Medidas de tendencia central en estadística comercial

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ESCUELA NACIONAL DE CIENCIAS COMERCIALES
ADSCRITA AL INEB “FRANCISCO MARROQUÍN”
MORALES, IZABAL, GUATEMALA, C. A.
Documento de apoyo al estudiante
Estadística Comercial
1) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.1) MEDIA ARITMÉTICA
1.1.1) MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE
El proceso que debe seguirse en la aplicación, será:
a) sume todos los valores observados.
b) divida el resultado anterior entre el número de observaciones.
Las medidas de posición, generalmente denominadas promedios, son considerados como
medidas destinadas a reducir el conjunto de datos de una característica observada o
investigada a un sólo número representativo. Se puede decir también que el resultado de las
medidas sólo pretende explicar mediante un valor típico un conjunto de datos.
Frecuentemente se omite la calificación de aritmética, de modo que sólo se menciona la
palabra media, Es la medida más utilizada, la más conocida, la más fácil de calcular. Se
simboliza indistintamente empleando una rayita sobre la letra que indica la variable x o y, con
minúscula para indicar el estimador y con mayúscula para el parámetro.
Otra forma de simbolizar la media es utilizando la letra M (mayúscula) colocando como
subíndice y entre paréntesis la letra que identifica la variable: M(x)
; M(y)
; M(z)
; también algunos
utilizan la a (minúscula). En poblaciones, como parámetro, es empleada con mucha
frecuencia la letra griega miu o mu (μ).
La media de un conjunto de valores x1
, x2
, x3
, ..., xn
, es la suma de los mismos, dividida entre
el número total de observaciones que se consideran. Observemos que esta fórmula
matemática es simplemente un conjunto de instrucciones. En este caso, se están impartiendo
instrucciones.
(x , y)
Algunos la denominan como media no ponderada, y se obtiene dividiendo la suma de todos
los valores que toma la variable, entre el número de observaciones.
La anterior fórmula denominada por algunos como media simple o no ponderada, se utiliza
cuando los datos están sin agrupar, es decir, se trabaja con los datos originales provenientes
del instrumento de recolección utilizado, sin que se haya iniciado el proceso de
concentración, tabulación o elaboración de cuadros o tablas.
(x)

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Ejemplo.
Si se utiliza una escala de 0 a 10 y las calificaciones obtenidas por un alumno son:
6, 8, 6, 10 y 5 ¿Cuál es el promedio?
1.1.2) MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Fórmulas
=
suma de los productos
número de observaciones
Ahora aplicaremos las dos fórmulas en variables
discretas y continuas. Para ello tomaremos como
base las tablas de frecuencia del ejercicio ejemplo
que tienes en tus notas anteriores.
Cálculo de la media aritmética ponderada en variable discreta.
Ejercicio ejemplo.
0 3 0 0.06000 0.00000
1 7 7 0.14000 0.14000
2 10 20 0.20000 0.40000
3 15 45 0.30000 0.90000
4 8 32 0.16000 0.64000
5 5 25 0.10000 0.50000
6 2 12 0.04000 0.24000
Σ 50 141 1 2.82000
Xi fi Xifi fi / n xi(fi / n)
̄X=
6+ 8+ 6+ 10+ 5
5
̄X=
35
5
= 7
Se aplica cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias. El término
ponderación se da a la importancia que tiene cada valor de la variable dentro del conjunto, y
corresponde a la frecuencia absoluta o relativa, siendo su mayor importancia cuando mayor
sea el valor de la frecuencia. La fórmula es casi igual a la anterior, sólo que en este caso se
multiplica cada valor de la variable por su respectiva frecuencia.
̄X=
∑ xi f i
n
̄X=
∑ xi
n
̄X= ∑ xi(f i
n )
̄X=
∑ xi f i
n
=
141
50
= 2.82
̄X= ∑ xi(f i
n ) = 2.82

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Cálculo de la media aritmética ponderada en variable continua
Ejercicio ejemplo
INTERVALOS
33.01 38 3 35.5 106.50 0.06000 2.13000
38.01 43 5 40.5 202.50 0.10000 4.05000
43.01 48 7 45.5 318.50 0.14000 6.37000
48.01 53 9 50.5 454.50 0.18000 9.09000
53.01 58 15 55.5 832.50 0.30000 16.65000
58.01 63 9 60.5 544.50 0.18000 10.89000
63.01 68 2 65.5 131.00 0.04000 2.62000
Σ 50 - 2590 1 51.80000
1.2) MEDIANA (Me)
1.2.1) CÁLCULO DE LA MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS
1.2.2) CÁLCULO DE LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS
fi
Xi
Xi
fi
fi
/ n Xi
(fi
/ n)
1.2.1.1) Número Impar de observaciones
1.2.1.2) Número par de observaciones
̄X=
∑ xi f i
n
=
2590
50
= 51.8 ̄X= ∑ xi(f i
n ) = 51.8
Es el valor de la variable que divide la frecuencia total en dos partes iguales, es decir, aquel
valor de la variable que supera y a la vez es superado por más de la mitad de las
observaciones en un conjunto ordenado. La mediana es un valor central.
Veamos su aplicación en cada caso particular.
Para el cálculo de la mediana, cuando los datos no están agrupados en una tabla de
frecuencias, debe tomarse en cuenta si el número de observaciones es impar o par. Para cada
caso utilizaremos este procedimiento.
a) se ordenan los datos ascendentemente o descendentemente.
b) se determina el valor central, ya sea mediante la observación directa de los datos o a través
de la aplicación de la fórmula: (n+1)/2. El resultado nos señala el número de la observación
en que se localiza la mediana. Ejemplo.
Si solo se dispone de un número impar de datos, la mediana estará localizada en el centro.
Consideremos nuevamente los valores: 6, 8, 6, 10 y 5. Se ha dicho que primero los
ordenamos ascendentemente o descendentemente: 5, 6, 6, 8, 10. Observemos que uno de los
seis ocupa el centro; por lo tanto, a ese valor le corresponde la mediana. Me = 6.
En el mismo ejercicio podemos calcular la mediana aplicando la fórmula (n+1)/2 = (5+1)/2 =
3, lo cual indica que la mediana está localizada en el tercer dato de la variable ordenada.
Si disponemos de un conjunto par de datos, se toma convencionalmente la mediana, a la
media de las dos observaciones centrales. Si estos dos valores son iguales, se tomará uno de
ellos. Con los datos: 6, 8, 6, 10, 5, 10, los ordenamos ascendentemente o descendentemente:
5, 6, 6, 8, 10, 10. La mediana será el promedio entre la tercera y la cuarta observación
obtenida de la siguiente manera: (6+1)/2 = 3.5, es decir, que promediamos (6+8)/2 = 7.
Este será el valor de la mediana: Me = 7
Cuando trabajamos con tablas de frecuencias, debe establecerse si la variable es discreta o
continua; luego, miraremos si al dividir entre dos el total de observaciones el valor se
encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Se nos presentan dos
situaciones. En cada caso debe aplicarse una fórmula diferente, con base en las siguientes
recomendaciones:
a) Se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas.
b) Divide entre 2 el total de observaciones: n/2.
c) El resultado anterior lo buscas en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas.
Al respecto recordar que se presentan dos situaciones: la primera, cuando el valor puede
observarse; dicho valor lo simbolizaremos por Ni-1
y al inmediatamente superior en valor por
Ni
por lo cual se dice que Ni-1
= n/2.

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Mediana en datos agrupados. Variable Discreta.
Ejercicio ejemplo.
0 3 3
1 7 10
2 15 25
3 10 35
4 8 43
5 5 48
6 2 50
Σ 50
Mediana en datos agrupados. Variable Discreta.
Ejercicio ejemplo.
0 3 3
1 7 10
2 10 20
3 15 35
4 8 43
5 5 48
6 2 50
Σ 50
Xi fi Ni
Xi-1
Ni-1
xi
Ni
Xi fi Ni
Ni-1
xi
Ni
continua; luego, miraremos si al dividir entre dos el total de observaciones el valor se
encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Se nos presentan dos
situaciones. En cada caso debe aplicarse una fórmula diferente, con base en las siguientes
recomendaciones:
a) Se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas.
b) Divide entre 2 el total de observaciones: n/2.
c) El resultado anterior lo buscas en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas.
Al respecto recordar que se presentan dos situaciones: la primera, cuando el valor puede
observarse; dicho valor lo simbolizaremos por Ni-1
y al inmediatamente superior en valor por
Ni
por lo cual se dice que Ni-1
= n/2.
La segunda situación se da cuando el valor no se observa en dicha columna; en este caso Ni-1
corresponderá al valor inmediatamente inferior a n/2 y Ni
al inmediatamente superior en valor
y se dirá que Ni-1
<n/2. Además, la fórmula que debe aplicarse es diferente al tipo de variable,
(discreta o continua).
La segunda situación se da cuando el valor no se observa en dicha columna; en este caso Ni-1
corresponderá al valor inmediatamente inferior a n/2 y Ni
al inmediatamente superior en valor
y se dirá que Ni-1
<n/2. Además, la fórmula que debe aplicarse es diferente al tipo de variable,
(discreta o continua).
(1) Aparece en la columna de las frecuencias absolutas el valor obtenido al calcular n/2 = 25;
por lo tanto, se dirá que Ni-1
= n/2. En este caso la fórmula que debe utilizarse es:
Me =
Xi−1+ Xi
2
Me =
2+3
2
= 2.5
Como en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas no aparece el valor 25,
consideremos como Ni-1
a 20, es decir, el valor inmediatamente inferior, y como Ni
al
inmediatamente superior a 25, o sea, 35. Se dirá en este caso Ni-1
<n/2, y la fórmula a utilizar
será: Me = Xi
Me = 3

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Mediana en datos agrupados. Variable Continua.
Ejercicio ejemplo.
INTERVALOS
33.01 38 3 3
38.01 43 5 8
43.01 48 7 15
48.01 53 10 25
53.01 58 15 40
58.01 63 9 49
63.01 68 1 50
Σ 50
Mediana en datos agrupados. Variable Continua.
Ejercicio ejemplo.
INTERVALOS
33.01 38 3 3
38.01 43 5 8
43.01 48 7 15
48.01 53 9 24
53.01 58 15 39
58.01 63 9 48
63.01 68 2 50
Σ 50
1.3) MODA
fi Ni
Ni-1
xi
Ni
fi Ni
Ni-1
xi
Ni
Procedimiento (1) Localiza el valor de n/2 = 25 en la columna de las frecuencias absolutas
acumuladas. Ni-1
= n/2 La fórmula que debe aplicarse será. Me = Xi
Me = 53
Procedimiento (2) En este caso, el valor 25 no se encuentra en la columna, por lo tanto, se
dirá que Ni-1
<n/2 Para su cálculo se aplicará la siguiente fórmula:
Me = Xi + c
n
2
− Ni−1
f i
Me = 53 + 5
50
2
− 24
15
f i
Me = 53 + 5
25−24
15
Me = 53 + 5
1
15
Me = 53 + 5 (0.06667)
Me = 53 + 0.33335
Me = 53.33
Es una medida de posición, definida como el valor de la variable que más se repite, es decir
que tiene la máxima frecuencia de la distribución. Se simboliza por Md. Md = Xi

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1.3.1) APLICACIÓN DE LA MODA EN DATOS SIN AGRUPAR
1.3.2) APLICACIÓN DE LA MODA EN DATOS AGRUPADOS
Moda en datos agrupados. Variable Discreta
Ejercicio ejemplo.
0 3
1 7
2 10
3 15
4 8
5 5
6 2
Σ 50
Moda en datos agrupados. Variable Continua
Ejercicio ejemplo.
35.5 3
40.5 5
45.5 7
50.5 9
55.5 15
60.5 9
65.5 2
Σ 50
Xi fi
Md
Xi
Md
= Xi
Md
= 3
Xi
fi
Md
= Xi
Md
= 55.5
Md
Xi
Apliquemos la moda en los datos siguientes: 6, 8, 6, 10, 5. Observamos que el 6 es el valor de
la variable que más se repite, por lo tanto: Md = 6.
Consideremos otro conjunto de 6 observaciones, cuyos valores son: 6, 8, 6, 10, 5, 10. Se
presentan dos valores de la variable con igual número de repeticiones, 6 y 10. En este caso
existen dos modas, por lo tanto la distribución es bimodal.
Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede afirmarse que no hay moda. Si un solo
valor de la variable se repite más veces que los demás, será unimodal; si encontramos más de
dos modas la distribución será plurimodal.
Así como se calculó la moda, en datos no agrupados, en una forma simple e inmediata, casi
por simple observación y sin fórmula alguna, podemos proceder igual en datos agrupados,
tanto para la variable discreta como para la continua. En esta última debe calcularse
utilizando las marcas de clase y sólo cuando la amplitud del intervalo sea constante; cuando
no lo sea, es preferible aplicar un procedimiento distinto. Md = Xi

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1.4.1) APLICACIÓN DE LA MEDIA GEOMÉTRICA EN DATOS NO AGRUPADOS
Ejercicio ejemplo.
Cálculo de la media geométrica en datos sin agrupar. 6, 8, 6, 10, 5.
Si se aplica esta fórmula a los datos anteriores, el resultado será exactamente igual.
1.4) MEDIA GEOMÉTRICA (Mg)
La media geométrica de n cantidades positivas es la raíz positiva enésima del producto de
dichas cantidades. Es aplicada en los casos en que la variable muestra un crecimiento
geométrico, como el de la población de un país o el de un capital colocado a una tasa de
interés compuesto, (con tendencia exponencial).
Mg =
n
√∏ xi
Mg =
n
√x1∗x2∗x3 ... xn
Mg =
n
√∏ xi
Mg =
5
√6∗8∗6∗10∗5
Mg =
5
√14,400
Mg = 6.79
Esta fórmula presenta varios inconvenientes en su cálculo.
a) Si un valor de la variable es 0 el producto será igualmente 0.
b) Ninguna observación puede ser negativa, pues nos daría una raíz imaginaria.
Como solución, es preferible utilizar logaritmos.
Mg = antilog(∑log xi
n )
Mg = antilog(log 6+ log 8+ log 6+ log10+ log5
5 )
Mg = antilog(0.77815+0.90309+0.77815+1+0.69897
5 )
Mg = antilog(4.15836
5 )
Mg = antilog 0.83167
Mg = 6.79
Antilog enLibre Office Calc = 10
n
n = al número delque se deseaobtener el antilog

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1.4.2) MEDIA GEOMÉTRICA EN DATOS AGRUPADOS
Fórmula a utilizar
Media Geométrica en Datos agrupados Variable Discreta
Ejercicio ejemplo.
0 3 0 0
1 7 0 0
2 10 0.30103 3.01030
3 15 0.47712 7.15680
4 8 0.60206 4.81648
5 5 0.69897 3.49485
6 2 0.77815 1.55630
Σ 50 20.03473
Media Geométrica en Datos agrupados Variable Continua
Ejercicio ejemplo.
INTERVALOS
33.01 38 3 35.5 1.55022 4.65066
38.01 43 5 40.5 1.60745 8.03725
43.01 48 7 45.5 1.65801 11.60607
48.01 53 9 50.5 1.70329 15.32961
53.01 58 15 55.5 1.74429 26.16435
58.01 63 9 60.5 1.78175 16.03575
63.01 68 2 65.5 1.81624 3.63248
Σ 50 85.45617
Xi fi log xi
fi log xi
fi
Xi
log xi
fi log xi
Mg = antilog(∑ f i log xi
n )
n )
50 )
Mg = 2.52
n )
50 )
Mg = 51.18

===========================
Fórmula para la media aritmética:
Fórmula para la media armónica:
1.5.1) MEDIA ARMÓNICA EN DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplo a) Calculemos la media armónica con los siguientes datos: 6, 8, 6, 10, 5
¿En qué tiempo medio se tejería la tela?
1.5) MEDIA ARMÓNICA (Mh)
Ejemplo b) Dos tejedoras necesitan 5 y 8.5 horas, respectivamente, para tejer una tela.
Se define como el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
Se simboliza mediante Mh, MA, M-1
El valor obtenido con la aplicación de esta medida será menor que la media geométrica, la
que a su vez es menor que la media aritmética.
Es utilizada para hallar promedios de números índice y para resolver problemas de promedios
de tiempo y velocidad.
Mh < Mg < ̄x
̄X=
∑ xi
n
Mh =
n
1
∑ xi
Mh = ∑
n
1
xi
Mh =
5
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+
1
x4
+
1
x5
Mh =
5
1
6
+
1
8
+
1
6
+
1
10
+
1
5
Mh =
5
0.16666+0.125+0.16666+0.1+0.2
Mh =
5
0.75832
Mh = 6.59
Mh = ∑
n
1
xi
Mh =
2
1
x1
+
1
x2
Mh =
2
1
5
+
1
8.5
Mh =
2
0.2+0.11764
Mh =
2
0.31764
Mh = 6.3 horas
Mh = 6 horas y 18minutos

===========================
1.5.2) MEDIA ARMÓNICA EN DATOS AGRUPADOS
Media Armónica en Datos agrupados Variable Discreta
Ejercicio ejemplo.
0 3 0
1 7 7
2 10 5
3 15 5
4 8 2
5 5 1
6 2 0.33
Σ 50 20.33
Media Armónica en Datos agrupados Variable Continua
Ejercicio ejemplo.
35.5 3 0.08451
40.5 5 0.12346
45.5 7 0.15385
50.5 9 0.17822
55.5 15 0.27027
60.5 9 0.14876
65.5 2 0.03053
Σ 50 0.98960
Bibliografía
Estadística
Guatemala, Guatemala.
Estadística Comercial
Grupo Editorial Norma Educativa
Segunda Edición, 1994; tercera reimpresión 1996
Impreso en Colombia
Xi fi
Xi
fi
Kleé Fleishmann, Oscar
Actualizado y Corregido por: Roberto Kleé Ramos
7a. Edición Enero 1999, Editorial Kamar, S. A.
Martínez Bencardino, Ciro
fi / xi
Mh = ∑
n
1
xi
Mh =
50
20.33
Mh = 2.46
fi / xi
Mh = ∑
n
1
xi
Mh =
50
0.98960
Mh = 50.52

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