1) El documento describe las definiciones y convenciones utilizadas para analizar el cortante y momento flexionante en vigas. 2) Explica las relaciones entre la carga distribuida, el cortante y el momento flexionante a lo largo de una viga. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular las reacciones, cortantes y momentos flexionantes en vigas con cargas distribuidas.

1. 6
Cortante y Momento Flexionante
6.1 Definiciones y convencwnes
En la Seco 1.2, la función estructural se describió según cuatro diferentes
estados de carga, que pueden ocurrir simultáneamente, pero, por lo común,
se analizan por separado. La carga uniaxial sc trató en el Cap. 1, la
carga biaxial y triaxial en los Caps. 2 al 5. En muchas estructuras, tales
como edificios o puentes, hay componentes que realizan primeramente la
función de transmitir las fuerzas transversales (cortante) y los momentos
transversales (flexionantes). Tales miembros, si son de sección transversal
relativamente angosta, son llamados, por lo general, vigas.
Al analizar el comportamiento de vigas, es conveniente empezar con
un estado de flexi6n pura. En la Fig. 6.1 se ilustran varios ejemplos. En
esta figura, los diagramas d y e representan los diagramas de cortante y
momento para una viga, en donde solamente la porción central está sujeta
a flexión pura (este tipo de carga se usa, frecuentemente, en especímenes
de pruebas).
Bajo el punto de vista de la transmisión de fuerza, los diagramas de
cortante y momento representan los esquemas de la fuerza resultante trans-
versal y del momento flexionante transmitidos, en cualquier sección transver-
sal, a Jo largo de la viga. En la Fig. 6.2c, la condición general de carga en
la sección z, está representada por tres resultantes: una carga axial P, una
fuerza transversal (cortante) V, Y un momento resultante M. Este diagra-
ma. implica que no hay componentes de fuerza actuando normales al
plano zy. Tampoco hay momentos torsionalcs. Esta viga está clasificada
como un cantiliver, la dirección de la transmisión de fuerza es en "un
sentido".
En la Fig. 6.2d se muestran las fuerzas y momentos de reacción. Por la
tercera ley de Newton, deben ser iguales y opuestas a las resultantes mos-
tradas en el diagrama c. Cuando una estructura, componente o elemento
está en equilibrio estático, cualquier porción aislada ("cortada") debe per-
manecer en equilihrio b<Jjo la acción de todas ¡as fuerzas y momentos que
actúan sobre ella. El esquema d representa un diagrama de cuerfiO libre,
para el cual se dehen satisfacer las leyes de equilibrio estático. Para la
abstracción hidimensional representada por la Fig. 6.2, son útiles solamente

2. 124 Cortante y momento flexionante
(b)
(d)
V=p
p p
p~ .. ·hp
l-aLFlexión pura -la-l
(e)
+V
(e)
(d) ~)~p
Diagrama de cuerpo ~V
libre
Fig. 6.1. Ejemplos dI' fll'xión pura. Fig. 6.2. Viga en cantilivl!r con car-
gas cOllcentradaL
tres ecuaciones de equilibrio. Ellas son: 'iP" = O, 'iP, = O Y'ZM" = 0, don-
de la sumatoria incluye todas las cargas externas, así como las fuerzas de
reacción y momentos en cualquier superficie "cortada", o en los apoyos.
La Fig. 6.3 ilustra una viga con varios tipos de carga. Los extremos
están "articulados" (o "con goznes"). El diagrama de cuerpo libre se
muestra en el esquema b. Las reacciones deben mostrarse en el diagrama
de cuerpo libre, aun cuando sus valores no se conozcan inicialmente. Un
rodillo se muestra en uno de los extremos de la viga. Esta convención
indica que el soporte es incapaz de resistir una fuerza paralela a hl super-
ficie que soporta a dicho rodillo.
En la Fig. 6.4 sc ilustran dos ejemplos de vigas estáticamente indeter-
minadas (Sec. 9.3). Las condiciones extremas mostradas representan las
condiciones de restricción usadas en el modelo conceptual.

3. Definiciones y convenciones
(a)
y
z
RA,
RAy
RB
Fig. 6.3. Viga .rimPlement~tpOyadaCOI/ varias cargas.
125
q
[11111 IIJ
(a)
Fig. 6.4. Vigas estáticamente indeterminada....
En el cálculo del corlante y dd momento flexionante, en cualquier
punto, se deben adoptar ciertas convenciones para los signos y estado de
carga. Estas convenciones comúnmente usadas en el análisis de vigas se
ilustran en la Fig. 6.5. Estos diagramas representan los estados positivos
de cortante y momento. Al aplicar las leyes de equilibrio, se deben usar la.~
convenciones positivas en relación al sentido.
La convención para el cortante de la Fig. 6.5 no está de acuerdo con
la usada para "estado de esfuerzo" (ver Fig. 2.5). Aún más, las conven-
ciones son ambiguas para vigas verticales, curvas, o para estructuras libres
de gravedad en el espacio exterior (donde no hay manera de distinguir
"arriba" o "abajo").
Un sistema típico, generalizado en Ingeniería, independiente de la
gravedad, se indica ahajo:

4. 126 Cortante y momento flexionante
l. Seleccione una dirección de tram;misión posltlva a través del eje
estructural (para vigas curvas use s; para vigas rectas, z).
2. Trabaje con el cortante y momento flexionante que actúa sobre la
porción de viga hacia donde éstos se transmiten.
1. Los momentos flexionantes positivos actúan en el sentido de las ma-
necillas del reloj. .
4,. El cortante positivo actÍta en una dirección tal, que produe.e un
incremento positivo de momento sobre una distancia ds (o dz) en la
dirección positiva de la transmisión.
Para una viga curva, las convenciones anteriores están ilustradas en la
Fig. 6.6. (El eje estruc.tural c.ae en el plano del papel.) Para una viga recta
1dz
i
'-----0······.···.··'·
...·•·· ----~
I 1'" l
v'· ~v l
,'., ,
L "',' J
(a) Elemento de viga
<bl Analogía física
Fig. 6.5. E.,'tados positivos de cortante y jl¡>xión (siJtl'mil I'struclural ingenieril).
horizontal, con transmisión de fuerza de izquierda él derecha, las conven-
dones están de acuerdo con las de la Fig. 6.5.
Con estas convenciones, un estado positivo de cortante se representa ya
sea por una fuerza cortante positiva transmitida en una dirección posi-
tiva, o por una fuerza cortante negativ<t transmitida en una dirección ne-
gativa. Una regla similar se aplica pilra un c.~tado positivo de flexión.
6.2 Relaciones entre carita, cortante y momento flexionante
La Fig. 6.7 muestra una franja o rebanada angosta de una viga con carga
distrihuida. La carga local en la sección s está dada por el valor de la
fuerza lineal q, que es una función de s. A un incremento de distancia .ls
a la derecha, la carga es q + JJ.q. A través de la distancia .6.s, la carga se
muestra variando linealmente. El incremento de cortante es:
.6.V = q.6.s + t.6.q .6.s
La proporción del cambio de cortante se encuentra dividiendo entre JJ.s
.ó.V 1
- = q + -¡j.q
.6.s 2

5. Relaciones entre carga, cortante y momento flexionante 127
Ahora hagamos que ós se aproxime a cero como límite. El valor de j.q.
tamhién, se aproxima a cero, dando, en el límite:
IdV - q I
ds
El incremento dc momento es:
/1M = V /18 + (q /1S)(i-/18) + (i/1q /18)(j./1S)
Dividiendo entre /1s:
(6.1)
f:!.M
f:!.s
Hagamos que /18 se aproxime a cero como límite; entonces:
IdM ~ V I
ds
(6.2)
Estas importantes ecuaciones (6.1) Y (6.2), representan completamente la
relación entre carga distribuida, cortante y momento flexionante. Se demos-
trará, más tarde, cómo estas ecuaciones, también se pueden usar para
fuerzas concentradas, momentos y distrihuciones de carga discontinuas.
Ele estructu ral
Fi~. 6.6. Convenciones estructurales
para cor~ante y momento positivos
en una mga curva.
Fig. 6.7. Relacione.l incrementale.'
entre carga, cortante y momento fle-
:donante.
Expresado en palabras:
1. La proporción de cambio de cortante en un punto es igual al va-
lor de la carga distribuida en ese punto.

6. 128 Cortante y momento jlexionante
2. La relación de cambio de momento flexionante en un punto es
igual al valor del cortante en ese punto.
Como corolario, la Ec. (6.2) nos dice que el valor relativo. maxlmo o mí-
nimo de M, ocurrirá dondequiera que V = O. En las proposiciones ano
teriores, "punto" se refiere a un punto sobre el eje estructural.
Cualquiera de los dos procedimientos diferentes, expresados a conti-
nuación se pueden usar para calcular las reacciones, cortantes y momentos.
MÉTODO DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Calcule la~ reacciones RA y Ro por
adelantado, aplicando las ecuaciones de equilibrio. A continuación, estas
reacciones se tratan como cargas externas sobre el cuerpo libre y se aplican
con sus direcciones correctas.
MÉTODO DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Integre las Ecs. (6.1) Y (6.2) suce·
sivamente, obteniendo las constantes de integración. Estas se calculan apli-
cando las condiciones de frontera conocidas- de los dos extremos. Los cor-
tantes en un apoyo, determinan la fuerza de reacción R (vea los ejem.
plos 6.2).
Todos los términos en las ecuaciones para cortante y momento flexio-
nante se deben referir a fuerzas y momento actuando sobre la porción de
la viga en la dirección de la transmisión.
Se puede usar el principio de superposición; es decir, una viga que
tenga varios tipos diferentes de carga, se puede analizar para cada tipo in-
dependientemente, y los cortantes (o momentos) en cualquier punto se
pueden sumar algehraieamente para obtener el resultado final. Este método
es válido cuando el cortante y momento son funciones lineales de la in.
tensidad de carga; por ejemplo, cuando los despbzamientos son rcalmente
pequeños, y no se están transmitiendo fuerzas axiales.
EJEMPLO 6.1. Para la viga mostrada en la Fig;. E6.!, la función de carg;a es
q = -10 Ibjpulg.
Las reacciones se pueden calcular tratando la viga completa (amo un cuerpo
libre; sustituyendo la rarga distribuida por su resultante, la cual es igual a
lO X 1BO = 1,BOO lb, actuando a una distancia z = 90 pulg. o a 70 pulg. a la
derccha dc A.
Para :-:M = () con respt'cto a A:
l.aao X 70 ~ 120R" = O
Para :::,M = O ('on respecto a B:
-I.BOO X 20 + 120Rj = O
R u = +1,050 lb (hacia arriba)
RA = +750 lb (hacia arriba)

7. Relaciones entre carga, cortante y momento jlexionante
pARA LAS SFC:CIONES A LA IZQUIERDA DE A:
v ~ f q d: + c1 = f -1Odz + c1 = - J Oz + C1
En z = O, ¡.: = O; por tanto, e, = 0, Ji = -IOz,
M = JV dz + C. = f -lOz d: + c. = -5z' + c.
En z = 0, Al = O; por tanto, C" = 0,
JI = ~5z·
129
PARA SECCIONJ,;S ENTRI;; A y B. La rea('ción RJ debe estar induida en la carga.
e, y C, permanecen con valor cero:
v = 750 - 10:
M = fV dz = 750(z - 20) - 5z·
PARA SECCIONES A LA DERECHA DE B. Tanto R A como R" deben incluirse:
v = 750 + 1,050 - 10z = 1,800 - 10z
M = JV dz = 750(z - 20) + l,050(z - 140) - 5z·
q = - 10 Ib/pulg.
+V
J<r--r+-.L..l....L...-~;:r-r-r-,.--,-,-,-rt-'-L..L.J....b.
J -
MB= - 8.000 Ib/pulg.
Fig. E6./

8. 130 Cortante y momento flexionante
Aplicando estas ecuaciones a las secciones, respectivamente, a la izquierda y
a la derecha de A:
V~J = -lOz = -10 X 20 =-200 lb
V'I> = 750 ~ 10 X 20 = +550 lb
MAl = -S X 20" = -2,000 lb-pulg.
M'll> = 1,800 (20 - 20) - 5 X 20" = - 2,000 lb-puIg.
(Este resultado confirma el apoyo A que no pucde resistir ningún 1ll0l1l("lltO
f1exionante. )
PARA SECCIONES A LA IZ'¿UU:RDA y A LA DERI':CHA DE B.
VII, = 750 - 10 X 140 = -650 lb
Vii" = 1,800 ~ 10 X 140 = +400 lb
MI!, = 7S0( 140 - 20) - 5 X 140" = -¡¡,OOO lb-pulg.
Mil" = 7S0( 140 - 20) + 1,050 X (140 - 140) - 5 X 140"
= ~ 8,000 Ib-pulg-. (dlCqut:O)
Estos valores están mostrados en la Fig. E6.1.
Para encontrar el momento flexionante máximo en el claro central, ha·
gamos V = O. Usando las ecuaciones adecuadas para V y M,
0= 750 - 10z
z = i"'ho = 75 pulg. (55 pulg. a la derecha de A)
M nJRx = 750(75 - 20) - 5 X 75" = +13,125 lb-pulg.
EJEMPLO 6.2. El claro central de la viga del Ejemplo 6.1, será analizado
tratándolo como una viga simple con momentos conocidos, aplicados en cada
extremo, usando el método de integral indefinida. Los cortantes de los voladi-
zos V'J'y VIi" están resistidos por los puntos de apoyo, y no se transmiten a
través del claro central: por (~onsigliente, ellos no aparecen en las ecuaciom's.
La distancia z se mide a partir de la se!:ción A.
v = fq dz + CI = -10z + Cl
M = fV dz + C2 = -5z' + C,z + C,
Las condiciones de borde o de frontera están como sigue: en A, (z = O);
A1.., = 2,000 lb-pulg. Sustituyendo en la ecuación de momento, IIOS da:
-2,000 = O+ 0+ C2 y C2 = -2,000

9. Relaciones entre carga, cortante y momento flexionante
~1b~k4V_400'b
2.000 Ib-pulg C~ ~ C,"" (;)M- 8.000lb-pulg.
RA
RB
1: . z 120 PUlg.------J
131
Fig. E6.2
por tanto, !lf = -Sz' + C,z - 2,000. En B, (z = 120); MR = -8,000 Ib-pulg.
Nota: Puesto que la ecuación para M, da el Dnomento en la porción a la dere-
cha de la sección, delx'lTIos tratar a ,Hu corno negativo al usar este método
de solución.
Sustituyt>ndo 01 la ecuación anterior de lJIomento, nos da
por tanto,
-8,000 == -5 X120' + 'C, X 120 - 2,000
-8,000 + 72,000 + 2,000
e, = 120' = +550 lb
V=~10z+550
Para calcular la re;~cci.Ón en A, calculalnos el cortante a la derecha de A:
VA" = V ("~U) = +550 lb.
Aislando un pequeño elemento,," LIsto arriba. de la fuerza de reaCClon (ver fi-
gura); ilustramos este cortante- co.mo negativo, por estarse transmitiendo en
lIna dirección negativa (a la Fq,:,'.er~a).
Aplicando la ('cuación de c'I.J.U1hbno para el pequeño cuerpo aislado (fuer-
zas positivas hacia arriba), tenemos:
R " - 200 - 550 = O
.~I
RA
= -1,-750 lb (hacia arriba)
Similarmente, en B,
R - 65() - 400 = O
u
R" "'"' +1;050 llj (hacia arriba)

10. 132 Cortante y momento jlexionante
6.3 Cargas locales y discontinuas (funciones de singularidad)
Las dos ecuaciones hásicas (6.1) Y (6.2), dan la relación entre cortante,
momentos fiexionantes y carga aplicada; y fueron obtenidas en la Seco 6.2.
Para una viga, recta, estas ecuaciones son:
dV
di = q y dM V
-¡¡z=
Se ha ¡lemostrado que la determinación de cortante y momentos flexio-
nantes, consiste en la integración sucesiva de esta", ecuaciones, junto con la
evaluación de las consonantes de integración. Pero la carga sobre la viga
puede incluir fuerzas concentradas (F o P) y momentos concentrados (M).
La función de carga q está en la fuerza lineal y por consiguiente no puede
tomar en cuenta tales cargas localizadas. Sin embargo, por la introducción
de reglas especiales de integración, q se puede hacer que tome en cuenta
cargas y momentos locales. Al mismo tiempo, las complicaciones involu-
cradas en la integración de las funciones discontinuas se pueden evitar,
convenientemente, con la introducción de ciertas reglas operacionales des-
(:fitas abajo.
Siguiendo la presentación usada en la Ref. 6, la función de singulari-
dad se escribe como:
q(z) = (z - a)n (6.3)
en donde z es cu<.tlquier distancia a lo largo de la viga, y a es el valor par-
ticular de la z en donde ocurre la diSGontinuidado singularidad.
Las reglas operacionales son las siguientes:
J :
l. Cuando la cantidad dentro de .los parénte,sis angulares es negativa
(z < a), la cantidad completa; dentro del paréntesis, es cero.
2. Cuando la cantidad dentro de; los paréntesis angulares es positiva
(z > a), el paréntesis angular se somporta como paréntesis ordi-
nario; eso es, (z - a> se sustituye. 'Or (z -- a).
Establecido simplemente, no suce~e nada para valores de z menores
de a. Según esto, la cantidad que se trata es una función de (z _. a).
Las singularidades de diferentes grados están indicadas por el valor
de n, como se muestra en la Tabla 6J.
Estas funciones obedecen la sig-uieri.tc ley de integración:
fz (z - a)n dz = (z - a;n+l
- '" ""'-n""""""+---'="¡- para n ~ O (6·4)
f~", (z - a)_2 dz = {z - a}_l
Las primeras dos funciones de la Tabla 6.1 ("por acoplado" e "impulso")
cstán definidas de tal manera que ohedeceu las siguientes reglas especiales
de integración;

11. Cargas locales y discontinuas (funciones de singularidad)
¡' (z - a)_l dz = (z _ ajO = {O
-~ 1
TABlA 6.1
cuando z < a
cuando Z > (l
133
(6·4b)
Punciones de Jingularidad
Tipo de rar,ga Desig:nación Rq)rt'Sf'ntación física
Momento q(z) = j}¡o(z - a)_2
~ M
o
cOtlt'entrado
(función de .
z
par acoplado)
O a=1
Fuerza g(z) = Po{z ~ a)_1
o~ t"
concentrada
(impulso. n .
fum:ión dc
z
-a-J
Dirac)
FUf'rza linca I q(z) = qo(z - ajo
qo
(función de- I¡¡II¡¡
escalón) O
~a--J
z
Fuerza variando q(z) = Soez - a)'
~
lint'ahnente
(función de
O
rampa 1
r--- a-J
z
Fuerza variando (z - a)' d2~
cuadrática-
q(z) = Co-~2- dz2 o
Jllt'nte O
L.-a~
z
Las otras do~ funciones de la Tabla 6.1 ~c n~~umen como sigue:

12. 134 Cortante y momento flexionanie
¡z (z _ a)O dz = (z _ a)l = {O
-.. (2 - a)
(
O
z z - a'
!-.. (z-a)ldz=( 2) = (z--;a)2
cuando z < a
cuando z > '"
cuando z < a
cuando z > a
(604-c)
(604d)
Las funciones de singularidad son activas de z = a a Z "" 00 o Para "dete-
ner" la carga en z = b, es necesario aplicar una carga suplementaria del
mismo tipo (pero de sentido opuesto) en z = b.
Las reglas especiales de integración representadas por las Ecs. (604a)
y (6.4b) se pueden interpretar como reteniendo las funciones de carga
(F o M) del proceso de integración sucesiva, hasta que se ha alcanzado el
nivel de abstracción adecuado.
EJEMPLO 6.3. En este ejemplo la función de earga es:
q = -10(z - 20)0 + lO(z - 70)0 Ibjpulg.
V = f qdz + Cl = -10[(z - 20)1 - (z -70)1] + Cl
f [(z - 20)Z (z - 70)2]
M = V dz + C. = -10 2 - 2 + Clz + C,
(a)
(b)
(e)
Las condiciones de frontera son las sig;uiclltes: En z = O, !vI = O; por tanto,
(;2 = O. En z = 100, M = 0, así:
o = -5[(100 -,20)' - (100 - 70)'] + 100C1
Cl = Th(5,500) = +275
RA = VA = 275Jb
Re = 10 X 50 - 275 = 225 lb
Sustituyendo en (b) y (e),
V = 275 - 10[(z - 20)1 - (z - 70)11
M = 275z - 5[(z - 20)2 - (z - 70)2]
(d)
(e)
Para encontI'ar la z a la que V = O Y M = Mm"" se supone que z es menor
de 70 pulg. pero mayor de 20 pulg. Entonces:
o = 275 - 10(z - 20) = 275 - 10z + 200
Z(V_O) = 47.5 pulgo
M max = 275 X 47.5 - 5(47.5 - 20)2
= 13,060 - 3,780 = 9,280 Ihjpulg.
M.o = 275 X 20 = 5,500
M70 = 275 X 70 - 5(70 - 20)' = 6,750
Las curvas de cortante y momento flexionantc se ilustran en la Fig. 6.3c-d.

13. Cargas locales y discontinuas (funciones de singularidad) 135
q = ~ 10 Ib/pulg.
~T5E2
;...'.....,,'>,',,1'==...."¡ "."'1
.. "",.,'" ""'0",",'-" .".'-.;, " .. "-.,,,- "
RAL 1 R
a
120PUlg. 50 pulg. 30 PUlg.~
• L= 100 pulg.
(a)
q
0l-----'f---lL........!---I---l-f--+--+--+-+-
RA_ L
20pulg. I q _ +10
~
OPUlg~
100 pulg.-----1
z- (b)
V,lb
'l-..l-....L.....J - 225
V=O@ 47.5 pulg.
I
(e)
I
+275
300
200
100
O'I--'"=-~~~"t_-';'-~~~~
-100
-200
~300
100
80
40 60
id)
Mma.=9,280
16•750
20
M.lb-pulg.
,.j
Fil!. E6.3
6.4 Método del área de momentos
Por definición, la distancia centroidal x de un área, se obtiene encon-
trando el momento del área en relación a un punto, y dividiendo éste

14. 136
y
Fig. 6.8. Relacione' área-momento.
Cortante y momento jlexionante
entre la misma área. Por tanto el momento del área se puede encontrar
invirtiendo el procedimiento, dando (ver Fig. 6.8)
Mórea = zA
en donde M es el momento en relación a un punto sohrc el eje z, donde
z = L. Así, tanto si el área como la distancia centroidal de un diagrama
son conocida'>, no es nec.esario realizar las integraciones.
El método de área de momento es más útil, tratando con funciones
potenciales. Por integración, se encontrarán las siguientes relaciones:
Factor de Factor de
Función área
brazo de
Illomento
y = C, 1.0 1
~
Y = Ctz 1 1
:r :r
y = C3Zt 1 1
:r '4
y = Czn
1 1
11.+1 11.+2
donde (vea la Fig. 6.8)
, _ área real _ A
Factor de arca - ---~~._-~---- - ._--~
área del rectángulo Ymo.L
distancia ccntroidal z
Factor de hra:w de momento =----.--.-~--, = --
longItud hase L
EJEMPLO 6.4. Encuentre el cortante y momento flexionante máximos para
una viga en cantiliver, bajo carga con variación line.al (Fig. E6.4)
q = Cz y

15. Método del área de momentos 137
El área del tr:i.íngulo de carga, a la p.~cala apropiada, da el ('orlal11<' PI1 ,,1
punto z,
v = iCz'
Vm
.. = tCL· = tqrn..L
Para encontrar M, lflultipli411(' (',ta área por la distalJ(~ia dd rentroíde al
punto z.
(al
lb) D,agrama de cuerpo libre
+V
0'---"'~-----_-1
(el Diagrama de cortante
+M
0'----===--------'
Id) Diagrama de momento
Fig. E6.4

16. 138 Cortante y momento flexionante
EJEMPLO 6.5. Encuentre las I'eacciones para la viga simple de la Fig. E6.5.
La fuerza resultante es:
y
_ L
Z=-
3
Por equilibrio de momentos con respecto al extremo derecho:
Repitiendo, para el extremo jzquierdo:
~qmax
Fig. E6.5
Compruebe para "i.Pv = o:
Sustituyendo las cargas distribuidas por sus resultantes, nos da la respuesta
correcta para las reacciones. Este método se debe usar con precaución al tratar
con el cortante y el momento flexionante internos. Por ejemplo, los diagra-
mas V y M para vigas, en realidad cargadas con la fuerza resultante única-
mente, serían bastante diferentes de los diagramas para la Fig. E6.S.
6.5 Cortante y flexión en vtgas curvas
Para una viga Curva representada en un plano, es conveniente establecer
dos cj¡;S ortogonales y determinar el cortante en relaci6n a cada uno de
estos ejes separadamente. El momento flexionante con respecto al eje nor-

17. Cortante y flexión en vigas curvas 139
mal al plano, se detennina por la integración del cortante a lo largo de
cada eje, y sumando los resultados algebraicamente.
Las fuerzas concentradas aplicadas se deben descomponer en compo-
nentes a lo largo de cada eje. Para una fuerza lineal q paralela, el efecto
de q en una dirección dada, se tiene multiplicando q por la longitud pro-
yectada de la pordón del eje estructural en cuestión.
Se aplican las siguientes ecuaciones, cuando se usan las convenciones de
la Fig. 6.9:
n
V, ~ L P'i
i=l
n
V. = Lp ..
;=1
n
Al = ¿ P .Jz - Z;)
i=l
n
L P,,(y - Yi)
i=l
v, = V. cos 8 - V, sen 8
p. = V.sen8+ V,cos e
En la última ecuación V se ha sustituido por P(1J ya que esta esta componen-
te de las fuerzas, es realmente una fuerza axial (V generalmente implica una
t
y
!
Convenciones
Fíg. 6.9. Fuerzas y momentos en una viga en cantitiver.

18. 140 Cortante y momento jlexionante
fuerza transversal). La Fig. 6.9c muestra a Pa como una fuerza de compresión.
Una viga que tenga un tipo diferente de curvatura del ilustrado en la
Fig. 6.9, puede requerir una nueva serie de convenciones por establecerse; esto
puede cambiar algunos de los signos de las ecuaciones.
Se debe notar que ningún cambio del momento se requiere al pasar de
la Fig. 6.9b a la c. (Esto por el hecho de que el eje para momentos no cambia
de dirección, Este eje es normal al plano ZJI.) Aún más, sería erróneo usar las
componentes de cortante Vz y Vy (Fig. 6.9b) al analizar la viga para esfuerzos
y desplazamientos.
Las vigas de curvatura simple se pueden analizar en la misma manera
general que las vigas rectas simples. Las reacciones se hallan al escribir las
ecuaciones de equilibrio para la viga, como un cuerpo libre, los valores de
cortante y momento, se encuentran entonces, al tratar las reacciones como
cargas aplicadas.
q ~ constante {con respecto a zl
Fig. 6./0. Viga curva simple bajo carga uniforme,
q
,------L,-----....
(a)
q
------'it'A"t-RB,
MB=O
RAy RBy
Ibl Diagrama de cuerpo libre
Fig. 6.1/. Viga curva con reacciones inclina.das.

19. Método del área de momentos 141
El caso especial de carga uniforme se ilustra en la Fig. 6.1 O, donde q se
supone que es constante en relación a la distancia horizontal z. Las curvas
para cortante vertical y mOlllentos flexionantes serán idénticas a aquellas para
las de una viga recta entre los dos puntos de soporte, dado que las reacciones
son verticales, como ya se demostró.
La Fig. 6.11 ilustra una viga curva, para la cual, se obliga que una de las
reacciones ocurra en una dirección no vertical (por la colocación angular de
los rodillos). El valor requerido de la componente vertical de R A se halla por
el diagrama de .cuerpo libre.
Tomando momentos con respecto a la articulación B y aplicando ~!l1 = O,
RAj-" _ (qL~)L, = O
R
A
= qL,
• 2
Puesto que R., debe pasar a través de un ;;¡ngulo 8,
RA
= RA•
COS 8
Aplicando "i,Pz = O,
y
Aplicando ":l.,Pll = O,
RA , - RH, = O
RH, = RA,
Cuando se han encontrado las dos componentes de las reacciones en A
los valores del cortante y momento flexionante, en cualquier punto a lo largo
de la viga se pueden determinar aplicando el método desarrollado para la
viga curva en cantiliver (las rcacriones conocidas se deben tratar como cargas
aplicadas) .
Cuando se somete a la viga a una carga uniforme sobn;: el claro y su
forllla es parabólica, el ángulo (J se puede escoger de manera que la reac-
ción RA coincida con la dirección del eje estructural en el punto A. El 1I1O-
mento flexionante, en cualquier punto a lo largo de la viga, se verá que es
cero (haciendo caso omiso de cualquier efecto de cambio en la forma de la
viga hajo la carga; véase el Probo 6.14).
PROBLEMAS *
6.1. Dibuje los diagramas de cortante y momento flexionan te para las
vigas incluidas en la Fig. P6.1, rnás o menos a la escala. Obtenga las ex-
* Los problemas 6.1 y 6.2 se poeden omitir si el estudiante 11a tenido preparación
adecuada de esta parte de la Estática.

20. (b)
142 Cortante y momento flexionan te
th.~ q .f1--?=_=_I~I=~==O_I=~~a---1'I'
(a)
~j.:P
t~-_a L
(o)
M
~···L=EL···~
1-<-"2 2~
(d)
1rZ
~:
1/" L .1 '
(e)
qo
ji J ¡ ¡ ¡ ¡
I
1. E.- ·1
(g)
r
I~L~'~
(fl
Fig. P6.1
presiones para los valores máximos (absolutos) de V y M en términos
de los parámetros mostrados (L, a, b, P, q,,).
6.2. Dibuje los diagramas de cortante y momento flexionante (a escala)
para las vigas ilustradas en la Fig. P6.2 (las dimensiones están en pulga-
das y las cargas en kips, o kips por pulg. Calcule y establezca los valores
reales de Vmllx y M n,"""
63. Una viga cargada uniformemente está soportada como se muestra.
Determine la distancia a para los puntos de apoyo, si el valor máximo
absoluto del momento flexionan te va a hacerse tan pequeño corno sea
posible. También encuentre a cuando la carga q" actúa parcialmente
sobre cualquin porción de la viga.

21. Problemas 143
............... ~
t;oJ L1
:_1_301~
(b)
~ 0.5
......... ~ mOllll
...........~
L15J z
50 -----=-...¡
(a)
(e)
(f)
f;.f~'~~;1
(g)
Fig. P6.2
Fig. P6-3
6.4. Obtenga las expresiones para fuerza axial, cortante y momento
flexionante en un brazo de la estructura ilustrada en la Fig. P6.4.
e
P4~~P
I L .1
A B
Fig. P6.4