Módulo del segundo año del bachillerato

2012
MÓDULO DE
MATEMÁTICA
SEGUNDO AÑO DEL BACHILERATO

7
SEGUNDO AÑO DEL BACHILLERATO
MATEMÁTICAS
1. POTENCIACIÓN
La potenciación es una multiplicación abreviada; en donde todos los factores son
iguales.
Potencia. De una expresión algebraica es el resultado de tomarla como factor dos o
más veces.
Ejemplos:
(2a)2
= 2a x 2a = 4a2.
Signos de las potencias.
BASE EXPONENTE POTENCIA EJEMPLO
POSITIVA
PAR
IMPAR
POSITIVA
52
= 5 X 5 = 25
53
= 5 X 5 X 5 = 125
NEGATIVA
PAR
IMPAR
POSITIVA
NEGATIVA
-24
= 2 X 2 X 2 X 2 = 16
-23
= 2 X 2 X 2 = -3
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.
a) Producto de potencias de igual base.
El multiplicar potencias de igual base; se suman sus exponentes.
am
x an
= am + n
22 x
23
= 22+3
= 25
= 32
b) Cociente de potencia de igual base.
Se restan sus exponentes.
224
2
4
aa
a
a
== − 224
2
4
22
2
2
== −
c) Potencia de una potencia
Se multiplican sus exponentes
(am
)n
= am x n
= amn.
(32
)3
= 32 x 3
= 35
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
d) Potencia de un producto.
Se multiplican sus bases y se mantiene el exponente
(a x b)n
= an
x bn
= (2 x 3)3
= 23
x 33
= 8 x 27 = 216

7
e) Potencia de un cociente
El exponente se aplica al numerador y al denominador
n
n
n
b
a
b
a
=)(
8
3
3
8
27
2
3
)
2
3
( 3
3
3
===
f) Exponente negativo
Es igual a una fracción, donde el numerador es la unidad y el denominador es igual a
la potencia cambiado su signo.
a-n
= n
a
1
2-3
=
8
1
2
1
3
=
g) Exponente cero
Cuando el exponente es cero la potencia es 1
a° = 1 5° = 1
Potencia de un binomio:
Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica si
el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia.
Ejemplos:
a) (3ab2
)2
= 9a2
b4
b)
6
3
3
2
8
)
2
(
n
m
n
m
−=−
c) (am
bn
)x
= amx
bnx
Cuadrado de un binomio.
(a5
+ 7b4
)2
= (a5
)2
+ 2(a5
+ 7b4
) + (7b4
)2
= a10
+ 14a5
b4
+ 49b8
223
)
5
3
6
5
( xyx + = 23
)
6
5
( x + 2 )
5
3
()
6
5
( 23
xyx + + 22
)
5
3
( xy =
42
2
4
6
25
9
36
25
yx
y
x
x ++
(xy - a2
b2
)2
= x2
y2
- a2
b2
xy + a4
b4
Resolver:
1. Desarrollar el ejercicio 206 de Baldor
Cubo de un binomio.
(2a + 3b)3
= (2a)3
+ 3(2a)2
(3b) + 3(2a)(3b)2
+ (3b)3
= 8a3
+ 36a2
b + 54ab2
+ 27b3
(2a - 3b)3
= (2a)3
- 3(2a)2
(3b) + 3(2a)(3b)2
- (3b)3
= 8a3
+ 36a2
b + 54ab2
+ 27b3

7
3
3
2
)
2
5
5
2
(
b
a
−
= (
3
3
2
3
2
3
2
2
3
2
)
2
5
()
2
5
)(
5
2
(3
2
5
)
5
2
(3)
5
2
(
bb
a
b
aa
−+− = = −
125
8 6
a
96
2
3
2
8
125
60
150
50
60
bb
a
b
a
−+ = −
125
8 6
a
96
2
3
2
8
125
2
15
5
6
bb
a
b
a
−+
Resolver:
1. Ejercicio 207 de Baldor.
Cuadrado de un polinomio.
Es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el duplo de las
combinaciones binarias que ellos puedan formarse
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc.
(a - b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
- 2ab - 2ac - 2bc.
(
5
x
- 5y +
3
5
)2
=
25
2
x
+ 25y2
+
9
25
- 2xy -
3
5x
-
3
50 y
Resolver:
Elevar al cuadrado el ejercicio 208 del Algebra de Baldor.
Cubo de un polinomio.
Es igual a los cubos de cada uno de sus términos, más el triplo del cuadrado de cada uno por
cada uno de los demás más el séxtuplo de las combinaciones ternarias (productos) que
pueden formarse con sus términos.
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3a2
b + 3a2
c + 3b2
a + 3b2
c + 3c2
a + 3c2
b + 6abc
(x2
- 2x + 1)3
= (x2
)3
- (2x)3
+ 13
= x6
- 8x3
+ 1
3(x2
)2
(-2x) + 3(x2
)2
(1) = - 6x5
+ 3x4
3(-2x)2
(x2
) + 3( -2x)2
(1) = 12x4
+ 12x2
3(1)2
(x2
) + 3(1)2
(-2x) = 3x2
- 6x
6(x2
)(-2x)(1) = - 12x3
Ordenado queda de la siguiente manera = x6
- 6x5
+ 15x4
- 20x3
+ 115x2
- 6x + 1
Resolver:
Ejercicios 209 del Algebra Baldor.

7
BINOMIO DE NEWTON
Binomio de una potencia.
Se cumplen las siguientes leyes:
• Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.
• El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y
en cada término posterior al primero, disminuye 1
• El exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a
éste aumenta 1
• El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es
igual al exponente de a en el primer término del desarrollo.
• El coeficiente de cualquier término, se obtiene multiplicando el coeficiente del término
anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por el
exponente de b en ese mismo término aumentado en 1
• El último término del desarrollo es b elevada al exponente del binomio.
Esta fórmula nos permite elevar un binomio a una potencia cualquiera, directamente, sin tener
que hallar las potencias anteriores.
(a + b)n
=
nnnnnn
bba
nnnn
ba
nnn
ba
nn
bnaa .........
4.3.2.1
)3)(2)(1(
3.2.1
)2)(1(
2.1
)1( 4433221
+
−−−
+
−−
+
−
++ −−−−
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a + b)4
= a4
+ a3
b + a2
b2
+ ab3
+ b4
Cuando el segundo término es negativo; los signos del desarrollo son alternativamente
positivos y negativos.
(a - b)n
=
nnnnnn
bba
nnnn
ba
nnn
ba
nn
bnaa ).........(
4.3.2.1
)3)(2)(1(
3.2.1
)2)(1(
2.1
)1( 4433221
−+
−−−
−
−−
+
−
−+ −−−−
TRIÁNGULO DE PASCAL.
Este triángulo es atribuido por algunos al matemático Tartaglia
El modo de formar este triángulo es el siguiente:
• En la primera fila horizontal se pone 1
• En la segunda fila se pone 1 y uno
• Desde la tercera fila en adelante se empieza por uno y cada número posterior al uno se

7
obtiene sumando en la fila anterior el primer número con el segundo, el segundo con el
tercero, etc. Y se termina con 1.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84
12
6
12
6 84 36 9 1
Ejercicio:
(a + 2b)6
= a6
+ 6a5
(2b) + 15a4
(2b)2
+ 20a3
(2b)3
+ 15a2
(2b)4
+ 6a (2b)5
+ (2b)6
= a6
+ 12a5
b + 60a4
b2
+ 160a3
b3
+ 240a2
b4
+ 192ab5
+ 64b6
.
7
)
2
3
3
2
(
yx
− =
7652
43342567
)
2
3
()
2
3
)(
3
2
(7)
2
3
()
3
2
(21
)
2
3
()
3
2
(35)
2
3
()
3
2
(35)
2
3
()
3
2
(21)
2
3
()
3
2
(7)
3
2
(
yyxyx
yxyxyxyxx
−+−
+−+−
765245342567
128
2187
32
1701
8
567
2
105
3
70
9
56
)
243
224
(
2187
128
(
yxyyxyxyxyxyxx
−+−+−+−

7
2. RADICACIÓN-
Es una operación por medio de la cual se calcula la raíz de un número o de cualquier
expresión matemática.
LEY DE LOS SIGNOS
ÍNDICE RADICANDO RAIZ EJEMPLO
IMPAR
POSITIVO
NEGATIVO
POSITIVA
NEGATIVA
25 10
xx =
25 10
xx −=−
PAR
POSITIVO
NEGATIVO
Dos raíces con el mismo valor
absoluto, pero de distintos signos
No es elemento del conjunto de los
números reales
También son conocidas como
cantidades imaginarias
xx 525 2
±=
=− 2
25x No hay
solución en el conjunto
de los números reales.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Producto De varios factores. Para extraer la raíz de un producto de varios factores, se
extrae dicha raíz a cada uno de los factores.
n
a nn
cb.. = n
abc = abc 3
20 3
50. = 3
1000 = 10
Cociente de una raíz. La raíz enésima de la división de raíces del mismo índice, es el
cociente entre las raíces enésimas del dividendo y el divisor.
n
n
b
a
b
a
= 3
2
3
9
6
3 9
3 6
3
2
27
8
27
8
b
a
b
a
b
a
==
Radicación de raíces. Se expresan en un solo radical cuyo índice es el producto de los
índices de los radicales.
m n
a = mn
a 3
64 = 2646
=
Raíz de una potencia. Es otra potencia de la misma base con exponente fraccionario,
de numerador igual al exponente del subradical y denominador igual al índice de la

7
raíz.
=m n
a a m
n
=3 6
2 2 3
6
Raíz de un monomio.
Se extrae la raíz del coeficiente y se divide el exponente da cada letra por el índice de la raíz. Si el
índice del radical es par, la raíz tiene el mismo signo que la cantidad subradical, y si el índice es
par y la cantidad subradical positiva, la raíz tiene doble signo ±
a) 2
7
14
7
1
7
14
2128128
x
x
x
== b) 242
39 abba = c) 633 189
101000 yxyx =
OPERACIONES CON RADICALES
La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo
coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados.
nnn
acbacab )( +=+
Ejemplo:
595)63(5653 =+=+
Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada.
Ejemplo:
3752 +
El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y
radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los
factores.
nnn
cadbcdab ⋅⋅=⋅
Ejemplo:
2
15
6
2
3
253 =⋅
El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y
radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los
radicales dividendo y divisor.
n
n
n
c
a
d
b
cd
ab
=
Ejemplo:
5
3
7
8
57:38 =

7
La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados
a dicha potencia.
n mmmn
abab =)(
Ejemplo:
125852)5(252)5(2)52()52( 333333333 2
1
2
3
2
1
2
1
=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=
Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el
radicando.
aaa == 22
)(
Ejemplo:
55)5()5( 2
2
2
1
22
===
3. ECUACIONES CUADRÁTICAS
En toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la
incógnita es 2.
Existen dos tipos de ecuaciones cuadráticas: las completas y las incompletas.
a) 7x2
+5x -24 = 0
b) x2
+ 5x = -85
c) 13x2
= 7
d) 4x2
- 4x = 0
Métodos de resolución.
Fórmula General para la Resolución de Ecuaciones Cuadráticas
Una ecuación cuadrática de la forma: ax2
+ bx + c = 0, tiene dos raíces y solo dos, cuyos valores
son:
x1 =
a
acbb
2
)4( 2
−+−
x2 =
a
acbb
2
)4( 2
−−−
Ejercicios:
Resolver la siguiente ecuación: 3x2
- 7x + 2 = 0
a = 3; b = 7; c = 2
X=
a
acb
b
2
)4( 2
−
±− formula general
Reemplazamos valores x1x2 =
)3(2
)2)(3(4)7(
)7(
2
−−
+−− +
)3(2
)2)(3(4)7(
)7(
2
−−
−−− =

7
x1x2 = 7 +
6
)24(49 −
- 7 -
6
2449 −
Resuelvo las potencias y productos.
X1 =
6
25
7 + x2 =
6
25
7 −− = x1 =
6
57
;
6
57
2
−
=
+
x
X1 = 2
6
12
= ; x2 =
3
1
6
2
=
Comprobamos reemplazando x1 3x2
- 7x + 2 = 0 = 3(
3
1
)2
- 7(
3
1
) + 2 = 0
- 7x + 2 = 0 = 3(2)2
- 7(2) + 2 = 0
Resolver la siguiente ecuación: 3x2
- 2x + 5 = 0
x1x2 =
)3(2
)5)(3(4)2(
)2(
2
−
+−− +
)3(2
)5)(3(4)2(
)2(
2
−
−−− =
Reemplazo los valores en la fórmula general.
x1x2 = 2 +
6
)60(4 −−
+ 2 -
6
604 +
Resuelvo las potencias y productos.
X1 =
6
64
2 + x2 =
6
64
2 −
X1 = 3
5
6
10
6
82
==
+
; x2 =
1
6
6
6
82
−=
−
=
−
Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos raíces o respuestas.
Una de las raíces será para el caso de la suma, mientras que la otra será para el caso de la resta.
- 2x - 5 = 0 = 3(
3
5
)2
- 2(
3
5
) + 5 = 0
- 2x - 5 = 0 = 3(-1)2
- 2(-1) + 5 = 0
Resolver:
Ejercicios 265 del Algebra de Baldor.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DENOMINADORES.

7
Resolver:
Tenemos que quitar los denominadores, para lo cual hallamos el m.c.m
1.
2
313
4 =−
x
x m.c.m = 2x
8x2
- 26 = 3x; transponemos los términos = 8x2
- 3x - 26 = 0
x1 =
a
acbb
2
)4( 2
−+−
x2 =
a
acbb
2
)4( 2
−−−
x1 =
)8(2
)26)(8(433 2
−−+
x2 =
)8(2
)26)(8(433 2
−−−
2
16
293
16
841
3
16
83293
=
+
=+=
++
;
8
5
1
16
293
16
841
3
16
83293
−=
−
=−=
+−
X1 = 2 x2 = 1
8
5
2) 3
1
15
53
8
=
+
−
+
+ x
x
x
x
; mcm= (3x + 5)(x + 1)
8x(x + 1) + (5x - 1)(3x + 5)= 3(3x + 5)(x + 1)
8x2
+ 8x + 15x2
+ 22x - 5 = 9x2
+ 24x + 15
23x2
+ 30x - 5 = 9x2
+ 24x + 15
14x2
+ 6x - 20 = 0
a = 14; b = 6; c = 20.
x1 =
a
acbb
2
)4( 2
−+−
x2 =
a
acbb
2
)4( 2
−−−
x1 =
)14(2
)20)(14(466 2
−−+−
x2 =
)14(2
)20)(14(466 2
−−−−
x1 1
28
346
28
1156
6
28
11566
=
+−
=+−=
+−
;
x2 =
7
3
1
28
346
28
1156
6
28
11566
=
−−
=−−=
−−
3)

7
4)
Resolver:
Ejercicios 268 del Algebra de Baldor
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARTICULAR PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DE LA FORMA:
x2
+ mx + n = 0
Estas ecuaciones se caracterizan porque el coeficiente del término en x2
es 1. Estas ecuaciones
pueden resolverse por la fórmula general con solo suponer en ésta que a = 1, pero existe para
ellas una fórmula particular, que vamos a deducir.
x2
+ mx + n = 0
Transponemos x2
+ mx = - n
Sumamos
4
2
m
a los dos miembros x2
+ mx +
4
2
m
=
4
2
m
- n
x =
2
2
m
± n
m
−
4
2
Resolver: x2
= 19x – 88
Transponemos los términos.
x2
- 19x + 88 = 0

7
x =
2
2
m
± n
m
−
4
2
= x =
2
19
± 88
4
)19( 2
− =
2
19
±
4
9
=
2
19
±
2
3
Resolvemos el radical y dejamos todo listo para hallar las dos raíces o respuestas.
Una de las raíces será para el caso de la suma, mientras que la otra será para el caso de la resta
X1 = 11 X2 = 8
Resolver: (x - 2)(x + 2) – 7(x – 1) = 21
Descomponemos los factores.
(x - 2)(x + 2) = x2
– 4
-7(x – 1) = -7x + 7
21 = 21
Nos queda x2
– 4 - 7x + 7 = 21
Transponemos los términos: x2
- 7x - 18 = 0
x =
2
7
± )18(
4
)7( 2
−− = x =
2
7
± 18
4
49
+ =
2
7
±
4
121
=
2
7
±
2
11
x=
2
18
= 9 x = 2
2
11
−=−
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN
Para resolver una ecuación cuadrática por factorización, primero debemos llevar todos los
términos a un lado de la igualdad y en el otro lado dejar simplemente un 0 (cero).
Una vez realizado esto debemos elegir un método de factorización adecuado
Ejemplo:
8x2
-16x = 2x +5
8x2
-16x -2x -5 = 0 Llevamos todos los términos a un lado de la igualdad.
8x2
-18x -5 = 0 Reducimos términos semejantes.
8x2
-18x -5 = 0 Buscaremos un método de factorización adecuado para
La primera parte.
8x2
-18x -5 = 0
4x 1

7
2x -5
Emplearemos el método de factorización por aspa simple. Buscamos primero dos números que
multiplicados me den 8, y luego dos números que multiplicados me den -5. Para el primer caso
escogemos (4x)(2x) = 8x2
, y luego (1)(-5) = -5
8x2
-18x -5 = 0
4x 1 2x
2x -5 -20x
-18x
Verificamos que la suma o diferencia de los productos cruzados cumpla con la condición de ser
igual al segundo término, es decir, igual a -18x.
(4x +1) (2x -5) = 0 Procedemos a colocar los factores.
(4x +1) = 0 (2x -5) = 0
4x + 1 = 0 2x – 5 = 0
4x = -1 2x = 5
x =
4
1−
x =
2
5
Finalmente igualamos cada uno de los factores a 0 (cero) y resolvemos las ecuaciones para
hallar las raíces o resultados.
RAICES DE ECUACIONES CUADRATICAS
Una ecuación cuadrática de la forma: ax2
+ bx + c = 0, tiene dos raíces y solo dos, cuyos valores
son:
x1 =
a
acbb
2
)4( 2
−+−
x2 =
a
acbb
2
)4( 2
−−−
Donde: a, b y c son números reales; y x es la incógnita o variable.
El carácter de estas raíces depende del valor del binomio b2
- 4ac, que está bajo el signo
radical; por esa razón b2
- 4ac se llama discriminante de la ecuación general de segundo
grado.
Se consideran tres casos.
1. b2
- 4ac es una cantidad positiva. En este caso las raíces son reales y desiguales.
Si b2
- 4ac es cuadrado perfecto, las raíces son racionales, y sino lo es son irracionales.

7
2. b2
- 4ac es cero. En este caso las raíces son reales e iguales. Su valor es
a
b
2
−
3. b2
- 4ac es una cantidad negativa. En este caso las raíces son imaginarias y desiguales..
Ejemplo:
Determinar el carácter de las raíces de 4x2
- 4x + 1 = 0
Aquí: a = 4; b = 4; c= 1
b2
- 4ac = (-4)2
- 4(4)(1) = 16 – 16 = 0 Reales iguales
Determinar el carácter de las raíces de 2x2
- 9x + 7 = 0
Aquí: a = 2; b = 9; c= 7
b2
- 4ac = (-9)2
- 4(2)(7) = 81 – 56 = 25 Racional
Determinar el carácter de las raíces de x2
- 2x + 3 = 0
Aquí: a = 2; b = 4; c= 1
b2
- 4ac = (-2)2
- 4(1)(3) = 4– 12 = -8 Imaginarias
Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado
La ecuación general de segundo grado es ax2
+ bx + c = 0, y sus raíces
x1 =
a
acbb
2
)4( 2
−+−
x2 =
a
acbb
2
)4( 2
−−−
Las raíces tienen dos propiedades:
1. Suma de las raíces. Sumando las raíces tenemos
x1 + x2 =
a
acbb
2
)4( 2
−+−
+
a
acbb
2
)4( 2
−−−
=
a
acbbacbb
2
44 22
−−−+−
=
a
b
a
b −
=
−
2
2
o sea x1 + x2 =
a
b
−
Luego, la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término de la ecuación con el
signo cambiado partido por el coeficiente del primer término.
2. Producto de las raíces. Multiplicando la raíces tenemos:

7
x1 + x2 =
a
acbb
2
)4( 2
−+−
x
a
acbb
2
)4( 2
−−−
2
22
4
4)(4(
a
acbbacbb −−−−+−
=
a
c
a
ac
a
acbb
a
acbb
a
acbb
==
+−
=
−−
=
−−−
= 22
22
2
22
2
222
4
4
4
4
4
)4(
4
)4()(
x1 + x2 =
a
c
La ecuación ax2
+ bx + c = 0, puede escribirse 02
=++
a
c
x
a
b
x ó x2
+ mx + n = 0
En toda ecuación cuadrática en que el coeficiente del primer término es 1, la suma de las raíces
es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado y el producto de las raíces es
igual al tercer término con su propio signo
Luego el producto de las raíces es igual al tercer término de la ecuación con su propio signo
partido por el coeficiente del primero.
Ejercicio:
a) En la ecuación x2
+ 3x 10 = 0; determinar si 2 y -5 son raíces
Suma: 2 + (-5)= 2 – 5 = -3 Producto 2x(-5) = -10
Si cumplen la condición; son raíces de x2
+ 3x + 10 = 0;
b) Hallar si -3 y
2
1
− son raíces de la ecuación 2x2
+ 7x + 3 = 0
Ponemos la ecuación en la forma x2
+ mx + n = 0; dividiendo por 2 quedará
0
2
3
2
72
=++ xx
Suma: -3 + )
2
1
(− =
2
7
− Producto -3 x )
2
1
(− =
2
3
−
Si cumple la condición y son raíces de la ecuación 0
2
3
2
72
=++ xx
c) Hallar si 1 y
3
2
− son raíces de la ecuación 3x2
+ x 2 = 0
Ponemos la ecuación en la forma x2
+ mx + n = 0; dividiendo por 2 quedará
0
3
2
3
12
=++ xx

7
Suma: 1 + )
3
2
(− = )
3
1
(
El coeficiente tiene el propio signo y no con signo cambiado por lo tanto no es raíz de la
ecuación dada.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
En algunas ecuaciones cuadráticas, no encontraremos alguno de los términos. Veamos en los
siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Resolver: 4x2
- 16 = 0
En este primer ejemplo falta el término que contiene solamente a la variable "x" o variable de
primer grado, entonces debemos proceder de la siguiente manera:
4x2
- 16 = 0
4x2
= 16 Pasamos el -16 al otro lado de la igualdad empleando operaciones
inversas.
x2
=
4
16
=4 Pasamos el 4 a dividir al otro lado de la igualdad.
√x2
= √4 Ahora sacamos la raíz cuadrada en ambos términos (para eliminar el exponente de
"x")
x = ±2 Tendremos dos respuestas, una la raíz positiva y otra la raíz negativa.
Ejemplo 2:
Resolver: 5x2
+ 3x = 0
En este segundo ejemplo, nos falta el término numérico o término independiente.
Entonces procedemos de la siguiente manera:
5x2
+ 3x = 0
x(5x + 3) = 0 Factorizamos de acuerdo a nuestras posibilidades. En este caso la letra "x"
(empleamos factor común monomio)
x(5x + 3) = 0 Igualamos a 0 (cero) cada uno de los factores; tanto el primero, como el segundo
x = 0 Para encontrar la primera respuesta o raíz igualamos el primer factor a 0 (cero).

7
5x + 3 = 0
x =
5
3−
La otra respuesta viene de igualar el segundo factor a 0 (cero). En este caso hemos tenido que
resolver una ecuación de primer grado, para lo cual hemos empleado operaciones inversas.
Resolver:
Ejercicios 271 del Algebra ce Baldor
- Métodos de resolución.
- Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de segundo grado.
- Ecuaciones bicuadráticas.
Una ecuación bicuadrada es de la forma ax4
+ bx2
+ c = 0.
Resolvamos, por ejemplo, la ecuación:
x4
– 13x2
+ 36 = 0
para ello hacemos el cambio de variable: x2
= a
elevando al cuadrado la igualdad, resulta: x4
= b2
sustituimos estos valores en la ecuación:
b2 – 13a + 36 = 0
Resolvemos esta nueva ecuación:
• Si a = 9, x2 = 9, de donde:

7
• Si a = 4, x2 = 4, de donde:
- Problemas de aplicación.
4. PROGRESIONES
Serie: Es una sucesión de términos, formado de acuerdo con una ley.
A las serie en algebra elemental se les clasifican en progresiones aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas. Es toda serie en la cual cada término después del primero se
obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia.

7
Notación: El signo de progresión aritmética es ÷ y entre cada término y el siguiente se escribe
un punto.
Así: ÷ 1. 3. 5. 7. 9……………es una progresión aritmética creciente cuya razón es 2 porque
1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 2 = 7; etc.
Así: ÷ 8. 4. 0. -4. -8…………....Es una progresión aritmética decreciente cuya razón es 4 porque
8 – 4 = 4; 4 – 4 = 0; 0 – 4; - 4; etc.
Deducción de la fórmula del término enésimo.
En toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la razón.
÷ a. b. c. d. e. …….u.
b= a + r
c= b + r = (a + r) + r = a + 2r
d= c + r = (a + 2r) + r = a + 3r
e= d + r = (a + 3r) + r = a + 4r
u = a + (n - 1) r – a
Donde:
u = Término
a = Primer término
r = Razón
n = Números de términos
Ejercicios:
1. Hallar el 12° término de: ÷ 4. 7. 10.
a = 4; n = 15; r = 7;
u = a + (n - 1) r – a u = 4 + (15 – 1)7-4 u = 4 + (14)(3) = 46
2. Hallar el 23° término de ÷ 9. 4. -1.
a = 9; n = 23; r = 4;
u = a + (n - 1) r – a u = 9 + (23 – 1)4-9 u = 9 + (22)(-5) = - 101.
3. Hallar el 32° término de ÷ -2. -1
5
2
.

7
a = -2; n = 32; r = -1
5
2
.
u = a + (n - 1) r – a u = -2 + (32 – 1) -1
5
2
.- (-2) u = -2 + (31)
5
3
=16
5
3
Despeje de fórmulas
u = a + (n - 1) r – a a = u – (n – 1)r r =
1−
−
n
au
n =
)(
)(
ar
arau
−
−+−
1. Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el 15° término es 20 y la
razón
7
2
,
a = u – (n – 1)r a = 20 – (15 – 1)
7
2
a = 20 – (14)
7
2
= 16
2.Hallar la razón de ÷3………8 donde es el 6° término.
r =
1−
−
n
au
r =
16
38
−
−
r = 1
5
5
=
3.Cuantos términos tiene la progresión ÷4. 6……………30
n =
)(
)(
ar
arau
−
−+−
n =
2
2430 +−
Medios aritméticos.
Se llaman medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se hallan entre
el primero y el último término de la progresión.
Así: ÷3. 5. 7. 9. 11.
Los términos 5, 7,9 son medios aritméticos
Interpolación.
Es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los números dados; para interpolar
una progresión aplicamos la fórmula: r =
1−
−
n
au
.
Ejercicio:
Interpolar 6 medios aritméticos entre 2 y 7
r =
1−
−
n
au
. = r =
18
27
−
−
r =
7
5
.

7
2 +
7
5
=
7
19
= 2
7
5
segundo término
7
19
+
7
5
=
7
24
o 3
7
3
tercer término
7
24
+
7
5
=
7
29
= 4
7
1
cuarto término
7
29
+
7
5
=
7
34
=4
7
6
quinto término
7
34
+
7
5
=
7
39
=5
7
4
sexto término
Interpolando tenemos
÷2. 2
7
5
. 3
7
3
. 4
7
1
. 4
7
6
.5
7
4
. 7
Resolver:
Ejercicios 288 del Algebra de Baldor
Progresiones geométricas.
Es toda serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una
cantidad constante que es razón.
Notación. El signo de progresión geométrica es ÷÷ y entre término y término se
escribe:
Así: ÷÷5: 10: 20: 40: 80……………es una progresión geométrica cuya razón es 2
En efecto 5 x 2 = 10; 10 x 2 = 20; 20 x 2 = 40; 40 x 2 = 80 etc.
Una progresión geométrica es creciente, cuando la razón es en valor absoluto, mayor
que uno y decreciente cuando la razón es, en valor absoluto, menor a la unidad (fracción
propia)
÷÷4: 8: 16: 32: 64: 128:…. Creciente.
÷÷4: 2: 0.50: 0.25: 0.125:… Decreciente.
Deducción de la fórmula del término enésimo.
En toda progresión geométrica, cada término es igual al anterior multiplicado por la
razón
++a: b: c: d: e: …….u.
b= a x r
c= b x r = (a x r) x r = a x r2
d= c x r = (a x r2
) x r = a x r3
e= d x r = (a x r3
) x r = a x r4
Aquí vemos que un término cualquiera es igual al primero a multiplicado por la razón
elevada a una potencia igual al numero de términos que le preceden
U = a x r n-1

7
Ejercicios:
1.hallar el 8° término de: ÷÷ 3:1:
3
1
.
a=
3
1
; r = 1÷
3
1
=3 n = 8
U = a x r n-1
U =
3
1
x 3 8-1
U =
3
1
x 37
U =
3
1
x 2187 = 729
2. Hallar el 6° término de ÷÷-3: 6: -12
a=-3; r = 6 ÷ 3 n = 6
U = a x r n-1
U = 3 x 2 6-1
U = 3 x 32 = 96
Nota: cuando la razón es negativa hay que tener cuidado con el signo que resulta de
elevar una razón a la potencia n-1
Despeje de fórmulas.
U = a x r n-1
a = 1−n
r
u
r = 1−n
a
u
Ejercicios:
1. El 9° término de una progresión geométrica es
2187
64
y la razón es,
3
2
hallar el
primer término.
a = 1−n
r
u
a =
19
)
3
2
(
2187
64
−
a =
4
3
6561
256
2187
64
8)
3
2
(
2187
64
==
2.Hallar la razón de ÷÷2:………..64 de 6 términos
r = 1−n
a
u
r = 16
2
64− 5
2
64 5
32 = 2

7
5. NÚMEROS COMPLEJOS
En el mundo de las matemáticas se utilizan diferentes grupos de números como son
nos números naturales, los enteros, los racionales o los reales. Pero algunas
ecuaciones algebraicas, concretamente las ecuaciones en las que hay que calcular las
raíces cuadradas de números negativos es donde aparecen los números complejos,
que nos ayudan a resolverlas.
Número imaginario: número complejo cuyo componente imaginario no es 0.
Si la parte real es 0 entonces es un número imaginario puro.
Número complejo: expresiones de tipo a + bi donde a y b son n. reales. Tienen parte
real y parte imaginaria.
Esta es la forma bionómica ya que tiene solo dos términos
*Los números complejos opuestos son a + bi y -a - bi .
*Los números complejos conjugados son z= a+ bi y z = a – bi
Euler, Leonhard (1707-1783), es un matemático suizo que en una de sus obras trataba
la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.
En la matemática pura, él integró el cálculo diferencial de Leibniz y el método de
Newton de flúxiones dentro del análisis matemático; refinó la noción de función; hizo
común muchas notaciones matemáticas, incluso e, i, el símbolo de pi, y el símbolo de
sigma
Como resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir dos números complejos
obtenemos otro número complejo.
Para sumar y restar se siguen las reglas de las operaciones de los números reales y
cumplen la propiedad de asociación y la conmutativa pero teniendo en
cuenta que
El 0 es el elemento neutro de la suma
-suma
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
Ejemplo: (4-2i) + (3+6i) = (4+3) + (-2+6)i = (7+4i)
Resta
(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i

7
Ejemplo: (9+3i) - (4+5i) = (9-4) + (3-5)i = (5-2i)
En la multiplicación también se siguen los pasos de la multiplicación de números
reales. cumple también la propiedad asociativa y conmutativa
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación
Multiplicación
(a+bi) . (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i.
Ejemplo: (3+2i)-(4+1i) = (3 4 – 2 1)+(3 1 + 2 4)i =(12-2)+(3+8)i= (10 + 11i)
.
el resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es siempre un
número real.
Dividir
Para dividir dos números complejos hay que eliminar primero la parte imaginaria del
denominador. Para ello multiplicamos al denominador por su conjugado. A continuación
hacemos lo mismo con el numerador
Ejemplo:
(4-2i) / (3+6i)
(3+6i) . (3-6i) = (32
+62
) = 45
(4-2i) . (3-6i) = (12-12) + (-6-24)i = 0 -30i
*NO SE PUEDE DIVIDIR POR 0
Potencias
Potencias de la Unidad Imaginaria:

7
Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria “i” cogemos
su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre que va a se menor que 4 , será el
valor que buscamos.
Ejemplo:
Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto.
Todos los conjuntos numéricos que conocemos (naturales, racionales etc) se pueden
representar en la recta real. Todos estos números ocupan cada punto de la recta por lo
que a la hora de representar los números complejos nos vemos “obligados” a salir de la
recta y rellenar el plano llamado plano complejo.
Se representan con ejes cartesianos siendo x el eje real e y el eje imaginario.
El punto extremo de la flecha se llama afijo del número complejo.
(a+bi) se representa:
-en el punto (a,b)
- mediante un vector de origen (0,0) y extremo en (a,b)
*las ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales y además sin solución real
tienen dos soluciones imaginarias: números complejos conjugados
Expresiones de los números complejos en forma polar.
Cada número complejo tiene un módulo y un argumento.
El módulo el la longitud del vector que representa el número complejo. Se representa z
El argumento es el ángulo que forma el vector respecto al eje real. Se designa arg(z)
Z es igual al radio (r) y arg(z) es igual a se podría decir entonces que
El número complejo 0 no se pone en forma polar.

7
6.TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado
etimológico es ("la medición de los triángulos"). Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο
<trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida"1
,
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones
entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones
trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. Interviene
directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos
aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a
otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría
del espacio
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
Como los ángulos son cantidades de distintas naturaleza de los lados, se remplaza por
ciertas razones llamadas funciones trigonométricas, que las ligan a los lados y
fundamentalmente con las de un triangulo rectángulo.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre
el cateto opuesto y la hipotenusa,
hipotenusa
opuestocateto
Sen
−
=
b
a
SenA = ;
b
c
SenB = ;
• coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa,
hipotenusa
adyacentecateto
Cos
−
=
b
c
CosA = ;
b
a
CosB =
• tangente: (abreviado como Tan) es la razón entre el cateto opuesto y el
adyacente,
adyacentecateto
opuestocateto
Tan
−
−
=
c
a
TanA = ;
a
c
TanB =

7
• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su
inverso multiplicativo:
adyacentecateto
hipotenusa
Sec
−
=
a
b
SecA = ;
c
b
SecB =
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también
su inverso multiplicativo:
opuestocateto
hipotenusa
Csc
−
=
c
b
CscA = ;
a
b
CscB =
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o
también su inverso multiplicativo:
opuestocateto
adyacentecateto
Cot
−
−
=
a
c
CotA = ;
c
a
CotB
• Seno verso = 1 -- coseno ;
Seno verso A = 1- cosA; seno verso de B = 1 – cos B
• Coseno verso = 1 – seno
Coseno verso A = 1 - seno A Coseno verso de B = 1 - Seno B
En general cualquier función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento y
funciones reciprocas son aquellas cuyo producto es 1. Ejemplo:.
- Funciones trigonométricas de ángulos que limitan los cuadrantes.
- Funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60°.
Valor de las funciones trigonométricas
Radián
Ángul
o
Sen cos tan csc sec ctg

7
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas
trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller
Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de
sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en
prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que
realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por
lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
- Resolución de triángulos rectángulos.
Existen dos casos para resolverlos:
1. Caso Triángulos resuelto. Cuando se conocen todos sus lados y ángulos en este caso
calculamos los tres lados y los dos ángulos, el tercer ángulo es de 90°
Conocidos los catetos de a = 5 unidades y b= 3, encontrar la hipotenusa y los dos
ángulos
c2
= a2
+ b2
c2
= 52
+ 32
c2
= 25 + 9
c2
= 34
c = 34
c = 5.83
8576.0
83.5
5
==SenA 33.1
3
4
==TanA
25.1
4
5
==SecA Seno verso A = 1 -
5
4
= 0.2
8.0
5
4
==CosA 75.0
4
3
==CotA 25.1
4
5
==CscA

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