RELACIONES Y FUNCIONES ALGEBRA

1. Relaciones y Funciones
Definición
1
Clasificación
2
Características
3
Esta presentación, contiene el
apoyo teórico básico sobre
relaciones y funciones
El objetivo es que, al final del
tema, puedas identificar una
función y sus elementos y
clasificarla mediante algunas de
sus características

2. Relaciones y Funciones
Una relación es una conexión o
correspondencia entre objetos o sujetos
representada como un conjunto de
pares ordenados
La relación “es menor que”, existe entre los
números 2 y 5
Relación
Relación Cosas que se relacionan
Es un múltiplo de …
No es igual a …
Da más leche que …
Es congruente con …
Número enteros
Números
Vacas
Triángulos
1
2
3
4

3. Relaciones y Funciones
Una relación se define sobre
conjuntos de objetos o sujetos
La relación “es un múltiplo de …”, está
definida sobre un conjunto de números
Relación 1
El orden de los elementos es muy
importante y debe tenerse en cuenta
2
La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es
un múltiplo de 12” es falsa
La relación “nació en el año … está definida
desde un conjunto de gente hacia un
conjunto de números

4. Relaciones y Funciones
Sean los conjuntos L; formado por las vocales
latinas, y G; formado por las vocales griegas
Ejemplo
 
, , , ,
L a e i o u
  
, , , , , ,
G       

Estableceremos la relación de correspondencia de las
vocales latinas con las vocales griegas (transliteración),
R: LG.
 
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
R a e e i o o u
      

Representación con pares ordenados

5. Relaciones y Funciones
Ejemplo
Representación gráfica
a
e
L i
o
u









G



















6. Relaciones y Funciones
Ejemplo
Representación gráfica







a e i o u

7. Relaciones y Funciones
Algunas relaciones tienen una
característica que las hace especiales
Considera la relación “es hijo de …” definida
desde el conjunto H hacia el conjunto P
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima









Enrique
Rogelio
G
Mario
Víctor







El diagrama
establece que Arturo
y Aurora son hijos de
Rogelio, que Pedro
es hijo de Enrique,
Norma es hija de
Mario y Fátima es
hija de Víctor.

8. Relaciones y Funciones
¿Qué sentido tendría la relación
marcada en la figura?
¿Fátima es hija de Mario y Víctor?
Biológicamente es imposible que una
persona tenga dos padres
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima









Enrique
Rogelio
G
Mario
Víctor







Si una relación
excluye este tipo de
correspondencias
entre los elementos
de los conjuntos que
la definen, hablamos
de una FUNCIÓN

9. Relaciones y Funciones
Una función se define formalmente de
la siguiente manera:
Sea f: A  B una relación, entonces decimos que f
es una función de A hacia B si y solo si para cada
xA hay un solo yB tal que x  f  y, que se
denota como y=f(x).
Funciones
i
Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIO
ii
A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA
iv
A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de
imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la
función o Recorrido de la función
iii
Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A

10. Relaciones y Funciones
Las funciones se clasifican:
Funciones
Por la relación entre el Dominio y el Contradominio
1
Inyectivas Suprayectivas Biyectivas
Por su regla de correspondencia
2
Algebraicas Trascendentes
Por su simetría
3
Pares Impares

11. Relaciones y Funciones
Función Inyectiva
x1,x2 si [x1≠ x2 ]  [f(x1) ≠ f(x2)]
x1,x2 si [f(x1) = f(x2)]  [x1= x2]
B
Si f: A  B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de
las siguientes condiciones
A
Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de
los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el
conjunto de lugares en el estacionamiento.
A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
Ejemplo

12. Relaciones y Funciones
Función Inyectiva
En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un
lugar específico para estacionar su carro.
Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de
estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo
elemento del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo
Lugar 1
Lugar 2
Carro 1
¿Esta
relación es
una función?

13. Relaciones y Funciones
Función Inyectiva Ejemplo
Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros
diferentes, el lugar de estacionamiento que les corresponde es
diferente.
¿Esta
función es
inyectiva?
Lugar 2
Carro 2
Carro 3
En una función inyectiva NO se
permite este tipo de relaciones

14. Relaciones y Funciones
Función Suprayectiva
Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la
función sea exactamente igual al conjunto B
(contradominio)
yB existe xA tal que y=f(x)
Si f: A  B es una función, es sobreyectiva si se cumple que:
A
Sea la función definida
del conjunto de carros
hacia el conjunto de
lugares de
estacionamiento.
Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Todos los elementos del contradominio SON
imágenes de algún o algunos elementos del
dominio.
Carro 6
¡Esta función NO es inyectiva!

15. Relaciones y Funciones
Función Suprayectiva
Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que
NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a
ningún vehículo.
¿La función
del ejemplo
anterior es
suprayectiva?
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5

16. Relaciones y Funciones
Función Biyectiva
Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de
dos diferentes elementos del dominio
Si f: A  B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo,
inyectiva y suprayectiva, es decir,
A
Ejemplo
Todos los elementos del contradominio deben ser
imágenes de al menos un elemento del dominio
B
Sea la función definida
del conjunto de carros
hacia el conjunto de
lugares de
estacionamiento.
Todos los elementos del contradominio
SON imágenes de solo un elemento del
dominio. La función es inyectiva y
suprayectiva al mismo tiempo.
Lugar 1
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Carro 6
Lugar 2

17. Relaciones y Funciones
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de
correspondencia un número determinado de
operaciones como suma, resta, multiplicación,
división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2
( ) 3 2
f x x x
  
Función cuadrática
B
1 2
1 2 1 0
( ) ...
n n
n n
P x a x a x a x a x a


     
C
Función Polinomial (entera) de grado “n”
( )
f x ax b
 
Función lineal
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
...
( )
( )
( ) ...
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a x a
P x
r x
Q x b x b x b x b x b




    
 
    
D
Funciones Racionales
Función Racional No entera

18. Relaciones y Funciones
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de
correspondencia un número determinado de
operaciones como suma, resta, multiplicación,
división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2
( )
f x x b
 
Las funciones
irracionales incluyen
radicales en la regla de
correspondencia
B
1
( )
2
x
f x
x



C
2
( ) 1
f x x x
  
2
( )
4
x
r x
x


D
Funciones Irracionales
1
( )
2
x
f x
x



E

19. Relaciones y Funciones
Funciones trascendentes Todas las funciones que NO son algebraicas
se conocen con el nombre de funciones
trascendentes o trascendentales
A
Ejemplos
( ) , 0
x
f x a a
 
Función Exponencial B Función logaritmo
( ) log , 0
a
f x x a
 
C
( ) sin( ), ( ) cos( ), ( ) tan( )
f x x f x x f x x
  
Funciones Trigonométricas (circulares)
( ) cot( ), ( ) sec( ), ( ) csc( )
f x x f x x f x x
  
D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas
Inversas

20. Relaciones y Funciones
Una función es par cuando se cumple que:
Función Par
f(x)=f(-x)
Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden.
La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y
Una función es impar cuando se cumple que:
Función Impar
f(-x)=-f(x)
Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas.
La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas

21. Relaciones y Funciones
Operaciones con
Funciones
Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la:
1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
2
3
5
Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x)
Composición: (fg)(x) = f(g(x))
División: (f/g)(x) = f(x) / g(x)
4
Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x)