Explicación de integrales definidas e indefinidas - T2- T1

1. …Integrales
Definidas e Indefinidas…
Por: Guadalupe Maldonado Y Luis Yánez
Matemática II – T2-T1

2. …¿Qué son las integrales indefinidas?...
La integral indefinida de una función se puede ver exactamente
como eso, la familia de anti derivadas de una función.

3. …¿Qué son las integrales?...
Es una función que se obtiene por una operación a partir
de la derivada, en otras palabras, integral es lo inverso a
derivar.

4. …¿Cuáles son los tipos de integrales indefinidas?...
• Integración por partes.
• Integración por sustitución o cambio de variable.
• Integración de potencias de funciones trigonométricas
• Integración de racionales (Propias e impropias)

5. …Integrales por tabla
Formulas fundamentales de integración…

6. …Ejemplos según la tabla y formulas…
• Diferencia de una K => x+c Ejemplo: x+c
• Constante => kdx = kx+c Ejemplo= 3dx = 3x+ c
• Logarítmica
-L. Simple =>
-L. Compuesta =>

7. …Método de sustitución …
Se usa para convertir una función en otra mas fácil de integral.
…Pasos del método de sustitución…
• Elige una expresión para U
• Calcular “du”
• Reemplazar todo por “u“
• Calcular la integral
• Reemplazar todo nuevamente

8. …Ejemplo 1…
• Luego calculamos la derivada de u => du:
u = U es igual al denominador de dicha función.
du= 4x dx Para eso se multiplica el cociente por el
exponente de u x y se le añade dx.
En esta expresión, tenemos que elegir quien va ser “u”, Por lo
general cuando es una división lo mas recomendado es elegir
casi siempre el elemento de abajo, es decir, el denominador.
Entonces usando la sustitución transformamos la expresión y
decimos que u =

9. Despejamos el 4 de la división
sacándolo de la integral, este pasa a
multiplicar. Por lo tanto se escribe la
formula con su logaritmo natural,
reemplazando todo nuevamente.
Se reemplaza todo por u, es decir, se
sustituye la x por u, escribiendo la misma
división. Si observamos bien, nuestra
formula de du = son los mismos valores
que nos quedaron arriba, en el
numerador, así que eso también lo
sustituimos y decimos entonces:
Finalmente, Logaritmo natural de “u” y “u”
es 2x2-5 , finalmente se la agrega + C.

10. …Ejemplo 2…
U= 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟗
Du= 12xdx => 4.3xdx
Du/4= 3xdx
𝟏
𝟒
∗ 𝑳𝒏 𝒖 + 𝒄
𝟏
𝟒
∗ 𝑳𝒏 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗 + 𝑪

11. …Integración por partes…
Se da cuando el integrando esta formado por un producto es decir,
una multiplicación, o una división que puede escribirse como un
producto.
…Pasos de integración por partes…
• Usar la frase “ILATE” Para encontrar a u y a dv.
• Encontrar a V y a Du, derivando a v e integrando a du.
• Usar la formula para sustituir valores, resolver y
ordenar.

12. Ejercicio 1
Debemos encontrar quien es u y dv dentro de nuestro ejercicio y para eso se usa
la frase “ILATE”. Donde:
• I => Significa expresión inversa
• L => Significa expresión logarítmica
• A => Significa expresión algebraica
• T => Significa función trigonométrica
• E=> Significa función exponencial
Si vemos nuestro ejercicio, tenemos 2 funciones. La primera es algebraica y la
segunda es trigonométrica, la primera de las 2 funciones que aparezca en la
palabra “ILATE” es la que se selecciona como u y la segunda seria dv.

13. • Por lo tanto:
• Se construye y resuelve :
xSenxdx = x (- Cos x ) - - Cosx .dx “Coseno de X multiplicado
xSenxdx = - xCosx + Cosx .dx por dx = Senx”
xSenxdx = - xCosx + Senx+ C “Finalmente se organiza todo”.
u = x Du/dx = 1 => du= dx
dv = Senxdx V= - Cos x

14. …Integrales Racionales…
Es una expresión de la forma P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son
polinomios. Estas integrales pueden ser:
- Integrales Propias
- Integrales Impropias.
Las integrales propias, son aquellas cuyos limites son finitos, es decir,
tienen un limite mientras que en las impropias al menos uno de sus
limites son infinitos, así es como podemos diferenciarlas,

15. 4x = - 4
-1 x
Se sustituye el infinito por cualquier letra de
nuestra preferencia y afuera de la integral se
escribe el limite, de la letra cuando es infinito
…Ejercicio de una integral impropia…
Lim
B => oo
1
2
Se obtiene la antiderivada, reescribiéndola, como
la integral de 4x-2 dx (Se esta despejando)
“Resultado de la anti derivada”

16. 0 +2 = 2
- =
Se escribe la anti derivada y se anotan los limites de
integración, que son la letra seleccionada “b” y el “2”,
para posteriormente aplicar el teorema fundamental
de calculo.
Para simplificar el teorema fundamental de calculo,
se procede a 2 funciones de -4/x donde en la
primera la x es reemplazada por la letra b y en la
segunda la x se reemplaza por 2.
Finalmente, se reemplazan los valores y se
calcula, siguiendo detalladamente cada paso,
donde en derivadas se vio que todo numero
divido entre un infinito es igual a 0, y a su vez -
4 entre 2 es igual a 2, ese es el resultado.
3
4 5

17. -1
3
…Ejercicio 1 de integral propia…
8t dt
2(3) - 2(-1) =
2(81) – 2 (1) =
162 – 2 = 2
Sacamos la anti derivada, donde siempre se le
suma 1 al exponente y ese mismo numero se repite
en el denominador, para posteriormente ubicar los
limites de integración. Podemos notar que la
expresión puede darse de una forma mas sencilla,
dividiendo 4 entre 4 es = 2
-1
3
La respuesta a eso es 2, y procedemos a calcular el
teorema fundamental de calculo. Donde la t es
reemplazada por nuestro limites, el primero es 3 y el
segundo es -1.
Finalmente calculamos las potencias, el 2 es el
resultado.

18. …Integrales definidas…
Es un caso de la integral utilizado para determinar el valor de las
áreas delimitadas por una gráfica dentro de un intervalo y el eje
horizontal.

19. a
b
…Propiedades de la integral definida…
K f(x) dx = K f(x) dx
+ g (x))dx= f(x)dx+ g(x)dx
4
1
2
3
5

20. …Ejercicio 1…
• Sabiendo que: f(x)dx= 12 calcule
• g(x)dx + f(x)dx
• 0 + = 0 + 12 = 12
En la primera integral ambos limites tanto superior
como inferior son dos, por lo tanto esa integral da
“0”. En la segunda integral tenemos la integral de 5
hasta 2 por lo tanto aplicamos la propiedad inversa,
es decir cambiamos la posición de los limites superior
e inferior y expresamos la integral con un signo
negativo. Esto con el fin de ajustar nuestro problema
a la condición que nos dieron.
Dicho resultado es 12.

21. …Formula del teorema fundamental
del calculo integral …
F (x) = f(x)
También encontramos esta formula:

22. Otra forma de resolverla a través de otra formula
...Ejercicio del teorema fundamental de calculo…
g’(x) = ?
En el lado izquierdo tenemos a la “g” prima y en el lado derecho,
tenemos el teorema que hay que aplicar según la formula.