1. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
ESTUDIO DE LA DEPENDENCIA DE LA RESOLUCIÓN
TEMPORAL CON LA ACTIVIDAD PARA UN ESCÁNER PET-TAC
PHILIPS GEMINI TF APLICANDO UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO
DE SERIES TEMPORALES
Sánchez Merino, G., Cortés Rodicio, J., Lope Lope, R., García Fidalgo, M.A.
Servicio de Física Médica y Protección Radiológica
Hospital Universitario Araba
21 de junio de 2013
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2. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
1 INTRODUCCIÓN
2 MATERIAL Y MÉTODOS
3 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
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3. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
PHILIPS GEMINI TF
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4. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
MOTIVACIÓN
Calidad de imagen TOF
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5. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
MOTIVACIÓN
IAEA STI/PUB/1393:
Characterization of timining
resolution is an important test that
determines the capability of the
system to estimate the difference in
time of arrival of the two
coincidence photons, and hence
obtain information about the likely
location of the annihilation along
the LOR.
RTmedido < 1, 05RTesperado
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6. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
CONTROL DE CALIDAD DE LA RESOLUCIÓN TEMPORAL
Fuente puntual de Na-22
(Actividad ∼ 0, 1mCi)
Soporte para centrarla en el anillo
de detectores PET
La prueba debe realizarse
diariamente antes de comenzar a
trabajar con el equipo
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7. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
CONTROL DE CALIDAD DE LA RESOLUCIÓN TEMPORAL
jul sep nov ene mar may
485487489491
Tiempo
ResoluciónTemporal(ps)
Como parte del control de calidad
registramos los resultados de las
medidas diarias.
Observamos una deriva hacia
valores cada vez más altos para
los valores medidos de la
resolución temporal.
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8. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
CONTROL DE CALIDAD DE LA RESOLUCIÓN TEMPORAL
jul sep nov ene mar may
485487489491
Tiempo
ResoluciónTemporal(ps)
Como parte del control de calidad
registramos los resultados de las
medidas diarias.
Observamos una deriva hacia
valores cada vez más altos para
los valores medidos de la
resolución temporal.
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9. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
CONTROL DE CALIDAD DE LA RESOLUCIÓN TEMPORAL
jul sep nov ene mar may
485487489491
Tiempo
ResoluciónTemporal(ps)
Mucho ruido
Una única medida por cada tanda
de medida (día)
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10. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
ORIGEN DE LA VARIACIÓN
Tiempo de llegada
Númerodeeventos
−500 0 500
0200400600800
Christopher et. al. IEEE Transactions on Nuclear
Science, Vol.52, No.5, 1300-1304, 2005
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11. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
OBJETIVO
Obtener una mejor descripción de la dinámica del proceso observado
considerando mis datos como una serie temporal y aplicando las técnicas
estadísticas propias de las series temporales.
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12. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
FORMALISMO DEL ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES
Una serie temporal es una secuencia de observaciones realizadas a intervalos
regulares de tiempo.
El análisis de series temporales comprende un conjunto de métodos cuyo fin
principal es describir la evolución dinámica de las observaciones realizadas a lo
largo del tiempo.
El planteamiento más general es el ofrecido por los modelos de espacio de
estados.
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13. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
FORMALISMO DEL ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES
Una serie temporal es una secuencia de observaciones realizadas a intervalos
regulares de tiempo.
El análisis de series temporales comprende un conjunto de métodos cuyo fin
principal es describir la evolución dinámica de las observaciones realizadas a lo
largo del tiempo.
El planteamiento más general es el ofrecido por los modelos de espacio de
estados.
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14. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
FORMALISMO DEL ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES
Una serie temporal es una secuencia de observaciones realizadas a intervalos
regulares de tiempo.
El análisis de series temporales comprende un conjunto de métodos cuyo fin
principal es describir la evolución dinámica de las observaciones realizadas a lo
largo del tiempo.
El planteamiento más general es el ofrecido por los modelos de espacio de
estados.
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15. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
MODELO DE TENDENCIA LINEAL LOCAL DE ESPACIO DE ESTADOS
yt = µt + t , t ∼ N(0, σ2
), Ecuación de observación
µt = µt−1+βt−1+ηt , ηt ∼ N(0, σ2
η), Ecuación de estado del nivel
βt = βt−1+ζt , ζt ∼ N(0, σ2
ζ), Ecuación de estado de la tendencia
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16. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
MODELO DE TENDENCIA LINEAL LOCAL DE ESPACIO DE ESTADOS
yt = µt + t , t ∼ N(0, σ2
), Ecuación de observación
µt = µt−1+βt−1+ηt , ηt ∼ N(0, σ2
η), Ecuación de estado del nivel
βt = βt−1+ζt , ζt ∼ N(0, σ2
ζ), Ecuación de estado de la tendencia
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17. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO EN R
R es un lenguaje y entorno de
programación para análisis
estadístico y gráfico.
Se distribuye bajo la licencia GNU
GPL y está disponible para los
sistemas operativos Windows,
Macintosh, Unix y GNU/Linux.
PAQUETE DLM
Funciones para definir el modelo:
dlmModPoly()
Optimizador por máxima
verosimilitud: dlmMLE()
Filtro de Kalman: dlmSmooth()
Estimación de los parámetros
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18. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
RESULTADO DEL MODELO DE ESPACIO DE ESTADOS
NIVEL LOCAL DETERMINISTA
Nivel determinista (σ2
η = 0)
Tendencia determinista (σ2
ζ = 0)
Incógnitas del modelo: σ2
, µ0 y β0
Equivale a una regresión lineal
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19. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
RESULTADO DEL MODELO DE ESPACIO DE ESTADOS
Tiempo
ResoluciónTemporal(ps)
0 50 100 150 200 250 300
485487489491
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20. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
RESULTADO DEL MODELO DE ESPACIO DE ESTADOS
NIVEL LOCAL ESTOCÁSTICO
Nivel estocástico (σ2
η = 0)
Tendencia estocástica (σ2
ζ = 0)
Incógnitas del modelo: σ2
, σ2
η, σζ,
µ0 y β0
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21. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
RESULTADO DEL MODELO DE ESPACIO DE ESTADOS
Tiempo
ResoluciónTemporal(ps)
0 50 100 150 200 250 300
485487489491
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22. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
CRITERIO DE INFORMACIÓN DE AKAIKE (AIC)
El criterio de información de Akaike (AIC) es una medida de la calidad relativa de
un modelo estadístico para un conjunto de datos dado.
AIC =
1
n
[−2 × n × log(Ld ) + 2 × (q + w)]
Modelo q w n LogLik AIC
Nivel local determinista 2 1 198 83.9 167.9
Nivel local estocástico 2 3 198 81.3 162.7
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23. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL MODELO
Hemos obtenido un modelo que reproduce correctamente los resultados
observados, es decir, contiene como una de sus realizaciones la serie de datos
que hemos obtenido experimentalmente.
Me permite obtener (mediante el filtrado de Kalman) la mejor estimación del
parámetro que pretendo controlar.
Varianzas:
σ
2
= 0, 705ps
2
σ
2
η = 0, 005ps
2
σ
2
ζ = 4, 78 × 10
−7
ps
2
(es prácticamente constante lo que equivale a una variación
lineal).
El cambio entre dos medidas sucesivas (la tendencia), β0, tiene un valor de
0, 012ps, que reproduce correctamente la variación observada a lo largo de los
198 días, de 2, 4ps.
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24. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
CONCLUSIONES
Se ha mostrado mediante un ejemplo sencillo como, utilizando los modelos de
espacio de estados, puede obtenerse una descripción adecuada de una serie
observaciones experimentales.
Se ha caracterizado la variación observada si bien para determinar el origen de
variación es necesario realizar otro tipo de experimentos adicionales.
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25. INTRODUCCIÓN MATERIAL Y MÉTODOS RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Muchas gracias
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26. REFERENCIAS
Commandeur, J.F. et. al. An Introduction to State Space Time Series Analysis,
Oxford University Press, 2007
Petris, G. et.al. State Space Models in R, Journal of Statistical Software, Vol.41,
No.4, 1-16, 2011
Petris, G. An R Package for Dynamic Linear Models, Journal of Statistical
Software, Vol.36, No.12, 2010
IAEA, Quality Assurance for PET and PET/CT Systems, Viena, 2009
Surti, S. Performance of Philips Gemini TF PET/CT Scanner with Special
COnsideration for Its Time-of-Flight Image Capabilities, The Journal of
Nuclear Medicine, Vol.48, No.3, 471-480, 2007
Moses, W. Recent advances and future advances in time-of-flight PET,
Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A, 919-924, 2007
Yamamoto et.al. Investigation of single, random, and true counts from natural
radioactivity in LSO-based clinical PET, Annals of Nuclear Medicine, Vol.19,
No.2, 109-114, 2005
Christopher, J.T. A Method for Determination of the Timing Stability of PET
Scanners, IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol.24, No.8, 1053-1057, 2005
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27. MEJORA DE LA CALIDAD DE IMAGEN EN TOF
Moses Nuclear Instruments and Methods in
Physics Research A, 919-924, 2007
REDUCCIÓN EN LA VARIANZA
DEL RUIDO
f =
2D
c∆t
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28. ESTIMACIÓN DE LOS HIPERPARÁMETROS, MODELADO Y ESTIMACIÓN DE
LOS INOBSERVABLES
Modelo en blanco
Ecuaciones del modelo
Hiperparámetros
Varianzas σ2, σ2
η, σ2
ζ
Valores iniciales
µ0, β0
Observables (yt )
Estimación de los
hiperparámetros
Función de definición
del modelo
Inobservables (µt )
Optimizador por máxi-
ma verosimilitud
Filtro de Kalman
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29. ESTIMACIÓN DE LOS HIPERPARÁMETROS, MODELADO Y ESTIMACIÓN DE
LOS INOBSERVABLES
Modelo
Ecuaciones del modelo
Hiperparámetros
Varianzas σ2, σ2
η, σ2
ζ
Valores iniciales
µ0, β0
Observables (yt )
Estimación de los
hiperparámetros
Función de definición
del modelo
Inobservables (µt )
Optimizador por máxi-
ma verosimilitud
Filtro de Kalman
(σ2
, σ2
η)
(µ0, β0)
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30. ESTIMACIÓN DE LOS HIPERPARÁMETROS, MODELADO Y ESTIMACIÓN DE
LOS INOBSERVABLES
Modelo
Ecuaciones del modelo
Hiperparámetros
Varianzas σ2, σ2
η, σ2
ζ
Valores iniciales
µ0, β0
Observables (yt )Estimación de los
inobservables
Inobservables (µt )
Filtro de Kalman
Volver
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31. ESTIMACIÓN DE LOS HIPERPARÁMETROS, MODELADO Y ESTIMACIÓN DE
LOS INOBSERVABLES
Modelo
Ecuaciones del modelo
Hiperparámetros
Varianzas σ2, σ2
η, σ2
ζ
Valores iniciales
µ0, β0
Observables (yt )Estimación de los
inobservables
Inobservables (µt )
Filtro de Kalman
Volver
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