resolución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss

2. En una confitería envasan bombones en cajas de 250 gr,
500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total,
habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño ( 250 gr.) que de
tamaño mediano (500 gr ). Sabiendo que el precio del
kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el importe total
de los bombones envasados asciende a 1250 euros.
A) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han
envasado de cada tipo.
B)Resuelve el problema

3. Primero escribimos las incógnitas
x = número de cajas de bombones de 250 gramos
y = número de cajas de bombones de 500 gramos
z = número de cajas de bombones de 1 kilogramo
Planteamos las ecuaciones del sistema
“Cierto día se envasaron 60 cajas en total” x + y + z = 60
“habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250gr.) que de tamaño
mediano(500 gr )“ x=y+5
“Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el
importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros”
40 ·(0,250x) +40 · (0,500y) + 40·1z = 1250 operamos
10x +20y +40z = 1250 1x + 2y +4z = 125

4. Escribimos las ecuaciones en orden
x+y+z = 60
El método de Gauss consiste en
x- y =5 hacer ceros por debajo de la
diagonal, es decir la primera
x + 2y + 4z = 125 ecuación tendrá tres incógnitas, la
segunda ecuación dos incógnitas y la
tercera ecuación solamente una
incógnita
Para ello escribimos solamente los coeficientes de las incógnitas
colocados en filas, así obtenemos una matriz para operar con ella.
Vamos eliminando primero la incógnita x de la segunda y tercera
ecuación, restando filas entre sí. Ahora eliminamos la incógnita y
de la tercera ecuación.

5. 1 1 1 60  1 1 1 60 
   
1 − 1 0 5   0 − 2 − 1 − 55 
F2 - F1
2F3 –F2
1 2 4 125 
F3 – F1
  0 1 3 65 
 
1 1 1 60 
  SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
 0 − 2 − 1 − 55  EXISTE UNA ÚNICA SOLUCIÓN
0 0 5 85 
 
Escribimos el sistema x + y + z = 60
Lo resolvemos
- 2y – z = - 55 empezando por la
tercera ecuación
5z = 85

6. Empiezo con la tercera ecuación
5z = 85 x = 85/5 = 17 cajas pequeñas
En la segunda ecuación sustituyo
-2y – z = - 55 2y + z = 55 2y + 17 = 55
2y = 55-17 y = 38/2 = 19 cajas medianas
Para acabar sustituyo en la primera
x + y + z = 60 x + 19 + 17 = 60 x = 24 cajas de 1 kg
Solución: x = 24 cajas de 1 kilo
y = 19 cajas de 500 gramos
z = 17 cajas de 250 gramos