Tecnología y Matemáticas

2. MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL
Dirección General de Investigación y Desarrollo Pedagógico
Grupo de Investigación Pedagógica
NUEVAS TECNOLOGÍAS
Y
CURRÍCULO DE
MATEMÁTICAS
APOYO A LOS
LINEAMIENTOS
CURRICULARES
SANTAFÉ DE BOGOTÁ, D.C. Febrero de 1999

3. PERSONAS E INSTITUCIONES QUE APORTARON CON SUS IDEAS Y EXPERIENCIAS EN LA
CONSTRUCCION DE ESTE DOCUMENTO
GERMÁN ALBERTO BULA ESCOBAR
Ministro de Educación Nacional
MARTHA LUCÍA VILLEGAS BOTERO
Viceministra Formación Básica
JUAN MANUEL GALÁN PACHÓN
Viceministro de la juventud
ANA PATRICIA FRANCO DUQUE
Secretaria General
ANA MILENA ESCOBAR
Secretaria Técnica
MARÍA EUGENIA ESCOBAR DE SIERRA
Directora General de Investigación y
Desarrollo Pedagógico
BLANCA OTÁLORA DE TELCH
Directora General de Organización Escolar
OLGA LUCÍA TURBAY MARULANDA
Directora General de Cooperación
Internacional
JOSÉ MARÍA LEYTON GALLEGO
Director Apoyo a la Administración Educativa
CLARA INES CRUZ RIVERO
Directora de Planeación
SOLEDAD GUZMÁN SALAZAR
Directora General de Servicios Técnicos
GUSTAVO DAZA LAVERDE
Coordinador Unidad Proyectos Crédito
Externo
TERESA LEÓN PEREIRA
Coordinadora Grupo de Investigación
Pedagógica
____________________________
COORDINADORA DEL PROYECTO
ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA
Grupo de Investigación Pedagógica - MEN
___________________________________
ELABORADO POR:
ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA
Grupo de Investigación Pedagógica - MEN
LEONOR CAMARGO URIBE
Departamento de Matemáticas
Universidad Pedagógica Nacional
MIGUEL ERNESTO VILLARRAGA RICO
Facultad de Educación
Universidad del Tolima
GILBERTO OBANDO ZAPATA
Instituto de Educación y Pedagogía
Universidad del Valle
___________________________________
CON LA COLABORACION DE:
MARTÍN EDUARDO ACOSTA GEMPELER
Colegio Helvetia
HUGO MARTÍN CUÉLLAR G.
Universidad Jorge Tadeo Lozano
FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA
Instituto Pedagógico Nacional
ALICIA GUZMÁN CASTRO
Escuela Colombiana de Ingeniería
IRMA TORO CASTAÑO
Centro Educativo Distrital Nueva Castilla
___________________________________
DRA. GRECIA GÁLVEZ
Investigadora Ministerio de Educación de
Chile
DR. CARLOS EDUARDO VASCO URIBE
Profesor Emérito.
Universidad Nacional de Colombia
DR. LUIS MORENO ARMELLA
Investigador Departamento de Matemática
Educativa del Centro de Investigaciones y

4. Estudios Avanzados (CINVESTAV). Instituto
Politécnico Nacional, México D.E.
DR. ADRIAN OLDKNOW
Profesor Emérito
Chichester Institute of Higher Education.
Inglaterra.
____________________________
NELLY GÓMEZ GAITÁN
MARÍA NIDIA MONTEALEGRE MOLINA
Apoyo Técnico
Producción Editorial e impresión:
Punto EXE Editores, Bogotá Tel.: 2849399
Primera Edición:
2.500 Ejemplares
Prohibida su reproducción total o parcial sin
autorización escrita del Ministerio de
Educación Nacional -MEN-. Derechos
Reservados.
DISTRIBUCION GRATUITA
Santafé de Bogotá, DC., Abril de 1999
Colegios Piloto
INEM de Pasto
Jorge Humberto Eraso B. Servio Antonio
Benavides Luis Álvaro Ibarra
]osé Delfin Buchelli
Oscar Narváez G.
Instituto Pedagógico Nacional. Santafé
de Bogotá
Fabiola Rodríguez García
Luz Stella Ramírez
Jaime Millán Mora
Rocío del Pilar Alzate
Juan Manuel Méndez
Instituto Distrital Castilla. Santafé de
Bogotá
José Antonio Castiblanco
Emiliano Merchán
José Joaquín Valderrama
Francia Helena Rivas Águeda Ávila Bustos
Instituto Técnico Distrital Francisco
José de Caldas. Santafé de Bogotá
Ana Rosa Cárdenas de Esteban Ana
Mercedes Sepúlveda de Rojas
Janeth Estela Henao B.
Liliana Bogotá
José Quintana Quintana
Santiago Martínez Camacho
Hilda Parrado de Beltrán
Otras Instituciones
Colegio Distrital Grancolombiano.
Santafé de Bogotá
Inés Alicia Vásquez Bautista
Flor Celia Guevara Orjuela
Nora Prieto 1
INEM El Tunal. Santafé de Bogotá
Nivia Helena de Romero
Centro Educativo Distrital Divino Niño.
Santafé de Bogotá
Leonor Castro de Luna
Grupo Anillo de Matemáticas
Vladimir Torres
Centro Educativo Distrital Nueva
Castilla. Santafé de Bogotá
Irma Toro Castaño
Colegio Helvetia. Santafé de Bogotá
Martín Acosta Gempeler
Colegio Distrital Nocturno José Félix
Restrepo.
Santafé de Bogotá
Beatriz Cuadros Salazar
Secretaría de Educación de Antioquia
Irma Hurtado Gómez
Grupo de Investigación Pedagógica -
MEN
Ana Celia Castiblanco Paiba
Cecilia Casasbuenas S.
Virginia Cifuentes de B.
Teresa León Pereira
Edith Figueredo de Urrego

5. Universidad Javeriana. Santafé de
Bogotá
María Victoria de Castellanos.
Universidad Javeriana. Cal¡
Walter Castro Gordillo
Instituto de Educación y Pedagogía.
Universidad del Valle. Cal¡
Gilberto Obando Zapata
Universidad del Tolima. Ibagué
Miguel Ernesto Villarraga Rico
Universidad Nacional. Medellín
Álvaro Alberto Gómez 0.
Universidad Jorge Tadeo Lozano.
Santafé de Bogotá
Hugo Martín Cuéllar C.
Carlos Zuluaga Ramírez
Universidad Pedagógica Nacional.
Santafé de Bogotá
Leonor Camargo Uribe
Escuela Colombiana de Ingeniería.
Santafé de Bogotá
Ana Alicia Guzmán Castro
Universidad de la Amazonía-Florencia
Programa de Matemáticas y Física
Henry Urquina Llanos

6. CONTENIDO
AGRADECIMIENTOS 1
PRESENTACIÓN 2
INTRODUCCIÓN 4
1. ANTECEDENTES 6
1.1 Lineamientos Curriculares para la Educación Matemática 6
1.2 Misión de Ciencia Educación y Desarrollo 7
1.3 La Educación en Tecnología 8
2. JUSTIFICACIÓN 10
2.1 La Revolución Informática en el Nuevo Orden Mundial 10
2.2 Consideraciones Acerca de la Realidad Nacional 11
3. MARCO TEÓRICO Y PERSPECTIVAS 14
3.1 Didáctica de las Matemáticas 14
3.2 Sistemas de representación y nuevo realismo de las Matemáticas 21
3.3 Conocimiento como conocimiento situado 23
3.4 Diferencias entre las Herramientas tecnológicas y otros recursos 24
4. CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA 28
4.1 El papel de la tecnología en el currículo de Matemáticas 28
4.2 ¿Cómo afectan las nuevas tecnologías los ejes del currículo? 29
4.2.1 El contexto y la tecnología 30
4.2.2 ¿Qué procesos y habilidades cognitivas se pueden favorecer? 31
4.2.3 ¿Cómo contribuye el uso de las tecnologías al aprendizaje de distintos
contenidos del currículo? 38
4.3 Implicaciones para la evaluación 77
5. BARRERAS PARA LA UTILIZACIÓN DE RECURSOS TECNOLÓGICOS EN LA CLASE DE
MATEMÁTICAS 81
6. ESTRATEGIAS PARA IMPLEMENTAR NUEVAS TECNOLOGÍAS EN EL SALÓN DE CLASE
85
7. CONCLUSIONES 93
BIBLIOGRAFÍA 95

7. 1
AGRADECIMIENTOS
La Dirección General de Investigación y Desarrollo Pedagógico del Ministerio de Educación
Nacional expresa sinceros agradecimientos a todos los educadores matemáticos e instituciones
que contribuyeron en la construcción de esta propuesta.
Queremos destacar ante todo a:
La Organización de los Estados Americanos (OEA), por su apoyo financiero para la realización del
proyecto.
El Consejo Británico y La Misión de Internalización de la Ciencia de Colciencias, por apoyar la
visita del experto inglés.
La Dirección General de Cooperación Internacional del Ministerio de Educación Nacional, por su
interés y apoyo decidido en la realización del proyecto.
Además, un reconocimiento a los expertos internacionales, Dra. Grecia Gálvez, Dr. Carlos
Eduardo Vasco, Dr. Luis Moreno Armella y Dr. Adrian Oldknow, quienes con sus aportes sentaron
las bases para iniciar y avanzar en este tema tan importante para la Educación Matemática del
país. Al mismo tiempo a los establecimientos y profesores que participaron en la experiencia
piloto, por ser pioneros de un programa innovativo para el país.
Finalmente, hacemos un reconocimiento especial a Leonor Camargo Uribe de la Universidad
Pedagógica Nacional, Miguel Villarraga Rico de la Universidad del Tolima, Gilberto Obando Zapata
del Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle por la responsabilidad y el
compromiso con que asumieron la participación en la redacción de esta propuesta.

8. 2
PRESENTACION
Quienes tenemos la fortuna y responsabilidad de orientar la educación encontramos cada día
evidencias fehacientes de que vivimos una era en la cual es posible y se requiere alcanzar
mayores niveles de desarrollo humano, apremiantemente.
Los conocimientos sobre el cerebro y sus funciones psicológicas, consolidados por la ciencia
cognitiva durante los últimos cincuenta años, y la enorme posibilidad de llevar dichas funciones a
niveles óptimos de desarrollo aprovechando los avances crecientes de la tecnología y la
informática, permiten afirmar que estamos ante condiciones altamente favorables para mejorar el
trabajo en las aulas.
La educación, dentro y fuera del recinto escolar, es la herramienta social más eficaz para brindar a
todos oportunidades y ambientes en los cuales se cultiven la atención voluntaria, la memoria
intencional, la percepción orientada, el juicio, el razonamiento, los valores y, con todo esto, el
proceso psicológico humano por excelencia: La conciencia, como una brújula hecha de principios y
criterios que señalan el norte y ayudan a encontrar caminos de vida.
Cada civilización, cada familia, nosotros todos, nos hemos interrogado y respondido acerca de los
procedimientos y las condiciones más eficaces para conseguir el pleno desarrollo humano.
Sócrates, filósofo y pedagogo, estaba tan convencido del poder del diálogo como instrumento para
hacer aflorar el conocimiento, que entendía la mayéutica como "el hermoso arte de hacer dar a
luz los espíritus ". La escuela de Ginebra con Piaget, biólogo y psicólogo, parece decir que la 'llave
maestra' la posee quien sabe cómo se engendran y cómo se desarrollan las funciones psicológicas
superiores. A este lado del océano la escuela de Harvard, con las investigaciones lideradas por
Howard Gardner, abre una ventana que cuestiona el paradigma de la inteligencia humana como
algo único que cada uno posee en mayor o menor grado y nos lanza al mundo de las inteligencias
múltiples con todo lo que esa nueva visión implica para la pedagogía, y, en general, para la
educación.
Quien toma una cierta distancia y busca algo que sea común a las metodologías que ha empleado
la humanidad para su desarrollo, encontrará que ese algo común incluye el empleo de
herramientas tanto físicas como lingüísticas o simbólicas. Socialmente se acepta como un hecho
incontrovertible que tanto los avances más benéficos para la humanidad como la aterradora
capacidad de destrucción tienen relación directa con la invención y el empleo de utensilios. Una
línea de investigación actual se propone generar conocimiento acerca del papel que el uso de esas
herramientas ha jugado en el desarrollo del cerebro, en el aumento de su tamaño físico y en la
forma de pensar y aprender Seymour Papert afirma: "En mi concepción el niño programa la
computadora y, al hacerlo, adquiere un sentido de dominio sobre un elemento de la tecnología
más moderna y poderosa y a la vez establece un íntimo contacto con algunas de las ideas más
profundas de la ciencia, la matemática y el arte de construcción de modelos intelectuales".
Ello es así porque el empleo didáctico de equipos como computadores y calculadoras gráficas
facilitan la transformación de la manera de aprender de los seres humanos. Los equipos no son
para programar a los estudiantes sino para que los estudiantes los programen, para que hagan
algo con ellos. En esas condiciones el aprendizaje se vuelve más activo y autodirigido.
Las posibilidades que brindan los computadores y las calculadoras, como instrumentos para que
los alumnos jueguen un papel protagónico en el aprendizaje, en la elaboración de conocimientos y
en la comprensión de lo que hacen, constituyen una verdadera revolución pedagógica, una
oportunidad para acceder a la información y al conocimiento universal y una magnífica
oportunidad para transformar las escuelas.

9. 3
El Ministerio quiere incentivar la incorporación de calculadoras y computadores en la educación
matemática. Para apoyar el proceso pedagógico correspondiente presentamos el documento
Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas, que constituye, a la vez, un complemento
de los lineamientos curriculares de dicha área, entregados al país en julio de 1998. Nos
proponemos continuar la reflexión sobre la educación matemática y al mismo tiempo atender la
necesidad de explicitar criterios y orientaciones compartidos en el empleo de nuevas tecnologías,
para que se haga de los equipos un uso creativo que lleve a los estudiantes a comprender lo que
hacen y a desarrollar comprensiones y capacidades cuyo logro se dificulta cuando los materiales
se reducen al cuaderno, el texto o el tablero.
La introducción de las tecnologías informáticas nos ayudará a dar un paso firme hacía una
educación en la cual la solución de problemas de las ciencias llamadas 'duras', como las
matemáticas, contribuya a desarrollar competencias para tratar los complejos problemas de las
ciencias llamadas 'blandas' como las sociales.
GERMÁN ALBERTO BULA ESCOBAR
Ministro de Educación Nacional

10. 4
INTRODUCCION
El presente trabajo es el resultado de un proceso de discusión y reflexión convocado por el Grupo
de Investigación Pedagógica del Ministerio de Educación Nacional, en el marco del Proyecto
"Apoyo al Programa de Enseñanza de Lenguas Extranjeras y de Matemáticas para la Educación
Secundaria y Media Oficial de Colombia", desarrollado con la cooperación de la OEA.
En lo relacionado con el área de matemáticas, el proyecto tuvo como objetivos fundamentales la
construcción en forma participativa de unas orientaciones para la incorporación de nuevas
tecnologías al currículo y la conformación de un grupo de docentes que apoyen al MEN en la
implementación de éstos y en la asesoría a las instituciones educativas.
Al mismo tiempo, se inicio una experiencia piloto en cuatro colegios oficiales colombianos con el
fin de realizar una exploración teórico-práctica sobre las posibilidades de las tecnologías en el
aula, que han aportado insumos y orientaciones para la elaboración de estos lineamientos. El
trabajo en los cuatro colegios se viene realizando desde 1998.
Estas instituciones son: el INEM de Pasto, el Instituto Distrital Castilla, el Instituto Pedagógico
Nacional y el Instituto Técnico Distrital Francisco José de Caldas de Santafé de Bogotá, DC. Vale la
pena destacar que para apoyar el proyecto se dotó a cada colegio experimental con 20
calculadoras gráficas TI 83 (80 en total) y un paquete multiusuario de CABRI II (4 en total) como
material de apoyo para aplicar y desarrollar procesos de aprendizaje propios de las matemáticas.
Como parte de este proceso, en febrero de 1 998 se llevó a cabo un encuentro con expertos
nacionales e internacionales para acordar los aspectos básicos del uso de las nuevas tecnologías
como insumos para este documento y para orientar la iniciación de algunas experiencias en
nuestro país. A este evento asistieron 29 expertos nacionales y dos expertos internacionales, uno
del Ministerio de Educación de Chile y uno de Chichester Instituto of Higher Education de
Inglaterra.
A finales del mismo mes de febrero se realizó un seminario taller de una semana dirigido por los
profesores Martín Acosta y Hugo Cuellar, sobre calculadoras gráficas TI 83 y el software para
Geometría CABRI II con la participación de 25 profesores de las instituciones educativas
seleccionadas para desarrollar la experiencia piloto, con el fin de conocer los aspectos básicos del
uso de esas herramientas en el currículo de Matemáticas y reflexionar sobre su aplicación en el
aula.
Con este mismo grupo de docentes, en abril del mismo año se realizó otro seminario orientado
por el Dr. Luis Moreno Armella del Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados (CINVESTAV)
del Instituto Politécnico Nacional (IPN) de Ciudad de México, DF., Para apoyar, tanto el proceso de
construcción y formulación de lineamientos para la incorporación de Nuevas Tecnologías al
Currículo de Matemáticas, como el seguimiento a la experiencia piloto. Los aportes del Dr.
Moreno fueron decisivos para avanzar en la conformación de esta experiencia, para profundizar
sobre la didáctica de las matemáticas y para reflexionar y vivenciar los cambios profundos y el
impacto de nuevas tecnologías en el currículo de Matemáticas, así como sus aplicaciones
pedagógicas.
Para Finalizar la etapa de construcción de este documento, se llevó a cabo una reunión con
educadores matemáticos en diciembre de 1 998, con el Fin de revisar y enriquecer el primer
borrador.

11. 5
De las ponencias presentadas por los expertos, de las experiencias significativas que se han
desarrollado en Colombia y en otros países (como Chile, Inglaterra y México), de los aportes,
reflexiones y debates dados en los diferentes eventos y de los resultados de las experiencias
Piloto surge esta primera propuesta, para ponerla a consideración de los educadores matemáticos,
como apoyo para la discusión sobre este tema de tanta trascendencia en la educación de nuestro
país.
Los temas tratados constituyen una ampliación y complementación de Los Lineamientos
Curriculares, recientemente propuestos al país por el Grupo de Investigación Pedagógica del
Ministerio de Educación.
El documento presenta en primer lugar unos antecedentes relacionados con el trabajo previo de
Lineamientos Curriculares que el MEN ha realizado para enmarcar esta propuesta, con los
planteamientos de la Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo y con los de la de Educación en
Tecnología, A continuación vienen unas razones que justifican la elaboración de estas
orientaciones, como son la realidad nacional y el nuevo orden mundial.
En tercer lugar, se plantea un marco conceptual que fundamenta e impulsa el trabajo con nuevas
tecnologías (calculadoras gráficas y computadores) que tiene que ver con la reflexión sobre el
quehacer pedagógico, las formas de representación en matemáticas, el conocimiento situado y las
características de estos recursos. Se plantean los cambios curriculares que se generan, con sus
respectivas implicaciones en la enseñanza y en el aprendizaje y la reflexión propiamente dicha
sobre el impacto de estos recursos.
Luego se ilustra lo que pensamos es el papel de la tecnología en e¡ currículo de Matemáticas y la
manera como se afectan los tres ejes del mismo con el uso de las herramientas: los contenidos
básicos, los procesos de aprendizaje y el contexto basado en situaciones problemáticas;
y las aplicaciones en la evaluación del desempeño de los estudiantes.
Finalmente se identifican unas barreras que pueden obstaculizar el uso de los recursos en los
colegios, se proponen unas estrategias para la implementación de este trabajo en el aula y unas
conclusiones finales que destacan unos principios básicos para tener en cuenta a la hora de
desarrollar proyectos mediados por las tecnologías.

12. 6
Figura 1
1.
ANTECEDENTES
1.1. LINEAMIENTOS CURRICULARES PARA LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Desde finales de 1996 el Ministerio de Educación Nacional inició un proceso de construcción
participativa y de formulación de Lineamientos Curriculares para orientar la Educación Matemática
en el país. Estos lineamientos plantean unos antecedentes, que de alguna manera son un punto
de partida para el trabajo en nuestro contexto actual, unos referentes curriculares que propician
reflexiones acerca de la naturaleza de las matemáticas y de las matemáticas escolares, sobre la
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, sobre el tipo de matemáticas que deben aprender
los ciudadanos y sobre los principios básicos que ayudan a organizar el currículo y a orientar la
evaluación.
Estas reflexiones plantean una nueva visión del conocimiento y de la actividad matemática en la
escuela que señala como aspecto fundamental el reconocimiento de las nuevas tecnologías, tanto
en los énfasis curriculares como en sus aplicaciones, y muestra la necesidad de profundizar sobre
el papel de la tecnología en el Currículo de Matemáticas, en la medida en que amplia el campo de
indagación sobre el cual actúan las estructuras cognitivas que se tienen, lo enriquecen con las
nuevas pragmáticas asociadas y lo llevan a evolucionar.
En los Lineamientos Curriculares de Matemáticas se propone organizar el currículo como un todo
armonioso e integrado alrededor de tres grandes ejes, como se indica en la figura 1.

13. 7
Procesos de aprendizaje tales como el razonamiento; la resolución y planteamiento de problemas;
la comunicación la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
Conocimientos básicos que tienen que ver con procesos
específicos que desarrollan el pensamiento matemático y con sistemas propios de la matemática.
Estos procesos específicos se relacionan con el desarrollo del pensamiento numérico, espacial,
métrico, aleatorio y variacional, entre otros.
Los sistemas son aquellos que se han venido proponiendo desde la Renovación Curricular:
sistemas numéricos, sistemas geométricos, sistemas de medida, sistemas de datos y sistemas
algebraicos y analíticos.
El contexto tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a la
matemática que aprende.
Al entrar en este momento a formular unos lineamientos para la incorporación de nuevas
tecnologías al currículo de Matemáticas, se plantean nuevos retos a los educadores del país, que
han de orientarse a la luz de los avances alcanzados en los Lineamientos Curriculares del área.
1.2. MISION DE CIENCIA, EDUCACION Y DESARROLLO
Esta misión, conocida como la "misión de los sabios", diseñó desde 1 994 una carta de navegación
para orientar el futuro de la educación, la investigación científica y el desarrollo en Colombia.
Señala que la realidad de la creciente brecha entre los países desarrollados y subdesarrollados
requiere, entre otras estrategias, de un nuevo énfasis sobre el conocimiento científico y
tecnológico en la educación formal y que una de los variables más determinantes del
subdesarrollo de nuestro país, causa del rezago en el progreso socioeconómico, ha sido el bajo
nivel en la educación de sus gentes.
Plantea también que "el desarrollo, como avance económico, político y cultural, debe significar un
legado humano de información al servicio de estilos de vidas inteligentes y garantes de la
creatividad humana para futuras generaciones.
Lo anterior requiere una reestructuración y revolución educativa que genere un nuevo "ethos"
cultural, que permita la maximización de las capacidades intelectuales y organizativas de los
colombianos. La manera innovativa de entender y actuar -no el simple saber y hacer- debe
permitir que se adquieran nuevas habilidades humanas basadas en el desarrollo de múltiples
saberes y talentos, tanto científicos como artísticos y literarios, y de nuevas formas de
organización productiva" (Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo, 1 994, p. 1 2).
Se resalta que la posibilidad de Colombia para competir adecuadamente con otros países depende
de la realización de un enorme esfuerzo a nivel educativo y que una de las herramientas más
importantes de que se dispone para elevar nuestro nivel de competitividad es la instrucción de
alta calidad por medios computacionales interactivos, como lo empiezan a hacer los países
desarrollados, por lo cual se propone impulsar la calidad de la educación a nivel nacional con un
avanzado sistema de aprendizaje computacional.
Afirma que “la importancia de los computadores en la educación radica en los siguientes aspectos:
 El acceso a materiales de aprendizaje de gran riqueza y creatividad;
 La posibilidad de usar sistemas interactivos y de redes;

14. 8
 La posibilidad de usar informática y programas educativos para avanzar en los procesos de
aprendizaje y
 El acceso por telemática a extensos bancos de datos permanentemente actualizados (...).”
La superioridad cae algunos sistemas educativos, en especial la alfabetización computacional, el
entrenamiento en ciencias básicas, matemáticas, química, física y la experiencia en laboratorios,
así como el fomento del talento para la innovación, generan un mejor nivel de competitividad para
los futuros profesionales en ciencia e ingeniería”
Las orientaciones dadas por esta misión nos están planteando la urgencia de pensar la manera
como se pueden incorporar los recursos tecnológicos en el aula, para potenciar el aprendizaje de
las matemáticas.
1.3. LA EDUCACION EN TECNOLOGÍA
Como se ha expresado anteriormente, el desarrollo económico y las condiciones y patrones de
intercambio internacional le imponen al país la necesidad de impulsar fuertemente su desarrollo
tecnológico, entendiendo por éste, tanto la producción de objetos y paquetes tecnológicos, como
el conocimiento teórico y práctico que se pone en juego en este proceso.
Así mismo, el desarrollo científico y tecnológico ha cobrado tal fuerza que no podemos eludir la
existencia cada vez más dominante de una cultura tecnológica en la sociedad moderna, para la
cual el sistema educativo debe formar a los ciudadanos, haciéndolos concientes de su existencia y
preparándolos para enfrentaría creativa, responsable y éticamente. En este sentido, la Misión de
Ciencia, Educación y Desarrollo replantea el esquema de la Educación Técnica y Tecnológica la
cual 11 se debe orientar hacia las comprensiones generales y globales de los nuevos
instrumentos, y hacia la formación en las competencias básicas que se requieren para conocer las
lógicas internas y las estructuras de los sistemas y procedimientos. Esta educación requiere un
serio componente en ciencias básicas. Tal educación permite utilizar los modelos nuevos que se
adquieren, su utilización para tareas novedosas, su reparación y aún su rediseño. Para ello, se
considera básico garantizar también que en esta nueva educación, los aprendices adquieran las
competencias lectoras y lógicas necesarias para acceder a los nuevos códigos y lenguajes en los
que se fundamenta la tecnología actual." (Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo, p. 65).
Por otro lado, desde hace varios años el Ministerio de Educación viene trabajando en el
replanteamiento de la Educación en Tecnología para la Educación Básica y Media. Los adelantos
de este trabajo junto con los planteamientos de la Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo
fueron acogidos por la Ley General de Educación (Ley 115 de 1994), y es así como se incorpora la
Tecnología e Informática como área obligatoria y fundamental tanto en la Educación Básica como
en la Educación Media Académica (artículos 23 y 31) y se establece la Educación Media Técnica
como preparación de los estudiantes para el desempeño laboral y para la continuación en la
Educación Superior.
Entre las orientaciones para el área de Educación en Tecnología dadas por el Ministerio de
Educación1
se destacan las siguientes:
 Entender la tecnología como un campo de naturaleza interdisciplinar que constituye un
poderoso factor de integración curricular, lo cual se concreta al abordar las actividades
1
Estos planteamientos del Ministerio De Educación Nacional Sobre la educación en Tecnología están desarrollados en el documento:
Educación en Tecnología: Propuesta para la Educación Básica, elaborado por el Equipo de Tecnología del MEN y publicado en 199ó.

15. 9
tecnológicas escolares que enfrentan a los estudiantes a problemas concretos de su
entorno cuya solución no puede darse desde el marco de una sola disciplina.
 Capacitar a los estudiantes en la vida y para la vida, es decir, en el manejo de principios y
valoraciones inherentes a la tecnología sobre los que se basan y fundamentan los distintos
desarrollos tecnológicos como preparación para el mundo del trabajo en procura de su
desempeño social exitoso.
 Asumir la Educación en Tecnología como un proceso permanente y continuo de adquisición
y transformación de los conocimientos, valores y destrezas inherentes al diseño y
producción de artefactos, procedimientos y sistemas tecnológicos.
 Apuntar a la preparación de las personas en la comprensión, uso y aplicación racional de la
tecnología para la satisfacción de las necesidades individuales y sociales.
 Identificar en esta área dos componentes discriminados: La tecnología y la informática,
reconociendo la informática como una expresión particular de la tecnología.
 La informática no se restringe al uso del computador únicamente, sino que también hace
referencia a procesos integrales para el manejo de la información. Se ha de diferenciar
igualmente entre computación e informática; la primera de carácter instrumental y la
segunda, de carácter estructural.
 De esta manera, el estudiante aprenderá a procesar información y será capaz de ejecutar
operaciones básicas en un computador (manejo de paquetes para computador), pero se
espera que estas actividades estén enmarcadas por la necesidad de resolver problemas,
tanto relacionados con las actividades tecnológicas, como los generados por las distintas
áreas curriculares
Desde estos propósitos se diferencia la Educación Técnica de la Educación en Tecnología,
superando con ello su anterior vinculación a la formación para el empleo, que desconocía su
potencial frente a la recreación, la formación para la vida en comunidad y para el trabajo
productivo, independientemente de la connotación económica de esta productividad.

16. 10
2.
JUSTIFICACION
2.1. LA REVOLUCIÓN INFORMÁTICA EN EL NUEVO ORDEN MUNDIAL
La vida de hoy se lleva a cabo en un mundo multicultural e interconectado. Este hecho exige a los
sistemas educativos orientar la educación para el desarrollo de capacidades, competencias,
actitudes y valores que habiliten a los ciudadanos a actuar en ambientes abiertos que exigen el
aprovechamiento y apropiación de los grandes avances de las tecnologías de la comunicación y de
la información.
Dentro de este contexto, "la evolución de las tecnologías de la información, particularmente a raíz
del auge de los microcomputadores y de las redes teleinformáticas, ha puesto al servicio de la
educación lo mejor de las características del computador, es decir dinamismo, interactividad,
almacenamiento y procesamiento de la información. Gracias a ellas, estamos ante una tecnología
sin precedentes, Sobre la cual se pueden construir sistemas educacionales que contribuyan a la
transmisión de la herencia cultural, la promoción de un nuevo entendimiento, la creación de
modelos propios de pensamiento" (Gálvez, 1 997, p 90) y que aseguren a las nuevas
generaciones el acceso al conocimiento más actual, a la información, al desarrollo de
competencias de mayor alcance y a la comunicación con otros grupos, culturas y centros
académicos.
Se impone entonces a las instituciones educativas la responsabilidad de atender a este nuevo
orden, ya que la sociedad de hoy les exige que aseguren a todos los estudiantes poseer una
cultura básica, ser capaces de ampliar su aprendizaje, tener igualdad de oportunidades para
aprender y ser ciudadanos bien informados capaces de entender las cuestiones propias de una
sociedad que avanza hacia la tecnología.
Los educadores, y en particular los educadores matemáticos no podemos seguir marginados de
esta realidad. Se hace necesario estudiar las posibilidades que brindan las nuevas tecnologías y
desplegar toda nuestra creatividad e imaginación, para encontrar las mejores formas de llevarlas
al aula y utilizarlas para potenciar el desarrollo integral de nuestros alumnos.
Hacer caso omiso de las nuevas tecnologías en la enseñanza está creando una barrera entre la
vida diaria de los estudiantes y las experiencias que tienen en la escuela. Para que la educación
matemática responda a las necesidades actuales y del futuro, debe dar cabida ahora a las
herramientas tecnológicas y hacer grandes esfuerzos para buscar la mejor manera de utilizarlas.
Hacer caso omiso de las nuevas tecnologías en la enseñanza está creando una barrera entre la vida
diaria de los estudiantes y las experiencias que tienen en la escuela.

17. 11
2.2 CONSIDERACIONES ACERCA DE LA REALIDAD NACIONAL
Estudios realizados por el Instituto SER de investigación2
sobre la situación de la informática
educativa en Colombia señalan que ésta no se ha incorporado plenamente en el proceso
educativo. Destacan entre otras las siguientes dificultades y vacíos.
 A escala nacional existen grupos interesados por la informática educativa, con diferentes
grados de desarrollo, pero sus logros son poco conocidos debido a su escasa difusión.
 Las experiencias son muy variadas en cuanto a la coherencia, tipo de equipos, software,
Cobertura, conceptualización. Las motivaciones de la incorporación de la informática en
los colegios varían desde los que tienen una visión madurada para la incorporación de las
tecnologías en cuanto a los beneficios educativos que representa para los estudiantes y los
maestros, hasta los que, a través de aulas de informática, buscan una aparente imagen de
desarrollo educativo para justificar el aumento de los ingresos económicos institucionales.
 La población estudiantil colombiana que dispone para su aprendizaje de las nuevas
tecnologías es extremadamente baja.
 Entre los docentes se ha despertado un gran interés por el área, deseo que es capitalizado
por algunas universidades e instituciones educativas a través de programas no siempre de
calidad pedagógica. En los últimos años, el número de docentes estudiosos de la
informática ha crecido, pero los efectos no son visibles aún.
 Existe resistencia, en ocasiones directa y en otras camuflada, por parte de algunas
directivas de establecimientos educativos frente a la incorporación de informática en la
educación.
 La investigación no es, en todos los casos un elemento central en los desarrollos, en parte
porque no es una prioridad para el Estado ni para las universidades. Lo que nos ubica en
una situación de dependencia frente a la incorporación de las tecnologías en la educación.
 La falta de software adaptado al contexto cultural y educativo es una seria carencia y
dificulta la sostenibilidad de las propuestas.
 A pesar de no existir un censo sobre informática educativa, se estima que sólo un 8%
aproximadamente, de los decentes que prestan el servicio educativo en el nivel básico
tiene algún grado de conocimiento en computadores. El porcentaje de docentes que están
en capacidad de aprovecharlo para la enseñanza es muy reducido, Además por lo general,
los programas se desarrollan sin tener en cuenta criterios pedagógicos, desvirtuando los
beneficios de la informática en la educación, e incluso generando distorsiones y bloqueos
en los procesos de desarrollo de las estructuras cognitivas del niño. No existe claridad
suficiente sobre el significado del uso de herramientas informáticas en la educación.
 El entusiasmo por el uso de computadores se ha concentrado fundamentalmente en los
colegios privados de clase alta y media alta. La situación es radicalmente diferente para
las clases menos favorecidas, para las cuales las escasas experiencias de uso de
computadores se podrían limitar a los estudios y experimentos que se han hecho en estas
comunidades.
2 Entre los estudios mís recientes pueden consultarse:
 Estado de la practica sobre informática y Educativa en Colombia.
 Estado del arte “Investigación Educativa en Santafé de Bogotá 1987 – 1997”

18. 12
 La gran mayoría de los desarrollos en informática educativa siguen un mismo patrón: son
cursos cortos de capacitación con ejercicios para que el estudiante practique y tenga el
dominio de ciertas herramientas, conocimientos, habilidades y destrezas, pero no bajo la
dirección de programas que orienten al alumno hacia temas de mayor complejidad frente a
la solución de problemas, hacia la investigación, la exploración y la creatividad.
Por otra parte, de las consultas y discusiones realizadas por el Ministerio de Educación a través de
diferentes eventos a nivel nacional con docentes y especialistas se puede concluir que el trabajo
con calculadoras y computadores en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en nuestro
país hasta hace muy poco se ha comenzado.
Sin desconocer los esfuerzos aislados por introducir estos recursos tecnológicos en algunas
instituciones, es innegable que la mayoría de los profesores de matemáticas en ejercicio no tienen
una buena preparación en el uso tecnológico y las facultades de educación hasta ahora están
comenzando a formar convenientemente a los futuros profesores en este sentido.
La situación tan heterogéneo de nuestro país hace que coexistan instituciones educativas con gran
potencial, en equipos, profesores y software, mientras que en otras apenas se dispone de un
tablero. Una aproximación a la situación actual señala que:
 Muy pocos computadores están disponibles en las escuelas y colegios para el trabajo en
Matemáticas y sus son muy pobres en relación con el avance tecnológico. Aunque se puede
ver con cierto optimismo el aumento del número de computadores por institución, el
tiempo de trabajo de un estudiante de matemáticas frente a éste, por semana, es muy
poco.
 Una razón de peso para el poco uso del computador es la falta de software de calidad
adaptado a los currículos de matemáticas, y cuya secuencia permita su adopción nivel a
nivel. La gran mayoría de software disponible hoy en día es aún de tutoriales o de
ejercitación y práctica.
 Es muy complicado introducir el uso del computador en las clases de matemáticas basadas
en currículos tradicionales, pues se paga un alto precio en detrimento del tiempo necesario
para desarrollar destrezas operatorias básicas. Además no existe software especialmente
diseñado que incluya sistemas de soporte para ayuda del profesor.
 Existe muy poca expectativa sobre el uso del computador entre los docentes. Hay
escepticismo y algo de rechazo por la falta de capacitación acerca del uso de este recurso.
No puede olvidarse la tradicional inercia escolar o “resistencia al cambio”
 Los costos, aunque comparativamente más bajos que hace unos años, siguen siendo
elevados en nuestro medio, lo que hace difícil la masificación del recurso.
Este diagnóstico no es muy alentador, pero se avecinan tiempos renovadores debidos al
vertiginoso desarrollo de la tecnología y a los esfuerzos que se vienen realizando desde distintos
frentes.
El adelanto de la tecnología ha modificado exponencialmente la capacidad de los equipos,
superando a su vez las limitaciones que imperaban en las primeras generaciones de herramientas
tecnológicas. Hoy en día, la posibilidad de realizar varias tareas de diversa índole
simultáneamente ha mejorado la versatilidad de los equipos.

19. 13
Ya en nuestro país se han realizado múltiples experiencias para introducir recursos tecnológicos al
aula, tales como el televisor, el video, el retroproyector, etc., con buenos resultados. Sin
embargo, como ya se ha mencionado, aunque el impacto de la tecnología electrónica ha
permeado el espacio de las matemáticas por lo menos desde hace cuatro décadas y el mundo de
los profesores por lo menos desde hace dos décadas, sólo hasta hace poco tiempo empieza a
irrumpir en el ambiente de la clase de matemáticas.
El estudio de la incorporación de la tecnología en el currículo de matemáticas debe partir del
hecho de que en este momento hay avances significativos tanto en el desarrollo tecnológico como
en el desarrollo de la matemática, algunos de los cuales, en este último caso, obedecen a la
contribución de la tecnología en la investigación y las aplicaciones matemáticas. Estos cambios
deben afectar decisiones tales como qué enseñar y cómo enseñar y proporcionar conocimientos
sobre cómo aprenden los estudiantes.
Dado que las primeras experiencias tecnológicas estaban condicionadas a las limitaciones de los
equipos, hay que ser precavidos en el momento de extrapolar sus usos hoy en día, pues muchas
de las limitaciones en el uso ya no se deben a las limitaciones tecnológicos sino a las limitaciones
humanas asociadas con la imaginación y la creatividad, quizás por rezagos de costumbres
pasadas; las posibilidades de trabajo en red, la tecnología multimedia, las calculadoras gráficas de
alto potencial y bajo costo están empezando a revolucionar la enseñanza.
Las nuevas tecnologías no sólo han hecho más fáciles los cálculos y la elaboración de gráficas, sino
que han cambiado la naturaleza misma de los problemas que interesan a las matemáticas y los métodos
que usan los matemáticos para investigarlos.
Por otro lado, como lo señalamos en los antecedentes, las tendencias actuales en educación
matemática proponen que el alumno aprenda matemáticas "haciendo matemáticas". La resolución
de problemas es el núcleo de toda estrategia metodológica que acepte este postulado. "Las
nuevas tecnologías no sólo han hecho más fáciles los cálculos y la elaboración de gráficas, sino
que han cambiado la naturaleza misma de los problemas que interesan a las matemáticas y los -
métodos, que usan los matemáticos para investigarlos." (NCTM, 1989, p 8). La tecnología está
cambiando el nodo d ver y estudiar las matemáticas y sus usos, ampliando el rango de sus
posibilidades y por lo tanto, se hace necesario que los estudiantes aprendan a utilizarla como
herramienta para procesar información y en la investigación y resolución de problemas.
En este documento nos limitaremos a aquellos recursos de mayor uso y en los que creemos que
se ha de poner la mirada para comenzar a potenciar la tecnología y lograr mayor cubrimiento
como son las calculadoras y los computadores.
Las calculadoras hoy en día están al alcance de muchos bolsillos. En la educación básica primaria,
hasta disponer de una calculadora sencilla con las cuatro operaciones básicas, aun cuando no
negamos la posibilidad de trabajar con otras mas avanzadas, o con computadores. Para los
grados 6 y 7 se puede utilizar una calculadora científica sencilla que ojalá tenga la posibilidad
de escribir fraccionarlos. En los grados 8 a 11 es conveniente comenzar a trabajar con
calculadoras gráficas. Los computadores pueden emplearse en cualquier nivel siempre y cuando
se disponga del software adecuado para ello.

20. 14
3.
MARCO CONCEPTUAL
Y PERSPECTIVAS
3.1. DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS
Coherente con la propuesta de los lineamientos curriculares del área de matemáticas, el marco
conceptual sobre el cual se estructuran los presentes lineamientos para la incorporación de
nuevas tecnologías en el currículo de matemáticas, parte del reconocimiento de que alumnos,
profesores y saberes matemáticos, en el marco del sistema educativo, establecen complejas
relaciones entre sí, las cuales determinan en gran medida, las condiciones del desarrollo de los
procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La complejidad de estas relaciones es
inherente a su naturaleza social, que no sólo pone a profesores y alumnos en un proceso
constante de negociación e intercambio de sentidos y significados, sino que debe dar respuesta a
las presiones externas del sistema educativo (gremios políticos, económicos, culturales, etc.) y a
las internas (directivos docentes, padres de familia, Secretarías de Educación Municipales, etc.),
Así pues, hablar de las relaciones entre profesores y alumnos, es hablar de las relaciones entre
sus micro-entornos social y físico con el macro-entorno social, de las relaciones de ambos con los
saberes tradicionales tanto intra- como extraescolares, y de las relaciones entre alumnos (Vasco,
1990). Todas estas relaciones se pueden modelar en un esquema como el de la figura 2.
En este marco de análisis, el problema de la didáctica no es sólo la enseñanza sino el aprendizaje.
La enseñanza acompaña, redimensiona y fortalece el aprendizaje e implica una estrecha
interacción entre el maestro, el alumno y el saber, a través de distintos medios y estrategias.
Así pues, hoy en día se reconoce la didáctica de las matemáticas como campo de investigación
que toma los procesos de aprendizaje y de enseñanza de las matemáticas como objetos de
estudio, fundamentalmente en lo que tienen de específico con respecto a las matemáticas. En

21. 15
esta perspectiva se pueden identificar planteamientos como los que refieren Douady3
o Joshua y
Dupin (1993).
Douady plantea que "La didáctica de las matemáticas estudia los procesos de transmisión y
adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia, particularmente en situación escolar o
universitaria. Se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su
enseñanza y el aprendizaje. ... la didáctica se propone actuar sobre el sistema de enseñanza en
un sentido "benéfico", a saber: mejorar los métodos y contenidos de la enseñanza y proponer
condiciones que aseguren a los alumnos la construcción de un saber viviente (susceptible de
evolución), y funcional (que permita resolver problemas y plantear verdaderos interrogantes)".
(Douady, sin fecha, p 2).
Por su parte Joshua y Dupin (1993), afirman que la didáctica de las matemáticas (y de las
ciencias) nace en la medida en que se hace necesario considerar la especificidad de estas
disciplinas en los fenómenos relacionados con su enseñanza y aprendizaje. En palabras de Joshua
y Dupin:
..."se podría decir que la didáctica de una disciplina es la ciencia que estudia, para un campo en
particular... los fenómenos de enseñanza, las condiciones de la transmisión de la “cultura” propia
de una institución (específicamente aquí de las instituciones científicas) y las condiciones de
adquisición de conocimientos por parte de un aprendiz."
El punto de partida de esta problemática es la reflexión sobre los saberes. Pero es necesario
señalar que los conocimientos a partir de los cuales se establecen las relaciones didácticas no son
objetos muertos que el profesor pasa a un alumno que los recibe y que se los "apropia". Por el
contrario, la didáctica los trata como objetos vivos, evolutivos y cambiantes según las porciones
de la sociedad donde nacen o se arraigan. En particular, el estudio de las relaciones que el
alumno establece con los saberes que le son presentados, relaciones que en si mismas son
eminentemente móviles, están en el centro de una reflexión sobre las condiciones y la naturaleza
de los aprendizajes. (Joshua y Dupin, 1993).
El doctor Luis Moreno señala que actualmente el campo de la investigación en aspectos del
aprendizaje es más fructífero que en aspectos de la enseñanza, por lo que está cobrando gran
relevancia.
Con planteamientos como éstos es necesario regresar a la figura 2 para puntualizar algunas
generalidades. En uno de los extremos de esta tríada se sitúa el saber, pero, ¿de qué saber se
trata?. Se podría hablar por lo menos de tres tipos de saber: el saber matemático científico
(las matemáticas de investigación), el saber matemático cotidiano (las matemáticas de la vida
cotidiana) y el saber matemático escolar (las matemáticas en la escuela). Existen distancias
desde uno a otro tipo de saber, y un mínimo de reflexión sobre ellos es necesario para
comprender la complejidad de los fenómenos de la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas,
Los Saberes Científicos
Hablar de las matemáticas de investigación, es hablar del trabajo del matemático y de cómo éstas
se producen. Es decir, las matemáticas no son solamente el cuerpo teórico acumulado a través
de la historia. Son también la actividad de quienes las piensan, bien sea como objeto de reflexión
(objeto) o como instrumento útil (herramienta). Ningún conocimiento matemático se produce
3
Douady, Regine. LaDidáctique des mathematiques a I'heure atuelle. Cahíer de didactique des mathematiques. No. 6. IREM Universite
París VII. Traducción y adaptación al español de Gloria Castrillón Castro, Abril de 1998. Sin Fecha.

22. 16
terminado desde el primer momento. El matemático en su quehacer comete errores, elabora
hipótesis, realiza inducciones, generalizaciones, etc., y posteriormente, cuando juzga que ha
encontrado un resultado digno de ser 'comunicado', elige, del gran laberinto de sus reflexiones,
aquello que es comunicable y "susceptible de convertirse en un saber nuevo e interesante para los
demás" (Brousseau, 1994, p 4).
Esto implica ocultar todo rastro de su origen y génesis, para poder presentarlo de acuerdo con las
reglas permitidas: el lenguaje axiomático deductivo. Esto es, “el autor despersonaliza,
descontextualiza y destemporaliza lo más posible sus resultados" (Brousseau, 1 994, p 4). Pero
esto no garantiza que el nuevo conocimiento sea aceptado como válido. Para ello debe pasar la
crítica del resto de la comunidad de matemáticos del momento, quienes lo reformulan, lo
generalizan, o incluso lo destruyen. Esta génesis del conocimiento matemático, y ante todo, la
historia social de su producción, permanece oculta tras los resultados terminales que son
presentados. Solo tras un estudio histórico y epistemológico puede salir a la luz pública aquello
que intencionalmente se ha ocultado.
Este saber, para ser presentado en comunidad, debe ser expresado en el lenguaje axiomático
deductivo, el cual se constituye en la forma canónica de su presentación. Pero hoy en día, y
gracias a los desarrollos en los computadores y las técnicas de programación, se empiezan a
anteponer nuevas formas de expresar el conocimiento matemático. Es el caso, por ejemplo, de
las demostraciones realizadas a través de técnicas de computación (tal como el teorema de los
cuatro colores), las cuales ponen a los matemáticos ante una dualidad: ¿cómo aceptar una
demostración que no se rige por los principios canónicos de lo axiomático deductivo?, Pero ¿Cómo
rechazarla, si desde el punto de vista de los algoritmos realizados, no tiene ninguna objeción?
Además estos desarrollos tecnológicos imponen nuevas formas de representación, las cuales
conllevan a nuevas conceptualizaciones matemáticas. Es el caso por ejemplo de la matemática
fractal.
Así pues, los desarrollos tecnológicos le imponen ritmos al desarrollo de las matemáticas mismas.
El Saber Matemático Escolar
La forma de presentación clásica de las matemáticas (la presentación axiomática) no solo oculta el
origen de los saberes científicos, sino que cuando es utilizada para presentar los saberes
matemáticos escolares, da al profesor la ilusión de tener todo bajo control y oculta la actividad
matemática del alumno. Brousseau se expresa así a propósito de una presentación axiomático del
saber matemático escolar:
..."permite definir en cada instante los objetos que se estudian con ayuda de las nociones
introducidas precedentemente y, así, organizar la adquisición de nuevos conocimientos con el
auxilio de adquisiciones anteriores. Promete pues al estudiante y a su profesor un medio para
ordenar su actividad y acumular en un mínimo de tiempo un máximo de “conocimiento” bastante
cercano al "conocimiento erudito". Evidentemente, debe estar complementada con ejemplos y
problemas cuya solución exige poner en acción esos conocimientos."
"Pero esa presentación elimina completamente la historia de esos conocimientos, es decir la
sucesión de dificultades y problemas que han provocado la aparición de los conceptos
fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas, la intrusión de técnicas y problemas
nacidos de los progresos de otros sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a
malentendidos, y las innumerables discusiones al respecto. Enmascara el “verdadero”
funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar y describir fielmente desde el exterior, para
poner en su lugar una génesis ficticia. Para facilitar la enseñanza, aísla ciertas nociones y

23. 17
propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su origen, su sentido, su motivación y
su empleo. Ella los traspone en el contexto escolar. (Brousseau, 1 994, p 4).
Así pues, este proceso de transposición didáctica que sufre el saber matemático, hace que el
saber matemático escolar sea sustancialmente distinto del saber científico. No corresponde a una
vulgarización de aquél, sino a una nueva producción de otro tipo de saber.
El Papel del Docente
Para que los saberes matemáticos ingresen a la escuela deben sufrir una re-elaboración didáctica,
que los re-contextualiza, los re-personaliza, los re-temporaliza. Es en esta re-elaboración
didáctica donde se debe centrar la actividad profesional del maestro de matemáticas, a fin de
propiciar para el alumno una verdadera actividad científica. Así pues, el trabajo del maestro es en
cierta medida comparable al trabajo de un investigador, ya que el tipo de actividad que proponga
a sus alumnos, debe ser tal que permita que cada conocimiento surja de la respuesta a un
problema que el alumno se ha planteado y al cual le ha formulado una solución. En palabras de
Brousseau:
“El profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que puedan vivir y en las que los
Conocimientos van a aparecer como la solución óptima y descubrible en los problemas planteados”
“Para hacer posible semejante actividad, el profesor debe imaginar y proponer a los alumnos
situaciones que puedan vivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la solución
óptima y descubrirle en los problemas planteados”.
“El profesor debe simular en su clase una micro sociedad científica, si se quiere que los
conocimientos sean medios económicos para plantear buenos problemas y para solucionar
debates, si se quiere que los lenguajes sean medios de dominar situaciones de formulación y que
las demostraciones sean pruebas”.
"Pero debe también dar a los alumnos los medios para encontrar en esta historia particular que
les ha hecho vivir, lo que es el saber cultural y comunicable que se ha querido enseñarles. Los
alumnos deben a su turno re-des-contextualizar y re-des-personalizar su saber y de esta manera
identificar su producción con el saber que se utiliza en la comunidad científica y cultural de su
época." "Claro está, se trata de una simulación que no es «la verdadera» actividad científica, así
como el conocimiento presentado de manera axiomático no es el «verdadero» conocimiento."
(Brousseau, 1994, p 5). Volviendo al esquema de la figura 2, se puede identificar con este texto
que el vértice del docente está en estrecha interacción con los otros dos.
El Papel del Alumno
A su vez, la relación maestro-saber pone en un lugar explícito al alumno en todo el sistema:
"El trabajo intelectual del alumno debe por momentos ser comparable a esta actividad científica.
Saber matemáticas no es solamente aprender definiciones y teoremas para reconocer la ocasión
de utilizarlos y aplicarlos; sabemos bien que hacer matemáticas implica que uno se ocupe de
problemas, pero a veces se olvida que resolver un problema no es más que parte del trabajo;
encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrarles solución. Una buena
reproducción por parte del alumno de una actividad científica exigirá que él actúe, formule,
observe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros, que

24. 18
reconozca los que están conformes con la cultura, que tome las que le son útiles, etc. (Brousseau,
1994, pp 4 y 5)
Los Microentornos
Desde el punto de vista del esquema de la figura 2, faltan aun elementos importantes de analizar:
el micro y los macroentornos: Ellos no deben ser entendidos tan sólo como conformados por los
contextos de orden cultural, social, económico, político, etc. en el cual se encuentran inmersos los
actores del sistema educativo, sino que también estos micro y macro entornos están conformados
por los contextos matemáticos sobre los cuales se desarrolla la actividad intelectual del alumno. Y
es precisamente en estos contextos matemáticos en los que se debe centrar el quehacer del
docente.
En los micro y macro-entornos es donde hay que buscar las matemáticas cotidianas, las
matemáticas del tendero, del vendedor de la calle, del comprador en un supermercado, del
contador público, del campesino, etc., para recrear en la escuela contextos significativos para el
aprendizaje de las matemáticas. Pero no se trata de la perspectiva simple de que hay que tener
en la escuela problemas sobre bultos de café, o compras y ventas en una tienda ficticia. Se trata
de explorar la complejidad de estas matemáticas cotidianas para aprovecharlas en la recreación
de contextos matemáticos para generar actividad matemática en los alumnos, que esté
encaminada a la formación de una cultura matemática autónoma en los ciudadanos de este país.
Así pues, los contextos matemáticos son los medios fundamentales a través de los cuales los
profesores de matemáticas recrean en su clase, una actividad científica en sus alumnos. Estos
contextos no son otra cosa que situaciones problemáticas.
El maestro "deberá crear situaciones problemáticas que permitan al alumno explorar problemas,
construir estructuras, plantear preguntas, reflexionar sobre modelos; estimular representaciones
informales y múltiples y, al mismo tiempo propiciar gradualmente la adquisición de niveles
superiores de abstracción y generalización" (MEN, 1 998, p 32). Estas pueden ser creadas a
través de distintos medios.
Un caso especial de micro-entornos, que favorecen la construcción de situaciones problemáticas,
lo constituyen aquellos que se pueden configurar con el uso de herramientas tecnológicas como
los computadores y calculadoras. Una calculadora o un computador no constituye en sí mismo
microentorno, sino que estos elementos se constituyen en herramientas con las cuales se pueden
configurar micro-entornos estimulantes. Es decir, se hace necesaria la indagación sobre las
posibilidades y limitaciones de las nuevas herramientas tecnológicas para determinar su papel en
la creación de contextos para la enseñanza de las matemáticas.
Así por ejemplo, para la enseñanza de la derivada de una función en un punto, un modelo muy
utilizado es el de la recta secante por dos puntos, los cuales en el límite, cuando uno de los puntos
tiende al otro, se hace una recta tangente a la curva. Modelar esta situación a través de realizar
algunas gráficas en el tablero no sólo es muy complicado, sino que la tendencia de la recta
secante a la tangente, en última instancia, tiene que ser imaginada por el alumno.
Por el contrario, a través de una calculadora gráfica o de un computador se puede programar una
animación que con un movimiento continuo permita ver cómo la recta secante tiende a la recta
tangente. Pero además, en las representaciones gráficas dibujadas con lápiz y papel, es necesario
restringiese a funciones fáciles de graficar, mientras que con la ayuda de un computador se puede
graficar y modelar casi cualquier tipo de función. Esta facilidad que ofrecen los ambientes
informáticos para la manipulación dinámica de modelos, permite la configuración de una gran
cantidad de contextos que facilitan un nivel de aproximación a la comprensión de muchas

25. 19
situaciones matemáticas, no sólo aquellas que tienen que ver con interpretaciones gráficas, sino
con manipulaciones simbólicas, como por ejemplo las algebraicas.
Cómo se Enseñan y Cómo se Aprenden las Matemáticas
El aprendizaje de las matemáticas se extiende más allá del aprendizaje de conceptos y
procedimientos y de sus aplicaciones. También implica desarrollar una actitud hacia las
matemáticas y ver que las matemáticas son un modo muy potente de considerar una situación.
Actitud se refiere no solo a las actitudes mismas, sino también a la tendencia a pensar de forma
positiva. (NTCM, 1989, P 240).
Lograr esto conlleva
... el desarrollo de habilidades de orden superior tales como explorar, conjeturar, razonar,
reflexionar y comunicar matemáticamente, así como la habilidad para usar efectivamente sus
habilidades cognitivas y meta cognitivas en la solución de problemas no rutinarios (Verschafíel y
Decorte, 1996).
Las anteriores reflexiones quedarían en el aire si no se concretan en pautas de intervención que
guíen el trabajo del maestro en el aula de clase, de tal forma que sus prácticas sean coherentes
con las perspectivas teóricas que las sustentan. Verschafíel y Decorte en su artículo "Number and
Arithmetic", publicado en el Internacional Handbook of Mathematics Education (1996) presentan
cinco grandes frentes sobre los que se debe fundamentar la actividad del aprendizaje de las
matemáticas:
1. El aprendizaje de las matemáticas como una actividad constructiva: Esto implica
como se ha mencionado ya un cambio sustancial en los roles tanto del maestro como del alumno.
Se trata de trascender de la clase en la que el maestro transmite un conocimiento acabado a un
alumno que lo recibe pasivamente. Esto significa que los alumnos tengan la posibilidad de
deducir, descubrir, crear conocimientos y desarrollar habilidades matemáticas, en el curso de una
actividad social que se les ha propuesto.
2.- La importancia de contextos auténticos y significativos: Un contexto no es
significativo sólo porque recree de manera ficticia un aspecto de la realidad exterior de la escuela.
Es significativo en tanto que le permita al alumno comprender la complejidad de los fenómenos
que lo rodean, pero además, y principalmente, porque le permita aprender los conceptos
matemáticos que se le quieren enseñar.
Crear contextos significativos para el aprendizaje de las matemáticas no sólo es algo que esté
reservado para los primeros niveles de la educación básica. Por ejemplo, la creación de contextos
significativos- para la enseñanza de conceptos como el de función, o los relacionados con la
trigonometría son importantes para una mejor comprensión de éstos. En este sentido los
contextos deben ser situaciones problemáticas que permitan ver a un determinado grupo de
conceptos en distintos marcos matemáticos (aritméticos, algebraicos, geométricos, etc.) y que
permitan la comprensión de los complejos fenómenos de la realidad. Ahora bien, para que un
contexto sea significativo, la situación problemática que lo recrea no tiene necesariamente que
estar referida a un problema de la realidad exterior de la escuela, Este contexto puede ser
recreado a partir de un problema matemático, o de un problema de otra disciplina, pero lo

26. 20
importante es que los alumnos lo puedan pensar, formular, modelar, discutir, y que al solucionarlo
aprendan algo nuevo: aquello que queremos enseñarle4
3. Progreso hacia niveles superiores de abstracción y formalización: Desde la anterior
perspectiva de los contextos significativos, los primeros aprendizajes de los conceptos
matemáticos están fuertemente unidos a nociones intuitivas y de sentido común, es decir, al
conocimiento informa¡ de ¡os alumnos. En palabras de los autores antes mencionados:
"Esta aproximación informa¡ tiene, por su puesto, sus restricciones, tales como su bajo nivel de
precisión, de eficiencia y de generalidad. Por tanto ellos (los conceptos informales) deben ser
transformados en unos conceptos y habilidades matemáticas más eficientes, formales y
abstractos. En este proceso de transformación, el cual involucra actividades de esquematización,
abreviación e internalización de esta matemática informal y fuertemente unida al contexto, juega
un papel crucial la selección cuidadosa de los modelos y herramientas matemáticas apropiadas.
Modelos, esquemas, y diagramas visuales y manípulativos pueden ser usados como andamios
para poner un puente entre las nociones intuitivas y estrategias informales de los alumnos de un
lado, y los conceptos y procedimientos formales de las matemáticas del otro lado", (Verschallel y
Decorte, 1996).
Es importante resaltar que en este proceso de abstracción y formalización el éxito está mediado
por la posibilidad que tenga el alumno de utilizar de manera autónoma los modelos y
herramientas seleccionadas por el profesor para tal fin. Es decir, no sirve de mucho que sea el
profesor quien sugiera al alumno qué recursos usar en un momento determinado.
4. Aprendizaje a través de la interacción social y la cooperación: Si se quiere que el
salón de clase simule una micro sociedad científica que construye conocimiento matemático,
entonces es necesario combinar con el trabajo individual, el trabajo colaborativo en pequeños
grupos y las discusiones plenarias donde participe toda la clase.
"La interacción social es considerada esencial debido a la importancia que tiene el intercambio de
ideas, la comparación de estrategias de solución y las discusiones con argumentos, para el
aprendizaje y para el quehacer matemático. De especial significado es el hecho que la interacción
y la colaboración movilizan la reflexión, la cual es considerada como el mecanismo básico para
acceder a los niveles superiores de abstracción e internalización." (Verschaffel y Decorte, 1996).
5. Interconexión de los componentes del conocimiento y las habilidades: El fin de la
enseñanza de las matemáticas es lograr algo más que la acumulación de fragmentos de
conocimientos matemáticos dispersos en la mente del alumno. Esta debe propender porque el
aprendizaje permita la construcción de un cuerpo de conocimientos de base que sea coherente y
bien organizado.
Por lo tanto las matemáticas no pueden ser presentadas como una serie de compartimentos
separados unos de otros, sino que las diferentes partes del currículo deben estar realmente
conectadas tanto como sea posible. Estas interconexiones no son sólo a nivel local (es decir,
viendo las distintas relaciones de las operaciones al interior de la aritmética), sino también en un
nivel global (es decir, viendo cómo la aritmética está implicada en el álgebra, la geometría, el
análisis).
4
Nótese como aquí la solución de un problema planteado no es como resultado de la aplicación, de algo ya enseñado, sino que, a partir
de lo que el alumno ya sabe, al solucionarlo, aprende algo nuevo.

27. 21
3.2 SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN Y NUEVO REALISMO DE LAS MATEMÁTICAS
La idea de representación en educación matemática ha cobrado mucha importancia
recientemente. Los estudios acerca del tema están motivados por necesidades teóricas y
prácticas. Las necesidades prácticas obedecen a las dificultades, por todos conocidas, que tienen
los estudiantes para trasladar ideas matemáticas de una representación a otra o desde la
experiencia común a la matemática. La preocupación por estas dificultades se ha incrementado
últimamente por el nuevo y amplio rango de oportunidades que ofrece la tecnología.
La perspectiva teórica tiene que ver con la preocupación por la actividad cognitiva del sujeto que
piensa matemáticamente, preocupación que ha desplazado a las reflexiones en torno a la
existencia de los objetos matemáticos.
La actividad matemática se realiza a través del reconocimiento perceptual de las representaciones
de los objetos matemáticos. A diferencia del trabajo en biología donde un profesor puede traer un
animal o una planta para experimentar con ellos directamente, el profesor de matemáticas no
dispone de esa misma forma de los objetos matemáticos. Sólo puede acceder a dibujos u objetos
construidos que son representaciones de una entidad matemática conceptual. La existencia
"material" de un objeto matemático se hace a través del dibujo del mismo o de otro tipo de
representación. El dibujo de un triángulo es sólo una representación del concepto matemático de
triángulo.
Hay diferentes niveles de existencia de los objetos matemáticos. Veámoslo a través de un
ejemplo: los números que se trabajan en aritmética y las figuras geométricas se construyen como
resultado de la interiorización de acciones sobre el espacio físico existente. Estos conceptos
matemáticos están en un primer nivel de abstracción. Cuando se trabaja en aritmética el teorema
fundamental, se plantea que todo número puede descomponerse en factores primos.
Observemos que cuando se hace referencia números primos no se está haciendo referencia a
conceptos como los descritos anteriormente sino a atributos de éstos, que son nociones
correlativas a la operación multiplicación. El concepto de primo es un reflejo de la fenomenología
producida por la multiplicación, luego existe de manera diferente a como existen los triángulos, o
los números naturales. Los primos existen vinculados a la existencia previa de una operación, en
otro nivel de existencia.
Al enfrentarse a la actividad matemática, un estudiante se encuentra con gran variedad de niveles
de existencia de objetos matemáticos, cada uno de los cuales se encuentra en un nivel diferente
de realidad que le asocia un nivel de experiencia distinto en cada caso. Surge entonces el
siguiente interrogante: ¿cómo crear vías de acceso a los objetos matemáticos a través de los
diversos sistemas de representación?
Responder este 'interrogante es una tarea prioritaria de la investigación en didáctica actualmente.
Hasta ahora sólo se ha podido concluir que las formas de representación de un objeto matemático
son inagotables y que entre más sistemas de representación se trabajen se comprenderá mejor
un concepto matemático en toda su dimensión.
El Nuevo "Realismo" de las Matemáticas
En un comienzo, los primeros usos del computador en matemáticas fueron para facilitar tareas
mecánicas, como operar con números grandes o aplicar análisis numérico para resolver
ecuaciones. Hacia la década de los sesenta se posibilitó la manipulación simbólica, y en los años
setenta fueron posibles las representaciones gráficas de las funciones. Hacia los años ochenta
comenzaron a vislumbrarse vías para crear ambientes tecnológicos educativos y fue así como
hacia el final de esta década, con la posibilidad de ligar bidireccionalmente cadenas de caracteres

28. 22
simbólicos con gráficas, se hizo posible la manipulación de representaciones matemáticas para
proporcionar un ambiente dinámico de intercambio de representaciones sin tener que salir de la
notación matemática.
Las formas de representación de un objeto matemático son inagotables y que entre más sistemas de
representación se trabajen se comprenderá mejor un concepto matemático en toda su dimensión.
Sin embargo, las primeras aplicaciones del computador estaban condicionadas a la posibilidad de
programar, y la complejidad de la interfaz entre lo que se quería hacer y las instrucciones que
había que proporcionar a la máquina era tal, que el sólo aprendizaje del programa en sí mismo
era un obstáculo muy grande para poder hacer uso de la tecnología, Sólo hasta que la interfaz
hombre-máquina se facilitó se dio lugar a lo que se ha venido llamando "un nuevo nivel de
realismo matemático" (Balacheff, Kaput, 1996).
Por medio de programas que permiten expresar ideas matemáticas usando un medio
comunicativo en el lenguaje matemático usual y de una manera tal que se logra la
retroalimentación directa leída en términos de fenómenos matemáticos, se tiene la posibilidad de
acceder a los objetos matemáticos a través de varías representaciones.
En este sentido Duval, nos hace conscientes de que uno no puede hablar de un objeto
matemático sino a través de las formas de representación. Por ejemplo, cuando se habla
de una función se puede pensar en la gráfica, en la tabla, en la fórmula, etc. se piensa en ésta a
través de sus formas de representación. Ahora tenemos otras formas de representación nuevas,
dadas por la calculadora o el computador, que tienen características que no tienen los sistemas de
representación de lápiz y papel, y es que son formas de representación ejecutables. Por
ejemplo, cuando se teclea GRAPH en la calculadora, no se ve la gráfica completa de una sola vez,
se ve la gráfica construyéndose, es decir, se ve ejecutándose esa forma de representación.
Por otra parte, y como lo mencionaremos mas adelante, la ejecutabilidad nos permite apreciar
algo que no podemos ver en las representaciones de lápiz y papel. Coloca a un nivel cognitivo
más elemental las invariantes de un objeto matemático, que se conservan aun cuando éste se
someta a transformaciones. Por ejemplo, con papel y lápiz, cuando se trabaja un concepto como
el de simetría, lo que se hace es dar una descripción lingüística de la propiedad geométrica y
simular la transformación, mientras que en el computador la transformación se ejecuta. La
posibilidad de disponer un software en geometría nos permite tener acceso a formas de
representación dinámicas del objeto matemático, en las que se puede apreciar cuál es la
propiedad que permanece cuando un objeto se somete a una transformación. Esto contribuye a
cerrar un poco la brecha entre un dibujo y un objeto geométrico.
Se concluye entonces que: Las representaciones son las "redes" para "pescar" el objeto
matemático.

29. 23
3.3. CONOCIMIENTO COMO CONOCIMIENTO SITUADO5
Cualquier proceso de construcción de conocimiento está mediado por un instrumento, ya sea
material o simbólico. Por ejemplo, un microscopio es el instrumento por excelencia de un
bacteriólogo, o un telescopio es el instrumento del astrónomo. El lápiz y el papel son
instrumentos que utilizamos frecuentemente la mayoría de las personas. Estos instrumentos son
un buen indicio de la naturaleza de las actividades materiales e intelectuales de las distintas
épocas, pues cualquiera que sea el instrumento de mediación, este modifica la naturaleza del
conocimiento que construimos.
El doctor Moreno plantea que "la presencia de los instrumentos de mediación transforma de raíz la
acción cognitiva del estudiante. En efecto, la presencia de los instrumentos tecnológicos, [por
ejemplo] determina la estructura de una nueva acción instrumental, así como la presencia de una
herramienta material, asociada a un proceso técnico, determina la forma de trabajo que se puede
desarrollar con dicha herramienta.
"Vigotsky enfatizó que los instrumentos de mediación tienen una naturaleza socio-cultural puesto
que la acción mediada no puede ser separada del entorno social donde se desarrolla. De allí que
sea plausible esperar que, en los estudios que se realicen del desempeño del estudiante, no
puedan ignorarse influencias como las que ejerce el currículo sobre el aprendizaje, como la cultura
propia de la institución escolar y la cultura del medio social del estudiante."
"Podríamos decir que los medios computacionales conducen a una redefinición de las fronteras
entre la acción individual y la acción social. El estudiante, auxiliado de sus instrumentos
computacionales, construye una versión del conocimiento. El conocimiento y el aprendizaje son,
por su naturaleza, situados, es decir, dependen fuertemente, en su construcción, de la
especificidad del contexto. Desde esta perspectiva teórica, puede decirse que los instrumentos
computacionales otorgan una direccionalidad al proceso de construcción del conocimiento. Esto
implica que para la selección y diseño de estrategias de enseñanza se tomen como base los
conocimientos que los niños tienen para organizar los problemas." (Moreno, Rojano, 1998, pp.
3,4).
Considerando la temática principal de este documento, dos interrogantes fundamentales se
trabajan a continuación.
¿Cómo impacta el uso de la tecnología a la educación matemática?
Los resultados de la investigación señalan dos instancias en las que es posible ubicar el profundo
impacto de la tecnología en la educación matemática: el conocimiento matemático propiamente
dicho y el currículo. A este último nos referiremos en un capítulo aparte. En ambos casos este
impacto es de carácter intrínsecamente cognitivo ya que la tecnología se convierte en un nuevo
ambiente para trabajar representaciones formales de objetos y relaciones matemáticas. A
diferencia de otros ambientes de aprendizaje, el recurso tecnológico proporciona de manera
inmediata, una retroalimentación de las acciones de un estudiante en el mismo sistema de
representación en el que está trabajando permitiéndole su mirada como un fenómeno
matemático, y facilitando de esta manera, una amplia y "directa" experiencia matemática.
¿Permite la tecnología pensar la matemática a un nivel de experiencia que no teníamos
antes?
5
Para el desarrollo de este aparte, tomamos como referencia las discusiones, reflexiones y documentos trabajados en el seminario de
Incorporación de Nuevas Tecnologías realizado en abril de 1998, bajo la orientación del doctor Luis Moreno Armella

30. 24
El doctor Luis Moreno plantea que las calculadoras y los computadores tienen un impacto muy
fuerte porque nos cambian el campo de la experiencia posible. Lo que podemos capturar a nivel
de la simbolización es una serie de fenomenologías que, vistas en la pantalla de estos artefactos,
podemos ver de otra manera.
Este nuevo campo de simbolización modifica el nivel de realidad del concepto matemático, porque
lo asocia a un campo de experiencias diferentes que posiblemente no teníamos antes. De aquí
surge la expresión de "matemática electrónica" diferente de "matemática con lápiz y papel porque
son dos maneras de pensar que tienen asociados campos fenomenológicos diferentes y que ponen
de manifiesto unas posibilidades de pensar la matemática desde un nivel de experiencia nuevo, al
que no teníamos acceso.
Las calculadoras y los computadores proporcionan vías para hacer matemáticas que no se hablan
contemplado hace 30 años. La principal vía es la manipulación directa con objetos y relaciones
matemáticas: “Una nueva experiencia de realismo Matemático” (Balacheff, Kaput, 1 996).
3.4 DIFERENCIAS ENTRE LAS HERRAMIENTAS TECNOLOGICAS Y OTROS RECURSOS.
Las tecnologías basadas en medios electrónicos interactivos tienen algunos atributos
fundamentales, que los distinguen de los medios tradicionales estáticos, que a largo plazo tendrán
tremendo impacto en la educación matemática. Anteriormente hemos mencionado algunas de
estas características como la ejecutabilidad de las representaciones.
Los cambios cognitivos que la tecnología está logrando tienen que ver con tres características
particulares de estos recursos:
 La facilidad de tener a la mano diversas representaciones de un mismo concepto
matemático y poder relacionarlas activamente unas con otras.
 La "manipulación" de objetos matemáticos y sus relaciones
 El poder conectar experiencias reales con formalismos matemáticos usando una
combinación de toma de datos reales y simulaciones.
Para examinar otras características particulares de los medios electrónicos y contrastarlas con los
tradicionales, (Kaput, 1 994) hace las siguientes distinciones:
1 ) Medios estáticos vs. Medios dinámicos,
2) Medios interactivos vs. Medios inertes y
3) Manipulaciones físicas vs. Manipulaciones basadas en el computador.

31. 25
1) Medios estáticos vs. Medios dinámicos
La distinción entre medios estáticos y dinámicos es muy simple. En los medios estáticos, las
representaciones no cambian en función del tiempo, mientras que en los medios dinámicos sí.
Un aspecto muy importante del pensamiento matemático es la abstracción de lo que no varía.
Pero, por supuesto, reconocer la invarianza implica estudiarla en un proceso de variación. Los
medios dinámicos facilitan llevar a cabo las variaciones.
Cuando se escribe una expresión algebraica o se hace un diagrama con papel y lápiz, estas
representaciones quedan fijas, en el estado en que fueron escritas o dibujadas. Si se quiere
mostrar una variación, el lector tiene que proyectarla en la imaginación. Se puede recurrir a
estrategias que simulen y compensen estas variaciones, como por ejemplo, cuando se quiere
representar la variación de una línea recorriendo una figura geométrico se pueden incluir diversas
posiciones de la línea e indicar con una flecha la dirección del recorrido.
Pero estas estrategias son organizaciones espaciales más que temporales. En efecto, muchos
sistemas de representación tales como las tablas de datos fueron diseñadas específicamente para
estructurar múltiples instancias de una situación variable. Se pueden leer las variables de entrada
y salida de una función y considerarlas como variaciones temporales examinándolas en un orden
creciente de valores de la variable de entrada. Más aún, las gráficas coordenadas de funciones de
variable simple proveen la presencia simultánea de múltiples valores (automáticamente
ordenados) que permiten simular variables temporales si se desea.
Sin embargo, estas estrategias son pobres frente al potencial que brinda el recurso tecnológico
hoy día.
Los materiales físicos, como por ejemplo los bloques de Dienes, proporcionan un interesante
ejemplo de medios que son débilmente dinámicos en el siguiente sentido: Mientras que uno
mueve físicamente sus elementos para producir un nuevo estado en un proceso temporal, una vez
producido, el estado permanece estático hasta nuevos cambios dirigidos por acciones del usuario.
El estado intermedio, por ejemplo, con unos bloques en la mano y otros sobre el escritorio, no es
significativamente referenciado.
Si se compara esta situación con la siguiente, veremos la diferencia:
Dada una línea que pasa por un vértice de un triángulo y cruza el lado opuesto, supongamos que
somos capaces de “agarrar” con un puntero la línea y rotarla continuamente de una posición a
otra y que podemos ver todos los estados intermedios, es decir podemos ver una parte
significativa de la acción. Esto es posible con un software como el CABRI GÉOMÈTRE.

32. 26
El sentido de dinamismo que queremos enfatizar está en la posibilidad de identificar un nuevo
punto de intersección de la línea con el lado opuesto al ángulo, mediante una nueva línea dibujada
desde el vértice hasta el nuevo punto en cualquier momento, presentando todos los estados
intermedios de la posición de la línea.
Estas reflexiones nos lleva al siguiente principio fundamental:
La transición continua de estados intermedios es lo que consideramos cognitivamente
importante en los sistemas dinámicos.
2) Medios interactivos vs. medios inertes
La interactividad diferencia enormemente el recurso computacional de otros medios estáticos y
aún dinámicos como los videos. Si se escribe una oración en un medio estático tal como el lápiz y
el papel, ésta simplemente se imprime y no hay interactividad ni con el papel ni con otras frases
que pudieran haber estado escritas antes en la hoja. Mas aún, el papel no proporciona ayuda
sobre lo que uno está escribiendo, salvo algunos casos en los que las cuadriculas o el papel para
gráficas proporciona algún soporte que guía a quien hace el dibujo. En forma semejante se puede
ver la televisión y no hacer nada físico con ella a menos que se decida cambiar de canal o ajustar
la imagen. En un sentido amplio podría decirse que todas las representaciones en todos los
medios son interactivas, dado que el usuario hace una interpretación de lo que ve o lee. Pero
éste no es el sentido que queremos dar.
Por medio interactivo vamos a considerar un medio que contribuye Físicamente al sistema de
representación que se pone en funcionamiento. Esta relación es presentada como la respuesta
del sistema".
Por el contrario, se caracteriza un medio como "inerte" si los únicos cambios de estado resultan de
las entradas del usuario. Una respuesta externa a la entrada debe provenir de otro lado, por
ejemplo el profesor, un compañero o alguien que está observando lo que pasa, pero no proviene
del sistema de representación con el cual el usuario está interactuando.
La clave de la diferencia con los sistemas de representación instanciados en medios interactivos, a
los que Brown ( 1977) se refiere como "ambientes reactivos", es que estos últimos adicionan algo
nuevo como resultado de las acciones del usuario, algo a lo que, a su vez, el usuario debe
responder.
Los sistemas interactivos pueden virtualmente realizar una gran cantidad de acciones: hacer
cómputos en un sistema numérico, transformar un sistema de representación en otro, cambiar la
orientación de un objeto visual o cambiar de objeto, enviar mensajes, buscar información,
chequear un resultado, controlar otras aplicaciones simultáneamente, registrar acciones para uso
posterior, presentar pasos intermedios de un procedimiento, etc.
La interacción permite que de una manera rápida un alumno pueda realizar variaciones en el
modelo sobre el cual trabaja, y de manera inmediata pueda constatar los resultados causados por
dicha variación, al obtener la respuesta de la máquina. Por ejemplo a través de un lenguaje de
programación como LOGO se puede verificar de manera inmediata qué pasa al cambiar una
instrucción en el programa, y así determinar qué otra modificación es necesaria para obtener los
resultados deseados. En programas que permiten realizar animaciones, como el MATHEMATICA, o
el MAPLE, se puede observar qué pasa con las soluciones de una ecuación, cuando la variable
recorre los valores de un intervalo. De esta manera la interacción favorece procesos en los cuales
los alumnos se formulen hipótesis respecto del problema que están solucionando, las confronten,

33. 27
y si es necesario, las reelaboren de acuerdo con los resultados obtenidos. La manipulación de los
medios físicos tradicionales, generalmente es menos electiva.
En resumen: La tecnología proporciona sistemas interactivos que contribuyen a ampliar
las representaciones de un concepto e interactuar con diversos sistemas de
representación.
3) Manipulaciones físicas vs. Manipulaciones basadas en el computador:
Este aspecto tiene que ver con la posibilidad de realizar una secuencia de acciones y almacenarías
para tener secuencias repetirles, más o menos como un programa, al cual se le pueden inclusive
modificar e incluir otras secuencias de acciones. Esto permite hacer registros y ponerlos en
marcha. No obstante el consenso de que los materiales riscos son recursos valiosos para el
aprendizaje de las matemáticas, éstos medios sobrescriben un estado inicial siempre que uno
quiera crear un nuevo estado. Por ejemplo, si se tiene una cierta configuración con los bloques de
Dienes o con cualquier otro material, y se reorganizan, la primera organización que tenían ya no
existe, Esto mismo ocurre con una calculadora sencilla. Un computador por el contrario, puede
permitir una amplia grabación de acciones porque tiene una gran capacidad de memoria
permitiendo un registro temporal de lo que se ha escrito.
De estas características de los recursos tecnológicos se pueden inferir unos criterios para
seleccionar software educativo que pueden dar pautas a los docentes a la hora de tomar
decisiones relacionadas con la adquisición y compra de dicho software para la institución. Más
adelante ampliaremos este tema.
La interacción permite que de una manera rápida un alumno pueda realizar variaciones en el modelo
sobre el cual trabaja, y de manera inmediata pueda constatar los resultados causados por dicha
variación, al obtener la respuesta de la máquina.

34. 28
4.
CURRICULO DE MATEMÁTICAS
Y TECNOLOGÍA
4.1 EL PAPEL DE LA TECNOLOGÍA EN EL CURRICULO DE MATEMATICAS
Los lineamientos curriculares para el área de matemáticas publicados por el Ministerio de
Educación Nacional en julio de 1 998 propenden por el desarrollo del pensamiento matemático y
de competencias en resolución y planteamiento de problemas, razonamiento, comunicación,
modelación y elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. La orientación del
currículo debe propiciar que el estudiante desarrolle su pensamiento matemático a través de los
diferentes sistemas propios de la matemática.
En la siguiente figura se ilustra lo que consideramos podría ser el papel de la tecnología en el
currículo, fruto de la discusión y del consenso logrado en los distintos eventos organizados para
tal fin.

35. 29
La presencia de los recursos tecnológicos en el currículo ha de verse como un rayo de luz que
"ilumina" el currículo de matemáticas a través de un filtro, el sistema didáctico, el cual se ha
descrito anteriormente.
Este "filtro" que bien podría denominarse las “galas conceptuales” con las cuales vamos a mirar el
currículo, nos permitirá poner a prueba la tecnología en diversas funciones que contribuyan a
despertar y mantener el discernimiento matemático, mediante un barrido por los diversos
aspectos del currículo. El barrido nos permitirá hacer un análisis sobre los alcances y limitaciones
del uso de las herramientas tecnologías en el aula de clase de matemáticas.
Cuando se mencionan alcances y limitaciones, se hace desde una perspectiva de la actividad del
estudiante con el conocimiento matemático, en éste mismo, en otras ciencias y en el contexto
sociocultural del individuo. En general, en un proceso de conceptualización matemática con la
ayuda de recursos tecnológicos, como ya se ha dicho anteriormente, el estudiante puede acceder
a un campo operatorio nuevo, realizar tareas que con otros recursos resultaran dispendiosas,
hacer análisis de diferentes tipos, resolver problemas utilizando distintas estrategias y sistemas de
representación y quizás sintetizar otro tipo de objetos matemáticos.
Un aspecto fundamental que subyace a los cambios curriculares en matemáticas provocados por
el uso de las nuevas tecnologías es la emergencia de una nueva relación entre profesores,
estudiantes y saberes matemáticos. La presencia de calculadoras o computadores para
demostraciones, práctica, resolución de problemas y evaluación, crea una nueva dinámica en el
aula, en la cual, profesores y estudiantes son compañeros naturales en la búsqueda de la
comprensión de ideas matemáticas y la solución de problemas. Sólo si los profesores están
preparados para asumir estos nuevos retos se podrá cambiar la educación.
4.2 ¿CÓMO AFECTAN LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS LOS EJES DEL CURRICULO?
Inicialmente, cuando las calculadoras y los computadores comenzaron a introducirse en las aulas
de clase, se concibieron como "facilitadores del trabajo mecánico". Sin embargo, con e¡ correr del
tiempo, se ha identificado que estas herramientas producen cambios sustanciales en la
experiencia matemática de los estudiantes a nivel epistemológico.
Con el énfasis que se le está dando a la matemática escolar centrada en la resolución de
problemas y la intención de realizar conexiones matemáticas con otras áreas de las ciencias y
entre ellas mismas, el uso del recurso tecnológico es fundamental para pasar de un currículo
centrado en contenidos, a uno centrado en la resolución de problemas. El poder abordar
situaciones problemáticas en contextos reales que permitan partir de la obtención de información
o datos empíricos, para su posterior sistematización y análisis, es lo que verdaderamente
posibilita el cambio. Igualmente, los problemas complejos pueden atacarse con diferentes
herramientas matemáticas, lo que conlleva a la 'integración de las diferentes ramas: geometría,
álgebra, estadística, de una manera natural.
Decisiones acerca de cuál debe ser la extensión y el propósito del uso de las calculadoras y los
computadores permitirán organizar el currículo de diferentes maneras. Con el apoyo de estos
recursos se pueden realizar prácticamente todas las operaciones de cálculo numérico que se
requieren en la práctica educativa de las escuelas y colegios. Y al poder ejecutar rápidamente un
gran volumen de cálculos, surge la posibilidad de implementar en la clase, actividades que, bajo
los métodos tradicionales, resultan irrealizables. Así estos recursos se proponen no solamente
como medio para agilizar los cálculos, sino también y principalmente como recurso que abre
nuevas posibilidades didácticas y metodológicas en la enseñanza de las matemáticas.

36. 30
Actualmente se adelanta un debate sobre si la calculadora o el computador deben impregnar cada
una de las actividades educativas tanto de enseñanza como de aprendizaje y evaluación o si
deben usarse sólo como un recurso más en la clase que está al mismo nivel que el papel y el
lápiz. Pero de lo que sí se está seguro es que ofrecen nuevas formas de experimentación.
Existen muchos argumentos para incorporar la tecnología en todos los aspectos: algunos hacen
referencia al viraje que se le da al currículo, y al mejor aprovechamiento del potencial tecnológico.
El cambio curricular puede permitir al estudiante aprender más matemáticas de lo que era posible
en el pasado. Por ejemplo, en un curso de álgebra pueden incluirse ecuaciones no tan simples
como las lineales o cuadráticas, Es posible estudiar fenómenos que den lugar a ecuaciones
complejas con polinomios complicados y otras funciones racionales, logarítmicas, exponenciales,
trigonométricas, etc. Otros argumentos consideran que si la tecnología sólo se ve como una
opción extra, el aprendizaje básico no se conseguirá tan rápido como se podría y muchos
estudiantes tendrían menos posibilidades de desarrollar habilidades básicas,
De otra parte, quienes estarían a favor de usar el recurso sólo como una herramienta más,
argumentan que es un gran riesgo utilizar la calculadora o el computador todo el tiempo, por la
posibilidad de que los alumnos se vuelvan dependientes de éstos. Además, se presentará
inequidad cuando unos estudiantes pueden acceder más fácilmente a las calculadoras que otros y
esto con llevara a desigualdad de oportunidades.
Teniendo en cuenta los tres aspectos o ejes propuestos en los antecedentes, para organizar el
currículo de matemáticas en las instituciones educativas, como son el contexto, los procesos
de aprendizaje y los conocimientos básicos, haremos un breve análisis sobre cómo la
tecnología potencia el aprendizaje de las matemáticas a través de cada uno de estos tres ejes.
4.2.1. El Contexto y la Tecnología
La matemática se ha introducido en muchos ámbitos de la sociedad gracias al recurso tecnológico.
La capacidad que tiene el computador para procesar grandes paquetes de información ha hecho
que la cuantificación y el análisis lógico de la información sean posibles en áreas como los
negocios, la economía, la lingüística, la biología, la medicina y la sociología. Este cambio ha sido
particularmente relevante en cuanto a las ciencias sociales y las ciencias de la vida.
El acercamiento de los alumnos a las matemáticas a través de la exploración, formulación y
resolución de situaciones problemáticas, constituye un contexto general de aprendizaje,
estrechamente relacionado con el ambiente de trabajo y con la naturaleza de las actividades
propuestas a los alumnos.
Esta perspectiva está ligada a una visión del aprendizaje de las matemáticas que las afronta
esencialmente como experiencia personal y a un interés por que el currículo proporcione
situaciones que animen a explorar caminos para resolver problemas, y descubrir y crear reglas o
patrones. Esto implica la creación de un ambiente de trabajo en el aula, en el que se valore la
exploración, el descubrimiento y la creación de patrones.
Las calculadoras y los computadores permiten a los alumnos "la experimentación". Se convierten
de esta manera en un laboratorio, en el cual el aspecto experimental de las matemáticas se
resalta y se utiliza para proveer oportunidades de observar, hacer predicciones, lograr
representaciones, validar hipótesis, controlar variables, etc.
Las nuevas tecnologías constituyen un nuevo entorno para aprender matemáticas.

37. 31
En efecto, existen ya programas dotados de unas características de interactividad y versatilidad,
que proporcionan un contexto y una ayuda para el aprendizaje de determinados aspectos de las
matemáticas.
Por ejemplo, el estudio de la geometría antes se hacia de manera estática con objetos abstractos
y con sus representaciones en el papel. Ahora se dispone de software dinámico para geometría,
en el que se crea un micromundo de experimentación que propicia la interacción concreta del
alumno con los objetos geométricos, y facilita la construcción del conocimiento. Este software
suministra un ambiente en el cual los estudiantes se animan a especular, crear imágenes,
argumentar y justificar. También les permite usar los errores constructivamente para dinamizar
su proceso de aprendizaje.
“El computador hace posible que fórmulas, tablas de números y gráficas se enlacen rápidamente.
Cambiar una representación y ver los cambios en las otras, ayuda a los estudiantes a comprender las
relaciones entre ellas”
A través de los diversos ejemplos que presentaremos mas adelante, se podrá evidenciar la
influencia del recurso tecnológico en los contextos de aprendizaje y su importancia para propiciar
conocimiento situado y posibilitar su descontextualización para hacerlo utilizable en situaciones
nuevas.
4.2.2. ¿Que procesos y habilidades cognitivas se pueden favorecer?
Si comparamos nuestra manera de proceder frente a un electrodoméstico o aparato electrónico
nuevo, con relación a la manera de proceder de un joven, nos daremos cuenta de la gran cantidad
de habilidades que los niños de hoy desarrollan por vivir en un ambiente impregnado de
tecnología. La rapidez con laque se familiariza con un juego o con la lógica de un programa en el
computador es asombrosa. La facilidad con la que aprenden a manejar un aparato nuevo nos
desconcierta. ¿Cuáles de estas habilidades cognitivas pueden favorecerse en la clase de
matemáticas con el uso de estos recursos?
Para dar respuesta a esta pregunta hemos tomado elementos de la reflexión sobre las
experiencias que se han adelantado en nuestro país, de las revisiones bibliográficas y de una
propuesta del NCET6
que se presenta en el Currículo Nacional de Inglaterra. Esperamos que estas
ideas sean el punto de partida para elaborar propuestas a la luz de las experiencias reales que se
desarrollen en cada institución.
 LA VISUALIZACIÓN
Con el advenimiento de las calculadoras gráficas y los computadores se presenta una nueva
herramienta para desarrollar la capacidad de visualización. Los programas comerciales
desarrollados especialmente para la graficación tienen muchas ventajas sobre el tablero o el lápiz
y el papel ya que desarrollan gráficas complejas con gran velocidad y precisión, tal como se
expresó en el marco conceptual. El efecto de la visualización dinámica e interactiva sobre la
formación de imágenes conceptuales y la transición de representaciones gráficas geométricas a
6
National Council for Education Technology. Este aporte fue plantado por el profesor Adrian Oldknow en el Encuentro con Expertos
Nacionales e internacionales, realizado en Santafé de Bogota, entre el 2 y el 6 de enero de 1998.

38. 32
simbólicas - algebraicas es innegable. Por ejemplo, el uso de computadores para manipular
diagramas dinámicamente capacita a los estudiantes para visualizar la geometría de manera
activa, tal como ellos generan sus propias imágenes mentales.
La geometría de las transformaciones tiene que ver con el movimiento por lo que es muy
apropiado trabajar con programas informáticos dinámicos. Estos permiten mover objetos
alrededor de la pantalla con el mouse y ver la reflexión, o alguna otra transformación, moviéndose
simultáneamente.
La naturaleza dinámica del software también simula imágenes mentales de otras ideas
geométricas. Por ejemplo, si a un estudiante que este familiarizado con un software se le
pregunta acerca de los círculos inscritos en un triángulo, puede hacer ensayos para visualizarlos
encogiendo y expandiendo el triángulo desde uno de sus vértices. Esto, junto con la simetría,
puede sugerir que el centro del círculo yace sobre las bisectrices de los ángulos.