El documento presenta la resolución de un problema geométrico que involucra encontrar las áreas de un cuadrado y un triángulo equilátero dados ciertas condiciones sobre la distancia de un punto interior a cada uno de sus lados. Se resuelven los sistemas de ecuaciones resultantes aplicando el teorema de Pitágoras y se obtienen expresiones para el lado de cada figura que satisfacen las condiciones, concluyendo con las expresiones para sus áreas.

1. HKV TEX
Victor Solano Mora 1
Tema: TGM: Problema del día
Hallar las áreas del cuadrado jABCD y del triágulo equilátero QAœBœCœ que satisfacen:
AP = 2 = AœPœ, BP = 3 = BœPœ y CP = 4 = CœPœ
Siendo P y Pœ puntos interiores del cuadrado y del triángulo, respectivamente.
Primer solución:
Sean n, x y y, la medida del lado del cuadrado, la abscisa y
la ordenada del punto P, respectivamente. El problema está
enfocado en determinar el área del cuadrado, n2.
No obstante, debemos expresarla en términos númericos,
para ello, se expresará primero en términos de n y expresarla
como un número real.
Por el teorema de Pitágoras, se tienen las ecuaciones:
(a) x2 + y2 = 4
(b) x2 + y2 − 2nx + n2 = 9
(c) x2 + y2 − 2nx − 2ny + 2n2 = 16
Utilizando la ecuación (a) en las ecuaciones (b), y esta en (c), se reducen estas últimas a las ecuaciones:
n2 − 2nx = 5 , n2 − 2ny = 7
De las cuales, se obtienen los valores de x y y en términos de n:
x = n2 − 5
2n
, y = n2 − 7
2n
Sustituyendo estos valores de x y y, en la ecuación (a), se obtiene la ecuación:
n4 − 20n2 + 37 = 0
Todas las soluciones de esta ecuación bicuadrática son:
n = −
»
10 − 3
»
10 + 3
º
7 , n = −
º
7 , n =
»
10 − 3
º
7 , n =
»
10 + 3
º
7
Dado que se trabaja un enfoque euclidiano, las raíces negativas son desechadas como posibles distancias
y se obtienen las soluciones:
n =
»
10 − 3
º
7 , n =
»
10 + 3
º
7

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Victor Solano Mora 2
Ahora, haciendo énfasis en que la distancia debe satisfacer la desigualdad triangular, es decir, la diagonal
del cuadrado debe satisfacer:
d < 6 n
º
2 6 n 3
º
2
No obstante, el interior de un cuadrado solo puede albergar una distancia máxima, para un segmento,
igual a su diagonal; es decir, si alguna de las distancias de los vértices mencionados al punto P es mayor
a la diagonal, entonces dicha medida del lado debe desecharse, por ende, se realizan los cálculos:
º
2 =
n
»
10 − 3
º
7
º
2 2,0311 no es mayor a las distancias a P.
º
2 =
n
»
10 + 3
º
7
º
2 5, 9895 sí es mayor a las distancias a P.
Se concluye que el único valor del lado del cuadrado corresponde a la solución
»
10 + 3
º
7 y cuya área
corresponde a la expresión:
º
7 17,9372
n2 = 10 + 3
Segunda solución:
Sean 2n, x y y, la medida del lado deltriángulo equilátero,
la abscisa y la ordenada del punto P, respectivamente. El
problema está º
enfocado en determinar el área del triángulo
equilátero, n2
3.
No obstante, debemos expresarla en términos númericos,
para ello, se expresará primero en términos de n y expresarla
como un número real.
Por el teorema de Pitágoras, se tienen las ecuaciones:
(a) x2 + y2 = 4
(b) x2 + y2 − 4nx + 4n2 = 9
(c) x2 + y2 − 2nx − 2
º
3ny + 4n2 = 16
Utilizando la ecuación (a) en las ecuaciones (b) y (c), se reducen estas últimas a las ecuaciones:
º
3ny = 12
4n2 − 4nx = 5 , 4n2 − 2nx − 2
De la primer ecuación se obtiene x en términos de n y la en la segunda se despeja y en términos de n y se
sustituye el valor de x de la primer ecuación, de las cuales, se obtienen los valores de x y y en términos
de n:
x =
4n2 − 5
4n
, y =
4n2 − 2nŠ4n2−5
4n  − 12
º
3n
2
Amplificando la segunda ecuación por 4n se simplifica en:
x =
4n2 − 5
4n
, y =
4n2 − 19
º
4
3n

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Ahora se sustituyen estos valores en la ecuación (a), se obtiene la ecuación:
‹
4n2 − 5
4n

2
+ Œ
4n2 − 19
º
4
3n
2
= 4
‘
Distribuyendo el exponente y amplificando la ecuación por 48n2 se reduce a:
3(4n2 − 5)2 + (4n2 − 19)2 = 192n2
Desarrollando los binomios al cuadrado e igualando a 0 se obtiene la ecuación bicuadrática:
16n4 − 116n2 + 109 = 0
Todas las soluciones de esta ecuación bicuadrática son:
n = −
¾
29 − 9
¾
29 + 9
º
5
8 , n = −
º
5
8 , n =
¾
29 − 9
º
5
8 , n =
¾
29 + 9
º
5
8
Dado que se trabaja un enfoque euclidiano, las raíces negativas son desechadas como posibles distancias
y se obtienen las soluciones:
n =
¾
29 − 9
º
5
8 , n =
¾
29 + 9
º
5
8
En un triángulo equilátero, la mayor distancia posible es la altura de este, es decir, º
las medidas de los
segmentos formados desde P hasta cada uno de los vértices ha de ser menor a n
3 entonces:
º
3 =
n
¾
29 − 9
º
5
8
º
3 1,8243 no es mayor a las distancias a P.
º
3 =
n
¾
29 + 9
º
5
8
º
3 4,2920 sí es mayor a las distancias a P.
Se concluye que el único valor del lado del triángulo equilátero corresponde a la solución
¾
29 + 9
º
5
8 y
cuya área corresponde a la expresión:
n2
º
3 =
º
5
8
29 + 9
º
3 10,6357