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LOGICO MATEMATICO– 5º PRIMARIA
- I BIM.
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I.E.P.
SANTO
TORIBIO
CONTENIDO I BIMESTRE
TE3ORIA DE CONJUNTOS.
DETERMINACION DE CONJUNTOS.
CLASES DE CONJUNTOS.
RELACION ENTRE CONJUNTOS.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
DIFERENCIA SIMETRICA Y COMPLEMENTO.
PROBLEMAS CON CONJUNTOS.
PRODUCTO CARTESIANO.
RELACION BINARIA.
CONCEPTOS GEOMETRICOS FUNDAMENTALES.
ANGULOS.
POLIGONOS.
CUADRILATEROS.
PERIMETROS Y AREAS.
AREA SOMBREADA.
MULTIPLOS Y DIVISORES.
NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.

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DESCOMPOSICION FACTORIAL Y
FACTORIZACION PRIMA DE UN NÚMERO.
MINIMO COMUN MULTIPLO.
MAXIMO COMUN DIVISOR.
ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES.
MULTIPLICACION DE FRACCIONES.
PROBLEMAS CON FRACCIONES.
NUMEROS DECIMALES.
COMPARO Y ORDENO NUMEROS DECIMALES.
ADICION Y SUSTRACCION DE NUMEROS
NATURALES.
MULTIPLICACION DE DECIMALES
DIVISION DE DECIMALES.
PROBLEMAS CON DECIMALES.
POTENCIACION CON DECIMALES.
ECUACION E INECUACION.
INECUACION DE 3 PUNTOS.
PLANTEO DE ECUACIONES.

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TEORÍA DE CONJUNTOS
NOCIÓN DE CONJUNTOS:
Pensamos en un conjunto cuando nos referimos a una colección, agrupación,
asociación reunión o unión de objetos: números, hombres, animales, cosas, etc.
Intuitivamente adquirimos la noción de conjunto partiendo de la experiencia.
Algunas ideas de conjunto nos la dan, por ejemplo:
 Las estrellas del firmamento
 Los objetos que están en el salón de clase.
 Los alumnos del colegio.
 Los 5 primeros números naturales.
 Los meses del año.
 Los héroes de nuestra patria.
En consecuencia, diremos que: "Un conjunto es una colección o agrupación de
objetos que se presentan juntos".
ELEMENTOS:
Son los objetos o seres individuales que integran el conjunto. Estos pueden ser reales o
imaginarios.
Por ejemplo: a, e, i, o, u son los elementos del conjunto de vocales de nuestro alfabeto.
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS
REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA:
Generalmente a los conjuntos se los representa por cualquier letra mayúscula del
abecedario y sus elementos se denotan por letras minúsculas. Los elementos van
encerrados entre llaves, separados con comas cuando son letras y separados por punto
y coma cuando son números.
Ejemplo:
a) Representar con M el conjunto de letras de la palabra “amistad”.
M = { a, m, i, s, t, d }
b) Representar con P el conjunto de números impares menores que diez.
P = { 1; 3; 5; 7; 9 }

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REPRESENTACIÓN GRAFICA
Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas
que tienen diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de
las cuales se ubican los elementos que pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos
que no le pertenecen.
A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de Venn, en honor
al matemático John Venn, quien sistematizó su empleó.
Algunos de estos diagramas son:
A A A A
Ejemplos:
1. Representa gráficamente los siguientes conjuntos:
U = {2; 3; 5; 7; 9} ; A = {2; 5; 7; 9}
A 2
5 7
9 3
U
2. Gráficamente representa los siguientes conjuntos:
A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 }
B = {7; 5; 3; 9; 10 }
C = {9; 8; 5; 3; 11 }
RELACIÓN DE PERTENENCIA:
La relación de pertenencia se representa por el símbolo , el cual sirve para que un
objeto o ser individual forme parte de un determinado conjunto. La no pertenencia se
simboliza por .
A 1
6
10
8
3
5
7
9
11
B
C

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Ejemplo 1:
1  A 2  A
7  C 3  A
 Completa con  y 
6 ....... C 5 ....... A 7 ....... B 3 ....... C
5 ....... B 6 ....... A
Ejemplo 2.
Si A = {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que:
1  A  “1 pertenece a A”
3  A  “3 no pertenece a A”
4  A  “4 pertenece a A”.
5  A  “ 5 no pertenece a A”
Ejemplo 3.
Si B = {a; b; c; d}, entonces podemos afirmar que:
a  B  “a pertenece a B”
b  B  “b pertenece a B”
f  B  “f no pertenece a B”
c  B  “c pertenece a B”
Ejemplo 4. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; {3}; 4; {5; 6}; 7} y B = {0; {1}; 2; 3; {4}}
Se tiene que:
a) 1  A b) {1}  B c) {3}  A
d) 7  A e) {7} B f) {5}  A
·7
·3
·5
·6
·2
·1
·4

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g) 6  A h) {2}  B
Práctica de clase
1. Representa en forma gráfica y simbólica los siguientes conjuntos:
a) "A es el es conjunto de días de la semana"
b) "B es el conjunto de dígitos pares del número 9 836"
c) "C es el conjunto de múltiplos de 7 menores que 49"
d) "D es el conjunto de letras de la palabra solidaridad"
e) "E es el conjunto de números impares mayores que 8 y menores que 16"

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2. Completa con  y  :
P = { .....
Q = { .....
R = { .....
1 ..... Q 5 ..... R 7 ..... P 2 ..... R
1 ..... P 5 ..... Q 3 ..... Q 5 ..... P
8 ..... R 6 ..... R 2 ..... P 4 ..... Q
8 ..... P 4 ..... P 2 ..... Q 4 ..... R
3. Observa el diagrama adjunto y escribe V si la expresión es verdadera y F si es falsa.
·19
·20
·23
·1
·8
·6
·11
·15
·16
·21
M N
P
6  M ... ( ) 21  N ... ( ) 8  M ... ( ) 23  P ... ( )
11  N ... ( ) 1  P ... ( ) 15  N ... ( ) 16  P ... ( )
19  N ... ( ) 20  N ... ( )
4. Si R = {1; 2; 3; 5} y m = {2; a; e; 6} completa con  y :
1 .... R a ..... R 3 ..... M a ..... M
5 ..... R e ..... R 2 ..... R e ..... M
2 ..... M 6 ..... M
ejercicios propuestos n° 01
01. Si "A es el conjunto de los dígitos impares del número 3 864". ¿Cuántos elementos
tiene?
·1
·8
·2
·3
·4
·6
·7
·5
P
Q
R

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a) dos b) uno c) cuatro d) N.a.
02. Si B está formado por el conjunto solución de 3 x – 9 < 12.
a) {0;2;4;6} b) {0;1;2;3;4;5;6;7} b) {0;1;2;3;4,5;6} d) N.a.
3. Dado el diagrama: y las proposiciones:
·1 ·2
·3
·4
·6
·7
·5
A B
C
I) 1  A II) 4  B III) 6  C
IV) 2  C V) 5  B VI) 7  A
Es correcto:
a) VVV FVF b) VVVVVF c) FFVVFV d) N.a.
4. Observa el diagrama:
·1
·2
·9
·4
·6
·7
·5
P
Q
R
·8
Decir cual es la respuesta correcta:
a) Q = {4; 5; 6} b) R = {9; 5} c) P = {1; 2; 8} d) Q = {4; 5; 6; 7; 8; 9}
5. Dado el diagrama y las proposiciones: decir cuáles son verdaderas y cuáles son
falsas.
·1
·2
·9
·4
·6
·7
·5
A
B
C
·8
·3
I) 8  A II) 4  C III) 3  A
IV) 1  B V) 5  A VI) 9  C

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Es lo correcto:
a) VVVVVV b) VVVFVV c) VVVFFF d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Representa en forma gráfica y simbólica los siguientes conjuntos:
"P es el conjunto de vocales de la palabra amistad"
"Q es el conjunto de letras de la palabra colegio"
"R es el conjunto de los colores de la bandera peruana"
"S es el conjunto de los símbolos de la patria"
"T es el conjunto de múltiplos de 9 menores que 80"
"V es el conjunto de números pares mayores que 50 y menores que 70"·
"W es el conjunto de números de dos cifras iguales menores que 100"
2. Según el diagrama completa con  y :
M = { ......
N = { ......
P = { ......
1 ... N 4 ... M 7 ... N 4 ... P
4 ... N 7 ... M 5 ... M 4 ... M
1 ... M 7 ... P 6 ... N 5 ... N
2 ... P 6 ... M 3 ... P
·1
·2
·4
·6
·7
·5
N
M
P ·3

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DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los
elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un
conjunto: por extensión y por comprensión.
POR EXTENSIÓN:
Se dice que un conjunto está definido por enumeración o por extensión cuando se
enumeran uno a uno los elementos que lo forman. Ejemplo:
B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
P = {tallo, raíz, hojas, flores, fruto}
COMPRENSIÓN:
Se dice que un conjunto está definido por comprensión por propiedad cuando se da un
criterio que permite decir con certeza si un elemento pertenece o no al conjunto.
Ejemplo:
A = {días de la semana}
También:
A = {x/x es un día de la semana}
Ejemplos
1. Determinar por extensión el conjunto:
T = { x  N / 2 < x < 7 }
Se lee: T es el conjunto de los x, tal que x pertenece a N y x es mayor que 2 y
menor que 7; es decir que esta formado por los números comprendidos entre 2 y 7;
Así:
T = {3; 4; 5; 6 }
2. Determinar por extensión el conjunto:
V = { x  N / x = a +2  a < 5 }

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Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que
presenta:
 Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4
 Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así:
Valores x = a + 2
 
Si a = 0 x = 0 + 2 = 2
Si a = 1 x = 1 + 2 = 3
Si a = 2 x = 2 + 2 = 4
Si a = 3 x = 3 + 2 = 5
Si a = 4 x = 4 + 2 = 6
Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera:
V = { 2; 3; 4; 5; 6 }
3. Determina por extensión el siguiente conjunto:
E = {n2/ 3<n<8; n  N y n es par}
Solución:
Como “n” debe cumplir:
3<n<8; n  N y n es impar
Entonces, los valores de “n” son: 4, 6
Luego el conjunto E esta conformado por los siguientes elementos:
E = {16, 36}
NUMERO CARDINAL
Se denomina número cardinal al último elemento, después de contar los elementos del
conjunto, es decir, se refiere al número de elementos del conjunto. Se denota de la
siguiente manera:
Car (A) = n(A) = Nº de elementos de A
Ejemplo:
Determina el número cardinal siguiente conjunto:
A = { r, s, t, u, v, x, y, z}
Solución:
Analizando el conjunto A, notamos que tiene 8 elementos, porque:

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{r, s, t, u, v, x, y, z}
       
1 2 3 4 5 6 7 8 N° cardinal de A
Por lo tanto el conjunto A indica que tiene 8 elementos, es decir:
Car(A) = n(A) = 8
Práctica de clase
1. Escribe cada uno de estos conjuntos por extensión.
A = {xN/ 1 x  7}
B = {2x / xN Λ 9  x 12}
C = {2xN / 9  x 12}
D = {3x+2 / xN Λ 7  x  9}

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E = {
2
1
x
2 
N / x < 6}
F = {xN / x3 – 2 = 8}
G = {xN / x – 2  5}
2. Escribe cada uno de estos conjuntos por comprensión:
"M es el conjunto de habitantes de Trujillo"
......................................................................................................................................
"N es el conjunto de los días de la semana"
......................................................................................................................................
P = {luna}
.....................................................................................................................................
Q = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 }
......................................................................................................................................
R = {1; 3; 5; 7; 9}
......................................................................................................................................
S = { 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 }
......................................................................................................................................
T = { 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 ; 26 ; 30 }
......................................................................................................................................
3. Une con una flecha en que han sido determinados los conjuntos.
A = {colores del arco iris}

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B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
C = {Mercurio, Venus, Tierra}
D = {Los días de la semana}
E = {Letras de la palabra Colegio}
F = {Bandera, Escudo, Himno}
G = {1ro, 2do, 3ro, 4to, 5to}
H = {Los meses del año}
I = {carpeta, tiza, mota, pizarra}
J = {Nombres de tus padres}
K = {Los profesores del Colegio Lord Kelvin}
M = {rosa, clavel, jazmín}
N = {futbolistas de tu equipo favorito}
4. Halla el cardinal de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) R ={xN / x es múltiplo de 5  14 < x  44}
b) B = {(2x + 1) / x < 8 y x  N}
c) M = {2; 3; 2; 5; 5; 7}
01. Si A = {3x/x  N; 2  x  6} Entonces por extensión será:
a) {3; 4; 5; 6} b) {9; 12; 15; 18} c) {3; 3; 3; 3} d) N.a.
02. Si B = {6; 7; 8; 9}. Entonces por comprensión será:
a) {xN/6  x  9} b) {xN/6 x 9} c) {xN/5 x  9} d) N.a.
COMPRENSIÓN
EXTENSIÓN

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03. Si C ={xN/ x3 – 2 = 6}. Determinado por extensión será:
a) {2} b) {8} c) {2; 6} d) N.a.
04. Si P = {2x + 1/xN; 2  x  4}. Entonces por extensión es:
a) {3;4} b) {6;8} c) {2;7;9} d) {7;9}
05. Si R = {números dígitos}. Por extensión será:
a) {0,1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
b) {10,20; 30; ...}
c) No se sabe
d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Determina por extensión en forma simbólica y gráfica:
"A es el conjunto de meses del año que tienen 31 días"
"B es el conjunto de letras de tu apellido"
"C es el conjunto de dígitos de tu edad"
"D es el conjunto de números impares menores que 20"
E = {xN; 7  x  12}
F = {xN;10  x  23; x es par}
G = {x  N;
2
5
X 
 3}
2. Determinar por comprensión en forma simbólica y gráfica:
"S es el conjunto de ríos de la selva"
"T es el conjunto de departamentos del Perú"
"V es el conjunto de profesores de tu colegio"
R = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
S = {2; 4; 6}
W = {5; 10; 15; 20}
L = {norte, sur, este, oeste}

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CLASES DE CONJUNTOS
CONJUNTO UNITARIO o SINGLETON: Es aquel conjunto que solo tiene un elemento.
Ejemplo:
M = {x/x es un país llamado Perú}
N = { 5 }
P = {números naturales mayores que 8 y menores que 10}
CONJUNTO NULO O VACIO (): Es aquel conjunto que no tiene elementos
B = {número naturales comprendidos entre 8 y 9}
C = { }
D = 
CONJUNTO FINITO: Es aquel conjunto en el que se pueden contar sus elementos.
B = {días de la semana}
C = {Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado}
D = {x/x es un punto cardinal}
CONJUNTO INFINITO: Es aquel conjunto en el que no podemos terminar de nombrar
sus elementos.
M = {números naturales}
N = {1, 3, 5, ...}
P = {xN; x  12}

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CONJUNTO UNIVERSAL (U): Formado por todos los elementos de la especie.
El conjunto universal se llama Conjunto referencial.
M = {seres humanos}
N = {flores}
P = {xN; x > 12}
Práctica de clase
1. Clasifica los siguientes conjuntos. Señala si son vacíos, unitarios, finitos o infinitos.
A = {Números naturales menores que 50}  .......................................
B = {Números naturales may. que 10 y men. que 12}  ......................................
C = {Múltiplos de 2 menores que 20}  ......................................
D = {Múltiplos de 3}  ......................................
E = {Números naturales menores que 10}  ......................................
F = {Dedos de la mano}  ......................................
G = {Meses del año}  ......................................
H = {Los insectos de una ciudad}  ......................................
I = {El papá de un niño}  ......................................
J = {Un niño de 500 años}  ......................................
K = {El astro sol}  ......................................
L = {Un gato con 10 patas}.  ......................................
M = {Mes del año que tiene 50 días}  ......................................
N = {El satélite lunar}  ......................................
O = {Los días de la semana}  ......................................
P = {Las estrellas del Universo}  ......................................
2. Indica con U si el conjunto es unitario y con V si es vacío.
A = {xN/10 x 11} ................... ( ) B = {xN/7 x < 9} ............ ( )
C = {xN/ x – 3 = 0}.................. ( ) D = {xN/18 x  19} ............ ( )
E = {} ...................................... ( ) F = { } ........................................ ( )
G =  ....................................... ( )

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SANTO
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3. Escribe el conjunto universal para los siguientes conjuntos:
A = {margaritas} B = {rosas}
U = {............................................................
P = {mariquitas} Q = {hormigas}
U = { ............................................................
R = {mujeres} S = {varones}
U = { ............................................................
4. Ana y Luisa van al mercado, pero Ana olvidó su cartera. Luisa le dice. "si descifras la
siguiente clave, sabrás cuánto dinero tengo para prestarte:
Clave: x  A x  10 x  C x  P
Pescado de
S/. 1 a S/. 5
P Carne de
S/. 6 a S/. 8
C Abarrotes
S/. 1 a S/. 20
A
 Determina por comprensión y por extensión el conjunto que representa la
cantidad de dinero que Luisa puede prestar.
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
 ¿Qué clase de conjunto es?
..................................................................................................................................

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SANTO
TORIBIO
01. Si a = {  }. Se puede afirmar:
a) es vacío b) no es unitario c) es unitario d) N.a.
02. B = { x  N / x3 – 6 = 21}. ¿Cuál es el elemento?
a) 27 b) 3 c) 9 d) N.a.
03. P = { 3 x + 5 / x  N; 5  x  6 }. El conjunto P es:
a) vacío b) unitario c) finito d) N.a.
04. Dados los conjuntos:
A = {x  N / 5  x  7}
B = {x  N / 3 x – 1 = 8}. De ellos cuál o cuáles son unitarios:
a) A y B b) A c) B d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Escribe 5 conjuntos unitarios.
2. Escribe 5 conjuntos vacíos.
3. Escribe 5 conjuntos finitos.
4. Escribe 5 conjuntos infinitos.
5. Escribe 5 conjuntos universales.
6. Completa:
Un conjunto es unitario porque tiene ....................................................................
Un conjunto es vacío porque tiene ....................................................................
Un conjunto es unitario porque tiene ....................................................................
Un conjunto es finito porque tiene ............................................................................
Dos conjuntos son iguales porque tienen .................................................................
Dos conjuntos son desiguales porque .................................................................

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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Relación de Inclusión. Se dice que un conjunto A está incluido en B, cuando todos
los elementos del conjunto A, están contenidos en el conjunto B; es decir, es un
subconjunto. Simbólicamente se denota: A  B o también B  A.
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = { 1; 2; 3 } ; B = {1; 2; 3; 4; 5}
Se verifica que A es subconjunto de B, es decir, que el conjunto A está contenido en
B. Aplicando el Diagrama de Venn se tiene:
.1
.2
.3
B
.4
.5
A
A  B ó B  A
Se lee : “A es subconjunto de B”

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SANTO
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“A está incluido en B” ó
“A está contenido en B” ó
“B incluye a A”
“B contiene a A”
Cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro se dice que ambos son
conjuntos comparables.
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
La inclusión goza de las siguientes propiedades: reflexiva, conjunto vacío y
transitiva.
* Reflexiva. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo; es decir : A  A
* Conjunto Vacío. Es subconjunto de cualquier conjunto; es decir:   A
* Transitiva. Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, entonces el
primer conjunto está incluido en el tercer conjunto. Es decir, se cumple:
Si A  B y B  D  A  D
2. Relación de no inclusión. Esta relación se presenta, cuando un conjunto no es
subconjunto de otro. Se presenta dos casos:
 Cuando los dos conjuntos en referencia tienen algún elemento en común, se
tiene una relación de intersección.
Ejemplo. Sean los conjuntos:
A = { a, e, o}
B = {i, o, u }
A B
.a
.e
.o
.i
.u
A  B
 Cuando dos conjuntos en referencia no tienen ningún elemento común, reciben
el nombre de conjuntos disjuntos.

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TORIBIO
Ejemplo. Sean los conjuntos:
M = {4; 6; 8}
N = {5; 7; 9 }
.4
.6
.8
.5
.7
.9
M N
Verificamos que M y N son conjuntos disjuntos, porque M y N no tienen ningún
elemento que se repite o común.
NOTA: Para que quede claro la relación entre conjuntos, es importante definir un
subconjunto.
Subconjunto. Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo
elemento de A está en B. Simbólicamente se denota : A  B.
Aclarando el concepto, sabemos que: si A es un subconjunto de B, decimos que A es
parte de B, que A está incluido en B, o que B contiene a A.
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } y B = { b , d }
En los conjuntos observamos que:
b  B y b  A
d  B y d  A
Luego los elementos b y d de B están en A, entonces B A.
Si A no es subconjunto de B, se escribe A  B; se lee:
A no es subconjunto de B
A no es parte de B
A no está incluido en B
Subconjunto Propios. Dado un conjunto A, su número de subconjuntos será:
1
2 )
(

A
n
No se considera el mismo conjunto A.
Ejemplo: Sea el conjunto A={2; 4; 6}, los subconjuntos propios de A serán:
{2},{4},{6},{2;4},{2; 6},{4; 6},
No es subconjunto propio de A: {2; 4; 6}

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3. Relación de Igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos
elementos.
Si: A = B  A  B  B  A
Ejemplos: M = { 1; 3; 5; 7 } y N = { 2x – 1 / x  Z ,1  x < 5}
 M y N son dos conjuntos iguales.
4. Conjuntos Diferentes. Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo
menos un elemento que no tiene el otro.
Ejemplos: A = { 3; 4; 5 } y B = {3; 4; 5; 6 }
6 es elemento del conjunto B, pero no es elemento A  A  B.
Práctica de clase
A = {x  N / x  5} B = {x  N / 6  x  9}
Determina por extensión y construye el diagrama respectivo
A = {2; 4; 6} ; B = {dígitos pares de 72948} ; C = {0;2;4;6;8;10;12} ; D = {0; 10}
Escribe los símbolos , :
A ...... B B ...... D C ...... A A ...... C
D ...... B B ...... C D ...... A D ...... C
4. Dado el diagrama y las proposiciones:
D
A
B
C
I . D  C II . B  A III. C  A
Decir cuál o cuáles son verdaderos:

- I BIM.
24
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) N.a.
A = {x/x es un número natural entre 4 y 13}
B = {x/x es un número para mayor que 7 y menor que 12}
C = {x/x es un número impar entre 3 y 12}
D = {10}
Completa usando  y  ;  y 
{4; 6; 8} ....... B 10 ........ A 10 ........ B
{1; 2; 3} ........ A {8; 10; 12} ........ C C ......... A
{6; 7; 8} ........ A {5; 7; 9} ......... A D ........ A
8 ........ C {8; 10} .......... C {5} ........ A
D ........ B 5 ........ C D ......... C
B ........ A {5; 6; 7; 8} ........ A {8} ........ C
6. Dado el diagrama; completa:
·1
·3 ·2
B
·0 ·6
·7
·9
C
A
U
·8
·4
4 ....... A 3 ....... B { 7 } ....... C {4;5} ...... A
B ....... A {6} ....... C A ....... U 9 ...... C
C ....... U 8 ....... U {6;9} ....... A {0;8} ...... B
07. Si el conjunto A tiene 2 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene P(A)?

- I BIM.
25
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
08. Si C = {x / x-2 < 4} y D = { x / x+3 = 10} entonces la suma de todos los
elementos de C con los elementos de D es:
09. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene W?. W = {{3; 4}; {5; 6}; 0}
10. La unión de dos conjuntos A y B tienen 126 subconjuntos más que su intersección
que es un conjunto unitario.¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, si (B – A) tiene
dos subconjuntos?
01. Sean los conjuntos: "A es el conjunto de letras de la palabra amor"; "B es el conjunto
de letras de la palabra roma". Se puede afirmar:

- I BIM.
26
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
a) son disjuntos b) son iguales c) Son diferentes d) N.a.
02. Si A = {3 x / x  N; 2  x  7} y B = {2 x /  N; 1  x  4}, cuál de las siguientes
relaciones es falsa:
a) B  A b) 4 y 6  {4;6} c) B  A
d) 9  {6;9;12;15;18}
03. Dado el diagrama y las proposiciones:
C
A
B
I . C  A II . B  A III. C  B
Decir cuál o cuáles son verdaderos:
a) Las tres b) sólo II c) sólo I d) I y III
A =  B = {0} C = {}. Indique lo correcto
a) A = B b) B = C c) n(B) = n(C) d) N.a.
05. Indica a que tipo de conjuntos corresponden:
A = {} B = {xN/ 5  x  6} C = {xN / x  5}
a) vacío, vacío, infinito b) unitario, vacío, infinito
c) vacío, vacío, unitario d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Grafique los siguientes conjuntos:

- I BIM.
27
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
a) A = {6,7; 8} B = {7; 8; 9}
b) C = {1; 2; 3; 4; 5} D = {3; 5}
c) E = {8; 9; 10; 11; 12} F = {10; 11; 12;13} G = {8; 9}
d) "P es el conjunto de letras de la palabra lola" y "Q es el conjunto de letras de la
palabra lalo"
e) M = {x N / 5  x  10} N = {xN / 6  x  8}
f) A = {x2 / x  N; 1  x  5} B = {x  N / 2  x  8}

- I BIM.
28
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión de conjuntos
Observa estos conjuntos:
El símbolo "" se lee: Reunión o Unión
Representación gráfica:
A B B
A
B
A
A  B A  B A  B
Intersección de conjuntos
Observa:
A B
¿Tiene algunos elementos comunes estos dos conjuntos?
Sí, los árboles
LA REUNIÓN O UNIÓN: De dos conjuntos A y B es el
conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o
pertenecen a B o a ambos.
P Q
P Q


- I BIM.
29
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
El símbolo "" se lee: Intersección
Representación gráfica de la intersección de dos conjuntos:
Se representan los siguientes casos:
A B B
A
B
A
A  B A  B A  B = 
Práctica de clase
A = {3,4,5;6;7} B = {3;6;7} C = {4;5;8;9} D = {1;2}
Hallar y graficar:
a) A  B b) A  C c) C  D
A B
INTERSECCIÓN: De dos conjuntos A y B, es el conjunto de
todos los elementos comunes de A y B.

- I BIM.
30
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
A = {a, b, c, d, e, f} B = {c, d, g, h} C = {d, e, f, h, i, j}
Hallar y graficar:
a) A  B b) B  C c) A  C
3. Dado el diagrama, completa:
·b
·a
·d
·c
·f
P
R
Q
·c
P = { ................................
Q = { ................................
R = {................................
P  Q = { ................................
P  R = { ................................
Q  R = {................................
P  Q  R = { ................................
P  Q  R = { ................................
(P  Q)  R = { ................................
4. Según el diagrama, completa:
A
·1
·3
·2 ·7
·6
·4
B
C
A = { ...
B= { ...
C = {...
B  C = { ...
A  C = { ...
A  B  C = {...

- I BIM.
31
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
(A  C)  B = { ...
5. Según el diagrama, completa:
P
·d
·b ·f
·e
·h
·a
·i ·c
·g
R
Q
P = { ...
Q = { ...
R = {...
P  Q = { ...
P  R = { ...
Q  R = {...
P  Q  R = { ...
6. Dados los siguientes conjuntos:
·1 ·8
·2
·3
·4
·6
·7
·5
A
B
C
A = {................................
B = { ................................
C = { ................................
A  B = {................................
A  B = { ................................
A  B  C = { ................................
B  C = { ................................
A  C = { ................................

- I BIM.
32
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
7. Dados los conjuntos: A = {5;6;7;8;9} ; B = {6;8} ; C = {8;9;10} ; D = {2;4}. Hallar y
graficar:
a) ( A  B )  C b) ( B  C )  ( A  D ) c) ( C  D )  B
8. Dados los conjuntos; hallar y graficar:
A = {2; 5; 7; 9} B = {5; 9; 11} C = {6; 7; 8} D = {5; 7; 8; 9}
a) ( A  B )  D b) ( B  D )  C c) (A  D)  (C  B)
A = { x  N / 2  x  7} B = { x  N / x + 2  6} C = {1, 2}
Hallar y graficar:
a) ( A  B )  C b) ( A  C )  B c) A  B  C

- I BIM.
33
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
01. Los elementos de R  S  T son:
·1
·3
·2
·7 ·6
·4
·5
S
R T
a) {1; 2; 6; 7} b) {1; 2} c) {6; 7} d) N.a.
02. Si A = {x  n / x – 2 = 5} y b = {+x  n / 3  x  8}, entonces A  B es:
a) {7; 8} b) {6; 7} c) {7} d) N.a.
03. Dados E y F entonces E  F es:
a) b) c) d) N.a.
04. El diagrama de A  B es:
a)
A B
b)
A B
c)
A B
d) N.a.
05. Dados: P y Q entonces P  Q es:
a) b) c) d) N.a.
06. Dados: P = {x  N / 12  x  25, x es múltiplo de 3}
Q = {x  N / 20  < 32; x es múltiplo de 6}. Entonces P  Q es:

- I BIM.
34
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
a) {12;15;18;21;24} b) {12;15;18;21;24;30} c) {24} d) N.a.
07. En la figura, hallar n(E  F):
·1
·2 ·3
·4
·6
·7
·5
A G
F
a) 6 b) 5 c) 2 d) N.a.
08. En el diagrama; hallar (A  B)  C:
A
·1
·3
·2
·6
·7
·4
B
C
·5
a) {2; 3; 4} b) {1; 2} c) {2:3:5} d) N.a.
09. La parte sombreada representa:
A B
C
a) A  B  B b) A  B  B c) (A  B)  C d) N.a.
10. Dados P Q . Hallar P  Q
a) b) c) d) N.a.

- I BIM.
35
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
TAREADOMICILIARIA
R = {1; 3; 5; 7; 9} Q = {5; 7; 9; 11} R = {9; 11; 13} S = {2; 4; 6}
T = {5; 7}. Hallar y graficar:
P  Q Q  R P  Q  T P  R
Q  S R  S P  S Q  T
P  Q  T P  T R  T Q  R
A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} B = {3; 5; 7; 9} C = {2; 4; 6; 8}
D = {10; 11} E = {2; 4}
Hallar y graficar:
a) A  B d) B  C g) A  E j) A  B  E
b) A  C e) E  C h) B  D k) A  C  E
c) A  D f) D  E i) C  D

- I BIM.
36
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
DIFERENCIA, DIFERENCIA SIMÉTRICA Y COMPLEMENTO
Diferencia de Conjuntos
La diferencia de dos conjuntos (A – B) es la operación que nos permite crear un nuevo
conjunto que agrupe a todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Ejemplo:
A = {3; 5; 7; 8} B = {7; 8; 9; 10}
A B
·5
·3
·7
·8 ·10
·9
A B
·5
·3
·7
·8 ·10
·9
A – B = {3; 5} B – A = {9; 10}
Por lo tanto: A – B  B – A
A B A B B A
A - B A - B A - B
Diferencia simétrica
La diferencia simétrica de A y B es el conjunto de los elementos no comunes de
ambos conjuntos.
Para indicar la diferencia simétrica se usa el símbolo .
Ejemplo:
A = {1; 3; 5; 7} B = {5; 6; 7}
·5
·7
·6
·1
·3
A B
A  B = {1; 3; 6}

- I BIM.
37
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
A B A B A B
A  B A  B A  B
A y B son disjuntos
Complemento de un Conjunto respecto a un Conjunto Universal o de Referencia:
El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto universal; pero no pertenecen al conjunto A; es decir, los
elementos sólo pertenecen al conjunto U.
Su símbolo es: A; A ; A ; CA.
Simbólicamente sería así: A  = {x / x    x  A}
Gráficamente es:
A
U
A
Práctica de clase
1. Si M = {2; 3; 5; 7; 8} N = {3; 7; 9; 11}. Hallar y graficar:
a) M – N b) N – M
2. Si P = {x/x es un número impar menor que 11} Q = {6; 7; 9; 11; 13}. Hallar y graficar:
a) P – Q b) Q – P
A = {x  N / x  6} ; B = {x  N / 3  x 5} ; C = {x  N / 4  x  9} ; D = {10;12}.
Hallar y graficar:

- I BIM.
38
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
a) A – B b) C – B c) B – D
4. Dado el diagrama, escribe V o F:
M N
·c
·b
·d
S
·i
·a
·u
·o
·e
M – N = {b, d, c, e} .... ( ) N – S = {a, o, u} .... ( )
S – M = {b, c, d, e} ..... ( ) N – M = {a, o, u} .... ( )
5. Dado los conjuntos:
U = Universal = { x  N / x < 10}
A = { x  B / B = <3; 7] }
C = { x2 – 3 / x  N  2  x  3 }
Hallar:
a) A  b) CB c) (A  B)  d) [ (A  B) – C ] 
6. Dado el diagrama, efectuar:
·e
Q ·f
·g
·b
·c
·a
·d
M P
M  P = P  Q =
P  M = Q  P =

- I BIM.
39
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Q  M =
7. Según el gráfico, hallar:
·2 ·8
·7
·6
·1
·3
·4
·5
·10
·9
P Q
R
P  Q = { Q  R = { P  R = {
8. Dados los conjuntos: A = {1,2; 3; 4} B = {3; 4; 5; 6} C = {2; 3} D = {4; 5}. Hallar y
graficar:
Hallar en forma simbólica:
a) (A  B)  C = ........................................ b) (A – B)  C = ......................................
c) (A  B)  D = ........................................ d) (A – D)  C = ....................................
e) (B - A)  D = ....................................... f) (A  C)  B = ....................................
g) (A  B)  ( C  D ) = .............................
9. Observa el diagrama y expresa por extensión cada conjunto.
B
·9
·10
·1
·2
·9
·3
·9
·7
A
A = { B = {
A – B = { B – A = {
A  B = { A  B = {
10. Sombrear donde corresponda según la operación:
A B A B A B A B

- I BIM.
40
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
A  B A  B A – B B  A
A B A B A B A B
A  B A – B B  A A  B
A
B
A
B
A
B
A
B
A  B A  B A – B B  A
01. La parte sombreada en el diagrama representa:
Q
P
a) Q – P b) P – Q c) P  Q d ) N.a.
02. Los elementos de m – N son:
N
M
·3
·4
·5
·1
·2
a) {3; 4} b) {3} c) {1; 2} d) N.a.
03. ¿Cuál de los diagramas es verdadero?
a) b) c) d) N.a.
A  B A  B B - A
04. Si E = {x / x es divisor de 6} F = {x / x es múltiplo de 3 menor que 7}
El conjunto E – F es:
a) {1; 2} b) {6} c) {2; 6} d) N.a.
A B
A B A B

- I BIM.
41
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
05. En la figura (A  B ) – C es:
·3
·4 ·5
·1
·2
·6
·7
A B
C
a) {1; 7} b) {3} c) {1; 3; 7} d) N.a.
06. Dados los conjuntos: A = {3; 5; 7; 9} B = {1; 2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}.
Hallar (A  B)  C
a) {1; 2; 4; 6; 10} b) {1; 2; 3; 5; 6; 10} c) {1; 2; 4; 6} d) N.a.
07. Si P y Q . Hallar P  Q
a) b) c) d) N.a.
08. Si A y B . Hallar A  B
a) b) c) d) N.a.
09. Dados A = {x / x es letra de la palabra "teléfono"} B = {x / x es letra de la palabra
"elefante"} Hallar n(A  B)
a) 1 b) 2 c) 4 d) N.a.
10. Si P = { x  N / 3
2
1
x


} Q = { x  N / 6  x  8}. El conjunto P  Q es:
a) {6; 8} b) {7} c) {7;6;8} d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Dados los conjuntos: R = {6; 8; 10} S = {8; 9; 10; 11}

- I BIM.
42
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
T = {5; 6; 7; 8} V = {10; 11; 12}
P = {2; 3; 4} Q = {8; 10}.
Hallar y graficar:
R – S S – R T – P R – Q
V – S P – Q S - Q P – R
(R  S) – V (R  S) – Q
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {1; 2; 3} C = {4; 5; 7; 9}
D = {10; 11} E = {10; 12; 14} F = {7; 9; 10}
Hallar en forma simbólica:
a) (A  B)  E
b) (B  C)  D
c) E  (F  C)
d) (E – F)  D
e) (B – A )  (E  F)

- I BIM.
43
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
PROBLEMAS CON CONJUNTOS
Ejemplos
1. De 45 alumnos: 30 practican fútbol y 20 practican básquet. ¿Cuántos practican los
dos deportes?
T = 45 alum.
30 - x x 20 - x
F = 30 B = 20
30 – x + x + 20 – x = 45
50 – x = 45
50 – 45 = x
5 = x
Rpta: practican los dos deportes 5 alumnos.
2. De 30 alumnos 18 practican fútbol y 16 básquet. ¿Cuántos practican los dos
deportes?
Total = 30 18 – x + x + 16 – x = 30
Fútbol = 18 34 – x = 30
Básquet = 16 – x = 30 – 34
F ∩ B = ? – x = - 4
x = 4
Rpta.: 4 alumnos practican los dos deportes
Práctica de clase
F=18 B=16
18 - x 16 - x
x
T = 30

- I BIM.
44
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
1. De un grupo de 85 personas. 40 estudian, 50 trabajan; 10 estudian y trabajan.
¿Cuántos no estudian ni trabajan?
2. De los 50 alumnos de un aula:
30 tienen libro de Razonamiento Matemático
27 tienen libro de Razonamiento Verbal
5 no tiene ninguno de estos libros.
¿Cuántos alumnos tienen solamente libro de Razonamiento Matemático?
3. En una reunión de deportistas: 8 practican fútbol y natación, 6 no practican estos
deportes, 32 practican solamente natación, 23 practican fútbol. ¿Cuántos deportistas
habían en la reunión?
4. En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos Aritmética y
Biología, se obtuvo los siguientes resultados: 60 prefieren Aritmética, 50 prefieren

- I BIM.
45
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Biología y 20 no prefieren ninguno de estos cursos?. ¿Cuántos prefieren sólo uno de
estos cursos?
5. Diego tomó café o té durante 31 días. Si tomó sólo café durante 14 días, café y té
durante 10 días. ¿Cuántos días tomó sólo té?.
6. 42 alumnos de un colegio juegan fútbol o básquet. Si 19 juegan sólo fútbol y 12
juegan sólo básquet. ¿Cuántos juegan ambos deportes?
7. 45 niños van de paseo a una laguna y llevan para jugar pelotas y barquitos. Si 17
llevan sólo pelotas, 21 llevan pelotas y barquitos y 28 llevan barquitos. ¿Cuántos
llevan un sólo juguete?

- I BIM.
46
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
8. En un fundo hay 80 trabajadores que cultivan maíz o verduras: 45 cultivan sólo maíz
y 22 cultivan maíz y verduras. ¿Cuántos trabajadores cultivan sólo verduras?.
9. 80 niños desayunaron con queso o mantequilla. Si 47 desayunaron con queso, 53
con mantequilla y 20 con queso y mantequilla. ¿Cuántos niños desayunaron con un
solo producto?
10. En el aula de 5to grado, 19 alumnos han aprobado sólo Matemática, 17 han
aprobado Lenguaje y Matemática y 12 sólo Lenguaje. ¿Cuántos alumnos hay en
total?
11. 22 camiones transportan sandías o papayas. Si 16 camiones transportan sandías y
4 transportan sandías y papayas. ¿Cuántos camiones transportan papayas?

- I BIM.
47
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
12. En un aula de 30 alumnos, 10 estudian Computación y Arte, 25 estudian Arte.
¿Cuántos estudian un solo curso?
13. En un restaurante donde asisten 40 personas, 19 toman solo café, 10 café y té, el
resto solo té ¿Cuántos toman té?
14. Un conjunto R tiene 40 elementos y otro conjunto S, 32 elementos. Si entre los dos
tienen 58. ¿Cuántos elementos están en los dos conjuntos?
15. De los 50 alumnos de una aula
30 tienen libro de razonamiento Matemático
27 tienen libro de razonamiento Verbal
5 no tienen ninguno de estos libros

- I BIM.
48
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
¿Cuántos alumnos tienen solamente libro de razonamiento Matemático?
1. En una encuesta a 20 niños se informó que: 8 estudian y trabajan 5 sólo estudian.
¿Cuántos niños sólo trabajan?
a) 13 b) 7 c) 12 d) N.a.
2. De 60 personas: 38 conocen el Cuzco, 34 conocen Tacna y 16 ambas ciudades.
¿Cuántas Personas no conocen ninguna de estas dos ciudades?
a) 4 b) 12 c) 16 d) N.a.
3. En el mes de abril, un niño almorzó: caldo 18 días y segundo 20 días. ¿Cuántos
días almorzó caldo y segundo?.
a) 16 b) 20 c) 8 d) N.a.
4. 40 niños asisten a una fiesta, 18 reciben solamente globos, 15 reciben solamente
sorpresas, si todos recibieron regalos. ¿Cuántos reciben globos y sorpresas?
a) 7 b) 18 c) 15 d) 40
5. De un grupo de 50 personas, 25 personas gustan del teatro y 29 del cine. Si 12
gustan de los dos espectáculos. ¿Cuántas personas no gustan de ninguno?
a) 42 b) 8 c) 7 d) N.a.
TAREADOMICILIARIA

- I BIM.
49
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
1. Juan en el mes de Junio consume café por 20 días, té y café por 8 días. ¿Cuántos
días consume solamente té?
a) 8 b) 19 c) 10 d) 18 e) 12
2. De 12 profesores, 8 enseñan en 5to grado y 7 en 6to grado. ¿Cuántos enseñan en
los dos grados?
a) 15 b) 15 c) 4 d) 3 e) 5
3. Anna consume en el mes de mayo: 18 días mermelada y 7 días mermelada y jugo.
¿Cuántos días consume jugo?
a) 20 b) 19 c) 13 d) 11 e) 7
4. De 40 niños: 30 practican fútbol, 26 básquet y 20 los os deportes. ¿Cuántos niños
no practican ninguno de estos deportes?
a) 10 b) 20 c) 6 d) 5 e) 4
5. De 100 personas, 80 consumen la bebida S, 75 la bebida K. Si 63 consumen las dos
bebidas. ¿Cuántos consumen sólo la bebida S?
a) 12 b) 92 c) 17 d) 39 e) 5
6. El club tiene 458 socios, de los cuales 317 practican ajedrez y 293 tenis de mesa.
¿Cuántos practican los dos deportes?
a) 610 b) 152 c) 24 d) 458 e) N.a.
7. En el problema 6. ¿Cuántos socios practican sólo tenis de mesa?.
a) 165 b) 152 c) 0 d) 306 e) 141
8. En una fiesta donde había 100 personas: 65 bailaban la salsa; 60 personas bailaban
el rock. ¿Cuántas personas no bailaban el rock?
a) 40 b) 25 c) 35 d) 40 e) N.a.
9. En un aula de 50 alumnos; aprueban 30 de ellos, física 30; castellano 35,
matemática y física 18; física y castellano 19, matemática y castellano 20; y 10
alumnos aprueban los tres cursos. Se deduce que:
a) 2 alumnos no aprueban ninguno de los 3 cursos
b) 8 aprueban matemática y castellano pero no física
c) 2 aprueban matemática, pero no aprueban física ni castellano.
d) 6 aprueban matemática y física pero no castellano

- I BIM.
50
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
10. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación. Si
20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos
alumnos practican un deporte y sólo uno?
a) 50 b) 55 c) 60 d) 70 e) 65

- I BIM.
51
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
PRODUCTO CARTESIANO
A. Par ordenado. Un par ordenado es un ente matemático formado por dos elementos
“a” y “b”, con un orden establecido y que se denota así:
(a; b)
Donde: a, se denomina primera componente y b,
segunda componente.
PROPIEDADES:
1°) (a; b)  (b; a),  a  b
2°) (a ; b) = (c ; d)  a = c  b = d
Ejemplo 1:
Los pares ordenados (3a + b ; 17) y (11; a + 3b) son iguales, hallar “ab”
(3a + b ; 17 ) = (11 ; a + 3b )  3a + b = 11 a + 3b = 17
resolviendo: a = 2 y b = 5 por lo tanto, ab = 10
REPRESENTACIÓN GRAFICA EN EL PLANO CARTESIANO
Sobre el plano de la hoja de papel, tomemos dos rectas numéricas mutuamente
perpendiculares y que coincidan en el “0”.
Generalmente una de las rectas que se toman es horizontal a la cual se le llama eje
abscisas o eje x y la otra (lógicamente vertical) se le llama eje de ordenadas o eje y
este es el plano cartesiano y en él, un par ordenado se representa mediante un único
punto y recíprocamente, a cada punto de ese plano se le asigna un único, par
ordenado. Así:
(-4;2)
(-1;-5)
(5;4)
( ; )
NOTA: Si dos pares ordenados representa un mismo punto en el plano
cartesiano, entonces dichos pares son iguales.

- I BIM.
52
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
B. Producto cartesiano de dos conjuntos.
Razono .....
Janelly y Elena a veces se entretienen con un juego de palabras que consiste en
empezar con dos conjuntos de letras y decir cuántas palabras se pueden formar. Por
ejemplo, suponiendo que tiene el conjunto de letras. {p, n, v}, estas letras tiene que
ser las primeras de las palabras que se formen, y también tiene el conjunto {iña, ana,
ena}, entonces aparean cada letra del primer conjunto de cada tríada de letras del
segundo conjunto, de esta manera:
p
n
v
iña
ana
ena
A B
¿Cuántos pares tienen las muchachas?. Escribe todas las palabras que forman:
.........................................................................................................................................
El conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 3 elementos.
El conjunto formado por los 9 pares se llama PRODUCTO CARTESIANO del
conjunto A por el conjunto B.
A x B  Producto Cartesiano de A por B
¿En todos los pares, La primera componente pertenece al conjunto A y la segunda
componente al conjunto B, por lo tanto cada uno es un PAR ORDENADO.
Ejemplo:
A = {1; 2; 3}  B = {a, b}
A x B = {(1,a); (1,b); (2,a); (2,b); (3,a); (3,b)}
Observa n(A) = 3 elementos
 3 x 2 = 6 pares ordenados
n(B) = 2 elementos
Se llama PRODUCTO CARTESIANO de A por B, al
conjunto de todos los pares ordenados posibles, de
modo que el primer elemento pertenezca a A y el
segundo a B.

- I BIM.
53
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Simbólicamente tendremos: n(AxB) = n(A) x n(B)
1 .
2 .
3 .
. a
. b
A B
A
B
1 3
2
b
a
A x B a
(1;a)
b
(1;b)
(2;a) (2;b)
(3;a) (3;b)
1
2
3
Diagrama de flechas
o sagital
Diagrama Cartesiano
o de coordenadas
Tabla de doble entrada
Práctica de clase
1. Los pares ordenados (3x - 5; 1 + 2y) y (7 – x ; 7x - 8y) son iguales, entonces el
valor de y es :
2. Los pares ordenados: (a + 2b + 1; b) y (a – 9; a + 5) son iguales, entonces
determina los valores de “a” y “b”.
P = {1; 2; 3} Q = {a, b, c} Hallar P x Q. Realiza el diagrama sagital.

- I BIM.
54
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
4. Si A = {2; 3; 4} B = {1; 2} Hallar A x B, realiza su representación: diagrama de
flechas y Diagrama cartesiano.
P = {3; 4} Q = {5; 6} R = {6; 7; 8}. Efectúa y construye los diagramas que se
piden:
P x Q = {....................................................................................................................}
Q x R = {....................................................................................................................}
Diagrama Sagital Diagrama Cartesiano
P x P = {....................................................................................................................}
R x R = {....................................................................................................................}
Diagrama de Flechas Diagrama Cartesiano

- I BIM.
55
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
6. Dado el producto cartesiano M x N
M x N = {(a,1), (a;2),(b;1),(b;2),(c;1),(c;2)}
Completa
C = { ................................................ }
P = { ................................................ }
7. Dado el producto cartesiano C x P:
C x P = {(1;5),(1;6),(2;5),(2;6),(3;5),(3;6),(4;5),(4;6)}
Completa:
C = { ................................................ }
P = { ................................................ }
8. A continuación tienes tres conjuntos incompletos
A = {?; d} B = {a; ?; ?}
A x B = {(b; ?); (b; 0);(b; i);(d; a);(d, 0);(d; ?)}
Completa:
A = { ................................................ }
B = { ................................................ }
A x B = { ................................................................................................... }
01. Elena tiene tres faldas: una negra; otra ploma y una azul. También tiene dos blusas:
una amarilla y otra roja. ¿Puede Elena vestirse siete días seguidos sin repetir una
combinación?
a) Si b) No c) Puede ser d) N.a.
02. Si P = {1; 2; 3; 4} Q = {a; b; c}. ¿Cuántos pares ordenados tiene P x Q?
a) 12 b) 7 c) 10 d) N.a.
03. Si (a + 5; 9) = (8; b). Entonces a + b es:

- I BIM.
56
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
a) 13 b) 3 c) 12 d) N.a.
04. Dados A = {3 x 7 / 9  x  12; x  N}. Hallar A x A:
a) {(34; 34);(34; 37);(34; 40);(37; 40);(37; 37);(37; 34);(40; 34);(40; 37);(40; 40)}
b) {(9; 10); (9; 9);(9; 11);(10; 9);(10; 10);(10; 11);(11; 9);(11; 10);(11, 11)}
c) {(34; 34); (34; 37);(34;40)}
d) N.a.
05. Determina el valor de verdad de A x B = B x A
a) Verdadero b) No se sabe c) Falso d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Dada la igualdad de pares ordenados: ( a + b ; 5 ) = ( 9 ; a – b ). Hallar el valor de :
2a – b.
2. Los pares ordenados (3x - 5; 1 + 2y) y (7 – x ; 7x - 8y) son iguales, entonces el
valor de x es :
3. Dados los conjuntos: A = {3; 4; 5} B = {3; 5} C = {1; 2}. Efectúa y construye las
dos formas de representación:
A x B B x C A x A
A x C C x A C x C
B x A B x B C x B

- I BIM.
57
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
RELACIÓN BINARIA
En nuestro lenguaje cotidiano, es frecuente el uso de las frases tales como: “depende
de”, “familia con”, “tan bueno como”, “es mayor que”, “es igual a”, etc., es decir, son
frasees que significan nexo, enlace, correspondencia, etc. entre dos objetos. Así
tenemos:
César es padre de Diego,
Sofía es más alta que Juana,
25 es menor que 28,
13 es igual a 8 + 5, etc.
En el lenguaje matemático, estas frases nos sugieren la idea de “Relación” siempre que
se refieran a uno o dos conjuntos donde es posible establecer vínculos entre sus
elementos mediante pares ordenados que cumplan un criterio o condición.
Definición: Dado el producto cartesiano A x B, una relación R de A en B es cualquier
subconjunto de A x B
R es una relación de A en B  R  A x B
Notación: Una relación de este tipo se llama relación binaria y suele denotarse así
R : A  B
Y se lee: “relación R que se aplica de A hacia B”. Recuerde que A es el conjunto de
partida y B es el conjunto de llegada.
En toda relación binaria hay:
a) Un conjunto de partida.
b) Un conjunto de llegada
c) Una regla de correspondencia
d) Dominio (primeros componentes de pares ordenados
e) Rango (segundos componentes)
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 4}. Hallar la Relación definida por
“a es menor que b”.

- I BIM.
58
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Solución:
a) A x B = {(1; 2); (1; 4); (2; 2); (2; 4); (3; 2); (3; 4)}
b) R = {(1; 2); (1; 4); (2; 4); (3; 4)}
c) Un conjunto departida es:
A = {1; 2; 3}
d) El conjunto de llegada es:
B = {2; 4}
e) El dominio de la relación es:
DR = {1; 2; 3}
f) El rango de la relación es:
RR = {2; 4}
g) Su gráfica es:
A B
1 .
2 .
3 .
2 .
4 .
Diagrama Sagital Diagrama Sagital
B
A
1 2 3
1
4
3
2
Práctica de clase
1. Sean los conjuntos: A = {Trujillo, Huaraz, Chiclayo} B = {Ancash, La Libertad,
Lambayeque, Piura} con una relación definida por “a es la capital de b”. Hallar:
a) La relación:
………………………………………..
b) Conjunto de Partida: c) Conjunto de llegada:
……………………………………….. ………………………………………..

- I BIM.
59
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
d) El dominio e) El rango:
……………………………………….. …………………………………..........
f) Diagrama sagital
2. Sean los conjuntos: D = {6; 7; 8} y E = {2; 3; 4} con R definida por “a es múltiplo de
b”. Hallar
a) D x E
…………………………………………………………………………………………………
b) La Relación:
....…………………………………………………………………………………………...…
c) El conjunto de partida: d) El conjunto de llegada:
…………………………………………
…………………………………………
e) El Dominio: f) El Rango:
…………………………………………
…………………………………………
g) Diagrama Sagital: h) Diagrama Cartesiano:

- I BIM.
60
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
3. Dados los conjuntos A = {1; 3; 5} y B = {2; 4; 6} con R definido por “a + b = 7”.
Hallar:
a) La Relación:
…………………………………………………………………………………………………
b) El conjunto de llegada c) El conjunto de partida:
…………………………………………..
…………………………………………..
d) El Dominio e) El Rango:
…………………………………………..
…………………………………………..
f) Diagrama Sagital g) Diagrama Cartesiano:
4. Sea A = {a, b, c} y la relación en A definida por “a = b”. Hallar:
a) A x A
b) La Relación:
…………………………………………………………………………………………………

- I BIM.
61
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
c) El conjunto de partida d) El conjunto de llegada:
…………………………………………..
…………………………………………..
e) El Dominio f) El Rango:
…………………………………………..
…………………………………………..
g) Diagrama Sagital h) Diagrama Cartesiano:
5. Sea C = {5; 8; 10} y la relación en C definido por “a divisible b”. Hallar:
a) C x C
b) La Relación:
…………………………………………………………………………………………………
c) El conjunto de partida d) El conjunto de llegada:
…………………………………………..
…………………………………………..
e) El Dominio f) El Rango:
…………………………………………..
…………………………………………..
g) Diagrama Sagital h) Diagrama Cartesiano:

- I BIM.
62
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
6. Hallar la suma de los elementos del dominio de la siguiente relación:
R = {(1;3), (-2; 4), (3; 4), (7; -8), (6; 3)}
7. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente relación:
R = {(1;3), (-2; 4), (3; 4), (7; -8), (6; 3)}
8 Dado el conjunto A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} , R  A x A ; (a ; b)  R  a es
divisor de b. Hallar n(R).

- I BIM.
63
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
ejercicios propuestos n°09
01. Sea R la relación de: A = {2, 4, 6, 8}
En B = {3,5,7} ; definida por: (a ; b)  R si y sólo si a < b. Indicar el número de
elementos de R.
a) 12 b) 7 c) 6
d) 4 e) 8
02. Dado el conjunto : A = {1 ; 2; 5/2 ; 3}
Encontrar por extensión la siguiente relación en A:
R1 = {(x,y) / x2 + y2 < 8 }
a) R1 = {(1,1), (2,2), (1,2), (2,1)}
b) R1 = {(1,1), (1,2), (1, 5/2), (5/2, 1), (2,1), (2,2)}
c) R1 = {(1,2), (1,3), (3,3)}
d) R1 = {((1,1), (2,2), (5/2, 5/2), (3,3)}
e) R1 = {(1,3), (3,1), (2,2)}
03. ¿Qué conjunto de pares ordenados:
R1 = {(3;2) , (4; 6) , (5; -1)}
R2 = {(1; 2) , (1; 3) , (1; -2)}
R3 = {(1; 4) , (3 ; 4) , (7 ; 3)}
R4 = {(3; 6) , (3; 7) , (4; 7)}
Son funciones:
a) R1  R3 b) R1  R2 c) R2  R4
d) R3  R4 e) N.a
4. ¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn – Euler representen a funciones:

- I BIM.
64
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
A B
I.- f
A B
II.- f
A B
III.- f
A B
IV.- f
A B
V.- f
TAREADOMICILIARIA
01. Dados los conjuntos: A = {2; 3; 8} B = {2; 4; 6; 8} y C = {3; 4; 5; 6}. Hallar:
a) R1 = {(a, b)  A x B / a < b }
b) R2 = {(a, c)  A x C / a = c }
c) R3 = {(b, c)  B x C / b + c = 9}
d) R4 = {(c, a)  C x A / c – a = 1}
e) R5 = {(b, c)  B x C / b > c }
* Para cada Relación hallar el producto cartesiano, el conjunto de partida y llegada,
el dominio y rango, y los diagramas.
* Determine cuáles son funciones y cuáles no lo son.

- I BIM.
65
I.E.P.
SANTO
TORIBIO

- I BIM.
66
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES
EL PUNTO:
La huella que deja en el papel un lápiz bien afilado, la huella que hace el plumón en la
pizarra, la marca que hacemos con la punta de un alfiler, un grano de arena, una estrella
en el firmamento, etc. Nos dan la idea de un punto.
Un punto es un elemento de una recta o de un plano
el punto geométrico es TAN PEQUEÑO que
CARECE DE DIMENSIÓN sólo tiene POSICION
EL
PUNTO
NOTACIÓN REPRESENTACIÓN
Los puntos se designan
por letras mayúsculas
° x +
A B C
LA RECTA:
El borde de una pizarra, un hilo tenso, un cable de luz bien tenso, nos dan la idea de
una recta . Una recta es una línea que se extiende indefinidamente en sus dos
extremos, es decir, no tiene origen ni tiene.
Toda recta contiene infinitos puntos
Toda recta es ilimitada
LA RECTA NOTACIÓN REPRESENTACIÓN
La recta se puede designar:
a) Por una letra mayúscula
b) Por dos de sus puntos con
el símbolo ↔ encima
R
A B
A B

- I BIM.
67
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
EL PLANO:
La superficie de la pizarra, del piso de una mesa, de la luna llena que a lo lejos parece
plana, de una hoja de papel de una sábana bien tendida, etc. Nos dan la idea de un
plano. Un plano no tiene límites ni espesor.
Un plano contiene infinitos puntos.
Un plano es ilimitado
. . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
EL
PLANO
NOTACIÓN REPRESENTACIÓN
El plano se designa
por:
a) Letras mayúsculas.
b) Letras griegas. H
Notación:
Plano H : H
Segmento, Rayo y Semirrecta
El segmento, rayo y la semirrecta son subconjuntos de la Recta:
SEGMENTO:
A B
Todo segmento es parte de una recta. Todo segmento tiene dos extremos. Se puede
medir.
El segmento se puede nombrar:
AB segmento AB
A
B segmento BA

- I BIM.
68
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
RAYOS:
P Q R
Q: punto de origen
Todo rayo es parte de una recta. Todo rayo tiene un punto de origen.
En el gráfico observamos dos rayos distintos:
QR rayo QR cuyo origen es el punto Q y pasa por el punto R.
QP rayo QP cuyo origen es el punto Q y pasa por el punto P.
 El origen Pertenece al rayo
SEMIRRECTAS:
A
El punto A divide a la recta en dos subconjuntos disjuntos.
Cada una de estas partes es una semirrecta.
El punto A es sólo la frontera y no pertenece a las semirrectas.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Dos rectas en un plano son paralelas o secantes.
A. Paralelas: Son dos rectas coplanares (Pertenecen a un plano) y no se intersecan.
* 

 B
A
R
L
R   L se lee: “La recta R es paralela con la recta L”
B. Secantes: Son dos rectas coplanares que tienen un punto de intersección. Las rectas
secante se clasifican en: Rectas oblicuas y rectas perpendiculares.

- I BIM.
69
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
a) RECTAS OBLICUAS. Estas rectas tienen un punto en común y al cortarse
determinan dos pares de ángulos de la misma medida.
R L se lee: “La recta R es oblicua a la recta L”
b) RECTAS PERPENDICULARES. Estas rectas tienen un punto en común y al
cortarse determinan 4 ángulos rectos.
R  L se lee: “La recta R es perpendicular a la
recta L”
Práctica de clase
1. Escribe 3 ejemplos que nos den la idea de punto.
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
2. Escribe 3 ejemplos que nos den la idea de recta:
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
3. Escribe 3 ejemplos que nos den la idea de plano:
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
P
R
L
R L = { P }
R
L

- I BIM.
70
I.E.P.
SANTO
TORIBIO

- I BIM.
71
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
4. Observa la figura y nombra:
B O
A
P
R
E C
Q D
Nueve Puntos : ......................................................................................................
Una recta : ......................................................................................................
Cinco rayos : ......................................................................................................
Seis segmentos : ......................................................................................................
Tres semirrectas : ......................................................................................................
5. Según el diagrama:
A B C
¿Cuántos segmentos observas?
......................................................................................................................................
Nómbralos:
......................................................................................................................................
¿Cuántos rayos observas?
......................................................................................................................................
Nómbralos:
......................................................................................................................................
6. Observa las rectas y clasifícalas: paralelas, secantes, perpendiculares:
L2
L1
L2
L1
L2
L1
L2
L1
......................... ............................. ....................... ......................................

- I BIM.
72
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
L2
L1
L2
L1
L2
L1
L2
L1
.......................... ............................ ........................ ........................
7. Observa el diagrama y completa la siguiente tabla, la flecha se lee: "El punto ...
pertenece a la recta ..."
X
R
S
A
N
P
L2
L1
L1
L3
L4
8. Según la recta:
A B C D
Escribe 6 segmentos:
.......................................................................................................................................
9. Observa; AB = 5 cm; BC = 4,5 cm.
A B C
¿Cuánto mide AC ?
.......................................................................................................................................
 L1 L2 L3 L4
N V
X F
S
P
R
A

- I BIM.
73
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
10. Observa la figura:
A B
D
C
Cuatro puntos: ..........................................................................................................
Tres segmentos: ..........................................................................................................
Cinco rectas: ..........................................................................................................
Dos pares de rectas secantes: ....................................................................................
Cuatro rayos: ..........................................................................................................
01. Por un punto de ¿Cuántas rectas se pueden trazar?
a) una b) dos c) infinitos d) N.a.
02. Por dos puntos. ¿Cuántas rectas se pueden trazar?
03. En un plano. ¿Cuántas rectas se pueden trazar?
04. En un plano. ¿Cuántos puntos se pueden trazar?
a) uno b) dos c) infinitos d) N.a.
05. En la recta: A B C ; AC = 18 cm, C
B = 5,5 cm.
¿Cuánto mide AB ?
a) 23,5 cm b) 12,5 cm c) 13 cm d) N.a.

- I BIM.
74
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
TAREADOMICILIARIA
1. En la figura, nombra:
A
I B
F
H
E
J
D
G
C
9 puntos; un par de rectas paralelas, dos pares de rectas secantes, un par de rectas
perpendiculares; 7 segmentos; 8 rayos, 5 rectas.
2. Traza:
a) En un plano P, tres puntos y tres rectas, nómbralos.
b) Dos pares de rectas paralelas, nómbralas.
c) Dos pares de rectas secantes, nómbralas.
d) Dos pares de rectas perpendiculares, nómbralas.

- I BIM.
75
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
ÁNGULOS
Recuerda:
OB
OA
: lados
O: vértice
Se acostumbra usar tres letras para nombrar un ángulo.
La letra del vértice siempre va entre las otras dos. Algunas veces se usa únicamente la
letra del vértice para nombrar un ángulo.
AOB se lee: "ángulo A O B"
O se lee: "ángulo O"
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Para encontrar la medida de un ángulo
se utiliza un instrumento llamado transportador.
Transportador
A
B
O
ÁNGULO es la reunión de dos rayos que tienen un
mismo origen.
La medida de un ángulo es el número de
grados que se asigna a dicho ángulo.

- I BIM.
76
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Ángulos Congruentes: Dos o más ángulos son congruentes si tiene igual medida:
AOB = MNP

O
A
B

N M
P
Bisectriz de un Ángulo: Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo, divide a este
en dos ángulos congruentes

O
A
B

M OM= Bisectriz
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos por su medida pueden ser:
a) Ángulo Nulo.- Es aquel cuya medida se considera a 0°
O A B
b) Ángulo Agudo.- Es aquel cuya medida es mayor que 0° pero menor que 90°
0° <  < 90°

O B
A
c) Ángulo Recto.- Es aquel cuya medida es exactamente 90°

O
 = 90°

- I BIM.
77
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
d) Ángulo Obtuso.- Es aquel cuya medida es mayor que 90°, pero menor que 180°
90° <  < 180°
A
O B

e) Ángulo Llano.- Es aquel cuya medida es exactamente 180°
 = 180°
A O B

f) Ángulo de una vuelta.- Es aquel cuya medida es exactamente 360°
A
O
B
g) Ángulo Convexo.- Es aquel cuya medida es mayor que 0° pero menor que 180°
0° <  < 180°
h) Ángulo Cóncavo.- Es aquel cuya medida es mayor que 180° pero menor que 360°
180° <  < 360°
Práctica de clase
1. Con ayuda de tu transportador construye los siguientes ángulos y clasifícalos:
ABC = 75º PQR = 90º MIO = 155º

- I BIM.
78
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
POQ = 30º MNS = 180º CDE = 270º
LSD = 315º QRS = 240º AJI = 300º
2. En la figura, nombra todos los ángulos:
T
S
P
Q
O
3. Observa estos ángulos y completa la tabla:
B
A
C
Q
P
R
O
E
F
S
B
D
Nombre del Medida Clasificación Vértice Lados

- I BIM.
79
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
4. En cada una de las siguientes figuras calcula el valor de "x"
a)
b)
c)
d)
5. Mide con tu transportador cada uno de los ángulos de la figura. Saca tu conclusión.
A
D
B
C
O
P
T
U
R
S
x
35º
A
B
C
O
x
68º
P R
S
Q
x
86º
V
T
O
35º
R
U
4x+25°
3x+10º
V
T
O
3x+5º
R
U

- I BIM.
80
I.E.P.
SANTO
TORIBIO

- I BIM.
81
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
6. En la siguiente figura calcula el valor de "x"
7. Completa el crucigrama y descubrirás el nombre de un filósofo matemático griego
que realizó importantes estudios de geometría:
1
2
3
4
6 5
7
8
9
1. Lo imaginamos como un pliego de papel lo más extenso, pero sin espesor.
2. Punto donde se inicia un rayo.
3. Nombre del punto que divide a la recta en dos semirrectas
4. Unión de dos rayos que tiene el mismo origen.
5. Lo que representa este dibujo.
6. Conjuntos con intersección vacía.
7. Lo que representa este dibujo
8. Ángulos que mide menos de 90º.
9. Dos rectas que tiene un punto en común.
A
D
B C
O
4x+12°
2x+42°

- I BIM.
82
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
01. ¿Cuánto será la medida de la suma de los ángulos internos de un rectángulo?
a) 90º b) 360º c) 45º d) N.a.
02. ¿Cuánto mide cada ángulo interno de un triángulo equilátero?
a) 180º b) 90º c) 60º d) N.a.
03. Si unimos el AOB = 90º con el BOC = 90º. ¿Qué ángulo se forma?
a) Recto b) Llano c) Obtuso d) N.a.
04. En la figura calcular el valor de cada ángulo:
x
2x
a) 30º y 60º b) 30º y 90º c) 45º y 45º d) N.a.
05. En la figura, el AOB es el triple de la medida del BOC. Hallar la medida de
cada ángulo.
B
C
O
A
a) 180º b) 60º y 130º c) 45º y 135º d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Construye los siguientes ángulos y clasifícalos:
AOB = 20º POF = 165º AJI = 75º
POQ = 85º MIO = 180º PIO = 175º
AMO = 150º AMI = 90º ANI = 30º
ALO = 15º LIO = 120º AJO = 100º

- I BIM.
83
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
2. En cada una de las siguientes figuras calcula el valor de "x"
a)
b)
c)
d)
3. Calcular el valor de “x”
2x+40°
3x+10°
2x
x+15º
A
B
C
O
2x+3°
3x+12º
P R
S
Q
3x
2x
V
T
O
x
R
U
2x+25°
2x+10º
V
T
O
x+5º
R
U

- I BIM.
84
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
4. OB: Bisectriz del ángulo AOM.
Calcular el valor de “x”
C
O
x
M
B
A
40°
5. Calcular el valor de “x”
x
48°

- I BIM.
85
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
POLÍGONOS
LÍNEA POLIGONAL: Es una línea formada por segmentos de recta que poseen
distintas direcciones. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas
Líneas Poligonales Abiertas:
Líneas Poligonales Cerradas:
Estas líneas poligonales cerradas reciben
el nombre de POLIGONOS
Polígono: Viene a ser un conjunto de segmentos tomados en forma consecutiva de tal
manera que su extremo inicial coincide con su extremo final.
Región
interior
Frontera
Región
exterior
- Un polígono determinó en el plano una Región interior y una región exterior.

- I BIM.
86
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
- El polígono es la frontera entre la región interior y la exterior.
- La unión de un polígono y su región interior recibe el nombre de Región poligonal.
Diagonal: Es el segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos
Diagonal Media: Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados
cualesquiera de un polígono.

P
A
Q
B
C
x
E
D
Elementos:
1. Vértices: A, B, C, .....
2. Lados: ,
BC
,
AB ......
3. Ángulos Interiores: , ....
4. Ángulos Exteriores: x, ....
5. Diagonal: EC , ....
6. Diagonal Media: PQ , .....
Nota: En todo polígono se cumple que el número de lados es igual al número de
vértices e igual al número de ángulos.
DENOMINACIÓN DE UN POLÍGONO SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS:
Nº de Lados POLIGONO
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Nonágono
10 Decágono
11 Endecágono


15 Pentadecágono

- I BIM.
87
I.E.P.
SANTO
TORIBIO


20 Icoságono
OBSERVACIÓN: Si un polígono tiene más de 20 lados; se le nombrará según el
número de lados. Por ejemplo si un polígono tiene 25 lados, se le llama Polígono de
25 lados.
CLASIFICACIÓN:
1. Polígono Convexo: Polígono en el cual todos los ángulos son menores de 180°
2. Polígono Cóncavo: Polígono que tenga por lo menos un ángulo cóncavo.
NOTA: La diferencia entre un polígono convexo y cóncavo se determina al
trazarle una recta secante; ya que si es convexo lo intersectará solo en dos
puntos, y si es cóncavo lo hará en más de dos puntos.
3. Polígono Equiángulo: Polígono convexo que tiene todos sus ángulos iguales, ya
sean internos ó externos.





4. Polígono Equilátero: Polígono convexo o cóncavo que tiene todos sus lados iguales.
5. Polígono Regular: Polígono convexo que tiene lados iguales y ángulos iguales.

- I BIM.
88
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
NOTA: Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a una
circunferencia. Tal que el centro de la circunferencia viene a ser el centro del
polígono.
PROPIEDADES GENERALES EN POLÍGONOS CONVEXOS DE “n” LADOS
1. Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice.
N°D1 = n – 3
2. Número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice.
N°() = n – 2
3. Número de diagonales medias trazadas a partir de un lado.
2
)
3
n
(
n
Nd



4. Número total de diagonales medias.
2
)
1
n
(
n
N0
dm


5. Suma de las medidas de los ángulos interiores.
S1 = 180° (n – 2)
6. Suma de las medias de los ángulos exteriores
Se = 360°
Además de estas fórmulas, para polígonos regulares se cumple:
7. Medida de un ángulo Interior

- I BIM.
89
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
n
)
2
n
(
180
Ai



8. Medida de un ángulo Exterior
n
360
Ae

Práctica de clase:
1. Marca con un aspa las figuras que son polígonos y escribe el número de sus
ángulos.
..................................... ..................................... ..................................... .....................................
2. Nombra los polígonos según el número de lados:
..................................... ..................................... ..................................... .....................................
3. Si en un hexágono regular, cada lado mide 9 cm. ¿Cuánto será su perímetro?
4. El perímetro de un cuadrilátero regular es 44 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

- I BIM.
90
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
5. Completa esta tabla:
Polígono
Número de
lados
Número de
vértices
Número de
ángulos
N° de
diagonales
del vértice P
P
Q
R
P
Q
R
T S
P
Q
R
S
P
U
R
T
Q
S
P
Q R
T
S
U
6. Completa los casilleros con el nombre de los elementos:

- I BIM.
91
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
7. Hallar el perímetro de:
a) Octógono regular cuyo lado mide 12,5 cm.
b) Pentágono regular cuyo lado mide 59 cm.
c) Decágono regular cuyo lado mide 27,8 cm.
8. Para un Octógono regular, calcular:
a) Suma de ángulos interiores.

- I BIM.
92
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
b) Número de diagonales.
c) Número de diagonales medias.
d) Medida de un ángulo interior.
e) Medida de un ángulo exterior.
ejercicios propuestos 12
01. ¿Cuántas diagonales se podrán trazar desde un solo vértice en un pentágono?
a) 2 b) 3 c) 5 d) N.a.
02. ¿Cuántos diagonales interiores tiene un heptágono?
a) 2 b) 5 c) 7 d) 6

- I BIM.
93
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
03. ¿Cuántas diagonales se podrán trazar en un triángulo?
a) 3 b) 2 c) 0 d) N.a.
04. El perímetro de un hexágono regular es 73,8 cm. Hallar su lado:
a) 6 b) 12,3 c) 12,5 d) N.a.
05. El ángulo externo de un polígono regular mide 72°, hallar el número de lados.
a) 9 b) 8 c) 7 d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Traza los siguientes polígonos y señala sus elementos: cuadrilátero, hexágono,
eneágono.
2. Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares:
a) Triángulo, lado 8 cm.
b) Pentágono, lado 15 cm.
c) Octógano, lado 12,8 cm.
3. Para un Pentadecágono regular, calcular
a) Suma de ángulos interiores.
b) Número de diagonales.
c) Número de diagonales medias.
d) Medida de un ángulo interior.
e) Medida de un ángulo exterior.

- I BIM.
94
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN: Se llama triangulo, a la figura formada por la reunión de los segmentos
determinados al unir tres puntos no colineales.
A
B
C
a
b
c



z
y
x
ELEMENTOS:
1. Lados: AC
,
BC
,
AB
2. Vértices: A, B, C
3. Perímetro 2p: 2p = a + b + c
4. Semiperímetro: p = (a + b + c) / 2
5. Longitud de los lados: AB = c; BC = a y AC = B
Medida de los ángulos de un triangulo (m )
 Ángulos Interiores
m  BAC = °; m  ABC = ° ; m  BCA = °
 Ángulos Exteriores
m 
x = x° : m 
y = y° ; m 
z = z°

- I BIM.
95
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
NOTACIÓN:
 ABC = AB  BC  AC
CLASIFICACIÓN: Los triángulos se pueden clasificar, ya sea sus lados o según sus
ángulos, de la siguiente manera:
CLASIFICACIÓN POR SUS LADOS
Δ Equilátero Δ Isósceles Δ Escaleno
A
B
C
Sus tres lados tienen la
misma medida, es decir,
son congruentes
A
B
C
Dos de sus lados son
congruentes, el lado desigual
se llama base. Los ángulos en
la base son congruentes.
A
B
C
Sus tres lados y sus tres
ángulos tienen diferente
medida. No son congruentes
POR SUS ÁNGULOS
Δ Acutángulo Δ Rectángulo Δ Obtusángulo
A

B
C


Sus tres ángulos son
agudos, es decir miden
menos de 90°.
A
B
C
Presenta un ángulo recto.
Los lados que forman el
ángulo recto se llaman catetos
y el que se opone al ángulo
recto se llama hipotenusa.
A
B
C
Presenta un ángulo obtuso, es
decir un ángulo que mide más
de 90°. El lado opuesto al
ángulo obtuso es el lado
mayor.
OBSERVACIONES:
1. Es un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los
lados que determinan el ángulo recto, son los catetos. La longitud de la hipotenusa
siempre es mayor que cualquiera de los catetos.
2. Los triángulos que no son rectángulos se llaman, en general, oblicuángulos.
3. Un triangulo no puede tener más de un ángulo obtuso.
4. En todo triangulo, uno de los lados cualesquiera pude ser la base mientras que en
un triangulo isósceles, se considera como base al lado desigual.
TEOREMAS FUNDAMENTALES
1. La suma de las medidas de los ángulo interiores de un triangulo es 180°

- I BIM.
96
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
A

 
B
C



 180



2. En todo triangulo, la medida de un ángulo es igual la suma de las medidas de los
ángulos interiores no adyacentes al ángulo exterior.
A


B
C
x

 

x
3. La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triangulo, uno por vértice, es
igual a 360°.
A
B
C
y
z
x



 360
z
y
x
Práctica de clase
1. Escribe el nombre de cada triángulo:
................................... ................................... ...................................

- I BIM.
97
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
................................... ...................................
2. Hallar “x”
50°
60°
x
3. Hallar “x + y”
y+50
40°
x+20
4. Hallar x.
x
150° 140°
5. Hallar x.
x
150°
30°
6. Hallar x.

- I BIM.
98
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
120°
120°
x
7. Hallar x.
180 -2x
180 - x
180 - 7x
8. Hallar x.
60° x
9. Hallar m.
118°
x
10.Hallar .

- I BIM.
99
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
6x
70°
5x

01. Hallar la medida de cada uno de los ángulos interiores de un triángulo equilátero.
a) 45° b) 60° c) 30° d) N. a.
02. La suma de los ángulos internos de un triángulo es:
a) 180° b) 90° c) 60° d) No se sabe
03. ¿Cuánto mide el ángulo desigual de un triángulo isósceles, si uno de los ángulos
iguales mide 50°?
a) 80° b) 60° c) 65° d) N. a.
04. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide:
a) 60° b) 90° c) 180° d) N. a.
05. En un triángulo rectángulo, las medidas de sus ángulos agudos están en relación de
2 a 3. ¿Cuánto mide el menor de dichos ángulos?
a) 36° b) 50° c) 60° d) N. a.
TAREADOMICILIARIA
1. Calcula en los triángulos, el valor del ángulo C:
A B
C
65° 65°
A B
C
100° 25°
A B
C
30°
A B
C
80°

- I BIM.
100
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
2. En el triángulo, hallar el valor de x:
x
36°
(07)
15° x
118°
x
CUADRILÁTEROS
Es la figura, geométrica plana determinada por la unión de cuatro puntos no colineales
mediante segmentos de recta de modo que estos segmentos no se intersecan.
Elementos:
Lados : AB ; BC ; CD ; AD
Vértices : A ; B ; C ; D
Ángulos internos : 
Diagonal : BD
PROPIEDADES EN CUADRILÁTEROS
D
A
B C


- I BIM.
101
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
01. La suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 360°
α + β + γ + θ = 360°
02. La suma de las medidas de sus ángulos exteriores es igual a 360°
α + β + γ + θ = 360°
De acuerdo al tipo de región que limita, un cuadrilátero puede ser convexo o cóncavo.
Cuadrilátero Convexo
AC y BD : diagonales
 +  +  +  =360°
ABCD : convexo




B
D
A
C
Cuadrilátero Cóncavo




B
D
A
C
x
y
z
w

- I BIM.
102
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
R
MNLR : cóncavo en R (> 180°)
ML y NR : diagonales
x+y+z+  = 360°
M
L

x
y
z
N
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
PARALELOGRAMO TRAPECIO TRAPEZOIDE
A
D
B C
Tiene sus lados
opuestos paralelos y
congruentes.
AD
//
BC y AD
BC 
CD
//
AB y CD
AB 
A
B C
D
Tiene un par de lados
paralelos.
AD
//
BC
A
B
C
D
No tiene lados paralelos.
PARALELOGRAMOS:
Los paralelogramos se clasifican en:
CUADRADO RECTANGULO ROMBO ROMBOIDE
A
B C
D
- Cuatro lados
iguales.
- Ángulos rectos.
- Diagonales
A D
B C
- Lados paralelos de
igual medida.
- Ángulos rectos.
A
D
C
B
- Lados de igual
medida.
- Ángulos no
B
A
D
C
- Lados paralelos
de igual medida.
- Ángulos no
rectos.
- Diagonales

- I BIM.
103
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
iguales y
perpendiculares.
- Diagonales iguales. rectos.
- Diagonales
perpendiculares.
desiguales y
oblicuas.
Propiedades en Paralelogramos:
1. Los lados opuestos son congruentes.
A D
B C
BC = AD
AB = CD
2. Los ángulos opuestos son congruentes.
A
D
B C
TRAPECIOS:
Los paralelogramos se clasifican en:
T. ESCALENO T. RECTÁNGULO T. ISOSCELES

- I BIM.
104
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
B
A
Si : AB CD
//
BC AD
C
D
y  Si : =
m ABC
 m BAD = 90°

B
A
C
D
B
A
Si : AB CD
//
BC AD
C
D
y 
 


d d
Propiedades en Trapecios:
1. En todo trapecio la base media es paralela a las bases del trapecio, además su
longitud es igual a la semisuma de las longitudes de dichas bases.
B
A
m
M N
m
n
n
C
D
a
x
b
Si MN es la base media del trapecio ABCD  BC
//
MN
Además :
2
b
a
x


TRAPEZOIDES:
Los trapezoides se clasifican en:
TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO TRAPEZOIDE SIMÉTRICO
BC // AD
B
D
A
C
Si : y AB // BC
B D
A
C
Si : AB // CD y BC // AD
Además : BD mediatriz de AC
a
a
b
b
m
m




Práctica de clase
1. Escribe el nombre de cada cuadrilátero:

- I BIM.
105
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
............................................. ............................................. .............................................
2. ¿Cuántos suman los ángulos internos de un cuadrilátero?
......................................................................................................................................
3. Completa:
El .................................... y el .................................. tienen sus 4 lados de igual
medida.
El .................................... y el .................................. tienen sólo sus lados opuestos
de igual medida.
El ................................... y el ................................... tienen todos sus ángulos rectos.
4. Completa la tabla con Si o No, según corresponda.
Los lados
¿son
congruentes?
Los lados
opuestos ¿son
congruentes?
Los lados
Consecutivos
¿son
perpendiculares?
Los lados
opuestos
¿son
paralelos?
¿hay dos
lados
opuestos
paralelos?
5. En un paralelogramo ABCD, AB = x + 8 y CD = 16. Hallar “x”

- I BIM.
106
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
6. En un paralelogramo ABCD, AB = 5x - 12 y CD = 37. Hallar “x”
7. En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, AB=2x+1 y CD = x + 6. Hallar “x”
8. Dos lados de un rombo miden: 7x – 21 y 4x + 12. Hallar “x”
9. En un cuadrilátero ABCD, m<A = 2m<B. m<C = 110° y m<D = 100°. Hallar “m<A”

- I BIM.
107
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
10. En un cuadrilátero se sabe que las medidas de los ángulos exteriores en A, B y C
miden “x”, “2x” y “3x” respectivamente y la medida del ángulo interior en D mide 60°.
Hallar “x”.
01. Hallar la mediana de un trapecio, si una de las bases es los
5
3
de la otra que mide
20 cm.
a) 12 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 18 cm e) N.A.
02. Las bases de un trapecio miden 20 cm, y 26 cm. Hallar la medida de la mediana.
a) 46 cm b) 23 cm c) 48 cm d) 24 cm e) N. A.
03. La mediana de un trapecio mide 20 cm, si una de las bases mide 12 cm. Hallar la
medida de lastra base.
a) 18 cm b) 24 cm c) 28 cm d) 34 cm e) NA
04. Hallar el perímetro del cuadrilátero PQRS . Si AC + BD = 16 mt.
A
P
B Q C
R
D
S
a) 4m b) 8m c) 12m d) 16m e) 24m

- I BIM.
108
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
05. En la figura. Hallar el suplemento de “x”
8x+14
8x+10°
3x+6
x
A
B
C
D
a) 16,5 b) 195,5 c) 163,5 d) 150 e) N.A.
TAREADOMICILIARIA
1. En un cuadrilátero ABCD, m<A = 3m<B. m<C = 110° y m<D = 130°. Hallar “m<B”
2. Uno de los lados de un rectángulo mide 2x + 5 y su lado opuesto mide 4x – 13 .
Hallar “x”.
3. En un cuadrilátero se sabe que las medidas de los ángulos exteriores en A, B y C
miden “x”, “3x” y “6x” respectivamente y la medida del ángulo interior en D mide
100°. Hallar la medida de los ángulos exteriores en A, B y C.
4. En un cuadrilátero convexo, la suma de las medidas de tres de sus ángulos
interiores es 293°. Hallar la medida del cuarto ángulo interior.
5. En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, m<A = 50° y m<D = x + 10°. Hallar “x”.

- I BIM.
109
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
PERÍMETROS Y ÁREAS
PERÍMETRO: Se define como perímetro a la suma de las medidas de todos los lados de
un polígono. Así por ejemplo:
c
a
b d
AREA: Se define como área a la medida de la superficie limitada por una figura
cerrada. Entre las principales áreas tenemos:
1. ÁREA DEL TRIÁNGULO: El área de un triángulo cualquiera, es igual al semi
producto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado.
A H C
B
h
b
2. AREA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO: El área de un triángulo rectángulo es
igual a la mitad del producto de sus catetos.
B
b
C
A
c
3. AREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO :
2
bh
A ABC


2
bc
A ABC


4
3
2
L
A 
d
c
b
a
P 




- I BIM.
110
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
L
L
L
h
4. ÁREA DEL CUADRADO: El área de una región cuadrada es igual al cuadrado de la
longitud de su lado.
B
D
C
A
d


5. ÁREA DEL RECTÁNGULO: Es igual al producto de la base por la altura.
B
D
C
A
a
b
6. ÁREA DEL ROMBOIDE: Es igual al producto de las longitudes de un lado y la altura
relativa a dicho lado.

B
a
b D H
C
A
h
7. ÁREA DEL ROMBO: Es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.
B
D
C
A
m m
m m
d2
d
1
8. ÁREA DEL TRAPECIO: es igual al producto de la semisuma de las longitudes de
las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.
3
3
2
h
A 
2


ABCD
A
2
d
A
2
ABCD

ab
A ABCD

bh
A ABCD

2
d
d
A 2
1
ABCD


- I BIM.
111
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
b
h
B
9. CÍRCULO: Es aquella región plana limitada por una circunferencia.
d
R
O
Se denomina circunferencia a la línea que rodea al círculo, por tanto hablar de
perímetro de la circunferencia es lo mismo que decir longitud de la circunferencia y
se calcula mediante las siguientes fórmulas:
R
2
L
P 0


 ; d
L
P 0



Práctica de clase
1. Hallar el área de un triángulo, cuya base mide 12 cm y la altura es la mitad de la
base.
2. La altura de un triángulo es 15 cm. y su base es el triple de la altura. Hallar su área.
3. El área de un triángulo equilátero mide 966 cm2 y uno de sus catetos mide 23 cm.
Hallar la medida del otro cateto.
h
2
b
B
A ABCD





 

4
d
A
2


2
R
A 


- I BIM.
112
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
4. El perímetro de un triángulo equilátero es 18 cm. Hallar su área.
5. El área de un triángulo equilátero es 2
cm
3
4 . Hallar el perímetro de dicho triángulo.
6. Hallar el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 48 cm.
7. Hallar el área de un rectángulo cuya base mide 18 cm y su altura es la tercera parte
de la base.
8. Hallar el perímetro de un cuadrado cuya área es 900 cm2.

- I BIM.
113
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
9. Hallar el área de un rombo cuyas diagonales miden 6cm y 8cm respectivamente.
10. El área de un romboide es 120 cm2 y su base mide 15 cm. Hallar la medida de la
altura de dicho romboide.
11. La base mayor de un trapecio mide 12 cm y la base menor mide la tercera parte de
la base mayor. Hallar el área de dicho trapecio si la altura mide 3cm.
12. En un Si el perímetro de un rectángulo es 32 cm y el ancho mide 4 cm. Hallar el
área.

- I BIM.
114
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
13. El radio de una circunferencia mide 12cm. Hallar el perímetro y el área de la región
circular en función de π.
14. El perímetro de una circunferencia es 12 π cm. Hallar el área del circulo
comprendido dentro de dicha circunferencia.
15. El área de un círculo mide 64 π cm2. Hallar el perímetro de dicha circunferencia.
01. El perímetro de un triángulo equilátero mide 10 cm. Hallar su área en cm2.
a) 3
25 b) 3
50 c) 3
100 d) N. a.
02. Hallar el área de la figura, si 17
AC
,
8
BH 

B C
A
H
a) 17 b) 34 c) 18 d) 68

- I BIM.
115
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
03. Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, si 8
BA
y
7
BC 

A
B
C
a) 25 b) 19 c) 28 d) 56
04. Hallar el área de un triángulo equilátero, si el lado es 23
a) 3
3 b) 3
4 c) 3 d) 3
2
05. El perímetro de un hexágono regular es 73,8 cm. Hallar su lado:
a) 6 b) 12,3 c) 12,5 d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
1. Un banderín tiene la forma de un triángulo cuya base mide 25 cm y su altura 32 cm.
Hallar su área.
2. El área de un terreno de forma triangular mide 500 m2 y su altura 25 m. ¿Cuánto
mide su base?
3. El área de un parque de forma triangular mide 108 m2 y su base 18 m. Hallar su
altura.
4. La base de un triángulo mide 18 cm y su altura es el doble de la base. Hallar su
área.
5. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 28 m y uno de sus
lados iguales mide 34 m?
6. Hallar el perímetro de Octógono regular cuyo lado mide 12,5 cm.
7. Hallar el área de un cuadrado cuyo lado mide 13 cm.
8. Hallar el área de un rectángulo cuya base mide 48 cm y su altura es la tercera parte
de la base.
9. Hallar la medida de cada lado de un cuadrado cuya área es 625 cm2.
10. Si el perímetro de un cuadrado mide 44 cm. Hallar su área.
11. Si el perímetro de un rectángulo es 32 cm y el ancho mide 4 cm. Hallar el área.
12. La base menor de un trapecio mide 6 cm y la base mayor mide el duplo de la base
mayor. Hallar el área de dicho trapecio si la altura mide 5cm.
13. El radio de una circunferencia mide 7cm. Hallar el perímetro y el área de la región
circular en función de π.

- I BIM.
116
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
14. El perímetro de una circunferencia es 18 π cm. Hallar el área del círculo
comprendido dentro de dicha circunferencia.
15. El área de un romboide es 180 cm2 y su base mide 12 cm. Hallar la medida de la
altura de dicho romboide.
AREAS SOMBREADAS
Para hallar el área de una región sombreada, debes hacer uso de tu razonamiento y de
las fórmulas aprendidas.
Práctica de clase
1. Hallar el área de la región sombreada:
6 cm
2 cm
8 cm
4 cm
4 cm
8 cm
8 cm

- I BIM.
117
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
4 cm
6 cm
6 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
18 cm
10 cm
12 cm
10 cm
6 cm 6 cm
8 cm
8 cm

- I BIM.
118
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Hallar el área de las regiones sombreadas:
20 cm
20 cm
a) 68 cm2 b) 86 cm2 c) 56 cm2 d) N.a.
4 cm
8 cm
a) 26,72 cm2 b) 25,72 cm2 c) 68,72 cm2 d) N.a.
2cm
3cm
a) 12,56 cm2 b) 15,7 cm2 c) 28,26 cm2 d) N.a.
30 cm
30 cm
a) 193,6 cm2 b) 193,5 cm2 c) 180,5 cm2 d) N.a.

- I BIM.
119
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
16 cm
4 cm
6 cm
a) 60 cm2 b) 80 cm2 c) 50 cm2 d) N.a.
TAREADOMICILIARIA
20 cm
20 cm
6 cm
6 cm 6 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm

- I BIM.
120
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
10 cm
12 cm
12 cm
Múltiplos y Divisores
Múltiplos,
divisores y
divisibilidad
Motivación:

- I BIM.
121
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Esta pieza de tela
mide 24 metros.
¿Podré hacer cortes
de 3,4 o 5 metros.
La señora puede hacer cortes de 3m y 4m porque los divisores son exactos pero no
puede hacer cortes de 5m porque la división no es exacta.
Por lo tanto:
24 es múltiplo de 3 y 4 pero no de 5; entonces 3 y 4 son divisores de 24.
 En toda multiplicación de dos números naturales obtienes un múltiplo y obtienes dos
divisores.
Ejemplo:
9 x8 = 72
72 es múltiplo de 8 y9
9 y8 son divisores de 72
OJO:
* El cero es múltiplo de todo número.
* El 1 es divisor de todo número.
Comprobamos los cortes
que se pueden hacer en la
tela mediante divisiones:
24m : 3 = 8m
24m : 4 = 6m
24m : 5 = 4m
pero sobran 4m.

- I BIM.
122
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
Un número es múltiplo de otro, si lo "contiene"
un número exacto de veces.
Un número es factor o divisor de otro, si está
"contenido" en el número exacto de veces.
Práctica de clase
1. Obtenemos múltiplos de un número:
Múltiplos de 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 6 0 6 12
El conjunto de los 13 primeros múltiplos de 6 es:
{0 , 6 , 12 , ............................................}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 8
{........................................................}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 3
{.......................................................}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 12
{.................................................}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 5
{.........................................}
2. Hallamos el conjunto de todos los divisores de 20.

- I BIM.
123
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
20
1 x 20
2 x 10
4 x 5
D ={1; 2; 4; 5; 10; 20}
2
6
18
30
27
45

- I BIM.
124
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
25
10
12
35
60

- I BIM.
125
I.E.P.
SANTO
TORIBIO
28
3. Escribe "V" ó "F" si la proposición es verdadera o falsa.
24 es divisor de 24 5 es divisor de 80
2 es divisor de 48 6 es múltiplo de 18
3 es divisor de 21 6 es divisor de 18
15 es divisor de 3 4 es factor de 64
90 es múltiplo de 9 4 es múltiplo de 64
4. Pinta sólo los casilleros con los divisores del número que se indica en cada caso:
21 45 28
3 8 7 5 2 5 4 9 45 15 1 7 2 8 5
1 21 11 10 12 3 7 54 2 1 9 28 14 6 4
 Escribe todos los divisores de estos números:
)
21
(
D ={ ................................. )
45
(
D = { ............................... )
28
(
D = { ............................
5. Halla los elementos de cada conjunto:
A = {x  N / 40 < x < 90; x es múltiplo de 8}
A = { , , , , , }
B = {x  N / 90 < x < 123; x es múltiplo de 9}
B = { , , }
C = {x  N / 130 < x < 180; x es múltiplo de 15}
C = { , , }

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