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Límite de una función real: nociones y propiedades generales
- 1. Limite de una función real Nociones: Izquierda derecha X 2,97 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,03 y 6,94 6,96 6,98 7 7,02 7,04 7,06
- 2. Propiedades generales 𝐴. − lim 𝑥→𝑎 𝑐. 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝐵. − lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝐶. − lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝐷. − lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ; 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝐸. − lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑛 = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑛 𝐹. − lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
- 3. 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: ∞ ∞ Dado: lim 𝑥→∞ = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = ∞ ∞ a) 𝑠𝑖: 𝑓(𝑥) ° < 𝑔(𝑥) ° 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 0 a) 𝑠𝑖: 𝑓(𝑥) ° = 𝑔(𝑥) ° = lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑔(𝑥) a) Si: 𝑓(𝑥) ° > 𝑔(𝑥) ° , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = ∞
- 5. Forma ∞ − ∞ ó(0. ∞) Factorizacion: 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎: lim 𝑥→1 1 𝑥 − 1 − 2 𝑥2 − 1
- 6. tarea 5.- cual es el valor de : lim 𝑥→2 𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4
- 7. Practica calificada 1.- calcular : lim 𝑥→∞ 𝑥3 + 𝑥 − 5 𝑥2 + 3𝑥 + 6 2.- calcular: lim 𝑥→2 3𝑥2 + 2𝑥 − 16 𝑥3 − 8 3.- calcular: lim 𝑥→3 1 𝑥 − 3 − 6 𝑥2 − 9 4.- calcular: lim 𝑥→2 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 2𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 10
- 8. Forma ∞ − ∞ 𝑜(∞𝑥∞) • se procede a efectuar las operaciones indicadas lo cual nos lleva a las formas ya estudiadas ∞ ∞ 𝑜 0 0 aplicando las reglas correspondientes. • Ejemplo: • Calcula: • lim 𝑥→1 1 𝑥−1 − 2 𝑥2−1 • Solucion: • 1 𝑥−1 − 2 𝑥2−1 = 1 𝑥−1 − 2 𝑥−1 𝑥+1 = 𝑥−1+2 (𝑥−1)(𝑥+1) • =
- 9. • 2.- calcula: • log 𝑥→5 5 𝑥2−𝑥−6 − 4 𝑥2−2𝑥−3 • 3.- calcula: • log 𝑥→∞ 𝑥 + 1 − 𝑥 − 1
- 10. La sucesion 𝑎 𝑛 = 1 + 1 𝑛 𝑛 y el numero 𝑒 - Uso de la calculadora cientifica. - ∀𝑛 ∈ 𝑁, 2 ≤ 𝑎 𝑛 < 3,tiene limite. - e = lim 𝑛→∞ 1 + 1 𝑛 𝑛 - 𝑒 ≈ 2,7182818284590452353602 - Para levantar 1∞ n 1 2 3 10 100 1000 𝑎 𝑛 2,716924 2,718146
- 11. Observacion: e = lim 𝑛→∞ 1 + 1 𝑛 𝑛 = lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 1 𝑥 Aplicación: Calcula: lim 𝑛→∞ 1 + 1 𝑛 𝑛+3
- 13. Pagina 392 1.- lim 𝑛→∞ 1 + 1 𝑛 𝑛+2
- 16. 4.- e = lim 𝑛→∞ 1 − 1 𝑛 5𝑛
- 18. 6.- lim 𝑛→0 1 + 4𝑥 1 𝑥