Presentación Factores que Afectan el Dinero

1. Integrante:
Javier Velásquez
26.346.340
Barcelona, 04/02/2019
Politécnico Santiago Mariño

2. Introducción
Contenido
•Factores de Pago Único
•Interpolación en Tablas de Interés
•Factores de Gradiente Aritmético
Conclusión
Bibliografía

3. El valor del dinero en el tiempo es el concepto que indica que el dinero disponible en el
momento presente, vale más que el mismo monto en el futuro, debido a su capacidad de
ganancia potencial. Este principio básico de finanzas sostiene que, siempre que el dinero
pueda ganar intereses, cualquier cantidad de dinero vale más cuanto más pronto se reciba. El
valor del dinero en el tiempo también se conoce como valor presente neto.
Este concepto se basa en la idea que los inversores prefieren
recibir dinero hoy, en lugar de recibir la misma cantidad de dinero en el
futuro, debido a la posibilidad que el dinero crezca en valor durante un
período de tiempo determinado. Explica por qué se paga o se gana el
interés: el interés, ya sea en un depósito bancario o en una deuda,
compensa al depositante o al prestamista por el valor del dinero en el
tiempo.

4. La relación de pago único se debe a que, dadas unas variables en el
tiempo, específicamente interés (i) y número de periodos (n), una
persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago durante
el periodo determinado posteriormente.

5. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores presentes y valores
futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa de interés. A continuación,
se presentan los significados de los símbolos a utilizaren las fórmulas financieras de pagos
únicos:
•P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero.
F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado.
n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre lo que se recibe y lo
que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo necesario para realizar una transacción. Es de
anotar, que n se puede o no presentar en forma continua según la situación que se evaluando.
i: Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la financiación obtenida; el interés
que se considera en las relaciones de pago único es compuesto.
Factores de Valor Presente y recuperación de capital
•Capitalización es el valor de mercado de la empresa, esto es, la cotización de cada acción multiplicada
por el número de acciones. El aumento de la capitalización en un año es la capitalización al final de
dicho año menos la capitalización al final del año anterior.

6. Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta.
• Factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU) o factor F/P:
• F = P (1+i)n
• Factor de valor presente, pago único (FVPPU) o factor P/F:
• P = F [1 / (1+i)n]
• Factor del valor presente, serie uniforme (FVP-SU) o factor P/A:
• P = A [(1+i)n-1 / i(1+i)n]
• Factor de recuperación del capital (FRC) o factor A/P:
• A = P [i(1+i)n / (1+i)n-1]
• Factor del fondo de amortización (FA) o factor A/F:
• A = F [i / (1+i)n-1]
• Factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU) o factor F/A:
• F = A [(1+i)n-1 / i]

7. Notación
estándar de los
factores:
Para identificar factores es más sencillo utilizar
la notación estándar de los nombres de los
factores y ésta será utilizada en lo sucesivo:
Nombre del
factor notación
estándar:
1. Valor
presente, pago
único
(P/F,i,n)
2. Cantidad
compuesta,
pago único
(F/P,i,n)
3. Valor
presente, serie
uniforme
(P/A,i,n)
4. Recuperación
del capital
(A/P,i,n)
5. Fondo de
amortización
(A/F,i,n)
6. Cantidad
compuesta,
serie uniforme
(F/A,i,n)
La notación anterior es útil para buscar
los valores de los factores involucrados
los cuales se establecen en las tablas
correspondientes.

8. Ejemplo 1:
•(P/A,5%,10) es el factor utilizado en el cálculo de un valor presente, dado el valor de una anualidad, con una tasa de interés del 5% y
un valor de 10 periodos de capitalización. Este factor, en las tablas correspondientes es igual a 7.7217
•Si utilizamos la fórmula para calcular el valor de este factor (P/A), tenemos:
• (P/A,5%,10) = [(1+i)n-1 / i(1+i)n]
•= (1.05)10-1 / 0.05(1.05)10
•= 7.7217
Ejemplo 2:
•Un contratista independiente realizó una auditoria de algunos registros viejos y encontró que el costo de los suministros de oficinas
variaba como se muestra en la siguiente tabla:
• Año 0 $600
• Año 1 $175
• Año 2 $300
• Año 3 $135
• Año 4 $250
• Año 5 $400
•Si el contratista deseaba conocer el valor equivalente de las 3 sumas más grandes solamente, ¿Cuál será ese total a una tasa de
interés del 5%?F = 600(F/P,5%,10) + 300(F/P,5%,8)+400(F/P,5%,5) F=?
• F = 600(F/P,5%,10) + 300(F/P,5%,8)+400(F/P,5%,5) F=?
• F = $1931.11
• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• 300
• 400
• 600
•Otra forma de solucionarlo
• P = 600+300(P/F,5%,2) + 400(P/F,5%,5) = $1185.50
• F = $1185.50(F/P,5%,10) = 1185.50(1.6289) = $1931.06

9. La interpolación es un proceso matemático para calcular el valor de una
variable dependiente en base a valores conocidos de las variables
dependientes vinculadas, donde la variable dependiente es una función de
una variable independiente. Se utiliza para determinar las tasas de interés
por un período de tiempo que no se publican o no están disponibles.

10. Interpolación logarítmica
• Es una representación gráfica de una función o de un
conjunto de valores numéricos, en la que el eje de abscisas y el eje
de ordenadas tienen escala logarítmica. o semi curvas lineales
• Si la representación se hace manualmente, se emplea papel
logarítmico, que posee la escala con las marcas adecuadas para
este tipo de representaciones. Se emplean logaritmos decimales,
de base 10.
Los datos que siguen una variación similar a una función
potencial, y=a.x n, o aquella serie de datos cuyo rango
abarca varios órdenes de magnitud son apropiados para
una representación logarítmica. Por ello, este tipo de
representación es muy usada en ciencias e ingeniería.
Cualquier conjunto de datos
que pueda ajustarse a la
expresión
y = ax3
Podrá representarse en
forma de línea recta,
Log(y) = b log(x) + log(a)
Si usamos representación
logarítmica ya que ambas
expresiones son
equivalentes.

11. Ejemplo 1:
•Como ejemplo de representación logarítmica vamos a representar
los datos del periodo de revolución de algunos planetas en función
del semieje mayor de su trayectoria (leyes de Kepler), que aparecen
en la tabla inferior.
Tabla 1
•Representación Logarítmica Datos.
•
•
•
•
•
•
•
Planeta Semieje Mayor en 109
m Periodo de Revolución en 109
8
Mercurio 57.9 7,58
Venus 108,2 19,36
Tierra 149,6 31,47
Marte 227,9 59,19
Júpiter 778,3 373,32

12. Tabla 1 Representación Logarítmica .
• Representación logarítmica del
periodo de revolución frente al
semieje mayor de los planetas del
sistema solar. Para un ajuste de la
línea recta, ver serie estadística de
dos variables.
Representación Lineal.
•La misma serie de datos en representación
cartesiana, habría conducido a un
amontonamiento de los primeros puntos
para permitir colocar el último punto, y
habría colocado dichos puntos en una
curva parecida a una función polinomial.
•
•
•

13. Interpolación
Polinómica
• Es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o
de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto
número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un
experimento se pretende encontrar un polinomio que pase
por todos los puntos.
•
• Dada una función (f) de la cual se conocen sus valores en
un número finito de abscisas x0,x1,…xm , se llama
interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio
de grado menor o igual a m, cumpliendo pm (xk) = f(xk), vk =
0,1,…, m.
•
• A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de
grado m de la función f.
Calculo del polinomio
interpolador
• Se dispone de varios métodos generales de interpolación
polinómica que permiten aproximar una función por un
polinomio de grado m. El primero de estos es el método de
las diferencias divididas de Newton. Otro de los métodos es
la interpolación de Lagrange, y por último, la interpolación de
Hermite.

14. Interpolación lagrange
•Sea f la función a interpolar, sean x0, x1, . . . , xm las abscisas conocidas de f y sean f0, f1, . . . , fm los
valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado n de Lagrange es un
polinomio de la forma.
•
•
•Donde lj ( x ) son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:
•
•
•Nótese que, en estas condiciones, los coeficientes lj (x) están bien definidos y son siempre distintos de cero.
Interpolación hermite
• La interpolación de Hermite, llamada así en honor a su inventor Charles Hermite, es similar a la de Newton,
pero con el añadido de que ahora también conocemos los valores que toma la derivada de la función f en las
abscisas conocidas x0, x1, . . . , xm.
•El Polinomio Interpolador de Hermite de grado 2m + 1 de la función f es un polinomio de la forma:
•
•
•Con...
•
•
•
•

15. Interpolación segmentaria
•Existen métodos de Interpolación segmentaria que nos permiten aproximar funciones de un modo eficaz.
Entre ellos cabe destacar la interpolación de Taylor y la interpolación por Splines. La Interpolación de Taylor
usa el Desarrollo de Taylor de una función en un punto para construir un polinomio de grado (m) que se
aproxima a la función dada. Tiene dos ventajas esenciales sobre otras formas de interpolación:
•Requiere sólo de un punto x0 conocido de la función para su cálculo, si bien se pide que la función sea
suficientemente diferenciable en un entorno de ese punto.
•El cálculo del Polinomio de Taylor es sumamente sencillo comparado con otras formas de interpolación
polinómica:
•
•
•Sin embargo, en ocasiones no será deseable su uso dado que el error de interpolación puede alcanzar
cotas demasiado elevadas. Es especialmente útil para emplearse en lugar de métodos de interpolación de
Hermite generalizada sobre derivadas de orden superior de la función (f). La Interpolación por Splines es un
refinamiento de la interpolación polinómica que usa "pedazos" de varios polinomios en distintos intervalos
de la función a interpolar para evitar problemas de oscilación como el llamado Fenómeno de Runge.
•La idea es que agrupamos las abscisas x0, x1, . . . , xm en distintos intervalos según el grado del spline que
convenga emplear en cada uno. Así, un spline será un polinomio interpolador de grado (n) de (f) para cada
intervalo. A la postre, los distintos splines quedarán "unidos" recubriendo todas las abscisas e interpolando
a la función.
•El principal problema que presenta la interpolación por splines reside en los puntos que son comunes a dos
intervalos (extremos). Por esos puntos deben pasar los splines de ambos intervalos, pero para que la
interpolación sea ajustada, conviene que el punto de unión entre dos splines sea lo más "suave" posible (ej.
evitar puntos angulosos), por lo que se pedirá también que en esos puntos ambos splines tengan derivada
común. Esto no será siempre posible y, a menudo, se empleará otro tipo de interpolación, quizás una
interpolación no-polinómica.

17. • Un gradiente básicamente consiste en una serie de pagos periódicos que varían
(crecen o disminuyen) de uno a otro en la misma forma y que cumplen con las
siguientes condiciones:
• 1. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
• 2. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.
• 3. El número de pagos es igual al número de periodos.
• 4. Los pagos pueden ser trimestrales, semestrales o anuales Etc.
• 5. Las variaciones se empiezan a presentar a partir del segundo pago.
Factores de gradiente aritmético
•Son series periódicas de pagos que varían de
uno a otro en una misma cantidad que para
nuestro caso llamaremos L; si L es positiva el
gradiente será creciente, por el contrario, si L
es negativo el gradiente será decreciente. Un
típico gradiente puede apreciarse en la
siguiente figura:
Si cada pago crece o disminuye respecto
al anterior en una misma cantidad se
denomina a la serie gradiente lineal o
aritmético (lo llamaremos aritmético). Si
cada pago crece o disminuye respecto al
anterior en un mismo porcentaje se
denomina a la serie gradiente
geométrico.
Estos gradientes para efectos de
simplificar el diagrama de caja los
representaremos así:
Período Pago Incremento
0 Ninguno Ninguno
1 R Ninguno
2 R+L L
3 R+2L L
4 R+3L L
: : :
n R+(n-1)L L

18. • Para hallar el valor presente, bastara con trasladar todos los pagos a cero (tomando 0 como fecha focal)
utilizando la siguiente expresión:
• P = F(1+i)-n
• La ecuación quedará como sigue:
• P = R(1+i)-1 + (R+L)(1+i)-2 + (R+2L)(1+i)-3 + ... + (R+(n-1)L)(1+i)-n
• Multiplicando para separar los términos en R de los términos en L
• P = R(1+i)-1 + R(1+i)-2 + R(1+i)-3 + ... + R(1+i)-n + L(1+i)-2 + 2L(1+i)-3 + ... + (n-1) L(1+i)-n
• P=R(1+i)-1 + R(1+i)-2 + R(1+i)-3 + … + R(1+i)-n + L(1+I)-2 + L(1+i)-3 +…+ (n-1)L(1+i)-n
• Factorizando y separando las series:
• Los componentes de R serán (Presente de una anualidad) y los de L (W)
• Nótese que la primera serie contiene los términos que llevan a presente una anualidad y que se representan en la
siguiente gráfica en color amarillo:
Valor
presente de
un
gradiente
aritmético
• Ecuación 1:
W = (1+i)-2 + 2(1+i)-3 + 3(1+i)-4 +... + (n-1) (1+i)-n
• Multiplicando la anterior ecuación por (1+i) obtenemos:
• Ecuación 2:
W(1+i) = (1+i)-1 + 2(1+i)-2 + 3(1+i)-3 +... + (n-1)(1+i)-(n-1)
• Si restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 (ecuación 2 menos la 1) se eliminan los coeficientes quedando solo el del
último término de la primera ecuación y obtenemos:
W(1+i) -W = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) - (n-1)(1+i)-n
• Efectuando los productos del primero y último factor:
W +Wi -W = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) - n(1+i)-n + (1+i)-n
• Simplificando y colocando en su lugar el último término:
Wi = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) + (1+i)-n - n(1+i)-n
Ahora bien,
analicemos
los
términos a
los que
hemos
llamado W:
Luego podemos presentar la ecuación como:
P=R
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
+ 𝐿𝑊

19. Ejemplo
¿Cuánto cuesta un equipo que se paga mediante
una serie de 6 pagos que inician en $80.000 y que
cada mes crecen $20.000 si se realizan a una tasa
de interés del 24% CM?
• Ante todo, hallamos la tasa efectiva y trazamos
nuestro diagrama de caja:
• i = J/m = 0.24/12 = 0.02
• La serie de pagos establece el siguiente diagrama
de caja:
Donde el valor de P (o sea el costo hoy del
equipo) se establece mediante la siguiente
expresión:
Se sabe que el efectuar estas operaciones
de aritmética barata, será parte de los
pasatiempos del amable lector en
compañía de su fiel amiga, la hoja de
cálculo.

20. Valor
futuro de
un
gradiente
aritmético
Para hallar el valor futuro de un gradiente
aritmético, basta multiplicar la expresión de
valor presente por el término (1+i)n de
análoga a como lo hicimos con las
quedará:
F = P(1+i)n
Luego:
Que al efectuar las diversas multiplicaciones
transforma la expresión a:
Nótese nuevamente en la siguiente gráfica
el sector resaltado (en amarillo) representa
anualidad de cuotas R y que aparece como
primer término de la expresión de futuro del
gradiente aritmético.

21. Ejemplo
¿Cuanto reuniré mediante una serie de 6 depósitos que
inician en $80.000 y que cada mes crecen $20.000 si los
realizo en una institución financiera que paga una tasa de
interés del 24% CM?
• Ante todo, hallamos la tasa efectiva y trazamos nuestro
diagrama de caja:
 i = J/m = 0.24/12 = 0.02
• La serie de pagos establece el siguiente diagrama de caja:
Donde el valor de F (o sea el dinero que reuniré) se
establece mediante la siguiente expresión:

22. Gradiente
Aritmético
Infinito
De manera análoga a lo descrito en el
apartado de anualidades, solo tiene
sentido determinar el valor presente,
puesto que si el gradiente es infinito no
es posible determinar el punto n para
saber dónde le quedaría el futuro.
Para hallar el valor presente del
gradiente aritmético infinito, hallamos
límite de la expresión de presente (P)
cuando n tiende a infinito.
Que es la expresión que nos lleva al
presente de un gradiente aritmético
infinito.

23. Gradiente
Geométricos
Tal como lo mencionamos son series
de pagos que varían de uno a otro en un
porcentaje que para nuestro caso llamaremos
si G es positivo el gradiente será creciente, por
el contrario, si G es negativo el gradiente será
decreciente. Un típico gradiente geométrico
puede apreciarse en la siguiente figura:
En la gráfica (a escala) se puede apreciar que
incremento en la cuota o pago según sea el
caso, varia de un pago a otro. Estos gradientes
para efectos de simplificar el diagrama de
deberían ser representados representaremos
así:
Sin embargo, dibujar las curvas puede ser
tedioso para el amable lector, por tanto, lo
si se le recomienda es que no olvide como
los pagos. Tal como se dijo al comienzo de la
sección, los pagos cumplen con la siguiente
de formación:
Periodo Pago Incremento
0 Ninguno Ninguno
1 R Ninguno
2 R(1+G)1
( R )G
3 R(1+G)2
( R(1+G)1
)G
4 R(1+G)3
( R(1+G)2
)G
: : :
N R(1+G)n-1
( R(1+G)n-2
)G

24. Las empresas consideran el valor del dinero en el tiempo al tomar decisiones sobre
inversiones en el desarrollo de nuevos productos, la adquisición de nuevos equipos o
instalaciones comerciales, y el establecimiento de condiciones crediticias para la
venta de sus productos o servicios. El dólar disponible hoy puede usarse para invertir
y ganar intereses o ganancias de capital. Debido a la inflación, un dólar que se
promete para el futuro vale en realidad menos que un dólar hoy.
Siempre que el dinero pueda ganar intereses, este principio básico de finanzas
sostiene que cualquier cantidad de dinero vale más cuanto más pronto se recibe. En
el nivel más básico, el valor del dinero en el tiempo demuestra que, en igualdad de
condiciones, es mejor tener dinero ahora que más tarde.

25. Berbeo. M. E. Las Matemáticas Financieras. Bogotá Colombia. (2005). Disponible en:
http://www.redjbm.com/ingeco/index.html
Gutiérrez. A. Introducción a la metodología experimental. Editorial Limusa. (2006). p.195
Central Association of Science and Mathematics Teachers (U.S.). New Formulas for Logarithmic Interpolation. (1959).
p.32.Vol.59.
Aubanell, A. Benseny, A. Delshams, A. Útiles básicos de Cálculo Numérico. Labor/Publicaciones de la UAB. ()1933).
Joaquín. M y Aramburu. O. Introducción al Análisis Matemática (2da edición, catalán). Publicaciones de la UAB. (2002)
Burden, R.L. Faires, J.D. Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoamericano. (1985).
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Fabre, M. (2017). Factores: Como elTiempo y el Interés Afectan al Dinero. Disponible en:
https://prezi.com/d4f_kle2typ3/factores-como-el-tiempo-y-el-interes-afectan-al-dinero/