Medidas de tendencia Central

1. MATEMÁTICA 1
GUIA 2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS
Son valores que reflejan el centramiento o punto central de la variable estudiada. Son tres: la media, la mediana
y la moda.
MEDIA ARITMÉTICA
Es el valor promedio de todos los valores de la variable, o el “centro de gravedad“de la distribución de datos. Se
representa como “μ” si se trata de la media de la población de referencia y como “x” si se trata de una media
muestral.
La media puede calcularse en las variables cuantitativas continuas y discretas.
La fórmula es:
∑xi= Sumatoria de todos los valores de la variable
n = número total de todos los individuos
Ejemplo:Calcular la media de edad de un grupo de 6 personas, cuyas edades son 5, 6,7, 8,9 y 10 años.
Para datos agrupados
Y=
𝚺𝒀𝒊𝒏𝒊
𝒏
Ejemplo variable discreta
Yi ni hi Yini Yihi
0 2
1 3
2 5
3 6
4 4
∑
Yi-1 - Yi Yi ni hi Yini Yihi
[46 – 54) 50 2
[54 – 62) 58 4
[62 – 70) 66 5
[70 – 78) 74 4
[78 – 86) 82 3
[86 – 94) 90 2
∑

2. MATEMÁTICA 1
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
2
LA MEDIANA (Me)
Se define como aquel valor de la variable que supera a no más de la mitad de las observaciones y al mismo
tiempo es superado por no más de la mitad de las observaciones. Es el valor central.
Cuando se tiene un número impar de datos, la mediana es igual al término central:
Me=𝒙 𝒏+𝟏
𝟐
Ejemplo: Consideremos el peso en kilogramos de una muestra de 11 alumnos delas Escuela Profesional de
Estomatología del turno Tarde: 65 76 48 48 68 78 90 87 67 72 78
Entonces n = 11
Ordenamos los datos
48 48 65 67 68 72 76 78 78 87 90
Ahora buscamos el término medio:
Me=𝒙 𝟏𝟏+𝟏
𝟐
= 𝒙 𝟔
Es decir el sexto valor de la serie es la mediana, Me = 72
Cuando se tiene un número par de datos, la mediana es igual:
Ejemplo: Supongamos que tenemos datos sobre los sueldos en miles de pesos que reciben mensualmente el
personal de tiempo parcial, que labora en el hospital de la ciudad de Colombia.445 510 323 425 428 440 432
510 se ordenan 323 425 428 432 440 445 510 510
Entonces n = 8 y ya están ordenados
CALCULO PARA DATOS AGRUPADOS
Variable discreta:
Caso a: Cuando Nj-1‹
𝑛
2
;Me=Yj
Caso b: Cuando Nj-1 =
𝑛
2
; 𝑀𝑒 =
𝑌 𝑗−1+𝑌 𝑗
2
Variable continúa:
Caso a: Nj-1 =
𝑛
2
; Me=Yj-1
Caso b: Nj-1‹
𝑛
2
; 𝑀𝑒 = 𝑌𝑗−1 + 𝑐
𝑛
2
−𝑁 𝑗−1
𝑛 𝑗
Ejemplo: (Variable discreta)
Caso a
Yi nj Nj hi Yini Yihi
0 2 2
1 3 5 Nj-1
2 6 11 Nj
3 5 16
4 4 20
∑
PASOS A SEGUIR EN EL CÁLCULO DE LA MEDIANA
1. Obtener las frecuencias absolutas acumuladas
2. Buscar la mitad de las observaciones por medio de
𝑛
2

3. MATEMÁTICA 1
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3
3. Localizar el resultado anterior a
𝑛
2
en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Si no aparece,
al valor inmediatamente anterior se le denomina Nj-1 y al inmediatamente superior se le denomina Nj.
4. Si Nj-1 es menor que
𝑛
2
se dice entonces que la mediana es igual a Yj.
𝑛
2
= = Cuando Nj-1 ‹
𝑛
2
; o sea ‹ se tiene que aplicar la siguiente formula:
Me=YjMe=
Caso b
Yi nj Nj hi Yini Yihi
0 2 2
1 3 5
2 Yj-1 5 10
Nj-1
3 Yj 6 16 Nj
4 4 20
∑
𝑛
2
= = Nj-1 =
𝑛
2
= se dice que 𝑀𝑒 =
𝑌 𝑗−1+𝑌 𝑗
2
𝑀𝑒 =
+
2
VARIABLE CONTINUA CASO A
Cuando Nj-1 =
𝑛
2
; la mediana se obtiene mediante la fórmula Me=Yj-1
Yj-1 - Yj Yj nj hj Nj Yjnj Yjhj
[2 – 6) 4 2 2
[6 – 10) 3 5
[10 – 14) 5 10 Nj-1
[14 – 18) 6 16 Nj
[18 – 22) 4 20
∑
𝑛
2
= = Nj-1 =
𝑛
2
= 𝑀𝑒 = 𝑌𝑗−1=
Caso b
Para este ejemplo Nj-1‹
𝑛
2
; la mediana se obtiene así:
𝑛
2
= =Nj-1‹
𝑛
2
= ‹
𝑀𝑒 = 𝑌𝑗−1 + 𝑐
𝑛
2
− 𝑁𝑗−1
𝑛𝑗

4. MATEMÁTICA 1
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
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Yj-1 - Yj Yj nj hj Nj Yjnj Yjhj
[2 – 6) 4 2 2
[6 – 10) 3 5Nj-1
[Yj-110 – 14) 6 11Nj
[14 – 18) 5 16
[18 – 22) 4 20
∑
LA MODA O EL VALOR MODAL (MO):
Es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, aquella cuya frecuencia absoluta es mayor. No tiene
por qué ser única.
Md=Yj
Ejemplo:
 El conjunto: 2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 13 tiene la moda Mo = 9
 El conjunto: 3 5 8 10 12 16 18 no tiene moda.
 El conjunto: 2 3 4 4 4 5 5 7 7 7 9 tiene dos modas 4 y 7; es una distribución “bimodal”.
Yj nj
0 8
1 12
2 Yj 30 nj
3 20
4 10
∑
El valor más frecuente se denomina nj, el valor inmediatamente anterior nj-1y el valor inmediatamente superior en
posición nj+1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la media aritmética, la mediana y la moda.
Yi ni Ni hi Hi Yini Yihi
0 2
2 3
4 7
6 4
7 4
∑
Yj-1 - Yj Yj nj hj Nj Yjnj Yjhj
[6 – 16) 11 6 2
[16 – 26) 21 14 5
[26 – 36) 31 22 nj-1 10 Nj-1
[36 – 46) 41 Yj 38 nj 16 Nj
[46 – 56) 51 26 nj+1 20
[56-66) 61 14
[66-76) 71 10
∑

5. MATEMÁTICA 1
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
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2. Hallar la media aritmética, la mediana y la moda.
Yj-1 - Yj Yj nj hj Nj Yjnj Yjhj
[2,75–4,25) 4
[4,25–5,75) 16
[5,75 –7,25) 25
[7,25–8,75) 5
∑
3. Hallar la media aritmética, la mediana y la moda
Yi ni Ni hi Hi Yini Yihi
10 6
20 10
30 18
40 10
50 6
∑
4. Hallar la media aritmética, la mediana y la moda
Los sueldos mensuales de 70 empleados de oficina son como sigue:
OCUPACION No EMPLEADOS SUELDO $
Recepcionista 2 24.200
Mecanógrafa 12 25.100
Secretaria 8 25.800
Aux. Contabilidad 10 29.400
Técnicos Electricistas 24 30.100
Técnicos Mecánicos 14 31.100
Yi ni Ni hi Hi Yini Yihi
∑