Límites

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
CÁLCULO DE LÍMITES
Mg. Luis Acevedo Tenorio

2. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO

3. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
A veces algo no se puede
calcular directamente… ¡pero se puede saber
cuál debe ser su valor si se obtiene
aproximaciones cada vez mas cercanas a él!

4. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO

5. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites infinitos.
Veamos el comportamiento de funciones cuyos
valores crecen o decrecen sin limite cuando 𝑥
tiende a un número.
Son límites de la forma lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = + ∞ o
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = − ∞ y su significado geométrico es que
la recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la gráfica
de 𝑓.

6. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites infinitos.
x f(x)
-0.1 10
-0.01 100
-0.001 1000
-0.0001 10000
… …
x f(x)
0.1 10
0.01 100
0.001 1000
0.0001 10000
… …
𝑥 < 0 𝑥 > 0
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = +∞ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = +∞ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
lim
𝑥→0
1
|𝑥|

7. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites infinitos.
Definición .- (Límites infinitos)
1. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = + ∞ ⇔ ∀𝑁 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 > 𝑁
2. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = − ∞ ⇔ ∀𝑁 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 < 𝑁
Si 𝑥 tiende al valor 𝑎 por la derecha 𝑓 𝑥 tiende a −∞
Si 𝑥 tiende al valor 𝑎 por la derecha 𝑓 𝑥 tiende a +∞

8. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites infinitos.
Teorema: Si 𝑛 ∈ ℕ, entonces:
a) lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑛 = ∞
b) lim
𝑥→0−
1
𝑥𝑛 =
−∞, 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
∞, 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1
Calcular lim
𝑥→1−
2𝑥−1
𝑥−1
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑥 < 1 ⇒ 𝑥 − 1 < 0
lim
𝑥→1−
2𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
2 1 − 1
0−
=
1
0−
= −∞

9. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites infinitos.
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜
Calcular lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 y lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 si 𝑓 𝑥 =
𝑥+6
(𝑥−1)(𝑥+1)
Solución
lim
𝑥→1−
𝑥 + 6
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1−
𝑥 + 6
=
lim
𝑥→1
𝑥 + 6
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1
=

10. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites al infinito.
Examinaremos el comportamiento de las funciones, cuando
𝑥 crece o decrece sin limite.
El significado geométrico de lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝐿 o lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
es que la recta 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal a la gráfica
de la función 𝑓(𝑥).

11. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites al infinito.
Ejemplo. - Sea 𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥2+1
: Determinar lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 y lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥
𝒙 𝒇 𝒙
0 0
±1 0.5
±2 0.8
±5 0.9615
±10 0.9900
±100 0.9999
±1000 0.999999
𝑦 = 1 asíntota horizontal

12. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites al infinito.

13. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites al infinito.
Teorema.- Si 𝑛 ∈ ℕ entonces
a) lim
𝑥→∞
1
𝑥𝑛 = 0
b) lim
𝑥→−∞
1
𝑥𝑛 = 0
Ejemplo.- Calcular los siguientes limites:
a) lim
𝑥→∞
6 +
1
𝑥
= lim
𝑥→∞
6 + lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 6 + 0 = 6
b) lim
𝑥→∞
2𝜋
𝑥2 = lim
𝑥→∞
2𝜋.
1
𝑥
.
1
𝑥
= 2𝜋. 0.0 = 0

14. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites al infinito.
Regla Práctica – Cuando tenemos la forma indeterminada
∞
∞
forma indeterminada. Al
calcular el limite de una función racional, debe dividir numerador y denominador por el término
con mayor potencia que aparezca en el numerador o denominador.
Ejemplo.- Calcular el lim
𝑥→∞
2𝑥4−5𝑥2+4
4𝑥4−3𝑥+2
Cálculo de límites de la forma
∞
∞
Solución
lim
𝑥→∞
2𝑥4
− 5𝑥2
+ 4
4𝑥4 − 3𝑥 + 2
= lim
𝑥→∞
2𝑥4 − 5𝑥2 + 4
𝑥4
4𝑥4 − 3𝑥 + 2
𝑥4
= lim
𝑥→∞
2𝑥4
𝑥4 −
5𝑥2
𝑥4 +
4
𝑥4
4𝑥4
𝑥4 −
3𝑥
𝑥4 +
2
𝑥4
= lim
𝑥→∞
2 −
5
𝑥2 +
4
𝑥4
4 −
3
𝑥3 +
2
𝑥4
=
2 − 0 + 0
4 − 0 + 0
=
1
2

15. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Ejemplo.- Calcular lim
𝑥→∞
2𝑥2+3𝑥+1
𝑥+1
Cálculo de límites de la forma
∞
∞
lim
𝑥→∞
2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞
2𝑥2
+ 3𝑥 + 1
𝑥2
𝑥 + 1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥2 +
3𝑥
𝑥2 +
1
𝑥2
𝑥
𝑥2 +
1
𝑥2
Solución
= lim
𝑥→∞
2 +
3
𝑥
+
1
𝑥2
1
𝑥
+
1
𝑥2
=
2 + 0 + 0
0 + 0
=
2
0
= ∞

16. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Ejemplo.- Calcular lim
𝑥→∞
2𝑥2−3𝑥+4
𝑥4+1
Cálculo de límites de la forma
∞
∞
lim
𝑥→∞
2𝑥2 − 3𝑥 + 4
𝑥4 + 1
= lim
𝑥→∞
2𝑥2
− 3𝑥 + 4
𝑥2
𝑥4 + 1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
2𝑥2
𝑥2 −
3𝑥
𝑥2 +
4
𝑥2
𝑥4 + 1
𝑥4
Solución
= lim
𝑥→∞
2 −
3
𝑥
+
4
𝑥2
1 +
1
𝑥4
=
2 − 0 + 0
1 + 0
=
2
1
= 2

17. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Ejemplo.- Calcular lim
𝑥→∞
𝑥2 + 7𝑥 + 10 − 𝑥
Cálculo de límites de la forma ∞- ∞
Solución
lim
𝑥→∞
𝑥2 + 7𝑥 + 10 − 𝑥 = lim
𝑥→∞
( 𝑥2 + 7𝑥 + 10 − 𝑥)( 𝑥2 + 7𝑥 + 10 + 𝑥)
( 𝑥2 + 7𝑥 + 10 + 𝑥)
= lim
𝑥→∞
7𝑥 + 10
( 𝑥2 + 7𝑥 + 10 + 𝑥)
= lim
𝑥→∞
7 +
10
𝑥
1 +
7
𝑥 +
10
𝑥2 + 1
=
7 + 0
1 + 0 + 0 + 1
=
7
2

18. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites de la forma 1∞
Cuando al calcular un limite resulta la indeterminación 1∞
, entonces utilizaremos los limites
notables:
lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)1/𝑥
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
𝑥
= 𝑒
Ejemplo: Calcular lim
𝑥→∞
𝑥−2
𝑥+2
𝑥

19. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites de la forma 1∞
Ejemplo: Calcular lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 1/𝑥

20. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites de la forma 1∞
Ejemplo: Calcular lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 1/𝑥2

21. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites de la forma 1∞
Ejemplo: Calcular lim
𝑥→1
𝑥
1
1−𝑥

22. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites de la forma 1∞
Ejemplo: Calcular lim
𝑥→0
2𝑥
+ 𝑥
1
𝑥

23. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Límites de la forma 1∞
Ejemplo: Calcular lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥

24. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO