriz, pero el caso es
que nada de esto se menciona ni siquiera en as cónicas. No hay, obviamente, en los tratamientos
antiguos de las cónicas ninguna idea numérica que corresponda a lo que ahora llamamos la
excentricidad de una cónica con centro y, aunque el foco de una parábola aparece de manera
implícita en muchos teoremas de Apolonio, no está nada claro que fuera consiente del papel de la
directriz, tan familiar ahora para nosotros. Apolonio, por otra parte, parece haber sabido como
determinar una cónica que pase por cinco puntos, pero este problema, que tuvo más tarde un lugar
tan importante en los Principia de Newton, está totalmente ausente de las cónicas. Es muy posible,
desde luego, que algunas o todas estas omisiones que nos llaman la atención se deben al hecho que
fueran tratadas en otras obras que se han perdido, por Apolonio u otros autores. Se han perdido

13. tantas obras de la matemática antigua que un argumento e silencio difícilmente se sostiene. Por
otra parte, las palabras de Leibniz podrían servirnos de advertencia a la hora de no subestimar los
logros de los antiguos: “Todo aquel que entienda a Arquímedes y Apolonio se verá inclinado a
admirar menos a los hombres más eminentes de las épocas posteriores”.
Definiciones de las Secciones Cónicas
La circunferencia
Definición: Sea O un punto del plano y sea “r” un número real positivo, se define la
circunferencia como el conjunto de puntos P(x, y) tal que la distancia de P a O es igual a “r” es
decir circunferencia= {P(x, y)/ d(P, O)= r}, al punto O se le denomina centro de la circunferencia
y a “r” radio.
Desde el punto de vista la definición basada en la excentricidad, la circunferencia es un caso
particular de la elipse en donde la excentricidad es igual a cero.
La elipse
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos P (x, y) del plano para los que la suma de las
distancias de P a dos puntos fijos sobre el plano, llamados focos, es una constante igual a 2a y
mayor que la distancia entre los focos.
La parábola
Definición: Lugar geométrico de los puntos P (x, y) del plano que están a igual distancia de un
punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
La hipérbola
Definición: Lugar geométrico de los puntos P (x, y) del plano cartesiano, cuyo valor absoluto
de la diferencia de las distancias a dos puntos llamados focos sea constante.
Proposición 11
Proposición 11. Libro I. Si se corta un cono con un plano a través del eje, y si se corta también
con otro plano que corta la base del cono según una línea perpendicular a la base del triángulo

14. axial, y si además el diámetro de la sección se hace paralelo a un lado del triángulo axial, cualquier
línea recta trazada desde la sección del cono paralela a la sección común del plano que corta y la
base del cono hasta el diámetro de la sección, tendrá· su cuadrado igual al rectángulo limitado por
la porción de diámetro que comprende en la dirección del vértice de la sección y otra línea recta
cualquiera; esta línea recta tendrá· la misma razón a la porción abarcada entre el ·ángulo del cono
y el vértice del segmento como el cuadrado en la base del triángulo axial al rectángulo limitado
por los dos lados restantes del triángulo; llamemos a esta sección parábola.
En efecto, sea un cono, cuyo vértice es el punto A y cuya base es el círculo BT; cortémosle
con un plano a través del eje; la sección obtenida el triángulo ABT. Cortemos el cono con otro
plano que corte su base según una línea recta ∆E perpendicular a BT; la sección obtenida en la
superficie del cono es ∆ZE. El diámetro de la sección ZH es paralelo a AT, uno de los lados del
triángulo axial; tracemos Z∅ perpendicular a ZH,
Siendo 𝑇𝐵2
: BA: AT = Z∅: ZA
Tomemos al azar un cierto punto de la sección y tracemos a través de K; K paralela a ∆E. Digo
que K 𝐴2
= ∅Z: ZA
En efecto, tracemos MN a través de A, paralelo a BT. Como KA es paralela a ∆E, el plano
que pasa por KA; MN es paralelo al plano que pasa por ∆B; ∆E ([Euclides XI, 15]), que es la
base del cono. Por consiguiente, el plano que pasa por KA; MN es un círculo, cuyo diámetro es
Ilustración 2: Proposición 11

15. MN [Proposición 4]. Y A es perpendicular a MN, puesto que ∆E es perpendicular a BT
([Euclides XI, 10]). A=
Ilustración 3: Proposición 11
Luego, MA: AN = K𝐴2
. Y puesto que B𝑇2
: BA:AT = ∅Z: ZA y B𝑇2
: BA:AT = (BT: T A)
(BT: BA) Tendremos, ∅Z: ZA = (BT: T A) (T B: BA): Pero, BT: T A = MN: NA = M: Z, ([Euclides
VI, 4]), y BT: T A = MN: MA = TM: MZ = NT: ZA ([Euclides VI, 2]). Luego, ∅Z: ZA = M: Z:
Sin embargo se tiene (M: Z) (N: ZA) = M: N: Z:ZA: Por lo que ∅Z: ZA = M: N: Z:ZA: Pero, ∅Z
: ZA = , ∅Z:Z : Z:ZA, tomando una altura común Z; ser· M: N: Z:ZA =, ∅Z: Z: Z:ZA: Por lo que
M: N =, ∅Z: Z ([Euclides V, 9]). Pero M: N = K 𝐴2
y también K𝐴2
=, ∅Z: Z. Llamemos a esta
sección parábola y llamemos lado recto a, ∅Z, parámetro de las ordenadas al diámetro ZH.
Proposición 12
Proposición 12. (Libro I). “Si un cono es cortado por un plano por el eje y también por otro
plano que corte a la base según una perpendicular a la base del triángulo por el eje [“triángulo
axial”]; si el diámetro de la sección encuentra uno de los lados del triángulo por el eje además
del vértice; una ordenada de la sección formará un cuadrado igual al rectángulo comprendido bajo
la abscisa (“es el segmento del diámetro, que se comprende entre la ordenada y el vértice de
la sección”) correspondiente y bajo una cuarta proporcional al cuadrado de la paralela al

16. diámetro, conducida por el vértice del cono y terminada en la base, al rectángulo comprendido
bajo las partes de la base del triángulo por el eje determinadas por esta paralela, y la parte del
diámetro comprendida entre los lados del triángulo por el eje; y más un espacio semejante y
semejantemente colocado, en relación a lo que sería comprendido bajo esta cuarta proporcional y
a la parte del diámetro comprendida entre los lados del triángulo por el eje. Y sea tal una sección
llamada una hipérbola.”
Observemos que a tal sección Apolonio llama una hipérbola en analogía con los antiguos
problemas de aplicación de áreas ya que, en esta curva así determinada, el cuadrado de la ordenada
es mayor que el rectángulo de la abscisa por la cuarta proporcional o el lado recto. En el caso de
la elipse se tiene que el cuadrado de la ordenada es menor al rectángulo correspondiente de la
abscisa por su lado recto; en el caso de la parábola se tiene la igualdad.

17. Conclusiones
 Es evidente la importancia de tener presente el desarrollo histórico de los eventos
geométricos, como el trabajo realizado por Apolonio de Perga en las secciones cónicas y
en otras ramas de la matemática.
 Hasta nuestros días solo se conocen dos obras de Apolonio: Las cónicas la cual se divide
en 8 libros de los cuales el libro VIII está totalmente perdido, pero se conoce indirectamente
por algunos comentarios de Pappus, y la otra obra es secciones en una razón dada.
 El libro I trata la posición relativa de una recta respecto de una cónica, en el libro II
Apolonio estudia en general la hipérbola y sus asíntotas, el libro III trata de las propiedades
relativas de los triángulos y cuadriláteros inscritos y circunscritos, el libro IV estudia las
intersecciones y los contactos de las cónicas, en el libro V Apolonio estudia las distancias
máxima y mínima de un punto a los puntos de una cónica en su plano, el libro VI trata de
congruencia y semejanza de las cónicas, el libro VII estudia los máximos y mínimos de
ciertas funciones de los diámetros de las cónicas, probando diversas propiedades
importantes, y el libro VIII se perdió, pero se cree que contendría algunos problemas
planteados en el libro VII.
 Apolonio de Perga fue quien introdujo por primera vez los nombres de la elipse y de
hipérbola, posiblemente siguiendo una sugerencia de Arquímedes.
 El gran aporte y calidad matemática de Apolonio en las secciones cónicas, sin omitir que
desde el punto de vista histórico es conveniente rescatar el trabajo realizado por Menecmo,
Euclides y Arquímedes quienes aportaron ideas en el descubrimiento de las secciones
cónicas.
 La idea de considerar a la hipérbola como una curva de dos ramas se debe a Apolonio, en
el libro IV.

18. Bibliografía
Boyer, C.B. (1987). (Historia de la matemática). Madrid: Alianza Editorial.
Ortiz, F.A. (2005). (La matemática en la antigüedad). (Volumen I).
Chavarriaga, R.O. (2017). (Estudio de las secciones cónicas a través de la geometría dinámica).
Rodríguez, G.J. (Apolonio de Perga, Las secciones Cónicas).