GUÍA DE MATEMÁTICAS, BLOQUE 4, TERCER GRADO DE SECUNDARIA

1. 132
PATRONES Y ECUACIONES
• Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una
sucesión.
SUCESIONES NUMÉRICAS DE PRIMER GRADO
Una sucesión numérica es una serie de números o un conjunto de números que se
encuentran escritos ordenadamente en base a una regla dada.
Es sucesión de figuras cuando está representada por figuras.
ORDEN (n) 1 2 3 4 5 6 7
SUCESIÓN
DE
FIGURAS
SUCESIÓN
NUMÉRICA 1 3 5 7 9 11
PROBLEMA: Encuentra el término 20 de la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11…
Para encontrar el término número 20, primero encontramos las primeras diferencias, de
derecha a izquierda, en los términos continuos de la sucesión.
n (orden de la sucesión) 1 2 3 4 5 6 11 – 9 = 2
9 – 7 = 2
Sucesión 1 3 5 7 9 11 7 – 5 = 2
5 – 3 = 2
Primera diferencia 2 2 2 2 2 3 – 1 = 2
Como la primera diferencia es 2 y este es constante, esto nos indica que se trata de una
expresión de primer grado, de la forma an + c, donde a y c son números constantes.
La primera diferencia 2, debe ser uno de los términos de la regla general.
Enseguida, por ensayo y error llegamos a la regla general de la sucesión. Vemos que la
diferencia 2 multiplicándolo por cada valor de n y restándole 1, obtenemos cualquier
término de la sucesión. 2n – 1 es la regla general de la sucesión.
n = 1 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
n = 2 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
n = 3 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5
n=20 2(20) – 1 = 40 – 1 = 39 “El número buscado es 39”
BLOQUE 4
Derecha Izquierda

2. 132
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa las siguientes sucesiones de 8 términos, encuentra las primeras diferencias
de la sucesión y determina la regla general de cada una.
A)
Orden de la sucesión: n 1 2 3 4 5 6 7 8
Sucesión 3 7 11
Primera diferencia 4
¿4n – 1 es la regla general de la sucesión? _______
¿Cuál es el término número 100 de la sucesión? _______
B)
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Sucesión 8 14 20
Primera diferencia
¿Cuál es la regla general de la sucesión? ___________
¿Cuál es el término 20 de la sucesión? ____ ¿Cuál es el término 40 de la sucesión? ____
C) Escribe los primeros 5 términos que se piden de cada regla general de la sucesión.
1 2 3 4 5
2n + 1
4n + 4
3n – 2
3n + 10
3n - 10
D) Escribe la regla general de cada una de las siguientes sucesiones numéricas.
SUCESIÓN NUMÉRICA REGLA GENERAL
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, …
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …
Empezamos de
derecha a
izquierda

3. 132
SUCESIONES NUMÉRICAS DE SEGUNDO GRADO
PROBLEMA: Encuentra la regla general de la sucesión: 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65…
Este es otro tipo de sucesión de números.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Sucesión 2 5 10 17 26 37 50 65
Primera diferencia 3 5 7 9 11 13 15
Segunda diferencia 2 2 2 2 2 2
Hasta la segunda diferencia se encuentra la constante 2, lo que indica que se trata de una
sucesión de segundo grado o cuadrática de la forma: n², o, n² + b, o, n² + bn + c.
La regla general de la sucesión la podemos encontrar por ensayo y error.
Si elevamos n al cuadrado y le sumamos 1, nos da cualquier término de la sucesión.
La regla general de la sucesión es n² + 1.
1² + 1 = 1 + 1 = 2
2² + 1 = 4 + 1 = 5
3² + 1 = 9 + 1 = 10
¿Cuál es el término que se encuentra en el lugar 50?
Si n es = 50 La regla general es n² + 1. Entonces: 50² + 1 = 2 500 + 1 = 2 501
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa las siguientes sucesiones numéricas de 8 términos, aplica el método de
diferencias hasta encontrar la constante y encuentra la regla general de cada sucesión.
A)
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Sucesión 1 4 9 16
Primera diferencia
Segunda diferencia
¿n² es la regla general de la sucesión? _______
¿Cuáles números ocupan los lugares 10, 20, 30 y 40 en la sucesión numérica anterior?
n 10 20 30 40
Términos

4. 132
B)
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Sucesión 3 6 11 18 27 38 51 66
Primera diferencia
Segunda diferencia
¿n² - 1 es la regla general de la sucesión? ________
¿n² + 2 es la regla general de la sucesión? ________
¿Cuál término ocupa el lugar 25 de la sucesión? _________
C) ¿Cuál es la regla general de la siguiente sucesión?
Regla general: ___________
¿Cuál término ocupa el lugar 9 en esta sucesión? ___________
2.- Utiliza la regla general n² para encontrar los primeros cinco términos de una sucesión
numérica.
n
Sucesión
3.- Utiliza la regla general: n² + 1 para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n 1 2 3 4 5
Sucesión
4.- Utiliza la regla general: n² – 4 para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
SUCESIÓN 4 7 12 19 28 39 52 67

5. 132
Sucesión
5.- Utiliza la regla general n² - 1 para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n
Sucesión
6.- Utiliza la regla general: 3n² + 1 para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n
Sucesión
7.- Utiliza la regla general: 3n² + 3n + 1 para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n
Sucesión
8.- Utiliza la regla general n² + 3n para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n
Sucesión
9.- Utiliza la regla general: n² + 3n – 1 para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n
Sucesión
10.- Utiliza la regla general: n² - 3n – 1 para encontrar los primeros cinco términos de una
sucesión numérica.
n
Sucesión

6. 132
11.- Analiza la siguiente sucesión numérica:
2, 5, 10, 17, 26…
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es con la que se puede encontrar
el valor de la enésima posición de la sucesión? ………………………………………….(___)
a) n² + 1 b) n² + 2 c) n² + 3 d) a) n² - 1
12.- Analiza la siguiente sucesión numérica:
3, 6, 11, 18, 27…
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es con la que se puede encontrar
el valor de la enésima posición de la sucesión? ………………………………………….(___)
a) n² + 1 b) n² + 2 c) n² + 3 d) a) n² - 1
13.- Analiza la siguiente sucesión numérica:
5, 8, 13, 20, 29…
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es con la que se puede encontrar
el valor de la enésima posición de la sucesión? ………………………………………….(___)
a) n² + 3 b) n² + 2 c) n² + 4 d) a) n² - 4
14.- Analiza la siguiente sucesión numérica:
0, 3, 8, 15, 24…
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es con la que se puede encontrar
el valor de la enésima posición de la sucesión? ………………………………………….(___)
a) n² + 1 b) n² + 2 c) n² + 3 d) a) n² - 1
15.- Analiza la siguiente sucesión numérica:
5, 11, 21, 35, 53…
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es con la que se puede encontrar
el valor de la enésima posición de la sucesión? ………………………………………….(___)
a) n² + 3 b) n² - 3 c) 2n² + 3 d) a) 2n² - 3
16.- Analiza la siguiente sucesión numérica.
3, 12, 25, 42…
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas, es con la que se puede encontrar
la enésima posición de la sucesión? …………………..………………………..………….(___)
a) 3n² + 3n + 2 b) 2n² + 3n c) 2n² + 3n – 2 d) 4n² + 2n – 2
17.- Analiza la siguiente sucesión numérica.
7, 15, 27, 43…
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas, es con la que se puede encontrar

7. 132
la enésima posición de la sucesión? ……………………………………………………….(___)
a) 2x² + 2x + 3 b) 3x² + 3x c) 2x² + 3x + 2 d) 4x² + 2x
18.- Mi papá me ha dado dinero durante
cuatro días seguidos, de tal manera que me
ha entregado 4, 10, 18, 28 pesos
respectivamente.
Escribe sobre la raya la palabra FALSO o
VERDADERO, según sea lo que se establece
enseguida:
La expresión algebraica que representa el
dinero incrementado cada semana es:
x² + 3x ………………..________________
19.- En un concurso de matemáticas, por
contestar bien la primer pregunta el equipo
gana 11 puntos, por la segunda pregunta
gana 14 puntos, por la tercera 19 puntos, por
la cuarta 26 puntos y así sucesivamente.
Escribe sobre la raya la palabra FALSO o
VERDADERO, según sea lo que se establece
enseguida:
La expresión algebraica que representa el
total de puntos incrementados es:
x² + 10 ………………..________________
20.- Una compañía va a contratar el número
de empleados en forma sucesiva. La primera
semana contratará 3 empleados, la segunda
semana 8, la tercera semana 15, la cuarta
semana 24…
¿Cuál de las siguientes expresiones
algebraicas es la que representa el número
de empleados incrementados cada semana?
______________
x² + 3x
x² + 2x
Continúa con la sucesión escribiendo el
número de empleados que se contratarán en
la quinta y sexta semana.
Semanas
(n)
1 2 3 4 5 6
Empleados
21.- En la escuela primaria de mi hermano
Ismael, se van a formar equipos de limpieza
por grados, en forma sucesiva. Los de primer
año estarán formados por 6 alumnos, los de
segundo año por 14 alumnos y los de tercer
año por 23 alumnos.
¿Cuál de las siguientes expresiones
algebraicas es la que representa el número
de alumnos incrementados por grado?
______________
x² + 4x + 2
x² + 2x + 6
Continúa con la sucesión escribiendo el
número de alumnos que se incrementarán en
cuarto, quinto y sexto grado.
n 1 2 3 4 5 6
Alumnos

8. 132
FIGURAS Y CUERPOS
• Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje un
triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos
de conos y cilindros rectos.
CUERPOS GEOMÉTRICOS
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- En la columna de la izquierda se encuentran dibujados varios objetos, que se pueden
girar o dar vuelta hacia la derecha.
Relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha, escribiendo dentro del
paréntesis la letra que corresponda, según el cuerpo que se forma al girar la figura
dándole vuelta a la derecha.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
A
B
C
D
E
F

9. 132
CONSTRUCCIÓN DEL DESARROLLO PLANO DE UN CILINDRO
PROBLEMA: Construir el desarrollo de un cilindro recto cuyas dimensiones son 2 cm de
radio en su base por 5 cm de su altura.
Para construir un cilindro, dibujamos en un pedazo de cartulina el patrón.
FIGURA:
Las siguientes figuras muestran las formas en que se puede hacer el desarrollo del
cilindro.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- La fábrica de cajas de la ciudad, va a elaborar una caja para USB con las medidas que
se muestran en el siguiente diseño. Escribe las medidas correctamente en el desarrollo
plano que se encuentra a la derecha.
2 cm
2 cm
2 cm
Las dos bases del cilindro son círculos y cada uno con un
radio de 2 cm.
El desarrollo de su cara lateral es un rectángulo.
La altura del rectángulo es igual que la del cilindro o sea 5
cm.
La base del rectángulo mide lo mismo que el perímetro de
de la circunferencia de la base del círculo.
Para encontrar el perímetro de la circunferencia usamos la
fórmula: ¶ x d, o sea, 3.14 x 4 = 12.56 cm
5 cm
5 cm
12.56 cm
3 cm
8 cm

10. 132
2.- La fábrica de cajas de la ciudad, va a elaborar una caja para botellas de vino con las
medidas que se muestran en el siguiente diseño. Escribe las medidas correctamente en el
desarrollo plano que se encuentra a la derecha.
3.- El Profesor Ernesto les pidió a sus alumnos que elaboraran un cilindro con las
siguientes dimensiones. Escribe las medidas que los alumnos deben utilizar en el
desarrollo del plano del cilindro.
3.- La maestra Angélica les pidió a sus alumnos que elaboraran un cilindro con las
siguientes dimensiones. Dibuja a la derecha el desarrollo plano del cilindro con las
medidas exactas que deba tener.
CILINDRO DESARROLLO PLANO
5 cm
30 cm
4 cm
6 cm
1.5 cm
3 cm
TAREA: Lleva a la escuela una caja
cilíndrica y desármala hasta que
quede el plano de donde proviene.

11. 132
MEDIDA
• Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un
triángulo rectángulo.
TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
La trigonometría es una rama de las matemáticas, que se fundamenta en el estudio de los
triángulos rectángulos y la relación entre sus lados y sus ángulos.
Una razón es la comparación por cociente de dos cantidades: Razón =
PROBLEMA: Un poste de 4 metros de altura se encuentra sostenido por un cable que
mide 5 metros de longitud. El cable está sujeto en un punto a 3 metros de distancia del
poste. El cable también forma con el piso un ángulo de elevación aproximado de 54°.
Determina las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente, comparando los lados
del triángulo en relación con el ángulo dado.
Una razón trigonométrica es la comparación por cociente de los lados de un triángulo
rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Observa el triángulo ABC dibujado abajo. Considera el ángulo de 54° y completa la
siguiente tabla redondeando los resultados solamente hasta centésimos.
TRIÁNGULO ÁNGULO
CATETO
OPUESTO
CATETO
ADYACENTE HIPOTENUSA
(SENO)
OPUESTO
HIPOTENUSA
(COSENO)
ADYACENTE
HIPOTENUSA
(TANGENTE)
OPUESTO
ADYACENTE
ABC 54°
NOTA: Compara el triángulo ABC con el triángulo del problema y observa
que son triángulos semejantes y que los valores del seno, del coseno y de
la tangente en un ángulo de 54° siempre son iguales.
C
A B
= 0.80
Cateto opuesto
Hipotenusa
Hipotenusa
Cateto opuesto al ángulo de 54°
3
Cateto adyacente al ángulo de 54°
54°
45
Seno 54° =
4
5
= 4
5
3
54°
45
= 0.60
Cateto adyacente
Hipotenusa
Coseno 54° = = 3
5
= 1.33
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Tangente 54° = = 4
3
6
54°
810

12. 132
• Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
FUNCIÓN SENO
La función seno es el resultado de comparar por cociente el cateto opuesto del ángulo
agudo dado con la hipotenusa.
Los valores que adquiere la función seno se puede demostrar en un círculo unitario en
donde al radio se le da valor de 1.
CÍRCULO UNITARIO
En forma general podemos definir al ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
comparando el cateto opuesto y la hipotenusa como:
Sen x = x puede representar a cualquier ángulo.
PROBLEMA EJE: Encuentra la medida del cable que sostiene al poste.
Sen x =
Sen 50° =
0.7660 =
9.19
x
50°
x
9.19 m
30°
Seno = 0.5
r = 1
NOTA: El seno de
50° lo buscamos en
las tablas de valores
que se encuentra
en la siguiente hoja.
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto opuesto
Hipotenusa
9.19
x
Si el radio o hipotenusa vale 1,
entonces el seno vale 0.5 que es
igual a la mitad del radio o de la
hipotenusa.
Al crecer el ángulo, crece la
medida del seno.
Sen 45° = 0.7071
Sen 60° = 0.8660
Sen 90° = 1
Se aplica la función seno, porque entre los datos que se dan y el que se
pregunta, están el cateto opuesto, la hipotenusa y el ángulo.

13. 132
(x)(0.7660) = 9.19
9.19
0.7660
x =
x = 11.997 m

14. 132
Ángulo Seno Coseno Tangente
0 0.0000 1.0000 0.0000
1° 0.0175 0.9998 0.0175
2° 0.0349 0.9994 0.0349
3° 0.0523 0.9986 0.0524
4° 0.0698 0.9976 0.0699
5° 0.0872 0.9962 0.0875
6° 0.1045 0.9945 0.1051
7° 0.1219 0.9925 0.1228
8° 0.1392 0.9903 0.1405
9° 0.1564 0.9877 0.1584
10° 0.1736 0.9848 0.1763
11° 0.1908 0.9816 0.1944
12° 0.2079 0.9781 0.2126
13° 0.2250 0.9744 0.2309
14° 0.2419 0.9703 0.2493
15° 0.2588 0.9659 0.2679
16° 0.2756 0.9613 0.2867
17° 0.2924 0.9563 0.3057
18° 0.3090 0.9511 0.3249
19° 0.3256 0.9455 0.3443
20° 0.3420 0.9397 0.3640
21° 0.3584 0.9336 0.3839
22° 0.3746 0.9272 0.4040
23° 0.3907 0.9205 0.4245
24° 0.4067 0.9135 0.4452
25° 0.4226 0.9063 0.4663
26° 0.4384 0.8988 0.4877
27° 0.4540 0.8910 0.5095
28° 0.4695 0.8829 0.5317
29° 0.4848 0.8746 0.5543
30° 0.5000 0.8660 0.5774
31° 0.5150 0.8572 0.6009
32° 0.5299 0.8480 0.6249
33° 0.5446 0.8387 0.6494
34° 0.5592 0.8290 0.6745
35° 0.5736 0.8192 0.7002
36° 0.5878 0.8090 0.7265
37° 0.6018 0.7986 0.7536
38° 0.6157 0.7880 0.7813
39° 0.6293 0.7771 0.8098
40° 0.6428 0.7660 0.8391
41° 0.6561 0.7547 0.8693
42° 0.6691 0.7431 0.9004
43° 0.6820 0.7314 0.9325
44° 0.6947 0.7193 0.9657
45° 0.7071 0.7071 1.000

15. 132
Ángulo Seno Coseno Tangente
46° 0.7193 0.6947 1.0355
47° 0.7314 0.6820 1.0724
48° 0.7431 0.6691 1.1106
49° 0.7547 0.6561 1.1504
50° 0.7660 0.6428 1.1918
51° 0.7771 0.6293 1.2349
52° 0.7880 0.6157 1.2799
53° 0.7986 0.6018 1.3270
54° 0.8090 0.5878 1.3764
55° 0.8192 0.5736 1.4281
56° 0.8290 0.5592 1.4826
57° 0.8387 0.5446 1.5399
58° 0.8480 0.5299 1.6003
59° 0.8572 0.5150 1.6643
60° 0.8660 0.5000 1.7321
61° 0.8746 0.4848 1.8040
62° 0.8829 0.4695 1.8807
63° 0.8910 0.4540 1.9626
64° 0.8988 0.4384 2.0503
65° 0.9063 0.4226 2.1445
66° 0.9135 0.4067 2.2460
67° 0.9205 0.3907 2.3559
68° 0.9272 0.3746 2.4751
69° 0.9336 0.3584 2.6051
70° 0.9397 0.3420 2.7475
71° 0.9455 0.3256 2.9042
72° 0.9511 0.3090 3.0777
73° 0.9563 0.2924 3.2709
74° 0.9613 0.2756 3.4874
75° 0.9659 0.2588 3.7321
76° 0.9703 0.2419 4.0108
77° 0.9744 0.2250 4.3315
78° 0.9781 0.2079 4.7046
79° 0.9816 0.1908 5.1446
80° 0.9848 0.1736 5.6713
81° 0.9877 0.1564 6.3138
82° 0.9903 0.1392 7.1154
83° 0.9925 0.1219 8.1443
84° 0.9945 0.1045 9.5144
85° 0.9962 0.0872 11.4301
86° 0.9976 0.0698 14.3007
87° 0.9986 0.0523 19.0811
88° 0.9994 0.0349 28.6363
89° 0.9998 0.0175 57.2900
90° 1

16. 132
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Aplica la función seno y resuelve los siguientes problemas.

17. 132
1.- Encuentra el valor del cateto opuesto en cada uno de los siguientes triángulos
rectángulos.
5.- ¿A qué altura aproximada vuelan dos papalotes, cuando uno de ellos lleva sueltos 40
m de hilo y éste forma con el piso un ángulo de 54° y el otro lleva sueltos 35 m de hilo y
éste forma con el piso un ángulo de 37°? ____________ y ____________
x
25°
36°
x
45°x
x40
12°
x
8 km
35°
x
7.9 m
40°
x25 m
24 m
24 m
3.- ¿Cuál es la altura en que
vuela un avión que ha
despegado con un ángulo de
elevación de 17° y lleva
recorridos 8 km de distancia?
_________________
4.- La diagonal de la pantalla de
una televisión mide 50 cm y el
ángulo que forma la diagonal
con su base es de 40°. ¿Cuánto
mide de altura la pantalla?
___________
2.- Encuentra el valor de la
hipotenusa en el siguiente
triángulo rectángulo.

18. 132
6.- Calcular cuánto miden los cables que sostienen a cada una de las torres.
FUNCION COSENO
La razón o función coseno es el resultado de comparar por cociente en un triángulo
rectángulo el cateto adyacente del ángulo agudo con la hipotenusa.
27 m
54°
52°
27 mx
7.- ¿Cuánto mide la hipotenusa de una
escuadra de 45° cuyos catetos miden 35 cm
cada uno? ______________
8.- La diagonal de la Guía de clase de
Matemáticas mide 35.5 cm de largo. El ángulo
que forma la base de la guía con su diagonal
mide 51°. ¿Cuánto mide la altura de la guía?
______________
PROBLEMA 9.- Una hormiga se encuentra a
30 cm de distancia de una pared. Se dirige
en línea recta hacia la pared y empieza a
subirla en línea recta, subiendo 90 cm. ¿A
qué distancia se encuentra la hormiga del
punto de donde inició su recorrido, si ésta
forma con el piso un ángulo de 69º?

19. 132
Esto lo podemos analizar en un círculo unitario donde el radio vale 1.
r = 1 El radio es igual a la hipotenusa.
Coseno de 30° = 0.8660
Si crece el ángulo baja el valor del coseno.
Cos 55° = 0.5736
Cos 70° = 0.3420
Cos 90° = 0
En forma general podemos definir al ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
comparando al cateto adyacente con la hipotenusa, como:
Cos x = x representa a cualquier ángulo.
PROBLEMA: Encuentra la medida del cable que sostiene a un poste, que en cierto
momento proyecta una sombra de 8 metros y que el cable forma con el piso un ángulo de
45°.
Cos x =
Cos 45° =
0.7071 =
x (0.7071) = 8
x =
x = 11.31 m
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Aplica la función coseno y resuelve los siguientes problemas.
45°
x
8 m
.8660
30°
1
Cateto adyacente
Hipotenusa
Adyacente
Hipotenusa
8
x
8
0.7071
8
x

20. 132
1.- Encuentra el valor del cateto adyacente en cada uno de los siguientes triángulos
rectángulos.
2.- Encuentra el valor de la hipotenusa en cada uno de los siguientes triángulos
rectángulos.
3.- Las siguientes figuras representan resbaladeros. Encuentra el largo.
x
30°
5 m
x
24°
4.5 m
x
57°
2.5 cm
x
19°
6 cm
x
24°
5.6 cm
x
30°
4.5 cm
4.- Un avión despega del aeropuerto con un
ángulo de elevación de 23°. Al poco tiempo
ha recorrido 35 km de distancia. ¿Qué
distancia ha recorrido sobre la horizontal?
________________
5.- Uno de los cables que sostiene a una
antena de televisión, está agarrado de la
parte más alta formando con el piso un
ángulo de 60º. El cable está sujeto a 25 m de
la base de la antena. ¿Cuánto mide de largo
el cable? _______________

21. 132
6.- En cada uno de los siguientes dibujos aparece una recta inclinada que representa una
rampa y una recta horizontal que representa el nivel del suelo. ¿Qué distancia tendrá que
recorrer el auto en la rampa para subir al estacionamiento en cada uno de los casos?
7.- ¿Cuánto mide la parte más larga de cada uno de los barcos representados en las
siguientes figuras? ______________
20 m
18°
16°
15 m
23°
35 km
13°

22. 132
8.- Una escalera de 3 m de largo llega exactamente hasta la base de la ventana de una
casa, cuando el ángulo que forma la escalera y el piso es de 70°. ¿A qué distancia está el
pie de la escalera de la pared? _____________
11.- ¿Cuánto mide el largo de cada uno de los puentes construidos sobre un río tal y
como se muestra en los siguientes dibujos? ____________ y ___________
a
3.8 cm
9 m
8.5 m
14°
49°
40 m
40°
9.- Encuentra cuánto mide el área del cuadrado
que está construido sobre la hipotenusa del
triángulo rectángulo y que ambos representan
al terreno de una granja.
10.- Encuentra cuánto mide el lado a en el
siguiente triángulo rectángulo.
26°

23. 132
13.- En las fiestas de septiembre se lanzó un cohete y un momento después se escuchó
el estallido. Si cuando explotó, nuestra vista estaba observándolo con un ángulo de 35°
con la horizontal. ¿Qué distancia aproximada recorrió el cohete si al caer quedó en el
suelo a 45 metros de distancia del punto de donde salió?
FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente es el resultado de comparar el cateto opuesto del ángulo agudo de un
triángulo rectángulo con el cateto adyacente.
16 m4 m
13 m
12 m
42°
12.- Encuentra el largo de construcción que
se lleva de la siguiente rampa, si se llevan
construidos 4 m sobre la base y se está
haciendo con un ángulo de elevación de
22°
13.- Ahora encuentra el largo de la rampa
terminada.
16 m

24. 132
En el círculo unitario donde el radio vale 1.
El cateto adyacente es igual a 1.
Por lo tanto la tangente de 30° = 0.5774
Si crece el ángulo, crece la tangente.
Tan 60° = 1.7321
Tan 85° = 11.4301
Tan 89° = 57.2900
En forma general tenemos que la tangente de un ángulo es:
Tangente x =
Tan 30° = 0.5774
PROBLEMA EJE: Encuentra la medida de b en el siguiente triángulo rectángulo.
Tan x =
Tan 38° =
0.7813 =
b (0.7813) = 2.2
b =
b = 2.81
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Aplica la función tangente y resuelve los siguientes problemas.
1.- Encuentra el valor que se pide en los siguientes triángulos rectángulos.
Tangente
30°
r = 1
38°
b
2.2
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Cateto opuesto
Cateto adyacente
2.2
b
2.2
b
2.2
0.7813

25. 132
2.- Un piloto aviador ve desde su avión que el aeropuerto se ubica como se muestra en la
siguiente ilustración, desde el punto donde se encuentra. ¿A qué altura vuela? _________
3.- La Torre Latinoamericana, tiene una altura
aproximada de 180 metros, incluida la antena.
¿Qué distancia en línea recta debe recorrer una
persona para llegar hasta la torre, si el punto
donde ella se encuentra forma con el extremo
superior de la antena un ángulo de 76°? _____
x
29°
18 km
x
4.6
19°
x
75 m
14°
x
500 m
35°
x
100 m
42°
4.- ¿Cuál es la altura del edificio? ______

26. 132
5.- ¿Cuál es la altura de un edificio del Seguro Social y la de su antena? _______ y _____
8.- Encuentra la altura de los árboles representados enseguida.
12 m
32°
9 m
29°
20 m
32°
18°
27°
20 m
10 m
58°
6.- ¿Cuál es la longitud del puente del
ferrocarril de Cuiteco? ____________
7.- ¿Cuál es el área del cuadrado
construido sobre el cateto del siguiente
triángulo rectángulo? ____________

27. 132
ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO
INSTRUCCIÓN: Escribe, según corresponda, dentro del paréntesis la letra o letras que
contesten correctamente cada cuestión o sobre la línea el resultado correcto.
b
9 u
34°
40 m
50 m
51°
61 m
56°
60 m
45°
10 m
40°
9.- Encuentra la altura del edificio. 10.- Encuentra la medida del área del
rectángulo construido sobre el cateto del
siguiente triángulo rectángulo.
11.- Encuentra la altura aproximada de una
astabandera, construida en un Estado de la
República Mexicana.
12.- Observa el siguiente triángulo.
¿Cuánto mide el lado b? __________
13.- Encuentra la altura de un monumento si
desde una distancia de 6 metros se instala un
cable a su parte más alta con un ángulo de
elevación de 72°.
14.- Encuentra la altura de un poste si desde
una distancia de 8 metros se coloca un cable
a su parte más alta con un ángulo de
elevación de 50°.

28. 132
1.- De acuerdo con los datos del siguiente triángulo rectángulo, ¿cuáles de las siguientes
razones trigonométricas son correctas?................................................ (____)(____)(____)
a) Sen A = b) Cos A =
b) Tan A = c) Sen A =
2.- ¿Cuánto mide el lado a en el siguiente triángulo rectángulo?............................... (____)
Considera: Sen 23° = 0.3907
a) 0.3907
b) 0.0300
c) 5.0791
d) 33.27
3.- ¿Cuánto mide el lado b en el siguiente triángulo rectángulo?.................... ___________
Considera: Sen 39° = 0.6293
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
53°
x
35 m
61°
10 m
a
13
6
8
10
C
BA
8
6
6
10
8
10
6
8
23°
b
23 m
39°
4.- Un edificio proyecta una sombra sobre el
piso cuyas medidas se presentan en el
siguiente dibujo.
¿Cuál es la altura del edificio?............ (____)
Considera: Tan 61° = 1.8040
a) 18.04 metros
b) 53.35 metros
c) 110.044 metros
d) 87.46 metros
5.- ¿Qué distancia recorrió un cohete, si salió
con un ángulo de elevación de 53° y al explotar
cayó al suelo a 35 metros de distancia del
punto de donde salió? _______
Considera: Cos 53° = 0.6018

29. 132
• Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con
una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o
pendiente de la recta que la representa.
RAZÓN DE CAMBIO
Cuando dos variables se conectan por una relación funcional, se estudia el cambio
relativo de una de las variables respecto de la otra, o sea, que se determinan las razones
de cambio del fenómeno. A la razón de cambio de la distancia en relación con el tiempo
se le llama velocidad. Un ejemplo de razón de cambio es el siguiente.
PROBLEMA: ¿Cuál es el incremento por hora de la distancia recorrida por un automóvil,
suponiendo que es el mismo durante cada hora?
400
320
240
160
80
1 2 3 4 5 6 7
H o r a s
Razón de cambio = = = = 80
SECUENCIA DE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS
1.- La siguiente gráfica nos presenta la temperatura promedio durante los primeros meses
del año en un poblado de la República Mexicana.
25° C
20° C
15° C
10° C
1 2 3 4
Meses
¿Cuál es el incremento mensual de la temperatura? _____________
¿Cuál será la temperatura en el quinto mes? ______________
¿Cómo encuentras la razón de cambio en este fenómeno? ________________________
.
.
.
(5,400)
(1,80)
La razón de cambio es el
incremento en la distancia
respecto al tiempo.
Razón de cambio = 80
.
.
.
.(4,25)
(1,10)
K
I
L
Ó
M
E
T
R
O
S
Cambio en la distancia
Cambio en el tiempo
400 - 80
5 - 1
320
4

30. 132
________________________________________________________________________
Razón de cambio = = =
2.- Resuelve el siguiente problema.
La escuela organizó un discoteque en el que cobraron $30 por persona.
¿Cuánto pagó Luis y sus dos hermanos por las entradas? ___________
Si Luis llevó aparte otros dos invitados, ¿cuánto pagaron por todos? ____________
Partiendo del problema anterior, completa la siguiente tabla y elabora la gráfica
correspondiente.
Alumnos 3 6 9
Costo 150 360
180
150
120
90
60
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9
NÚMERO DE PERSONAS
3.- La siguiente gráfica nos muestra los cambios en la distancia recorrida por una atleta,
durante varios días de la semana que practica para participar en una carrera pedestre de
40 km el recorrido.
¿Cuál es el incremento en la
distancia entre el primero y el
quinto día? _____________
¿Cuál es la razón de cambio?
Si el primer día corresponde al
lunes, ¿cuál es la distancia que
recorrió el jueves? ___________
C
O
S
T
O
$
240
270
210
¿Cuánto pagarán 7 personas? ______
¿Cuál es el incremento en el costo de
3 a 9 personas? ______________
¿Cuál es la razón de cambio del
problema? ____________
¿Cuánto recaudó la escuela si entraron
324 personas, pero de éstas, 19 no
pagaron boleto? __________________
.
.

31. 132
40
35
30
25
20
1 2 3 4 5
D Ì A S
4.- Analicen la siguiente gráfica que muestra los cambios en el gasto de energía eléctrica
(wat) en una empresa, durante los primeros meses del año. Después den respuesta a las
preguntas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
M E S E S
¿Cuál es el cociente del incremento o razón de cambio en gasto de luz? ______________
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
• Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las
distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la
desviación media con el rango como medidas de la dispersión.
•
•
•
K
I
L
Ò
M
E
T
R
O
S
2200
1 800
1 400
1 000
600
200
VA
RI
AC
IÓ
N
¿Cuánto varió el gasto de luz del
primero al tercer mes? ________
¿Cuánto varió el gasto del primero
al cuarto mes? ______________
Suponiendo que el incremento fue el
mismo cada mes, ¿cuánto varió el
gasto del tercero al sexto mes?
__________________________
¿Cuál es el incremento mensual
del gasto de luz? _____________
Si el primer mes corresponde a
enero, ¿cuál es el gasto de luz en
marzo? _____________________
y ¿cuál será el gasto de luz
en diciembre? _______________

32. 132
DESVIACIÓN MEDIA Y RANGO
PROBLEMA: Encuentra la desviación media y el rango de la siguiente serie que
representa las calificaciones en Matemáticas de 8 alumnos del grupo en el bloque 4.
CALIFICACIONES: 9, 10, 8, 5, 6, 9, 7, 10.
El rango es igual a el valor máximo de los datos menos el valor mínimo: 10 – 5 = 5
La desviación media es la media aritmética o el promedio de las distancias de cada dato
a la media.
Para encontrar la desviación media hacemos lo siguiente:
Primero encontramos el promedio o media de las calificaciones de los 8 alumnos:
Promedio: x = = = 8 Promedio o media
Enseguida sumamos las distancias que hay de cada una de las calificaciones al promedio
y el resultado lo dividimos entre el promedio o media, para encontrar la desviación media.
Dx =
Dx = = = 1.5 La desviación media es 1.5
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Calcular promedio o media, el rango y la desviación media de las siguientes series de
números. Analiza las diferencias entre el rango y la desviación media.
CONCEPTO SERIE
RANGO PROMEDIO
O MEDIA
DESVIACIÓN
MEDIA
Calificaciones 9, 8, 7, 7, 5, 6.
Horas diarias trabajadas 12, 10, 8, 6.
Edades de hermanos 58, 56, 54, 42, 50, 40.
Dinero gastado por día 170, 150, 80, 100, 220.
9 + 10 + 8 + 5 + 6 + 9 + 7 + 10
8
64
8
(9 distancia con 8) + (10 d 8) + (8 d 8) + (5 d 8) + (6 d 8) + (9 d 8) + (7 d 8) + (10 d 8)
8
1 + 2 + 0 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2
8
12
8