1. Escuela de Turismo y Gastronomía Límites

5. Definición de límite Sea f(x) una función definida para todos los valores de x cerca de e, exceptuando el mismo e. Se dice que L es el límite de f(x) cuando x tiende e, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de e

6. Notación lim𝑥->𝑒𝑓𝑥=𝐿 Una forma de solucionar un límite consiste en remplazar el valor de x en la función, pero no siempre.

8. 𝑥 𝑥−1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥->1 (2)Grafique la función 2 e identifique el límite de la función

9. Determine los siguientes límites lim𝑥->21(𝑥−2)2 lim𝑥->21𝑥−2 Graficar e identificar el límite en ambos casos

10. Propiedades de los límites Si k es una constante, el lim𝑥->𝑐𝑓(𝑥)=𝐿 y lim𝑥->𝑐𝑔(𝑥)=𝑀, entonces se cumple que: lim𝑥->𝑐𝑘=𝑘 lim𝑥->𝑐𝑥=𝑥 lim𝑥->𝑐𝑓𝑥±𝑔𝑥=𝐿±𝑀

11. Propiedades de los límites lim𝑥->𝑐𝑓𝑥∗𝑔𝑥=𝐿𝑀 lim𝑥->𝑐𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝐿𝑀 𝑠𝑖 𝑀≠0 lim𝑥->𝑐𝑛𝑓(𝑥)=𝑛lim𝑥->𝑐𝑓(𝑥)=𝑛𝐿

12. Encuentre los siguientes límites lim𝑥->−1𝑥2+3𝑥+21−𝑥2 lim𝑥->2𝑥2−16𝑥+4 lim𝑥->2𝑥2+6𝑥+9𝑥−2 lim𝑥->−35(34+𝑥) lim𝑥->−13𝑥3−4𝑥+8 lim𝑥->03𝑥3−8𝑥−2

13. Genere una tabla de valores e identifique el límite de la función 𝑥2−𝑥−6𝑥+2𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 −2 𝑥2+3𝑥+2𝑥−1𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 −1 2𝑥 +114−𝑥2𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 −2

14. Límites unilaterales Si 𝑓(𝑥) tiende a 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑐 por la izquierda (𝑥<𝑐), se escribe lim𝑥->𝑐−𝑓𝑥=𝐿. De igual forma, si 𝑓(𝑥) se aproxima a 𝑀 cuando 𝑥 tiende a 𝑐 por la derecha (𝑥>𝑐), entonces lim𝑥->𝑐+𝑓𝑥=𝑀

15. Existencia de un límite El límite de una función (bilateral), existe si sus límites unilaterales existen y son igual.

16. Ejercicio El costo de eliminar el porcentaje p partículas contaminantes producidas por un planta de producción es de: 𝐶𝑝=7300𝑝100−𝑝 Encuentre el costo de eliminar el 50% de la contaminación Encuentre el costo de eliminar el 80% de la contaminación Encuentre el costo de eliminar el 99% de la contaminación Encuentre el costo de eliminar el 100% de la contaminación

17. El ingreso total para un productor está dado por 𝑅(𝑥)=1600𝑥−𝑥2. Donde 𝑥 es el número de unidades vendidas. Cuál es el límite de 𝑅(𝑥), cuando 𝑥 tiende a 100? Si el ingreso por producto es 𝑅(𝑥)=100𝑥−0.1𝑥2 y el ingreso promedio por unidad es de 𝑅(𝑥)𝑥 𝑥≥0, encuentre lim𝑥->100 𝑅(𝑥)𝑥 y lim𝑥->0+𝑅(𝑥)𝑥

18. Funciones continuas La función 𝑓 es continua en 𝑥=𝑐 si se satisfacen todas las siguientes condiciones: 𝑓(𝑐) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim𝑥->𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim𝑥->𝑐𝑓𝑥=𝑓(𝑐)

19. Ejercicios Determine si las siguientes funciones son continuas: 3𝑥+24𝑥−6 𝑥2−𝑥−2𝑥2−4 1𝑥−2 4−𝑥2 𝑠𝑖 𝑥<2𝑥−2 𝑠𝑖 𝑥≥2

20. Límites al infinito Si 𝑐 es cualquier constante, entonces: lim𝑥->+∞𝑐=𝑐 lim𝑥->−∞𝑐=𝑐 lim𝑥->+∞𝑐𝑥𝑝=0 con p>0 lim𝑥->−∞𝑐𝑥𝑛=0 con n>0

21. Ejercicios Encuentre cada uno de los siguientes límites: lim𝑥->+∞2𝑥−1𝑥+2 lim𝑥->−∞𝑥2+31−𝑥 lim𝑥->+∞𝑥2−42𝑥2−7