El resumen resume el proceso de resolución de una ecuación trigonométrica. Primero se multiplica toda la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones. Luego se aplican identidades trigonométricas y se factoriza para simplificar la ecuación. Esto resulta en una ecuación que puede ser despejada para encontrar que la única solución es sen(x)=1/2, lo que implica que x=π/6 o 5π/6 más cualquier múltiplo de 2π.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: Ecuaciones trigonométricas
Obtener el conjunto solución de sen x
1 + cos x
+ cot x = 2
Solución:
Primero se multiplica toda la ecuación por el denominador de la primer fracción, es decir, multiplicar por
1 + cos x, entonces se tiene:
sen x + cot x (1 + cos x) = 2(1 + cos x)
Desarrollando los paréntesis se obtiene:
sen x + cot x + cot x cos x = 2 + 2 cos x
Por la identidad trigonométrica cot x =
cos x
sen x
se puede reescribir como:
sen x +
cos x
sen x
+
cos x
sen x
cos x = 2 + 2 cos x
Ahora multiplicando por sen x toda la ecuación y desarrollando los productos se tiene:
sen2 x + cos x + cos2 x = 2 sen x + 2 cos x sen x
Por identidad pitagórica sen2 x + cos2 x = 1 y factorizando 2 sen xse tiene:
1 + cos x = 2 sen x(1 + cos x)
Dividiendo por 1 + cos x en la ecuación se obtiene:
1 = 2 sen x
Despejando sen x se simplifica en:
sen x =
1
2
Aplicando las soluciones en el intervalo [0, 2[, la ecuación solo tiene solución si
x = 6
, x =
5
6
Ampliando el conjunto de solución a todos los reales, es decir, añadiendo el periodo 2 a cada solución,
se tiene:
S = ›x R~x = 6
+ 2k - x =
5
6 + 2k, con k Z